D6. Exemples de dinàmica 2D
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]
Aquesta unitat proposa un mètode sistemàtic per resoldre problemes de dinàmica de sistemes constituïts per un nombre qualsevol de sòlids. Si aquest nombre és elevat, definir l’estratègia per arribar als resultats que es busquen és fonamental per evitar desenvolupaments excessius.
Els exemples se centren en problemes de dinàmica plana (2D). La unitat D7 analitza exemples de dinàmica 3D.
D6.1 Cinemàtica 2D i dinàmica 2D
La condició perquè un sistema presenti una dinàmica 2D no és exclusivament que la seva cinemàtica sigui plana: cal a més que el moment cinètic de cada sòlid del sistema referit al seu centre d’inèrcia sigui ortogonal al pla del moviment (secció D4.5). Això és equivalent a dir que la direcció ortogonal al pla del moviment sigui una direcció principal d’inèrcia (secció D5.2) per a [math]\displaystyle{ \Gs_\is }[/math].
✏️ Exemple D6.1: cinemàtica 2D i dinàmica 3D
| La barra prima i homogènia està articulada a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a un suport que gira respecte del terra amb velocitat angular vertical [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant. La barra recolza al damunt del terra llis, de manera que el seu moviment és pla: tots els seus punts (tret del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) descriuen trajectòries circulars horitzontals. El fet que la cinemàtica de la barra és plana pot fer pensar que només la component vertical del TMC és necessària per estudiar-ne la dinàmica. Però no és així. El moment cinètic de la barra al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és: |
[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO=T}}(\Os)}{}= \matriz{\Is}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{\Is}\vector{\Omega_0 \sin \beta}{\Omega_0 \cos \beta}{0}= \vector{\Is\Omega_0 \sin \beta}{0}{0} . }[/math]
D’aquest vector, només la part horitzontal és variable (canvia de direcció per causa de [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]). La derivada geomètrica condueix a:
[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\mathbf{H}}}_{\text {RTO}} (\Os)=(\Uparrow \Omega_0) \times (\Rightarrow \Is \Omega_0 \sin \beta \cos \beta)= \otimes\Is \Omega_0^2 \sin\beta \cos\beta. }[/math]
Aquesta derivada també es pot calcular per mitjà de la base vectorial:
[math]\displaystyle{ \braq{\dot{\overline{\mathbf{H}}}_{\text {RTO}} (\Os)}{}= \vector{\Omega_0 \sin \beta}{\Omega_0 \cos \beta}{0} \times \vector{\Is \Omega_0 \sin \beta}{0}{0} =\vector{0}{0}{-\Is \Omega_0^2\sin\beta\cos\beta}. }[/math]
En l’aplicació del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a la barra no es pot prescindir de la component 3, que és horitzontal.
D6.2 Diagrama de sòlid lliure (DSL) i full de ruta
Quan un sistema format només per únic sòlid té dinàmica 2D, el nombre d’equacions per resoldre el problema és 3: les dues components del TQM en el pla del moviment i la component del TMC perpendicular a aquest pla. Segons el que es vulgui calcular (equació del moviment, força d’enllaç...), pot ser que no calgui aplicar els dos teoremes.
Trobar un camí ràpid per arribar al resultat que es busca demana elaborar un full de ruta (que és una declaració de l’estratègia a seguir). L’exploració d’estratègies possibles i la tria d’una d’adequada demana una bona comprensió de la cinemàtica i la dinàmica del sòlid. Per això, es recomana començar sempre per investigar la distribució de velocitats del sòlid i la descripció de les interaccions a les que està sotmès. La representació d’aquestes interaccions constitueix el diagrama de sòlid lliure (DSL).
D6.3 Exemples d’un únic sòlid
✏️ Exemple D6.2: condició límit de lliscament
El disc homogeni, de massa m i radi R, es troba al damunt d’un terra horitzontal llis, i té un punt de contacte amb una paret rugosa. Es tracta d’investigar quin és el valor mínim del coeficient de fricció entre disc i paret, en funció de F, per tal que no hi hagi lliscament entre aquests dos elements.
Les descripcions cinemàtica i dinàmica del problema són:
Les incògnites del problema són [math]\displaystyle{ \ddot{\theta}, \Ns, \Ts }[/math] . La força tangencial T és l’objectiu del càlcul, doncs la condició límit de lliscament imminent es formula sobre aquesta força: [math]\displaystyle{ \Ts_\mathrm{màx}=\mu_\mathrm{mín}\Ns. }[/math] .
Full de ruta
La força T apareix tant a la component horitzontal del TQM com a la component perpendicular al pla del TMC a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]. En les dues equacions, però, apareix també la incògnita [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math]. Per altra banda, cal conèixer també el valor de N per poder imposar la condició límit. Per tant:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TQM i TMC a } \Gs} }[/math]
[math]\displaystyle{
\left.\begin{array}{ll}
\text { TQM: } \hspace{1.2cm} \left\{\begin{array}{l}
(\rightarrow \mathrm{F} \cos \beta)+(\leftarrow \mathrm{T})=(\rightarrow \mathrm{mR} \ddot{\theta}) \\
(\downarrow \mathrm{F} \sin \beta)+(\uparrow \mathrm{N})=0
\end{array}\right. \\
\text { TMC a }\Gs: \quad (\otimes\Ts\Rs)=(\otimes \Is_\mathrm{G} \ddot{\theta})=\left(\otimes \frac{1}{2} \ms \Rs^2\ddot{\theta} \right)
\end{array}\right\}
\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\ddot{\theta}=\frac{2}{3} \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{mR}} \cos \beta \\
\mathrm{T}=\frac{1}{3} \mathrm{~F} \cos \beta \\
\mathrm{N}=\mathrm{F} \sin \beta
\end{array}\right.
}[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{T}_{\text {màx }}=\mu_{\text {mín }} \mathrm{N} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} \mathrm{F}_{\mathrm{màx} } \cos \beta=\mu_{\text {mín }} \mathrm{F}_{\mathrm{màx}} \sin \beta \quad \Rightarrow \quad \mu_{\text{mín} }=\frac{1}{3 \tan \beta} \\ }[/math]
✏️ Exemple D6.3: barra amb moviment de translació
L’extrem [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] de la barra homogènia, de massa m i longitud 2L, llisca per una guia rugosa. Es tracta d’investigar per quin valor de l’angle [math]\displaystyle{ \beta }[/math] la velocitat angular de la barra respecte del terra és nul·la.
La descripció cinemàtica i dinàmica del problema és:
Full de ruta
Si la barra no gira, el seu moment cinètic en qualsevol dels seus punts és permanentment nul, i per tant la seva derivada també. Aquesta condició porta a plantejar en primer lloc el TMC.
| Si s’aplica a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math], la condició per tenir moment nul respecte d’aquest punt es tradueix en què la recta d’acció de la resultant de les dues forces sobre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] passi [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TMC a } \Gs} }[/math]
|
Ja que [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] és un punt amb acceleració respecte del terra, al TMC apareix la incògnita , i per això cal aplicar el TQM per calcular-la.
[math]\displaystyle{ \text {TQM: } \quad\left\{\begin{array}{l}
(\nearrow \mathrm{N})+(\swarrow \mathrm{mg} \cos \delta)=0 \\
(\nwarrow \mu \mathrm{N})+(\searrow \mathrm{mg} \sin \delta)=(\searrow \mathrm{m} \dot{\mathrm{v}})
\end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{v}}=\mathrm{g}(\sin \delta-\mu \cos \delta) }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{TMC a } \Ps : \quad \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps) - \PGvec \times \ms\acc{P}{Gal}=\overline{0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps)=\PGvec \times \ms\overline{\gs} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps)=\left[ (\swarrow \Ls \cos \beta )+ (\searrow \Ls \sin\beta )\right]\times\left[ (\swarrow \ms \gs \cos \delta )+(\searrow \ms\gs\sin\delta)\right] = \left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\cos\delta\sin\beta)\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \PGvec \times \ms\acc{P}{Gal}=\left[ (\swarrow \Ls \cos \beta )+ (\searrow \Ls \sin\beta )\right] \times(\searrow\ms\dot{\vs})=(\odot\ms\Ls\dot{\vs}\cos\beta)=\left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\mu\cos\delta\cos\beta)\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\cos\delta\sin\beta)\right]-\left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\mu\cos\delta\cos\beta)\right] =0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \ms\gs\Ls\cos\delta(\sin\beta-\mu\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \tan \beta =\mu }[/math]
✏️ Exemple D6.4: anell sobre terra rugós
L’anell homogeni, de massa m i radi R, té inicialment un moviment de translació respecte del terra rugós. Es tracta d’investigar quan de temps trigarà a deixar de lliscar respecte del terra.
La descripció cinemàtica de l’anell en tres instants de temps diferents (inicial, intermedi i final) i la descripció dinàmica són:
Full de ruta
Mentre llisca, l’anell té dos GL [math]\displaystyle{ (\vs,\Omega) }[/math] mentre que al final només en té un ([math]\displaystyle{ \vs_\fs }[/math]) . Ja que es tracta d’investigar com es passa de moviment de translació a rotació, el que cal determinar són les equacions del moviment [math]\displaystyle{ (\dot{\vs},\dot{\Omega}) }[/math].
El TQM proporciona dues equacions, però inclouran la N. Per tant, cal també el TMC. El problema suggereix dos punts per a l’aplicació: [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] i el punt de contacte entre anell i terra (punt [math]\displaystyle{ \Js }[/math]). Si es tria aquest últim, cal precisar si es tracta de [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{anella} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{terra} }[/math] o [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{geom} }[/math] (secció D4.5), i això és una dificultat afegida. Per aquest motiu, el full de ruta serà: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TQM i TMC a } \Gs} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text {TQM: } \quad\left\{\begin{array}{l}
(\uparrow \mathrm{N})+(\downarrow \mathrm{mg})=0 \\
(\leftarrow \mu \mathrm{N})=(\rightarrow \mathrm{m} \dot{\mathrm{v}})
\end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{v}}=-\mu\mathrm{g} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{TMC a } \Gs : \quad \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Gs)=\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs) \quad \Rightarrow \quad (\otimes \mu\ms\gs\Rs)=(\otimes\Is_\mathrm{G}\dot{\Omega})=(\otimes \ms\Rs^2\dot{\Omega}) \quad \Rightarrow \quad \dot{\Omega}=\mu\frac{\gs}{\Rs} }[/math]
Ja que [math]\displaystyle{ \dot{\vs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot{\Omega} }[/math] són constants, el moviment de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] i el de rotació són uniformement accelerats. Per tant:
[math]\displaystyle{ \vs(\ts)=\vs_0 - \mu\gs\ts \quad,\quad \Omega(\ts)=\mu\frac{\gs}{\Rs}\ts }[/math]
[math]\displaystyle{ \text {Per a }\ts=\ts_\fs: \quad\left\{\begin{array}{l}
\vs(\ts_\fs)=\vs_0 - \mu\gs\ts_\fs \quad,\quad \Omega(\ts_\fs)=\mu\frac{\gs}{\Rs}\ts_\fs \\
\quad \\
\vs(\ts_\fs)=\Rs\Omega(\ts_\fs)
\end{array}\right\} \Rightarrow \ts_\fs=\frac{\vs_0}{2\mu\gs} }[/math]
✏️ Exemple D6.5: placa articulada
La placa homogènia, de massa m, està unida al terra per mitjà de dues barres idèntiques de massa negligible articulades en els seus dos extrems i un fil inextensible. Es tracta d’investigar l’acceleració del centre d’inèrcia de la placa just després de tallar el fil.
Per causa de les articulacions, les dues barres fan un moviment idèntic de rotació respecte del terra, i això implica que la placa faci una translació circular respecte del terra. La descripció cinemàtica (per a un valor de [math]\displaystyle{ \theta }[/math] qualsevol), tant de velocitats com d’acceleracions és:
Tot i que el sistema conté tres sòlids, es pot reduir a un únic sòlid si les barres es tracten com a SAEs. El torsor de l’enllaç indirecte en qualsevol punt de la placa és immediat a partir de la cinemàtica descrita just abans: es tracta d’una força en la direcció de les barres i un moment ortogonal al pla de la placa. La descripció dinàmica de la placa és:
|
Full de ruta [math]\displaystyle{ \mathrm{TQM}]_\mathrm{tangencial} : (\searrow\ms\gs\sin\theta_0)=\ms\acc{G}{T} \quad \Rightarrow \quad \acc{G}{T}=(\searrow \gs\sin\theta_0) }[/math] |
D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)
Quan es tracta de resoldre problemes de dinàmica de sistemes multisòlid, una eina molt útil per arribar a definir un full de ruta adequat és el diagrama general d’interaccions (DGI). Es tracta d’una representació genèrica dels sòlids del sistema i de les interaccions entre ells i la referència (que molt sovint es el terra). Quan són interaccions d’enllaç, cal fer-ne una descripció breu (per exemple, articulació, enllaç cilíndric, ròtula esfèrica, contacte puntual amb lliscament”...) i indicar-ne entre parèntesi quantes incògnites introdueixen (tal com s’ha fet als exemples de la unitat D3).
La descripció de la distribució de velocitats del sistema i el DGI permeten fer un recompte fàcil del nombre d’equacions de què es disposa per resoldre el problema i del nombre d’incògnites (les associades als GL i les que provenen dels enllaços), i veure si el problema és determinat o indeterminat.
Per altra banda, el DGI és una eina àgil per visualitzar per a quins subconjunts de sòlids del sistema l’aplicació dels teoremes vectorials faria aparèixer la incògnita que es vol calcular. Un cop s’han descobert els subconjunts que introdueixen menys incògnites addicionals, és útil representar de manera precisa les interaccions externes sobre aquests subconjunts per acabar d’establir l’estratègia adequada (quin teorema aplicar, a quin punt, quina component analitzar...).
La sistemàtica que es proposa per resoldre problemes de dinàmica, doncs, es resumeix en els següents passos:
- descripció de la distribució de velocitats del sistema
- diagrama general d’interaccions
- exploració dels subsistemes de sòlids per las quals els teoremes inclouen les incògnites a calcular
- descripció precisa de les interaccions externes sobre aquests subsistemes
- elaboració d’un full de ruta
D6.5 Exemples de sistemes multisòlid
✏️ Exemple D6.6: disc en cavitat cilíndrica
|
El disc homogeni, de massa m i radi r, es mou lliscant sobre un terra cilíndric rugós impulsat per un motor que actua entre el disc, i un braç (de massa negligible) amb un enllaç piu-guia sense frec amb el terra, que garanteix que la velocitat angular relativa entre els dos es manté constant. Es tracta de determinar l’equació del moviment per a la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] , el valor del parell motor que garanteix [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] constant i la força associada a piu-guia. |
La descripció cinemàtica del sistema és:
AB:terra,REL:braç
[math]\displaystyle{ \velang{disc}{terra}=\velang{disc}{AB}=\velang{disc}{REL}+\velang{}{ar}=(\otimes \omega_0)+(\odot\dot{\theta})=[\otimes(\omega_0-\dot{\theta})] }[/math]
Cinemàtica del sòlid rígid (sòlid:braç):
[math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=\vel{O}{T}+\OGvec\times\velang{braç}{T}=(\searrow \Rs)\times(\odot\dot{\theta})=(\nearrow\Rs\dot{\theta}) }[/math]
Cinemàtica del sòlid rígid (sòlid:disc):
[math]\displaystyle{ \vel{J}{T}=\vel{G}{T}+\GJvec \times \velang{disc}{T}=(\nearrow\Rs\dot{\theta})+(\searrow \rs)\times[\otimes(\omega_0-\dot{\theta})]=(\swarrow [\rs\omega_0-(\Rs +\rs)\dot{\theta}] }[/math]
Diagrama general d’interaccions
(c.p.a.ll.=contacte puntual amb lliscament)
És un sistema de dos GL ( [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] forçat, [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] lliure) amb 4 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 3 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:
equacions: 2 sòlids[math]\displaystyle{ \times \frac{3 \mathrm{eqs.}}{\mathrm{sòlid}}=6 }[/math]eqs.
incógnites: 2 associades als GL + 4 d'enllaç= 6 inc.
Full de ruta per a l’equació del moviment
Tant el braç com el disc tenen un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] . Els sistemes possibles en els quals apareixerà [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] quan s’apliquin els teoremes vectorials són: disc, braç, disc + braç. Aquestes tres opcions s’indiquen amb línies puntejades en els DGIs següents:
Els punts d’intersecció de les línies puntejades amb els línies contínues indiquen les interaccions externes al sistema (que són les úniques que s’han de tenir en compte en els teoremes vectorials). Les vermelles corresponen a incògnites. Per tant, el nombre d’incògnites que apareixeran als teoremes vectorials per a aquestes tres opcions són:
- sistema: disc, 3inc.enllaç[math]\displaystyle{ +\Gamma+\ddot{\theta}=5 }[/math] inc.
- sistema: braç, 3inc.enllaç[math]\displaystyle{ +\Gamma+\ddot{\theta}=5 }[/math] inc.
- sistema: disc + braç, 2inc.enllaç[math]\displaystyle{ +\ddot{\theta}=3 }[/math] inc.
Les tres equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a l’opció (disc + braç) permet calcular les tres incògnites, mentre que, en les altres dues opcions, el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Per al sistema (disc + braç), les interaccions externes són:
| Ja que l’enllaç piu-guia permet que el braç es traslladi en direcció 2 i giri en direcció 3 de manera independent, la caracterització és immediata, i consisteix en una única component de força en direcció 1 (que és la direcció de la translació impedida per l’enllaç).
|
[math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG}(\Gs)+\OGvec \times \ms \vel{G}{RTO=T}= \left(\odot \frac{1}{2}\ms\rs^2\dot{\theta}\right) +(\searrow \Rs )\times \ms(\nearrow \Rs \dot{\theta})=\left[\odot \frac{1}{2}\ms(\rs^2 +2\Rs^2)\dot{\theta}\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\text{TQM}]_2: (\nwarrow \Ns)+(\searrow \ms\gs\cos\theta)=\ms\acc{G}{T}]_{\nwarrow\searrow}=(\nwarrow \ms\Rs\dot{\theta}^2)\\
\text{TMC a }\Os]_3: [\odot\mu\Ns(\Rs+\rs)]+(\otimes \ms\gs\Rs\sin\theta)=\left[\odot \frac{1}{2}\ms(\rs^2+2\Rs^2)\ddot{\theta}\right]
\end{array}\right\} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\Ns=\ms(\Rs\dot{\theta}^2+\gs\cos\theta)\\
(\rs^2+2\Rs^2)\ddot{\theta}-2\mu(\Rs+\rs)\Rs\dot{\theta}^2 + 2\gs\left[\Rs\sin\theta-\mu(\Rs+\rs)\cos\theta\right]=0
\end{array}\right. }[/math]
Full de ruta per al parell motor
Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: braç, disc.
La força normal associada al contacte puntual amb lliscament entre disc i terra ja no és una incògnita, i per això la intersecció amb aquesta línia està indicada amb un punt negre.
En l’opció braç, el nombre d’incògnites és 4 (3 d’enllaç més el parell motor). En l’opció disc, es poden reduir a 2: 2 inc.ellaç+[math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]=3 inc.L’opció disc, doncs, és més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre el disc és:
| Si s’aplica el TMC al centre, les dues components de força d’enllaç de l’articulació no apareixen, i directament s’obté el parell motor: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA disc TMC a }\Gs]_3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \Gamma=\mu\Ns(\Rs+\rs)-\frac{1}{2}\ms\rs^2\ddot{\theta} }[/math]
|
Full de ruta per a la força associada al piu-guia
Els sistemes possibles en els quals apareixerà aquesta força quan s’apliquin els teoremes vectorials són: braç, disc + braç:
El nombre d’incògnites en l’opció (disc + braç) és només la de la força que es vol calcular. Aquesta força és en direcció 2 (d’acord amb el conjunt d’interaccions externes sobre aquest sistema dibuixat anteriorment).
Per tant: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA(disc+braç), TQM}]_2} }[/math].
[math]\displaystyle{ \text{TQM}]_2: (\nearrow \Fs)+(\swarrow \ms\gs\sin\theta)=\ms\acc{G}{T}]_{\swarrow \nearrow}=(\nearrow \ms\Rs\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \Fs=\ms(\Rs\ddot{\theta}+\gs\sin\theta) }[/math]
Substituïnt [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] per l’expressió que en dóna l’equació del moviment:
[math]\displaystyle{ \Fs=2\mu\ms\Rs\frac{\Rs(\Rs+\rs)}{\rs^2+2\Rs^2}\left(\Rs\dot{\theta}^2+\gs\cos\theta\right)+\ms\gs\frac{\rs^2}{\rs^2+2\Rs^2}\sin\theta }[/math].
✏️ Exemple D6.7: bot arrossegat per un vaixell
Un vaixell (representat simplement com a suport) que es mou a velocitat constant respecte de l’aigua (considerada en repòs respecte del terra) arrossega un bot de massa m I moment d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Is_\mathrm{G} }[/math] . El bot està articulat a un braç de massa negligible, que pot lliscar al llarg de la guia lisa q-q’. Entre bot I aigua hi ha frec viscós de constant c. Entre suport I braç hi ha dues molles lineals, i entre braç i bot n’hi ha una de torsional. Totes les molles són de comportament lineal. Es tracta de determinar les equacions del moviment per a les coordenades [math]\displaystyle{ \theta }[/math] i x.
La cinemàtica del sistema respecte de l’aigua (que és la mateixa que respecte del terra) és:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\text{AB: aigua }\\
\text{REL: suport}
\end{array}\right\} \vel{O}{aigua}=\vel{O}{suport}+\vel{O}{ar}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0) }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{Cinemàtica del sòlid rígid (sòlid:braç, }\velang{braç}{aigua}=\overline{0}): \vel{G}{aigua}=\vel{O}{aigua}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0) }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{Cinemàtica del sòlid rígid (sòlid:bot ,}\velang{bot}{aigua}=\otimes\dot{\theta}): \vel{C}{aigua}=\vel{G}{aigua}+ \GCvec\times\velang{bot}{aigua}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0)+(\nearrow\es\dot{\theta}) }[/math]
Diagrama general d’interaccions
El fet que el suport tingui un moviment predeterminat de translació indica que ha perdut 2 dels 3 GL del moviment pla. Això és equivalent a dir que sobre ell hi ha un enllaç que introdueix 2 incògnites i un actuador que garanteix la translació constant. Es pot considerar que aquest enllaç i aquest actuador actuen entre el vaixell I l’aigua (o el terra, ja que estan en repòs un respecte de l’altre).
| És un sistema de tres GL ([math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math]forçat, [math]\displaystyle{ \dot{\xs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] lliures) amb 4 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 3 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 3 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:
[math]\displaystyle{ \text{incògnites: 3 associades als GL + 6 d'enllaç = 9 inc} }[/math] |
Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math]
L’únic element el moviment del qual depèn de [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] és el bot. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] quan s’apliquin els teoremes vectorials l’han d’incloure necessàriament: bot, bot + braç, bot + braç + suport.
[math]\displaystyle{ \text{2 inc. enllaç}+\ddot{\theta}+\ddot{\xs}=\text{4 inc.} \hspace{4.5cm}\text{2 inc. enllaç}+\ddot{\theta}+\ddot{\xs}=\text{4 inc.} \hspace{3.5cm} \text{2 inc. enllaç}+\Fs_\mathrm{act}+ \ddot{\theta}+\ddot{\xs}= \text{5 inc.} }[/math]
Les dues primeres opcions són les més adequades. La descripció de les interaccions externes en els dos casos és:
SISTEMA:bot
SISTEMA:bot+braç
Per al sistema bot, les dues components d’enllaç es poden evitar si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]. En canvi, l’aplicació del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] en el sistema (bot + braç) només permet eliminar la força F però no el moment M.
Per tant:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA bot, TMC a }\Gs]_3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{TMC a }\Gs]_3: (\odot\ks'\dot{\theta})+(\odot\cs\dot{\xs}\es\cos\theta)+(\odot\cs\es^2\dot{\theta})+(\otimes\cs\vs_0\es\sin\theta)=(\otimes\Is_\mathrm{G}\ddot{\theta}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \Is_\mathrm{G}\ddot{\theta}+ (\ks'+ \cs\es^2)\dot{\theta}+\cs\es(\dot{\xs}\cos\theta-\vs_0\sin\theta)=0 }[/math]
Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x
Els dos elements el moviment dels quals depèn de [math]\displaystyle{ \dot{\xs} }[/math] són el bot i el braç. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà [math]\displaystyle{ \ddot{\xs} }[/math] quan s’apliquin els teoremes vectorials són: bot, bot + braç, braç + suport, bot + braç + suport.
Les dues últimes opcions inclouen una incògnita més (la força de l’actuador), així que els sistemes a analitzar es redueixen als dos primers, per als quals ja s’han representat les interaccions externes abans.
L’acceleració [math]\displaystyle{ \ddot{\xs} }[/math] és de direcció ortogonal al braç i només apareixerà al TQM. Per al sistema bot, les dues components d’enllaç associades a l’articulació entre bot i braç tenen projecció en aquesta direcció. Per al sistema (bot+braç), en canvi, en la direcció de no apareix cap incògnita d’enllaç.
Per tant:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bot+braç), TQM}]_\updownarrow} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{TQM}]_\updownarrow:\left[\uparrow(\Fs_0-\ks\xs)\right]+ \left[\downarrow(\Fs_0+\ks\xs)\right]+(\downarrow\cs\dot{\xs})+(\downarrow \cs\es\dot{\theta}\cos\theta)=\ms\acc{G}{T}]_\updownarrow=(\uparrow \ms \ddot{\xs}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \ms\ddot{\xs}+\cs\dot{\theta}+2\ks\xs+\cs\es\dot{\theta} \cos\theta=0 }[/math]
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats