D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\QPs}{\textrm{QP}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math]
La dinàmica és la teoria que estudia el moviment d’un cos material en funció dels factors físics que l’afecten. En mecànica newtoniana, els factors que afecten el moviment de les partícules són la seva massa i les forces que rep. Cap d’aquests dos conceptes (massa i força) és senzill. Però sigui quina sigui la definició que se’n doni, s’accepta que hi ha una correlació unívoca entre ells i el moviment de la partícula.
La paraula “força” es fa servir sovint a la vida quotidiana, i es feia servir molt abans que Newton formulés les seves lleis del moviment. La primera noció de “força” està associada amb la sensació muscular que cal per evitar o provocar el moviment de cossos materials. Per extensió, tot allò que evita o provoca moviment també s’anomena “força”.
Els problemes de dinàmica poden ser de dues menes, segons quines siguin les dades i quines les incògnites:
- incògnites de moviment: a partir del coneixement de totes les forces que actuen sobre un sistema mecànic, es tracta de deduir com evolucionarà el seu moviment.
- incògnites de força: a partir d‘un moviment predeterminat (és a dir, donada l’evolució de les coordenades del sistema), es tracta de predir les forces que han d’actuar sobre el sistema per aconseguir aquest moviment
Com tota teoria científica, la mecànica de Newton es basa en un conjunt de principis (lleis o axiomes) no demostrables, la plausibilitat dels quals es justifica mitjançant resultats experimentals tant reals (obtinguts en un laboratori) com conceptuals (obtinguts per mitjà d’un raonament estricte purament mental). Aquestes lleis es presenten a l’obra principal de Newton (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica), i tenen per objectiu resoldre la dinàmica d’una partícula. A partir d’aquestes lleis, es demostren els teoremes que aborden la dinàmica dels sistemes materials més complexos (com ara els sistemes multisòlid).
En aquesta secció s’enuncien i comenten les lleis fundacionals de la mecànica newtoniana tal com apareixen als Principia Mathematica (per bé que amb un llenguatge més actual). La discussió dels problemes axiomàtics que presenten ha sigut objecte de molta literatura en història de la ciència. Aquí es fa una exposició rigorosa i breu. Una exposició més extensa, que conté la reformulació que en va fer Ernst Mach i altres informacions d’interès, es pot trobar a Rigid Body Dynamics, Batlle&Barjau, chapter 1.
D1.1 Referències galileanes
La relació entre forces i moviment d’una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es pot expressar de manera genèrica mitjançant l’equació qualitativa:
[math]\displaystyle{ \text{moviment}_{\Rs}(\Ps) = f_{\Rs}(\text{forces}) }[/math]
Aquesta equació posa de manifest que, en dependre el moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] de la referència R des d’on es mesura, el terme de la dreta (i per tant les forces) també en poden dependre.
L’observació de fenòmens mecànics simples suggereix que l’origen de les forces que eviten o provoquen el moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] no està només relacionat amb l’existència d’objectes materials (la qual cosa és força intuïtiva). Un exemple senzill ho posa de manifest.
Considerem un objecte petit (una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]) lligat a un marc a través de dues molles idèntiques. El marc es fixa a una superfície horitzontal perfectament llisa (com una pista de gel). Si només es considera el moviment horitzontal de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de la referència solidària a aquesta superfície (R), les forces lligades a objectes materials només poden provenir de les molles, doncs no hi ha interacció amb la superfície llisa.
A partir d’un instant inicial [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] en què la partícula es troba en repòs respecte de la superfície [math]\displaystyle{ (\vel{P,$\ts_0$}{R} = \vec{0}) }[/math] i les molles, que són idèntiques, estan estirades i tenen la mateixa longitud, s’observa l’evolució del seu moviment des de la superfície (l’evolució de la seva velocitat respecte de R, [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math], Figura D1.1).
Segons com sigui el moviment de la superfície respecte del terra, es poden veure evolucions diferents:
- Si la superfície és la d’un vagó amb moviment uniforme respecte del terra (referència R1): independentment del lloc on es fixa el marc, de la seva orientació respecte del vagó i de l’instant de temps en què es fa l’experiment, [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] no es belluga respecte del vagó [math]\displaystyle{ (\vel{P,t}{R} = \vec{0}) }[/math], i les molles mantenen la seva longitud (Figura D1.2). En altres paraules: el resultat és independent de la posició, l’orientació i l’instant de temps. Això és equivalent a dir que, per a aquest experiment, l’espai de la referència és homogeni i isòtrop, i que el temps és uniforme. La referència, doncs, no influeix en el resultat.
- Si la superfície és la d’un vagó amb acceleració de frenada constant respecte del terra (referència R2): si el marc es fixa en qualsevol posició però s’orienta en ladirecció longitudinal del vagó, [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou inicialment en la direcció longitudinal del marc cap endavant [math]\displaystyle{ (\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marc }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marc }}=0) }[/math], i les molles es deformen amb signes oposats (una s’estira i l’altra s’escurça,Figura D1.3a); si s’orienta en la direcció transversal del vagó,[math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou inicialment en la direcció transversal del marc cap endavant [math]\displaystyle{ (\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{trans marc }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {long marc }}=0) }[/math], i el canvi de longitud de les dues molles és el mateix (FiguraD1.3b); si s’orienta en qualsevol altra direcció, la velocitat de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] té inicialment dues components ([math]\displaystyle{ \left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marc }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marc }}\neq 0 }[/math], Figura D1.3c). Resumint: el resultat d’aquest experiment és independentment de la posició i de l’instant de temps, però no de l’orientació. Per a aquest experiment l’espai de la referència és homogeni però no isòtrop, i el temps és uniforme.
Si el vagó tingués acceleració variable, el temps no seria uniforme: per al cas de frenada, la velocitat inicial de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] seria la que s’ha comentat, però per al d’accelerada, la velocitat inicial tindria una component enrere en comptes de tenir-la endavant. En funció de l’instant de temps, doncs, la velocitat inicial no seria la mateixa.
- Si la superfície és la d’una plataforma horitzontal, amb centre fix a terra, que gira amb velocitat angular constant respecte del terra (referència R3), l’evolució inicial del moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] des del seu repòs respecte de la plataforma depèn de la posició inicial i de l’orientació del marc: si [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es troba inicialment al centre de la plataforma, no es mou independentment de l’orientació del marc ([math]\displaystyle{ \vel{P,t}{R} = \vec{0} }[/math], FiguraD1.4a). Si es posa en una posició diferent i l’orientació del marc és segons un radi de la plataforma, [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou inicialment en la direcció longitudinal del marc i cap enfora, de manera que la molla interior s’estira i l’exterior es comprimeix ([math]\displaystyle{ \left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marc }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marc }}=0 }[/math], Figura D1.4b); si l’orientació del marc és perpendicular a un radi de la plataforma, [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou inicialment en la direcció transversal del marc i capenfora, però les dues molles tenen la mateixa longitud ([math]\displaystyle{ \left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marc }}= 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marc }} \neq 0 }[/math], Figura D1.4b); si es posa el marc amb qualsevol altra orientació respecte de la plataforma, la velocitat inicial de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] té dues components i les molles tenen longituds diferents ([math]\displaystyle{ \left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marc }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marc }} \neq 0 }[/math], Figura D1.4c). El resultat d’aquest experiment, doncs, depèn de la posició i de l’orientació, però no de l’instant de temps. Per a aquest experiment, l’espai de la referència no és homogeni ni isòtrop, però el temps és uniforme.
En tots els experiments descrits, els objectes materials que exerceixen forces sobre la partícula són els mateixos (les molles), però la influència de la referència on es fan les observacions és diferent: la referència R1 no participa en el resultat, mentre que les R2 i R3 participen a través de les característiques de l’espai i el temps que les constitueixen (Figura D1.5).
Una referència on el temps és uniforme i l’espai és homogeni i isòtrop s’anomena referència galileana o inercial. Newton diu que el temps i l’espai en aquest tipus de referència són “absoluts”, són realitats que existeixen independentment de tota la resta, i constitueixen un escenari “neutre” (o passiu). L’estudi de la dinàmica en les referències no galileanes (no inercials) porta a introduir forces –anomenades forces d’inèrcia– que provenen de la pròpia referència.
Però una cosa és definir una referència galileana, i una altra és acceptar que n’existeix alguna (com es poden comprovar la uniformitat del temps i la homogeneïtat i isotropia de l’espai?). Als Principia Mathematica, abans d’enunciar les seves lleis, Newton postula l’existència d’una referència galileana.
Les dues primeres lleis de Newton proporcionen dues maneres addicionals de comprovar el caràcter galileà d’una referència que es comentaran a les secció D1.4 i D1.5.
D1.2 Principi de Relativitat de Galileu
Un principi de relativitat estableix el conjunt de referències (o de marcs espai-temporals) de validesa d’una teoria, i és fonamental en qualsevol disciplina científica en l’àmbit de la física. Una llei (o l’equació matemàtica corresponent) es pot complir en una referència R però no en una altra referència R’.
La mecànica newtoniana també parteix d’un principi de relativitat: el Principi de Relativitat de Galileu. Aquest principi estableix que totes les referències galileanes són equivalents per a la formulació de les lleis que governen la dinàmica dels sistemes mecànics, o el que és el mateix, que les referències galileanes són indistingibles quan els objectes materials interaccionen entre ells. De manera genèrica, això es pot expressar mitjançant l’equació qualitativa:
[math]\displaystyle{ \text{moviment}_{\textrm{Gal}}(\Ps) = f(\text{forces}) }[/math]
on les forces representen aquestes interaccions (i no provenen mai de la referència), i la seva formulació ha de ser la mateixa a totes les referències galileanes.
D1.3 Principi de Determinació de Newton
Als Principia Mathematica de Newton, el Principi de la Determinació precedeix l’enunciat de les tres lleis del moviment. Newton no el postula com a una llei sinó que més aviat el presenta com a una observació.Una possible formulació d’aquest principi és “les posicions i velocitats inicials (en un cert instant [math]\displaystyle{ t_0 }[/math]) de totes les partícules d’un sistema mecànic aïllat determinen unívocament el seu moviment futur”. Això és equivalent a dir que l’acceleració (respecte d’una referència galileana) d’una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] del sistema a l’instant [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] depèn exclusivament de l’estat mecànic (posicions i velocitats) del sistema en aquest mateix instant [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] . Els sistemes mecànics, doncs, no tenen memòria.
Amb aquest principi, l’equació qualitativa que relaciona el moviment d’una partícula amb les forces a les que està sotmesa passa a escriure’s de manera més precisa:
[math]\displaystyle{ \text{moviment}_{\Rs}(\Ps_i) = f_{\Rs} (\text{forces}) \implies \acc{$\Ps_\is$,t}{R}=f \left[\text{forces}(\vec{\Os_{\textrm{Gal}}\Ps_\js}(\ts_0),\vel{$\Ps_\js$,t}{Gal})\right] }[/math]
Newton conclou que el coneixement de les posicions i les velocitats inicials és suficient per predir l’evolució dels sistemes mecànics basant-se en observacions empíriques (bàsicament astronòmiques) acumulades al llarg del temps.
D1.4 Primera llei de Newton (llei de la inèrcia)
La llei de la inèrcia és la resolució del problema dinàmic més senzill que podem imaginar: el de la partícula lliure [math]\displaystyle{ \Pll }[/math] (partícula sola a l’univers). Aquesta llei postula que l’acceleració de la partícula lliure en una referència galileana és nul·la, independentment de la seva velocitat inicial:
[math]\displaystyle{ \text{Primera llei de Newton (llei de la inèrcia): } \:\:\:\agal{\Pll,\ts_0} = \vec{0} }[/math]
De fet, el que constitueix una llei (i per tant no és demostrable) és que [math]\displaystyle{ \accs{$\Pll,t_0$}{Gal}=0 }[/math]. Efectivament:
- Si a l‘instant [math]\displaystyle{ \ts_0 }[/math] l’observem des d’una referència galileana i veiem que té velocitat nul·la ([math]\displaystyle{ \vgal{\Pll,\ts_0} = \vec{0} }[/math]), aquest estat de repòs s’haurà de mantenir, doncs adquirir una velocitat diferent de zero voldria dir començar a bellugar-se en una direcció concreta. Però això seria privilegiar una direcció, i no és compatible amb la isotropia de l’espai. Per tant, [math]\displaystyle{ \vgal{\Pll,\ts_0}=\vec{0}\Rightarrow\agal{\Pll,\ts_0} = \vec{0} }[/math] (Figura D1.6a).
- Si a l‘instant [math]\displaystyle{ \ts_0 }[/math] la velocitat no és nul·la ([math]\displaystyle{ \vgal{\Pll,\ts_0}\neq\vec{0} }[/math]), la seva direcció s’haurà de mantenir, doncs en cas contrari es tornaria a privilegiar una direcció. Per tant, [math]\displaystyle{ \vgal{\Pll,\ts_0}\neq\vec{0}\Rightarrow\accn{$\Pll,t_0$}{Gal}=0 }[/math] (Figura D1.6b).
En aquest segon cas, només es pot assegurar, com a conseqüència de la isotropia de l’espai, que la component normal de l’acceleració serà nul·la. El caràcter galileà de la referència no permet assegurar que la component tangencial també ho ha de ser. Efectivament, podria ser que [math]\displaystyle{ \accs{$\Pll,t_0$}{Gal}\neq0 }[/math], i llavors el valor de la velocitat aniria canviant. Si en algun moment s’arribés a velocitat nul·la, el moviment no es podria reiniciar.
Hi ha qui afirma que la primera llei de Newton és un cas particular de la segona llei, però no és així. La utilitat de la primera llei no és resoldre un problema que no se’ns presentarà mai (l’univers és ple de partícules!), sinó proporcionar una definició alternativa de referència galileana: aquella en la que [math]\displaystyle{ \acc{$\Pll$}{R} = \vec{0} }[/math] (R=Gal). Les referències en les que [math]\displaystyle{ \acc{$\Pll$}{R} = \fs_\Rs(\text{espai}_\Rs,\text{temps}_\Rs)\neq\vec{0} }[/math] són no galileanes (R=NGal).
Si en una referència R es compleix que [math]\displaystyle{ \acc{$\Pll$}{R}=\vec{0} }[/math] (i per tant R=Gal), llavors i ha una família infinita de referències on també és compleix aquesta equació: totes les que, respecte de R, tenen un moviment de translació rectilini i uniforme (una simple composició d’acceleracions permet demostrar-ho). Totes les referències d’aquesta família són equivalents (indistingibles) quan es tracta d’estudiar la dinàmica de la partícula lliure.
Determinar de manera estricta el caràcter galileà (inercial) d’una referència és formalment impossible: ni es pot fer l’experiment de la partícula lliure (no podem buidar l‘univers!) ni es pot comprovar si l’espaitemps és homogeni, isòtrop i uniforme (doncs l’espai i el temps són infinits!).
D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)
La segona llei de Newton formula la dinàmica de la partícula material [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] que interacciona amb altres partícules materials [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}}=\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math],
on [math]\displaystyle{ \ms_\Ps }[/math] és la massa de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math], i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math] són les forces que les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] exerceixen sobre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math].
El paràmetre [math]\displaystyle{ \mathrm{m}_\Ps }[/math] sembla ser una característica intrínseca de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math], i per tant estar associat exclusivament a aquesta partícula. Implícitament, Newton accepta que no totes les partícules són iguals, i que l’única propietat que les diferencia és la “massa”. Abans d’enunciar aquesta llei, Newton defineix la “massa” com a un paràmetre constant que correspon a la “quantitat de matèria”, però no proporciona cap manera de mesurar-la.
Per tal d’entendre tot el que aquesta equació diu, és útil plantejar-se el problema dinàmic més senzill (després del de la partícula lliure): un univers amb només dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que interaccionen.D’aquesta manera, el sumatori de l’esquerra desapareix. Llavors:
- Per la isotropia de l’espai en referències galileanes, l’acceleració [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math] que [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] provoca en [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] ha de tenir necessàriament la direcció [math]\displaystyle{ \OPvec }[/math] . Es tracta d’una acceleració d’atracció (apropament) o de repulsió (separació).
- Com a conseqüència, la força [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math] que [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] exerceix sobre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] també ha de tenir la direcció [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] .
- Si eliminem la partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math], el paràmetre [math]\displaystyle{ \ms_\Ps }[/math] passa a ser irrellevant: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P})=\overline{0} }[/math] independentment de la seva massa. La massa, doncs, només es manifesta en interacció.
Retornem ara al cas general de moltes partícules interaccionant amb [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math]. La segona llei de Newton conté un principi de superposició: la força resultant que actua sobre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] és la suma de les que provocarien, per separat, cadascuna de les altres partícules sobre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math]: l’existència simultània de diverses partícules no altera les interaccions entre elles (Figura D1.7).
La segona llei de Newton es pot fer servir per resoldre els dos tipus de problemes dinàmics descrits a la introducció d’aquesta secció, segons que les dades siguin les forces que actuen sobre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] o l’acceleració de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math]. En tractar-se d’una equació vectorial (tres equacions escalars), pot donar-se el cas, per exemple, que l’acceleració sigui coneguda en una direcció (component) però no en les altres dues. Llavors, només una component de la força resultant sobre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] és incògnita.
Per tal de resoldre problemes on la incògnita sigui l’acceleració (les tres components), cal poder formular les forces d’interacció entre partícules. El Principi d’acció i reacció, el de la Determinació i el de la Relativitat de Galileu condicionen aquestes formulacions matemàtiques. La formulació concreta per a cada tipus d’interacció s’obté a partir d’experiments, i s’exposa a la unitat D2.
La segona llei de Newton permet avaluar el caràcter galileà d’una referència: a efectes pràctics, s’accepta que una referència és galileana quan la resolució dels problemes dinàmics no requereix incloure forces no associades a objectes materials. Així doncs, el caràcter galileà depèn del tipus de problemes que es resolen. Per a problemes de curt abast (que solen ser els que preocupen en enginyeria mecànica), la Terra es comporta com a galileana. Per a mig i llarg abast (problemes de balística, aeronàutica, astronomia...), no és així.
D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)
La segona llei i la isotropia de l’espai en referències galileanes ha fet veure que les forces d’interacció entre parelles de partícules ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}},\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P} \rightarrow \mathrm{Q}} }[/math]) han de tenir la direcció [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] definida per les partícules. La tercera llei de Newton assegura que han de ser atractives o repulsives, i han de tenir el mateix valor (Figura D1.8).
Aquest principi dóna una informació essencial sobre les forces d’interacció entre dues partícules, i per a molts científics és la llei de Newton més important perquè introdueix la simetria en la descripció de les interaccions: cada interacció es descriu mitjançant una única magnitud. “Força” no és quelcom que posseeix una partícula, sinó que està associada a parelles de partícules.
A partir d’aquest principi, és possible obtenir una definició de “massa” més entenedora que la que proporciona Newton al començament dels Principia. Donades dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que interaccionen, ja que la força mútua que s’exerceixen té el mateix valor, la seva relació de masses ([math]\displaystyle{ \mu_{\QPs}=\ms_\textrm{Q}/\ms_\Ps }[/math]) coincideix amb el seu quocient d’acceleracions (Figura D1.9). Llavors, a més massa, menys acceleració, i a l’inrevés. La massa d’una partícula, doncs, es pot interpretar com a la dificultat que té en canviar de velocitat. És una interpretació inercial de la massa.
Si s’escull un patró de massa (un valor concret de massa per a una partícula concreta, per exemple [math]\displaystyle{ \ms_\textrm{Q}= }[/math]1Kg ), la massa de qualsevol altra partícula queda determinada (Figura D1.10). Newton postula que aquesta massa és constant i intrínseca a cada partícula.
D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes
Tal com s’ha dit a la secció D1.1, la dinàmica en referències no galileanes porta a introduir forces d’inèrcia sobre les partícules que provenen de les característiques de l’espai-temps, que ja no és neutre:
Dinàmica en referències galileanes: [math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}}=\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math]
Dinàmica en referències no galileanes: [math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}}+\mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{P}}^{-}=\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P}) }[/math]
Restant la primera equació de la segona:
[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{P}}^{-}=\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P})-\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math]
Si es fa una composició de moviments per relacionar [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math] i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P}):
}[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \mathrm{AB}=\mathrm{Gal} \\ \mathrm{REL}=\mathrm{NGal} \end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{P})-2 \overline{\mathbf{\Omega}}_{\text {Gal }}^{\mathrm{NGal}} \times \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P}) }[/math],
La força d’inèrcia es pot descompondre en dues forces: la força d’inèrcia d’arrossegament i la força d’inèrcia de Coriolis:
[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{P}}^{-}=\left[-\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{P})\right]+\left[-\mathrm{m}_{\mathrm{P}} 2 \overline{\boldsymbol{\Omega}}_{\text {Gal }}^{\mathrm{NGal}} \times \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P})\right] \equiv \mathbf{F}_{\mathrm{ar} \rightarrow \mathrm{P}}^{-}+\mathbf{F}_{\text {cor } \rightarrow \mathrm{P}}^{-} }[/math].
Totes dues depenen de magnituds cinemàtiques de la referència no galileana (NGal) respecte de la referència galileana (Gal), i per tant són diferents per a cada referència NGal (les referències no galileanes són distingibles en dinàmica newtoniana!).
Cal tenir present que no es tracta de forces d’interacció. Així, la força d’arrossegament no prové d’un arrossegament físic de la partícula per part de la referència.
En situacions estàtiques (absència de moviment de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] respecte de NGal, [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P})=\overline{0} }[/math] ) o quan la referència NGal només es trasllada respecte d’una de galileana ([math]\displaystyle{ \overline{\boldsymbol{\Omega}}_{\text {Gal }}^{\mathrm{NGal}}=\overline{0} }[/math]) , la força d’inèrcia de Coriolis és nul·la.
✏️ Exemple D1-7.1
- Dues persones, que es modelitzen com a dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] amb la mateixa massa m, es troben en repòs respecte d’una plataforma giratòria i respecte del terra, respectivament.
- Si [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] estudia la dinàmica de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] des de la referència del terra, no haurà d’incloure forces d’inèrcia perquè, per a aquest tipus de problema, la Terra es considera galileana.
Si [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] estudia la dinàmica de [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] des de la referència de la plataforma giratòria(que té el centre [math]\displaystyle{ \mathbf{O} }[/math] fix a terra i gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]), com que és una referència no galileana (no té un moviment de translació rectilini i uniforme respecte del terra), haurà d’incloure dues forces d’inèrcia:
- Força d’inèrcia d’arrossegament [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\mathrm{ar}\rightarrow \mathrm{Q}}^{-} }[/math] : ja que el moviment d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] és circular de centre [math]\displaystyle{ \mathbf{O} }[/math], radi R ([math]\displaystyle{ =\mid \OQvec \mid }[/math]) i velocitat angular associada [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] , la força d’arrossegament serà radial cap enfora (centrífuga) i de valor [math]\displaystyle{ \ms\Rs\Omega_0^2 }[/math] .
- Força d’inèrcia de Coriolis [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\mathrm{Cor}\rightarrow \mathrm{Q}}^{-} }[/math]: s’obté a partir de l’acceleració de Coriolis: [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\text {Cor } \rightarrow \mathbf{Q}}^{-}=-\mathrm{m} \overline{\mathbf{a}}_{\text {Cor }}(\mathbf{Q})=-\mathrm{m} 2 \overline{\boldsymbol{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {Plat }} \times \overline{\mathbf{v}}_{\text {Plat }}(\mathbf{Q})=-\mathrm{m} 2 \overline{\boldsymbol{\Omega}}_0 \times\left[\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{Q})-\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{Q})\right]=\mathrm{m} 2 \overline{\boldsymbol{\Omega}}_0 \times \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{Q}) }[/math]
Ja que la velocitat d’arrossegament és ortogonal a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] i la [math]\displaystyle{ \overline{\boldsymbol{\Omega}}_0 }[/math] és vertical, la força de Coriolis és radial centrífuga (dirigida cap a [math]\displaystyle{ \mathbf{O} }[/math]), i de valor [math]\displaystyle{ \ms\Rs\Omega_0^2 }[/math].
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats