C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textbf{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Is}{\textbf{I}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\CPvec}{\vec{\Cs\Ps}} \newcommand{\JCvec}{\vec{\Js\Cs}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}[2]{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} \newcommand{\omeg}[2]{\vec{\Omega}^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\cir}[2]{\Cs\Is\textbf{R}^{#1}_{#2}} \newcommand{\dth}{\dot{\theta}} \newcommand{\J}[1]{\mathbf{J}_{\text{#1}}} }[/math]

Es diu que un sòlid rígid té moviment pla quan tots els seus punts descriuen trajectòries planes. Les condicions perquè passi això són dues: la velocitat al llarg de l’EIRL ha de ser zero [math]\displaystyle{ \vvec_{\textrm{EI}}=0 }[/math] , i la velocitat angular ha de ser de direcció constant (i per tant [math]\displaystyle{ \Alfavec }[/math] és paral·lela a [math]\displaystyle{ \Omegavec }[/math] ja que només pot provenir d’un canvi de valor de [math]\displaystyle{ \Omegavec }[/math] ).

Aquesta unitat particularitza els resultats obtinguts per a la geometria de la distribució de velocitats en el moviment general del sòlid rígid a l’espai al cas del moviment pla.

C5.1 Centre Instantani de Rotació (CIR)

Quan un sòlid té moviment pla en una determinada referència, és suficient estudiar la distribució de velocitats en una secció perpendicular a la velocitat angular, doncs totes les altres seccions paral·leles presenten exactament la mateixa cinemàtica. De l’EIRL, es reté només el punt d’intersecció amb aquesta secció. És l’únic punt de velocitat nul·la, i s’anomena Centre Instantani de Rotació del sòlid a la referència en qüestió (també se l'anomena Pol de velocitats). En un moviment pla, la velocitat de qualsevol punt és només de rotació al voltant del CIR (Figura C5.1):

[math]\displaystyle{ \vel{P}{R} = \vel{I}{R}+\omeg{S}{R} \times \vecbf{IP} =\omeg{S}{R} \times \vecbf{IP} }[/math] ; [math]\displaystyle{ |\vel{P}{R}| = \Omega^{\textrm{S}}_{\textrm{R}} · |\overline{\textbf{IP}}| }[/math]

Figura C5.1 Moviment pla d’un sòlid rígid i Centre Instantani de Rotació

Conèixer el CIR pot ser de gran utilitat. Hi ha dues maneres de localitzar-lo:

Tenint en compte que la velocitat d’un punt és sempre ortogonal a la recta que l’uneix amb el CIR: si es coneix amb precisió la direcció de la velocitat de dos punts del sòlid (les velocitats dels quals no són paral·leles), la intersecció de les rectes ortogonals a aquestes velocitats és el CIR (Figura C5.2, esquerra).
Tenint en compte que la velocitat d’un punt és proporcional a la seva distància fins al CIR: si es coneix quantitativament (és a dir, en valor i direcció) la velocitat de dos punts del sòlid (les velocitats dels quals són paral·leles), el triangle de velocitats que defineixen aquestes velocitats té el CIR com a un dels seus vèrtex (Figura C5.2, dreta).

Figura C5.2 Dues maneres de determinar la posició del CIR

De vegades, el CIR és sempre el mateix punt del sòlid. En aquest cas, és un centre permanent de rotació, i coincideix emb el centre de curvatura de tots els punts del sòlid.

✏️ Exemple C5-1.1

La politja no llisca al damunt del cable inextensible. El seu CIR respecte al terra es pot determinar immediatament a partir d’aquesta condició d’enllaç.

Els dos trams de cable que no estan en contacte amb la politja es poden tractar com a sòlid rígids amb CIR en el punt on estan agafats del sostre (doncs tenen velocitat nul·la).

Tots els altres punts de cada tram no poden tenir velocitat en la direcció del cable (altrament no seria inextensible!), però sí que en poden tenir en la direcció perpendicular.

La condició de no lliscament entre cable i politja provoca que els punts de tangència de la politja amb el cable també tinguin velocitat perpendicular al cable. La intersecció de les dues direccions ortogonals a aquestes velocitats és el CIR de la politja.

✏️ Exemple C5-1.2

La barra [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math] manté contacte amb lliscament amb el terra, i està articulada a la barra [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] que, al seu temps, està articulada a dues rodes que es mouen per dos plans inclinats.

El CIR de la barra OJ respecte al terra es pot obtenir a partir de totes aquestes condicions d’enllaç.

La velocitat de [math]\displaystyle{ \Js }[/math] respecte del terra només pot ser horitzontal, i per tant el CIR de la barra [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math] ha d’estar a la vertical que passa per [math]\displaystyle{ \Js }[/math]. Per altra banda, els centres de les rodes només poden tenir velocitat paral·lela al terra inclinat. Ja que aquests centres són també punts de la barra [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math], el punt d’intersecció entre les direccions ortogonals als plans inclinats que passen pels centres és el CIR de la barra [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math].

A partir d’aquest CIR, es pot obtenir la direcció de la velocitat de [math]\displaystyle{ \Os }[/math] respecte al terra. La intersecció de la direcció ortogonal a la velocitat de [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i la vertical que passa per [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és el CIR de la barra [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math].

✏️ Exemple C5-1.3

La barra està articulada a l’element [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math], que al seu temps està articulada al terra, i té un enllaç prismàtic amb el suport, el qual no llisca respecte al terra. El CIR de la barra respecte del terra es pot determinar a partir d’aquestes condicions d’enllaç.

Els CIRs respecte al terra de l’element [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] i del suport són immediats ([math]\displaystyle{ \Os }[/math] i [math]\displaystyle{ \Js }[/math], respectivament). Del de la barra, es pot dir que es troba sobre la recta [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math], ja que és la direcció perpendicular a la velocitat que pot tenir [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].

Trobar la direcció de velocitat d’un altre punt de la barra no és tan immediat. L’altre enllaç que restringeix el seu moviment dóna informació sobre la direcció de velocitat dels punts de la barra respecte al suport: ha de ser en la direcció de la pròpia barra.

A partir d’aquesta informació, la velocitat respecte al terra dels punts de la barra es pot obtenir per composició de moviments. Si terra=AB i suport=REL, el moviment d’arrossegament és de rotació al voltant de [math]\displaystyle{ \Js }[/math].

Tot i que les direccions del moviment relatiu i del d’arrossegament són qualitativament exactes, la direcció de la seva suma (que seria la del moviment absolut) no està determinada en general unívocament en no tenir un coneixement quantitatiu de les dues velocitats. Ara bé, si es troba un punt de la barra on un dels dos vectors és nul o bé els vectors són paral·lels, la direcció de la velocitat absoluta quedarà definida amb precisió.

Ja que la direcció de la velocitat d’arrossegament canvia segons el punt de la barra que es consideri però la de la velocitat relativa no ho fa, ens podem desplaçar per la barra fins trobar un punt que compleixi la condició [math]\displaystyle{ \vec{\textbf{v}}_{REL}||\vec{\textbf{v}}_{ar} }[/math]. Per a aquest punt, [math]\displaystyle{ \vec{\textbf{v}}_{AB} }[/math] té la direcció de la barra. Si es traça la perpendicular a la barra que passa per aquest punt, la seva intersecció amb la direcció de l’element [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] és el CIR de la barra respecte al terra.

✏️ Exemple C5-1.4: transmissió epicicloidal

El portador té el punt mig articulat al terra, i els tres punts extrems articulats a tres rodetes idèntiques. En contacte amb aquestes tres rodetes, hi ha una roda central del mateix radi també articulada a terra. El conjunt es troba dins d’una corona.

Si no hi ha lliscament a cap dels contactes, i les velocitats angulars del portador i de la corona respecte al terra es coneixen (en aquest cas, tenen el mateix valor [math]\displaystyle{ \omega }[/math] però signe oposat), la velocitat angular de la roda central queda unívocament determinada.

Els CIRs respecte al terra del portador, de la corona i de la roda central coincideixen amb el punt central del mecanisme (que és fix a terra i per tant té velocitat nul·la). El coneixement dels CIRs i de les velocitats angulars del portador i de la corona permet calcular la velocitat del centre de les rodetes i del seu punt de contacte amb la corona.

Ja que les velocitats d’aquests dos punts (per a una mateixa roda) són de signe oposat, el CIR de cada rodeta s’ha de trobar entre els dos. El valor de les velocitats és proporcional a la distància dels punts al CIR. Per tant, el CIR es troba a (2/5)r del centre.

Una altra manera de veure quant val la velocitat del punt més alt de la roda és entendre que la distribució de velocitats en un sòlid rígid és lineal, i per tant, el canvi de la velocitat entre el punt més baix i el punt central ([math]\displaystyle{ \textrm{5r}\omega }[/math]) ha de ser el mateix que el canvi entre la velocitat del punt central i el punt més alt. Això és perquè hi ha la mateixa distància entre el punt més baix i el centre que entre el centre i el punt més alt.

A partir d’aquí, la velocitat del punt de les rodetes que està en contacte amb la roda central és immediata, i la velocitat angular d’aquesta roda també.

Video C5.1 Aplicació d'una transmissió epicicloidal: canvi de marxes de les bicicletes nòrdiques

✏️ Exemple C5-1.5

Les politges no llisquen al damunt del cable inextensible. Les dues superiors estan articulades al sostre.

A partir de la velocitat del centre de les dues politges inferiors i de les condicions d’enllaç que actuen en el sistema, és possible determinar la velocitat del bloc.

Tal com s’ha fet a l’exemple C5-1.1, els trams de cable que no estan en contacte amb les politges es poden tractar com a sòlids rígids. En no haver-hi moviment pendular, tots els punts del tram de l’esquerra han de tenir velocitat nul·la respecte al terra (ja que el punt de dalt està lligat al sostre).

La condició de contacte sense lliscament amb la primera politja (la de l’esquerra) permet identificar immediatament el CIR d’aquesta, i amb això calcular la velocitat del punt diametralment oposat, que haurà de ser doble de la del centre perquè es troba dues vegades més lluny del CIR.

Aquesta velocitat [math]\displaystyle{ \downarrow 2\vs }[/math] es transmet a tots els punts del segon tram de la corda. Ja que el CIR de la següent politja és el punt central, el punt extrem de la dreta del seu diàmetre horitzontal tindrà una velocitat [math]\displaystyle{ \uparrow 2\vs }[/math], que es transmetrà fins a la següent politja a través del següent tram de cable.

Ja que el punt de l’esquerra del diàmetre horitzontal de la tercera politja puja amb [math]\displaystyle{ \uparrow 2\vs }[/math] però el seu centre baixa amb [math]\displaystyle{ \downarrow 2\vs }[/math], el CIR d’aquesta politja estarà en el punt mig entre aquests dos punts. A partir d’aquí, és fàcil deduir que el bloc pujarà amb celeritat [math]\displaystyle{ 6\vs }[/math].

✏️ Exemple C5-1.6

El politja fixa a terra i la politja mòbil estan connectades a través d’un braç que està articulat als seus centres, i una corretja inextensible que te els extrems lligats a la politja fixa i no llisca sobre la politja mòbil. Els CIR del braç respecte al terra és el centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] de la politja fixa. El CIR de la politja mòbil, en canvi, no és immediat, però es pot determinar a partir de les condicions d’enllaç.

Si se suposa que la velocitat angular del braç respecte del terra és antihorària de valor [math]\displaystyle{ \omega }[/math] , es pot calcular la velocitat del centre de la politja mòbil, però això és insuficient per localitzar el seu CIR respecte al terra.

Si el mecanisme s’estudia des de la referència del braç (=REL), el CIR de tots els elements és immediat. Ja que el braç gira respecte del terra en sentit antihorari, la politja fixa girarà respecte del braç en sentit horari però amb el mateix valor de velocitat angular. Invocant novament la transmissió de velocitat a través de la corretja (com a l’exemple C5-1.5), s’obté la velocitat angular de la politja mòbil respecte al braç.

Ara es pot analitzar la cinemàtica de la politja mòbil respecte al terra fent una composició de moviments:

[math]\displaystyle{ \velang{politja}{AB}=\velang{politja}{REL}+\velang{politja$\in$ REL}{AB}=\otimes\; 2\omega+\odot\;\omega=\otimes\;\omega }[/math]

A partir d’aquesta velocitat angular i de la velocitat del centre de la politja, es determina immediatament el seu CIR respecte al terra. El resultat és independent de la velocitat que hem suposat per al braç.

✏️ Exemple C5-1.7

La roda es mou sense lliscar sobre un suport semicilíndric fix a terra. La geometria de la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte al terra i, en particular, el seu radi de curvatura, està totalment determinada per les restriccions cinemàtiques que imposa aquest enllaç:

[math]\displaystyle{ \re{P}{T}=\frac{\vs^2_T(\textbf{P})}{|\accn{P}{T}|} }[/math]

Suposem que la velocitat angular de la roda respecte al terra és horària de valor [math]\displaystyle{ \omega }[/math]. Ja que [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és el CIR, es pot calcular immediatament la velocitat instantània de [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] i de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].

Per altra banda, [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] sempre s’ha de trobar a distància r del terra (altrament la roda no estaria en contacte amb el terra o bé s’encastaria dins del terra). Per tant, la seva trajectòria és circular de radi 3r i centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i les components intrínseques de [math]\displaystyle{ \acc{C}{T} }[/math] són immediates.

L’acceleració de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es pot obtenir a partir de l’equació de distribució d’acceleracions del sòlid rígid:

[math]\displaystyle{ \acc{P}{T}=\acc{C}{T}+\velang{roda}{T}\times\left(\velang{roda}{T}\times\CPvec\right)+\accang{roda}{T}\times\CPvec=(\rightarrow r\dot\omega)+\left(\downarrow\frac{1}{3}r\omega^2\right)+(\otimes\;\omega)\times[(\otimes\;\omega)\times(\uparrow r)]+(\otimes\;\dot\omega)\times(\uparrow r) }[/math]

La component normal és:

[math]\displaystyle{ \accn{P}{T}=\left(\downarrow\frac{1}{3}r\omega^2\right)+(\otimes\;\omega)\times[(\otimes\;\omega)\times(\uparrow r)]=\left(\downarrow\frac{1}{3}r\omega^2\right)+(\otimes\;\omega)\times(\rightarrow r\omega)=\left(\frac{4}{3}r\omega^2\right) }[/math]

i el radi de curvatura resulta [math]\displaystyle{ \re{P}{R}=\frac{\vs^2_T(\textbf{P})}{|\accn{P}{T}|}\frac{(2r\omega)^2}{(4/3)r\omega^2}=3r }[/math]. El centre de curvatura es troba a distància 3r de P en sentit descendent (que és el que indica la direcció de l’acceleració normal del punt).

Precisions sobre rodes amb moviment pla

Una roda amb moviment pla que es mou mantenint contacte puntual amb una superfície és un element freqüent en els sistemes mecànics. Quan es tracta d’analitzar el moviment del punt [math]\displaystyle{ \Js }[/math] de contacte, cal ser molt precís: en cada instant, hi ha tres punts que ocupen la mateixa posició però que tenen cinemàtiques molt diferents: el punt de la roda que toca la superfície [math]\displaystyle{ (\J{roda}) }[/math], el punt de la superfície que toca la roda [math]\displaystyle{ (\J{sup}) }[/math] i el punt geomètric de contacte [math]\displaystyle{ (\J{geom}) }[/math]. Aquest últim no pertany ni a la roda ni a la superfície.

✏️ Exemple C5-1.8

La roda gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] respecte del terra cilíndric, amb qui manté contacte sense lliscar en tot instant. El punt geomètric de contacte [math]\displaystyle{ (\J{geom}) }[/math] és el punt que està situat entre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i [math]\displaystyle{ \Cs }[/math], i mostra on es produeix el contacte. Es pot veure com a punt d’una barra que estigués articulada a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i [math]\displaystyle{ \Cs }[/math]. És evident que [math]\displaystyle{ \Cs\Is\Rs^{\text{barra}}_\Ts = \Os }[/math]. Ja que [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] és un punt comú a la barra i a la roda:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \vel{C}{T} = \velang{roda}{T}\times\JCvec = (\otimes\omega_0)\times(\uparrow\rs) = (\rightarrow\rs\omega_0)\\ \vel{C}{T} = \velang{barra}{T}\times\OCvec = (\otimes\Omega)\times(\uparrow 3\rs) = (\rightarrow 3\rs\Omega) \end{aligned}\right\} \Rightarrow\Omega = \frac{\omega_0}{3} }[/math]

L’acceleració de [math]\displaystyle{ (\J{geom}) }[/math] és immediata: la seva trajectòria respecte del terra és circular amb centre a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Per tant, li correspon una component normal d’acceleració dirigida cap a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i de valor [math]\displaystyle{ (3/2)\rs\omega_0^2 }[/math].

Per tant:

[math]\displaystyle{ \vel{$\J{T}$}{T} = \vec{0}, \:\:\:\:\:\:\:\:\: \acc{$\J{T}$}{T} = \vec{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{$\J{roda}$}{T} = (\rightarrow\rs\omega_0),\:\:\:\:\:\:\:\:\: \acc{$\J{roda}$}{T} = [\downarrow(1/3)\rs\omega_0] }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{$\J{geom}$}{T} = [\rightarrow(2/3)\rs\omega_0],\:\:\:\:\:\:\:\:\: \acc{$\J{geom}$}{T} = [\downarrow(2/9)\rs\omega_0] }[/math]

Video C5.2 Translació: la roda de l'extrem es trasllada

Video C5.3 Mecanismes equivalents

Animació interactiva C5.1 Cinemàtica plana d'una bicicleta: trajectòria del centre del pedal

Animació interactiva C5.2 Corró que rodola dins d'una cavitat cilíndrica: trajectòria d'un punt de la perifèria

C5.2 Introducció a la cinemàtica de vehicles

Un exemple interessant de moviment pla es troba quan un vehicle sense suspensions es mou sobre un terreny horitzontal (Figura C5.3): el xassís té moviment pla ([math]\displaystyle{ \velang{xassís}{T}=\vec{\dot\psi} }[/math], i [math]\displaystyle{ \vs_{\textrm{EI}}=0 }[/math] perquè manté la seva distància a terra constant) tot i que les rodes tenen moviment a l’espai (doncs la seva rotació respecte del terra és la superposició de dues rotacions d’Euler).

Figura C5.3 Moviment d’un vehicle sense suspensions sobre un terra horitzontal.
El xassís té moviment pla, però les rodes tenen moviment a l’espai

Per al cas de les rodes posteriors, la velocitat angular es composa de la precessió [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi} }[/math] del xassís i de la rotació pròpia [math]\displaystyle{ \vec{\dot\varphi} }[/math]: [math]\displaystyle{ \velang{ant.esq./dreta}{T}=\vec{\dot\psi}+\vec{\dot\varphi}^{\textrm{ant.esq./dreta}} }[/math]. En el cas de les rodes davanteres, cal afegir la rotació associada a la direcció: [math]\displaystyle{ \velang{davant esq./dreta}{T}=\vec{\dot\psi}+\vec{\dot\varphi}^{\textrm{davant esq./dreta}}+\vec{\dot\delta}^{\textrm{esq./dreta}} }[/math]. En qualsevol cas, la velocitat angular de qualsevol roda respecte al terra té una component vertical (amb la precessió [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi} }[/math] comuna a totes elles) i una en la direcció del seu eix (diferent per a cada roda). Si les rodes no llisquen sobre el terra, la velocitat del punt J de contacte és instantàniament nul·la, i la velocitat del centre té la direcció del diàmetre horitzontal (exemple C4-1.2). Recordar això permet fer anàlisis ràpides de la cinemàtica de vehicles (sempre que s’assumeixin les hipòtesi simplificadores esmentades abans).

✏️ Exemple C5-2.1

Les rodes del tricicle no llisquen sobre el terra. En un cert instant, l’angle de direcció de la roda davantera és de , i la velocitat del seu centre és [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math]. A partir d’aquestes dades i del que s’ha comentat sobre la direcció de la velocitat del centre de rodes que no llisquen respecte del terra, es pot determinar la posició del CIR del xassís respecte al terra, i el valor i sentit de la precessió [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi} }[/math].

La velocitat del centre de la roda posterior esquerra s’obté com a rotació al voltant d’aquest CIR (ja que el centre de la roda és un punt que pertany tant a la roda com al xassís). Com que el resultat ha de ser igual a [math]\displaystyle{ r\dot\varphi }[/math], la rotació pròpia de la roda és immediata: [math]\displaystyle{ \dot\varphi=\frac{\vs_0}{\sqrt{2L}}\frac{L-s}{r} }[/math].

✏️ Exemple C5-2.2

El vehicle de xassís articulat no té cap roda directriu, els dos xassissos [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math] són idèntics i les quatre rodes també. La rotació de les dues rodes del [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math] determina el moviment del vehicle i, per tant, la rotació de les rodes del [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math].

Si les rodes del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math] giren amb el mateix valor de spin ([math]\displaystyle{ \dot\varphi=\omega }[/math]), tots els punts de l’eix posterior tenen la mateixa velocitat [math]\displaystyle{ (r\omega) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math] es trasllada (no gira). Per tant, la velocitat del punt d’articulació [math]\displaystyle{ \Os }[/math] entre els dos xassissos també és [math]\displaystyle{ r\omega }[/math] i té la direcció longitudinal del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math].

La velocitat del centre de la roda dreta del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math] és proporcional a la seva rotació pròpia a través del radi: [math]\displaystyle{ r\omega' }[/math]. Per altra banda, la propietat d’equiprojectivitat permet obtenir la velocitat del punt mig de l’eix (punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]): [math]\displaystyle{ r\omega'/\sqrt{2} }[/math].

El CIR del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math] és la intersecció de la direcció perpendicular a la velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i de l’eix de les rodes d’aquest xassís. A partir de la velocitat de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i del CIR, es pot determinar la velocitat angular de [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math] respecte al terra.

Finalment, igualant la velocitat [math]\displaystyle{ r\omega' }[/math] a la que s’obté quan es calcula com a rotació al voltant del CIR del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math], s’obté la rotació pròpia [math]\displaystyle{ \omega' }[/math]: [math]\displaystyle{ \omega'=\frac{\omega}{2\sqrt{2}} }[/math].

Una anàlisi molt completa de la cinemàtica de molts tipus de vehicles terrestres (sempre sota les hipòtesis simplificadores exposades al començament d’aquesta secció) es pot trobar a [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 3, Appendix 3B a Rigid body kinematics. Cambridge University Press].

C5.E Exercicis resolts

🔎 Exercici C5-E.1: roda dins cavitat cilíndrica

Les dues rodes de radis R i 2R són solidàries, i giren dins d’una pista cilíndrica horitzontal, de radi 3R i fixa a terra, sense lliscar en el punt de contacte. Determina el CIR de la biela respecte del terra.

1. Determina la velocitat angular de les rodes respecte del terra

L’angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] de la figura orienta la recta que passa pel centre de la pista (punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] fix a terra) i pel centre [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] de les rodes, i per tant [math]\displaystyle{ \velang{$\Os_\Ts\Cs$}{T} = \vec{\dot{\theta}} = \odot\dth }[/math]. Aquesta velocitat angular no és la de les rodes! El punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] de les rodes ocupa la posició central de la pista només instantàniament, doncs al cap d’una estona passa a ser el punt de contacte amb la paret cilíndrica, que és el CIR d’aquest element respecte del terra.

Ja que [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] és un punt comú a la recta [math]\displaystyle{ \vec{\Os_\Ts\Cs} }[/math] i a les rodes, la seva velocitat es pot calcular a partir del CIR de la recta i a partir del CIR de les rodes:

[math]\displaystyle{ \cir{\Os_\Ts\Cs}{T} = \Os_\Ts }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{C}{T} = \velang{$\Os_\Ts\Cs$}{T}\times\vec{\Os_\Ts\Cs} = (\odot\dth)\times(\nearrow 2\Rs)^* = (\nwarrow 2\Rs\dth)^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \cir{\Os_\Ts\Cs}{\Ts} = \Js }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{C}{T} = \velang{rodes}{T}\times\vec{\Js\Cs} = \velang{rodes}{T}\times(\swarrow\Rs)^* = (\nwarrow 2\Rs\dth)^*\Rightarrow\velang{rodes}{T} = (\otimes 2\dth) }[/math]

NOTA*: tot i que els dibuixos [math]\displaystyle{ \nearrow }[/math], [math]\displaystyle{ \nwarrow }[/math] i [math]\displaystyle{ \searrow }[/math] semblen indicar que els vectors formen un angle de 45° amb la línia horitzontal negre de la figura (origen de l’angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math]), s’ha d’interpretar només de manera qualitativa. A la resta de la resolució, l’asterisc indica que la direcció del vector és qualitativa.

2. Determina el radi de curvatura del punt P respecte del terra

El radi de curvatura es calcula a partir de la velocitat i de l’acceleració normal:

[math]\displaystyle{ \mathfrak{\textrm{R}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\frac{\mathbf{v}_{\mathrm{T}}^2(\mathbf{P})}{\left|\mathrm{a}_{\mathrm{T}}^n(\mathbf{P})\right|}=\frac{\left(\bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times \overline{\mathbf{J P}}\right)^2}{\left|\mathrm{a}_{\mathrm{T}}^n(\mathbf{P})\right|}=\frac{(2 \mathrm{\textrm{R}} \dot{\theta})^2}{\left|\mathrm{a}_{\mathrm{T}}^n(\mathbf{P})\right|} }[/math]

L'acceleració es pot obtenir per CSR a partir de l'acceleració de C, que descriu una trajectòria circular al voltant del punt $\mathbf{O}$ del terra $\left(\mathbf{O}_{\mathrm{T}}\right)$, de radi $2 \mathrm{\textrm{R}}$ i velocitat angular associada $\overline{\dot{\theta}}$ :

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{C})=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{O}_\mathrm{T})+\overline{\boldsymbol{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}}_{\mathrm{T}}^{\mathbf{O}_{\mathrm{T}}\mathrm{C}} \times\left[\overline{\boldsymbol{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}}_{\mathrm{T}}^{\mathbf{O}_{\mathrm{T}}\mathrm{C}} \times\left(\nearrow 2\textrm{R}\right)^*\right]+\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{T}}^{\mathbf{O}_{\mathrm{T}}\mathrm{C}}\times\left(\nearrow 2\textrm{R}\right)^*=(\odot \dot{\theta}) \times\left[(\odot \dot{\theta}) \times\left(\nearrow 2\textrm{R}\right)^*\right]+(\odot \ddot{\theta}) \times\left(\nearrow 2\textrm{R}\right)^* =(\nwarrow 2 \textrm{R} \ddot{\theta})^*+\left(\swarrow 2 \textrm{R} \dot{\theta}^2\right)^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{C})+\overline{\boldsymbol{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times\left(\bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times \overline{\mathbf{C P}}\right)+\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times \overline{\mathbf{C P}}= (\nwarrow 2 \textrm{R} \ddot{\theta})^*+\left(\swarrow 2 \textrm{R} \dot{\theta}^2\right)^*+(\otimes 2 \dot{\theta}) \times\left[(\otimes 2 \dot{\theta}) \times(\swarrow \textrm{R})^*\right]+(\otimes 2 \ddot{\theta}) \times(\swarrow \textrm{R})^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}(\mathbf{P})=\left(\swarrow 2 \mathrm{\textrm{R}} \dot{\theta}^2\right)^*+(\otimes 2 \dot{\theta}) \times\left[(\otimes 2 \dot{\theta}) \times(\swarrow \mathrm{\textrm{R}})^*\right] =\left(\swarrow 2 \textrm{R} \dot{\theta}^2\right)^*+(\otimes 2 \dot{\theta}) \times(\searrow 2 \textrm{R} \dot{\theta})^*=\left(\swarrow 6 \textrm{R} \dot{\theta}^2\right)^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \Re_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\frac{(2 \mathrm{\textrm{R}} \dot{\theta})^2}{6 \mathrm{\textrm{R}} \dot{\theta}^2}=\frac{2}{3} \mathrm{\textrm{R}} }[/math]

3. Determina el radi de curvatura del punt O de la roda respecte del terra

El procediment és exactament el mateix que a l'apartat anterior:

[math]\displaystyle{ \mathfrak{R}_{\mathrm{T}}\left(\mathbf{O}_{\text {roda }}\right)=\frac{\mathbf{v}_{\mathrm{T}}^2\left(\mathbf{O}_{\text {roda }}\right)}{\left|\mathrm{a}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}\left(\mathbf{O}_{\text {roda }}\right)\right|}=\frac{\left(\overline{\boldsymbol{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {rorodades }} \times \overline{\mathbf{J} \mathbf{O}_{\text {roda }}}\right)^2}{\left|\mathrm{a}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}\left(\mathbf{O}_{\text {roda }}\right)\right|}=\frac{(3 \mathrm{R} \dot{\theta})^2}{\left|\mathrm{a}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}\left(\mathbf{O}_{\text {roda }}\right)\right|} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}\left(\mathbf{O}_{\text {roda }}\right)=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{C})+\bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times\left(\bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times \overline{\mathbf{C O}}\right)+\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times \overline{\mathbf{C O}} =(\nwarrow 2 \mathrm{R} \ddot{\theta})^*+\left(\swarrow 2 \mathrm{R} \dot{\theta}^2\right)^*+(\otimes 2 \dot{\theta}) \times\left[(\otimes 2 \dot{\theta}) \times(\swarrow 2 \mathrm{R})^*\right]+(\otimes 2 \ddot{\theta}) \times(\swarrow 2 \mathrm{R})^* \\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}\left(\mathbf{O}_{\text {roda }}\right)=\left(\swarrow 2 \mathrm{R} \dot{\theta}^2\right)^*+(\otimes 2 \dot{\theta}) \times\left[(\otimes 2 \dot{\theta}) \times(\swarrow 2 \mathrm{R})^*\right] =\left(\swarrow 2 \mathrm{R} \dot{\theta}^2\right)^*+(\otimes 2 \dot{\theta}) \times(\nwarrow 4 \mathrm{R} \dot{\theta})^*=\left(\swarrow 10 \mathrm{R} \dot{\theta}^2\right)^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathfrak{R}_{\mathrm{T}}\left(\mathbf{O}_{\text {roda }}\right)=\frac{(3 \mathrm{R} \dot{\theta})^2}{10 \mathrm{R} \dot{\theta}^2}=\frac{9}{10} \mathrm{R} }[/math]

🔎 Exercici C5-E.2: canvi de marxes

Les tres rodes de radi r estan articulades a un braç, amb centre articulat a R, que gira amb velocitat angular respecte de R. La roda central és fixa a R. No hi ha lliscament als punts de contacte entre les rodes i entre rodes i corona externa.

1. Determina els CIRs de tots els elements respecte de R.

El CIR del braç respecte del terra és el punt mig del braç ja que està articulat al terra. Per motius geomètrics, la corona també té el CIR en aquest punt. En els dos casos es tracta de centres de rotació permanents.

Les dues rodetes interiors tenen un punt de contacte sense lliscament amb la rodeta central, que és fixa a terra. Per tant, instantàniament aquests punts tenen velocitat nul·la respecte del terra i són els CIRs de les rodetes.

2. Determina les velocitats angulars de les rodes i la corona respecte de R.

A partir de la velocitat angular del braç respecte del terra i del seu CIR es poden torbar les velocitats dels centres d eles rodetes. Per altra banda, aquestes velocitats han de correspondre a velocitats de rotació al voltant del CIR de les rodetes. Per tant:

[math]\displaystyle{ 2 \mathrm{r} \mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {braç }}=\mathrm{r} \mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {rodeta }} \Rightarrow \mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {rodeta }}=2 \mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {braç }}=2 \mathbf{\mathbf{\Omega}} . }[/math]

A partir de $\mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {rodeta }}$ es pt calcular la velocitat del punt de contlacte entre rodeta i corona. Novament, aquesta velocitat ha de correspondre a rotació al voltant del CIR de la corona. Per tant:

[math]\displaystyle{ 2 \mathrm{r} \mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {rodeta }}=3 \mathrm{r} \mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {corona }} \Rightarrow \mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {corona }}=\frac{2}{3} \mathbf{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {rodeta }}=\frac{4}{3} \mathbf{\mathbf{\Omega}} . }[/math]

🔎 Exercici C5-E.3: rodes amb biela

Les dues rodes tenen el mateix radi, i estan connectades a través duna biela articulada a dos punts de la perifèria.

1. Determina el CIR de la biela respecte del terra.

A partir dels CIRs de les dues rodes, que es troben en el punt de contacte amb el terra, es pot trobar la direcció de la velocitat de dos punts de la biela. La intersecció de les dues línies perpendiculars a aquestes velocitats dóna el CIR de la biela.

2. Determina les velocitats angulars dels tres elements respecte del terra.

La velocitat angular de cada element es pot determinar a partir del valor de velocitat d’un punt de l’element i la seva distància al CIR corresponent

🔎 Exercici C5-E.4: vehicle amb roda superior

El vehicle es composa d’un xassís en forma de T invertida) i tres rodes idèntiques que hi estan articulades. Les dues inferiors tenen contactes puntuals sense lliscament amb el terra amb la roda superior. El xassís té un moviment de translació respecte del terra amb velocitat v cap a l’esquerra.

1. Determina els CIRs i velocitats angulars de les rodes respecte del terra

Les rodes inferiors fan exactament el mateix moviment. Els seus centres tenen velocitat v, i el CIR és el punt de contacte amb el terra. Per tant, la seva velocitat angular és en sentit antihorari.

La de la roda superior no és tan immediata perquè no se’n coneix el CIR respecte del terra. Però invocant el contacte sense lliscament entre rodes, es pot determinar geomètricament: el CIR ha d’estar situar a la intersecció de les línies perpendiculars a les direccions de velocitat d’aquests punts. Per tant, [math]\displaystyle{ \textrm{CIR}^{\mathrm{roda sup}}_{\mathrm{T}} = \mathbf{P} }[/math].

Una alternativa per determinar el CIR de la roda superior és analitzar la cinemàtica del vehicle des del xassís. En aquesta referència, els CIRs de les rodes són els seus centres. Ja que el xassís es trasllada respecte del terra, la velocitat angular de qualsevol roda respecte del xassís és la mateixa que respecte del terra:

La descripció de la cinemàtica de la roda superior respecte del terra s’obté a partir d’una composició de moviments:

$\left.\begin{array}{l}\text { AB: terra } \\ \text { REL : xassís }\end{array}\right\} \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{AB}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{REL}}(\mathbf{P})+\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{P})=(\rightarrow \mathrm{v})+(\leftarrow \mathrm{v})=\overline{0} \Rightarrow \mathbf{P}=\mathrm{ClR}_{\mathrm{T}}^{\text {roda sup }}$

2. Determina l'acceleració del punt $\mathbf{P}$ respecte del terra

L'acceleració del punt [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] respecte del terra es pot obtenir a partir de la del centre de la roda superior ([math]\displaystyle{ \mathbf{C} }[/math]) aplicant l'equació d'acceleracions del sòlid rígid (CSR) a aquesta roda:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} & \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{C})+\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda sup }} \times\left(\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda sup }} \times \overline{\mathbf{C P}}\right)+\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda sup }} \times \overline{\mathbf{C P}}=(\leftarrow \dot{\mathrm{v}})+\left(\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}}\right) \times\left[\left(\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}}\right) \times(\uparrow \mathrm{R})\right]+\left(\otimes \frac{\dot{\mathrm{v}}}{\mathrm{R}}\right) \times(\uparrow \mathrm{R})= \\ & =(\leftarrow \dot{\mathrm{v}})+\left(\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}}\right) \times(\rightarrow \mathrm{v})+(\rightarrow \dot{\mathrm{v}})=\left(\downarrow \frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{R}}\right) \end{aligned} }[/math]

🔎 Exercici C5-E.5: vehicle amb rodes desiguals

El vehicle es composa d’un xassís i tres rodes que hi estan articulades. Les rodes de radis R i [math]\displaystyle{ \rs_2 }[/math] tenen contactes puntuals sense lliscament amb el terra, i la de radi [math]\displaystyle{ \rs_1 }[/math] manté contacte sense lliscament amb la de radi R. El xassís té un moviment de translació respecte del terra amb velocitat v cap a la dreta.

1. Determina el CIR i velocitat angular de la roda 1 respecte del terra

El CIR respecte del terra de les rodes de radis $R$ i $r_2$ és el punt de contacte amb el terra. Com que els seus centres tenen velocitat v cap a la dreta, les velocitats angulars són horàries: $\bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda } 2}=\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}_2}, \bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {rodaR }}=\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}}$. Aquestes velocitats angulars coincideixen amb les que tenen respecte del xassís, ja que aquest no gira respecte del terra.

L'anàlisi cinemàtica que la roda petita respecte del xassís és immediata, i una composició de moviments permet obtenir-la respecte del terra.

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}(\mathrm{CIR} \equiv \mathrm{I})=\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{C})+\bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda1 }} \times \overline{\mathrm{CI}}, \:\:\:\:\:\: \overline{0}=(\rightarrow \mathrm{v})+\left(\odot \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}_1}\right) \times(\uparrow \mathrm{d}) \Rightarrow \mathrm{d}=\mathrm{r}_1 }[/math]

El CIR coincideix amb el punt que està a la posició més alta.

2. Determina el centre de curvatura de la trajectòria de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] de la roda 2 respecte del terra

El centre de curvatura es troba a partir del radi de curvatura: $\mathfrak{R}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{T}}^2(\mathbf{P})}{\left|a_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}(\mathbf{P})\right|}$.

La velocitat del punt $\mathbf{P}$ resplecte del terra es pot obtenir a partir del CIR de la roda $2(\equiv \mathrm{I})$ :

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda2 }} \times \overline{\mathbf{I} \mathbf{P}}=\left(\otimes \frac{\mathbf{v}}{\mathrm{r}_2}\right) \times\left[\uparrow\left(\mathrm{r}_2-\mathrm{r}_1\right)\right]=\left[\rightarrow \frac{\mathbf{v}}{\mathrm{r}_2}\left(\mathrm{r}_2-\mathrm{r}_1\right)\right] }[/math]

L'acceleració del punt [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] respecte del terra es pot obtenir a partir de la del centre de la roda 2 ([math]\displaystyle{ \mathbf{C} }[/math]):

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} & \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{C})+\bar{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{roda} 2} \times\left(\overline{\boldsymbol{\mathbf{\mathbf{\Omega}}}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{roda} 2} \times \overline{\mathbf{C P}}\right)+\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{roda} 2} \times \overline{\mathbf{C P}}=(\rightarrow \dot{\mathrm{v}})+\left(\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}_2}\right) \times\left[\left(\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}_2}\right) \times\left(\downarrow \mathrm{r}_2\right)\right]+\left(\otimes \frac{\dot{\mathrm{v}}}{\mathrm{r}_2}\right) \times\left(\downarrow \mathrm{r}_2\right)=\\ &=(\rightarrow \dot{\mathrm{v}})+\left(\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}_2}\right) \times(\leftarrow \mathrm{v})+(\leftarrow \dot{\mathrm{v}}) \\ & \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}(\mathbf{P})=\left(\uparrow \frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{r}_2}\right), \:\:\:\:\:\:\: \Re_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\frac{\mathrm{v}^2 \mathrm{r}_2^2 /\left(\mathrm{r}_2-\mathrm{r}_1\right)^2}{\mathbf{v}^2 / \mathrm{r}_2}=\frac{\mathrm{r}_2}{\left(\mathrm{r}_2-\mathrm{r}_1\right)^2} \end{aligned} }[/math]

El centre de curvatura de la trajectòria de $\mathbf{P}$ es troba per sobre de $\mathbf{P}$ (doncs l'acceleració normal apunta cap amunt) a distància superior a $\mathrm{r}_2$, i per tant per sobre del centre de la roda.

🔎 Exercici C5-E.6: bicicleta

La bicicleta es mou sense lliscar al damunt d’un terra pla. Plat i pinyó són de radis diferents, r i R respectivament, i els pedals són de llargària L.

1. Determina el CIR i la velocitat angular dels pedals respecte del terra

El CIR respecte del terra de les rodes és el punt de contacte amb el terra. El pinyó és solidari a la roda posterior, i per tant el seu CIR coincideix amb el de la roda. Si la bicicleta avança amb celeritat $v$ respecte del terra, la velocitat angular d'aquests elements és immediata:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} & \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}\left(\mathbf{C}_{\text {roda }}\right)=(\rightarrow \mathrm{v})=\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times \overline{\mathbf{CIR}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \mathbf{C}_{\text {roda }}}=\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }} \times\left(\uparrow \mathrm{R}_{\text {roda }}\right) \\ & \bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {roda }}=\left(\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}_{\text {roda }}}\right) \end{aligned} }[/math]

Aquesta velocitat angular és la mateixa que la que té la roda respecte del quadre de la bicicleta, donç el quadre només es trasllada respecte del terra:

$\left.\begin{array}{l}\text { AB: } \mathrm{T} \\ \text { REL : quadre }\end{array}\right\} \bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{AB}}^{\text {roda }}=\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{REL}}^{\text {roda }}+\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{ar}}=\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{REL}}^{\text {roda }}+\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{AB}}^{\text {roda}\in\text{REL}}=\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{AB}}^{\text {roda }}+\overline{0}=\left(\otimes \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}_{\text {roda }}}\right)$.

El CIR dels pedals respecte del terra no és immediat, però sí que ho és si s'analitza el moviment des del quadre: és el seu centre (coincideix amb el del plat). A partir d'aquesta informació, es pot determinar la velocitat angular dels pedals respecte del quadre si es té en compte que la rotació del plat (que és la dels pedals) es transmet a la roda posterior mitjançant una cadena inextensible:

[math]\displaystyle{ \textrm{r} \mathbf{\Omega}_{\text {quadre }}^{\text {pinyó }}=\textrm{r} \frac{\textrm{v}}{\textrm{R}_{\text {roda }}}=\textrm{R} \mathbf{\Omega}_{\text {quadre }}^{\text {plat }} \Rightarrow \mathbf{\Omega}_{\text {quadre }}^{\text {plat }}=\mathbf{\Omega}_{\text {quadre }}^{\text {pedals }}=\frac{\textrm{r}}{\textrm{R}} \frac{\textrm{v}}{\textrm{R}_{\text {roda }}} }[/math]

El CIR dels pedals respecte del terra es pot trobar a partir de l'equació de velocitats del pedal:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} & \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{CIR}_{\mathrm{T}}^{\text {pedals }} \equiv \mathrm{I}\right)=\overline{0}=\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}(\mathrm{C})+\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {pedals }} \times \overline{\mathrm{CI}}=(\rightarrow \mathrm{v})+\left(\otimes \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}} \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}_{\text {roda }}}\right) \times(\downarrow \mathrm{d}) \\ & \overline{0}=(\rightarrow \mathrm{v})+\left(\leftarrow \mathrm{d} \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}} \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}_{\text {roda }}}\right) \Rightarrow \mathrm{d}=\mathrm{R}_{\text {roda }} \frac{\mathrm{R}}{\mathrm{r}} \\ & \end{aligned} }[/math]

Per a $\mathrm{R}>\mathrm{r}$, el CIR dels pedals respecte del terra està per sota del nivell del terra.

2. Determina el centre de curvatura de la trajectòria del punt $\mathbf{P}$ dels pedals respecte del terra

El centre de curvatura es troba a partir del radi de curvatura: $\mathfrak{R}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{T}}^2(\mathbf{P})}{\left|\mathrm{a}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}(\mathbf{P})\right|}$.

La velocitat i l'acceleració del punt $\mathbf{P}$ respecte del terra es poden obtenir a partir de les del centre dels pedals ([math]\displaystyle{ \textbf{C} }[/math]):

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{C})+\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {pedals }} \times \overline{\mathrm{IP}}=(\rightarrow \mathrm{v})+\left(\otimes \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}} \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}_{\text {roda }}}\right) \times(\downarrow \mathrm{L})=(\rightarrow \mathrm{v})+\left(\leftarrow \mathrm{L} \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}} \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}_{\text {roda }}}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{C})+\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {pedals }} \times\left(\bar{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {pedals }} \times \overline{\mathbf{C P}}\right)+\bar{\mathbf{\alpha}}_{\mathrm{T}}^{\text {pedals }} \times \overline{\mathbf{C P}}= (\rightarrow \dot{\textrm{v}})+\left(\otimes \frac{\textrm{r}}{\textrm{R}} \frac{\textrm{v}}{\textrm{R}_{\text{roda}}}\right) \times\left[\left(\otimes \frac{\textrm{r}}{\textrm{R}} \frac{\mathrm{v}}{\textrm{R}_{\text {roda }}}\right) \times(\downarrow \textrm{L})\right]+\left(\otimes \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}} \frac{\dot{\textrm{v}}}{\textrm{R}_{\text {roda }}}\right) \times(\downarrow \textrm{L}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{n}}(\mathbf{P})=\left(\otimes \frac{\textrm{r}}{\textrm{R}} \frac{\textrm{v}}{\textrm{R}_{\text {roda }}}\right) \times\left(\leftarrow \textrm{L} \frac{\textrm{r}}{\textrm{R}} \frac{\textrm{v}}{\textrm{R}_{\text {roda }}}\right)=\left[\uparrow \textrm{L}\left(\frac{\textrm{r}}{\textrm{R}}\right)^2 \frac{\textrm{v}^2}{\textrm{R}_{\text {roda }}^2}\right],\:\:\:\:\:\: \Re_T(P)=\frac{\textrm{L} \frac{\textrm{r}}{\textrm{R}} \frac{\textrm{v}}{\textrm{R}_{\text {roda }}}}{\textrm{L}\left(\frac{\textrm{r}}{\textrm{R}}\right)^2 \frac{\textrm{v}^2}{\textrm{R}_{\text {roda }}^2}}=\left(\frac{\textrm{R}}{\textrm{r}}\right)^2 \textrm{R}_{\text {roda }} }[/math]

El centre de curvatura de la trajectòria de $\mathbf{P}$ es troba per sobre de $\mathbf{P}$ (doncs l'acceleració normal apunta cap amunt.

<<< C4. Cinemàtica del sòlid rígid

D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana >>>

Menú de navegació