Introducció

De Mecànica

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} }[/math]

I.1 Què és la mecànica?

La mecànica és la part de la física que estudia el moviment dels objectes materials. Com a qualsevol branca de la ciència, el que busca és donar resposta a un conjunt de preguntes. En el cas que ens ocupa, aquestes preguntes es poden reduir a dues de fonamentals:

  • Com és aquest moviment?
  • De què depèn aquest moviment?

Les respostes a aquestes preguntes constitueixen els dos grans capítols d’aquesta disciplina: cinemàtica i dinàmica, respectivament.

Per poder connectar la mecànica Newtoniana amb les altres branques de la ciència, aquest curs inclou un tercer capítol: l’energètica.

Cinemàtica

La cinemàtica descriu el moviment dels objectes sense fer atenció a les seves característiques materials. Així, si són molt o poc densos, rugosos o llisos, gruixuts o prims, res de tot això intervé en aquesta descripció. El que fa la cinemàtica és expressar matemàticament diferents aspectes del moviment que s’observa.

Dinàmica

La dinàmica estudia els factors que influencien el moviment, i els relaciona amb aquest moviment. En alguns textos es diu que estudia el “per què” del moviment, però aquesta afirmació no és correcta: demanar-se per un “per què” és distingir entre causa i efecte. La primera hauria de precedir al segon. Però com es veurà més endavant, la formulació de la dinàmica Newtoniana és un conjunt d'equacions on totes les variables s’avaluen en el mateix instant de temps. Així, fer una distinció entre causa i efecte resulta impossible.
A diferència de la cinemàtica, la dinàmica no és una descripció sinó una explicació del que s’observa. És, doncs, una teoria i, com a tal, necessita un recolzament experimental per ser validada. Els resultats d’experiments cada cop més precisos poden presentar discrepàncies amb les prediccions de la teoria, i demanar l’elaboració d’una de nova consistent amb aquests nous resultats.

Energètica

En l’enfoc newtonià, la dinàmica és vectorial: les magnituds que apareixen en les formulacions són vectors. Però existeixen també formulacions analítiques (escalars) de la dinàmica. La porta d’entrada a aquestes formulacions és l’energètica, que tracta de les diferents formes d’energia i les seves transformacions.
Totes les branques de la ciència parlen d’energia. Afegir un capítol sobre energia a aquest curs és, doncs, proporcionar un pont que relaciona la mecànica amb les altres branques de la física.




I.2 Models d'objectes materials

Un model és una representació simplificada de la realitat. En mecànica, hi ha tres models per als objectes materials. De més senzill a més complex: partícula, sòlid rígid, sòlid deformable i fluid.

  • Partícula: model d’objecte material que ocupa un sol punt a l’espai, de manera que no se li atribueixen dimensions ni pot ser orientat.
  • Sòlid rígid: conjunt de punts materials fixos entre ells (és a dir, que mantenen les distàncies mútues constants).
  • Sòlid deformable: conjunt de punts materials que poden no mantenir constants les distàncies entre ells.
  • Fluid: conjunt de punts materials que no mantenen mai constants les distàncies entre ells (líquids, gasos).

Un model complex no és millor que un de senzill (el millor model de gat no és un gat!). La bona pràctica en ciència és triar el model més senzill possible que permet respondre les preguntes que es formulen. Per tant, un model limita els resultats que es poden obtenir (o restringeix les preguntes que es poden formular).

El model partícula es pot fer servir sempre i quan l’orientació de l’objecte i la seva forma siguin irrellevants per al problema que s’estudia. Així, si es vol investigar la durada d’un any terrestre, la Terra es pot modelitzar com a partícula (Figura I.1-A). Si es vol estudiar l’alternança nit i dia, l’orientació de la Terra és rellevant però no la seva deformació: es pot modelitzar com a un sòlid rígid (Figura I.1-B). En canvi, si el fenomen a analitzar són les marees, cal un model de sòlid deformable de la Terra ja que tant l’orientació com la deformació són rellevants (Figura I.1-C).

I-1.jpg
Figura I.1 Model de la Terra segons el fenomen que s’estudiï


Aquest curs de mecànica se centra en els dos primers models. L’estudi de sòlids deformables i fluids constitueix la mecànica dels medis continus, i queda exclosa del curs.




I.3 Limitacions de la Mecànica Newtoniana

Com a qualsevol altra teoria, la mecànica Newtoniana té un marc de validesa limitat. Es tracta d’una teoria del segle XVII, i per tant associada a experiments d’escala macroscòpica sobre objectes amb moviments relatius a la Terra de baixa velocitat (molt inferior a la de la llum). Estendre la mecànica a l’àmbit microscòpic o d’altes velocitats és entrar en les dues branques de la mecànica que es van desenvolupar a començaments del segle XX: la mecànica quàntica i la mecànica relativista, que queden excloses d’aquest curs.

Tot i deixar de banda aquestes dues situacions, aquest curs contempla exemples que inclouen elements basats en fenòmens electromagnètics i termodinàmics (com ara motors). Aquestes dues branques de la ciència es desenvolupen fortament a partir del segle XIX, i s’escapen del marc de la dinàmica Newtoniana. Tot i així, l’interès en incloure’ls en els exemples portarà a donar-los un tractament singular.




I.4 Referència (o marc de referència)

El moviment d’un objecte requereix l’existència d’un escenari espai-temporal: un marc de referència (o, simplement, una referència). La definició d’espai i temps és una qüestió que transcendeix la ciència i és objecte obert de debat en l’àmbit filosòfic. Aquí simplement donarem definicions operatives i una modelització matemàtica eficaç.

El temps és una dimensió de l’univers que permet ordenar de manera seqüencial els esdeveniments (abans de, després de, simultani amb) i comparar la seva durada (Figura I.2). En física, el que no es pot mesurar (no per manca d’aparell adequat sinó per impossibilitat de dissenyar-lo!) no existeix. Partint d’aquesta premissa, hi ha qui defineix el temps com allò que mesura un rellotge...


I-4-1-cat,eng.png
Figura I.2 El temps permet organitzar els esdeveniments segons seqüències abans-després


En mecànica Newtoniana, el temps es considera absolut: flueix al mateix ritme per a tothom, i per tant la seqüència dels esdeveniments és la mateixa per a qualsevol observador. Dos rellotges sincronitzats en un cert instant seguiran sincronitzats per sempre més independentment de com es belluguin un respecte de l’altre. Es pot parlar, doncs, d’un únic rellotge universal.

De manera anàloga, es pot definir l’espai com la dimensió de l’univers que permet ordenar els objectes segons tres criteris: més endavant o més enrere, més a la dreta o a l’esquerra més amunt o avall (Figura I.3). Que siguin tres i no més o menys es relaciona amb la percepció humana d’aquesta dimensió (hi ha branques de la física que consideren fins a 11 dimensions espacials).

I-4-2-neut.png
Figura I.3 L’espai permet organitzar els objectes segons davant-darrere, dreta-esquerra, a sobre-a sota


El temps i l’espai constitueixen la referència (o el marc de referència), que és l’escenari on tenen lloc i des d’on s’observen els moviments dels objectes materials.

Considerem el cas d’un objecte sense dimensions (modelitzat com a partícula). Aquesta partícula es mou respecte d’una referència si en instants de temps diferents es troba en punts diferents de l’espai d’aquesta referència. Això pressuposa que els punts de l‘espai d’una referència són fixos entre ells (mantenen les distàncies relatives constants). Una bona representació de referència, doncs, és un núvol de punts que ni s’apropen ni s’allunyen.

El concepte referència (conjunt de punts fixos entre ells) és molt proper al de sòlid rígid (conjunt de punts fixos materials entre ells). Per aquest motiu, usualment s’associa un nom d’objecte material a cada referència: es parla de “referència vaixell”, “referència avió”... Però no es pot oblidar que l’espai i el temps no són realitats materials (o palpables). Per tant, cal substituir mentalment el vaixell o l’avió per un conjunt (infinit!) de punts que ni s’apropen ni s’allunyen dels contorns d’aquests elements: aquest núvol de punts és una representació genuïna de la referència. El conjunt de punts fixos a l’avió s’apropa o allunya, en general, del núvol de punts fix al vaixell: es tracta de dues referències diferents (tot i compartir el temps absolut de la mecànica Newtoniana, no comparteixen l’espai).

Una representació més compacta d’una referència consisteix en substituir el núvol de punts per un triedre representatiu de les tres dimensions espacials (Figura I.4). El rellotge es pot ometre perquè és el mateix per a totes les referències. L’espai, en canvi, no és únic.

I-4-3-cat.png
Figura I.4 Dues representacions del concepte referència


Tot i que la representació de l’espai mitjançant triedres sembla singularitzar un punt (la intersecció dels eixos del triedre), tots els punts d’una referència són equivalents. El concepte origen no li és aplicable: no existeix l’origen de la referència. Parlar d’origen és introduir un sistema de coordenades (cartesianes, polars, cilíndriques...) per definir la posició dels diversos punts de l’espai de la referència.

En alguns textos, referència i sistema de coordenades es consideren equivalents. En aquest curs, però, el concepte referència és més abstracte: no implica cap sistema de coordenades concret. Per a una mateixa referència (un mateix espai), es poden fer servir molts sistemes de coordenades diferents.

Una característica particular de l’espai en dinàmica Newtoniana és que la distància entre dos punts és un invariant (és la mateixa mesurada des de qualsevol referència). Per tant, la mida dels objectes (i la distància entre punts d'un sòlid rígid) és la mateixa en cada instant en totes les referències.


© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats




Càlcul vectorial >>>