D7. Exemples de dinàmica 3D

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\mat}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\dth}{\dot{\theta}} \newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}} \newcommand{\sth}{\text{sin}\theta} \newcommand{\cth}{\text{cos}\theta} \newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta} \newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta} \newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}} }[/math]

EN CONSTRUCCIÓ

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la secció D6.4 s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is} }[/math]

Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs [math]\displaystyle{ (\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math], roman en repòs [math]\displaystyle{ (\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math]. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \downarrow(\qs_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs_{j,eq} = \tilde{f}(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}) }[/math]

L’equació que defineix les [math]\displaystyle{ \qs_{\text{j,eq}} }[/math] pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ (\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js, }[/math] amb [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js \lt \lt 1 }[/math], i per tant [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js^2 \approx 0 }[/math]), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

• si apareixen polinomis de grau superior a 1:

[math]\displaystyle{ \qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3 }[/math]

• si es tracta d’una coordenada angular [math]\displaystyle{ (\qs_\js=\theta) }[/math] i apareixen funcions sinus i cosinus:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\ \cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\ \text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\ \text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\ \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq} \end{cases} }[/math]

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0 }[/math], on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0 }[/math]. La solució general és: [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math], amb [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt{\Bs/\As} }[/math]. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 }[/math].

💭 Demostració ➕

La solució [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) }[/math] de l’equació [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0 }[/math] ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

[math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math]

Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

[math]\displaystyle{ -\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}} }[/math]

El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math] la freqüència angular de la qual [math]\displaystyle{ (\omega) }[/math] depèn de paràmetres del sistema.

Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials ([math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi) }[/math]), i per tant, no són intrínseques al sistema.

• condicions inicials només de posició: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0) = 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 90\deg\\ \as = \varepsilon_0 \end{aligned}\right. }[/math]

• condicions inicials només de velocitat: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0) = 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 0\deg\\ \as = \dot\varepsilon_0/\omega \end{aligned}\right. }[/math]

• condicions inicials de posició i velocitat: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\ \as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable. L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon }[/math]

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \gt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon\lt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. És un comportament ESTABLE.

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \lt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. És un comportament INESTABLE.

D7.2 Exemples generals

✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria

---

La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant.

Descripció cinemàtica:

Una altra opció per calcular [math]\displaystyle{ \vel{G}{T} }[/math] és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth) }[/math]

Diagrama general d’interaccions

És un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] forçat, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

equacions: 2 sòlids [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs} }[/math]

incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

Full de ruta per a l’equació del moviment

Només la placa té un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

5 inc. enllaç + [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] = 6 inc.enllaç [math]\displaystyle{ \:\:\:\:\:\:\: }[/math]5 inc. enllaç + [math]\displaystyle{ \Gamma + \ddth }[/math] = 7 inc.enllaç

Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és immediata tant si sempre la base B com la B’.

Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

Una bona proposta és:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}} }[/math]

TMC a [math]\displaystyle{ \Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] placa: [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth] }[/math]

Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\ \I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2 \end{aligned}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\ \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0} }[/math]

Si es substitueixen [math]\displaystyle{ \I{gran + petit} }[/math] i [math]\displaystyle{ \I{petit} - \I{gran} }[/math] pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

[math]\displaystyle{ \boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0} }[/math]

Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\ \frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si [math]\displaystyle{ \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1 }[/math], i això es compleix només si la velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] està per sobre del valor crític [math]\displaystyle{ \Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}} }[/math].

Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

L’anàlisi analítica per a petites amplituds [math]\displaystyle{ (\varepsilon) }[/math] al voltant d’una configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} }[/math] es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques (secció D7.1):

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \varepsilon^2\approx 0 \end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]

Per a les petites amplituds al voltant de [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math], l’equació del moviment és [math]\displaystyle{ \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0 }[/math].

Si les condicions inicials són [math]\displaystyle{ (\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0) }[/math], l’evolució de [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] ve donada per: [math]\displaystyle{ \ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon }[/math].

• Per a [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \gt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] augmenta. És una configuració INESTABLE i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

• Per a [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \lt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \lt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] disminueix. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració ESTABLE. La freqüència angular [rad/s] és [math]\displaystyle{ \omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)} }[/math].

NOTA: si les condicions inicials són [math]\displaystyle{ \theta(\ts = 0) = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot\theta(\ts = 0) = 0 }[/math], el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math].

ANIMACIO

Comentari addicional

Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

[math]\displaystyle{ (\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0 }[/math]

Si es linealitza al voltant de la configuració [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ (\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0 }[/math]

Per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], el coeficient [math]\displaystyle{ \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right] }[/math] és positiu, i per tant la configuració [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] és sempre ESTABLE.

ANIMACIO

Full de ruta per al parell motor

Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:

En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}} }[/math]

El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)} }[/math]

✏️ Exemple D7.2: barres giratòries

---

El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació [math]\displaystyle{ \sth }[/math] d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] pot ser simplement [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] i que la rotació [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] es mantingui constant).

Diagrama general d’interaccions

És un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] forçat, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

equacions: 2 sòlids [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12 }[/math] eqs.

incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

Full de ruta per a l’equació del moviment

La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:

Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os} }[/math]

TMC a [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] peça [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]

Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], és la base que gira amb [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecte del terra.

L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de Steiner per passar a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2} }[/math]

Tenint en compte que [math]\displaystyle{ 2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 : }[/math] [math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20} }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0} }[/math]

El vector moment cinètic [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] i escombra una superfície cònica. La derivada de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] prové d’aquest canvi de direcció:

[math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

La derivada també es pot fer de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0} }[/math]

L’únic moment respecte del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

[math]\displaystyle{ \sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math].

Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

[math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️ }[/math]

Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de la peça respecte de la forquilla però mantenint [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math], que és la que genera [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0 }[/math]. Si [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] fos estrictament vertical (paral·lel a [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math]), llavors [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0 }[/math], i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment [math]\displaystyle{ \Ms_1 = \Ms_2 = 0 }[/math]. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una direcció principal d’inèrcia per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math], mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

Es pot aconseguir la rotació vertical constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és el mateix.

Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui [math]\displaystyle{ \dth }[/math]). Pel principi d’acció i reacció, la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

ALTERNATIVA

El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math], que es pot trobar amb el [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth }[/math].

L’equació del moviment és:

[math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0 }[/math]

Les configuracions d’equilibri [math]\displaystyle{ (\ddth_{eq} = 0) }[/math] són les solucions de l’equació trascendent:

[math]\displaystyle{ \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq} }[/math], i està clar que, si [math]\displaystyle{ \Omega_0\neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] no és una d’elles.

Les condicions inicials són: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2\gt 0 }[/math].

El fet que [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indica que té el mateix sentit que la desviació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules

---

El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació [math]\displaystyle{ \dth }[/math] d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] pot ser simplement [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] i que la rotació [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] es mantingui constant.

Diagrama general d’interaccions

És un sistema del mateix tipus que el de l’exemple D7.2: té dos GL ([math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] forçat, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

Full de ruta per a l’equació del moviment

La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’exemple D7.2, el full de ruta adequat és:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os} }[/math]

TMC a [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] peça [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]

El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} }[/math]

El vector moment cinètic [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] tot escombrant una superfície cònica. La derivada de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] prové d’aquest canvi de direcció:

[math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

La derivada també es pot fer de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2} }[/math]

El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i per tant l’únic moment respecte del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math]

Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

[math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

Com a l’exemple D7.2, el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de la peça respecte de la forquilla però mantenint [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una direcció principal d’inèrcia.

Es pot aconseguir la rotació vertical constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és el mateix.

Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel principi d’acció i reacció, la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

ALTERNATIVA

El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth }[/math]

L’equació del moviment és:

[math]\displaystyle{ 3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0 }[/math]

Les configuracions d’equiibri [math]\displaystyle{ (\ddth_{\es\qs} = 0) }[/math] són les solucions de l’equació transcendent:

[math]\displaystyle{ \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs} }[/math], i és evident que [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math] no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

Les condicions inicials són: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ 3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2\gt 0 }[/math]

El fet que [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indica que té el mateix sentit que la desviació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.

✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria

---

La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul [math]\displaystyle{ (\mu_\text{rad} = 0) }[/math]. Es tracta d’investigar si la rotació [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.

Descripció cinemàtica

L’EIRL de la bola respecte del terra és la recta [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math], i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

Diagrama general d’interaccions

És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

(17 inc. d'enllaç, 1GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incògnites

3 sòlids rígids [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}} }[/math]= 18 equacions

La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a SAE, doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents [math]\displaystyle{ (\Omega_3,\Omega_1) }[/math] respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

(11 inc. d'enllaç, 1GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 12 incògnites

2 sòlids rígids [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}} }[/math] = 12 equacions

Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte

La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}} }[/math]

El moment cinètic [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] (ja que [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs) }[/math] és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\ &= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\ &=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) \end{aligned} }[/math]

Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical [math]\displaystyle{ \vec{\Omega_0} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls] \end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} }[/math]

La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

Alternativa:

Si el càlcul de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] es fa a partir de [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os) }[/math] i la derivada es fa de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\ &=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} \end{aligned} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\ \left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls} \end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} }[/math]

✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria

---

L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]. Inicialment, [math]\displaystyle{ \dot\psi(t=0) = 0 }[/math]. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] constant mentre hi ha lliscament.

Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions

Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI (exemple D3.18) són:

Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) (secció D3.6):

En els dos casos, el problema és determinat:

Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incògnites, 3 sòlids rígids[math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} = }[/math] 18 equacions

Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 12 incògnites, 2 sòlids rígids[math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} = }[/math] 12 equacions

OPCIÓ 1

En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre braç i sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]

Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç [math]\displaystyle{ (\Ns, \Ms_1) }[/math]. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç. Caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os} }[/math]

El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] perquè [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és fix a l’anella:

[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} }[/math], amb [math]\displaystyle{ 2\Is = \ms\rs^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} }[/math]

Els moments externs a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] provenen del pes, de les forces a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] i del moment [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs} }[/math]

La segona component condueix a [math]\displaystyle{ \Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0 }[/math], i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

[math]\displaystyle{ \boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)} }[/math]

A l’instant inicial, [math]\displaystyle{ \dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}\gt 0 }[/math], i per tant la velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a [math]\displaystyle{ \Js }[/math].

Quan [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] arriba al valor [math]\displaystyle{ (\dot\varphi_0/2) }[/math], el lliscament a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] s’atura:

[math]\displaystyle{ \vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0 }[/math]

A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

Full de ruta per al parell motor

Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \psi }[/math] i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

La component 1 del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1} }[/math]

El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)} }[/math]

OPCIÓ 2

Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]

Només l’anella té un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

En els dos casos, si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math]) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os} }[/math]

El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\: \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} }[/math]

Els moments externs a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] a:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3} }[/math]

La segona component dóna el valor de N: [math]\displaystyle{ \Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0 }[/math]. En ser sempre positiu, el contacte a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] està garantit.

La primera component dóna el parell motor: [math]\displaystyle{ \Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right) }[/math].

Però a la tercera, l’acceleració [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math] està en funció de [math]\displaystyle{ \Ms_3 }[/math]. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os} }[/math]

Els moments externs són diferents al cas anterior:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs} }[/math]

En aquesta opció, l’acceleració [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math] està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.

Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

[math]\displaystyle{ \boxed{\begin{aligned} \text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\ \text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3 \end{aligned}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\ \:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi \end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs }[/math]

L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.

✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori

---

El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math] sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

Descripció cinemàtica

És un sistema de 3 GL: el moviment pendular [math]\displaystyle{ \dot\theta }[/math], el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math]) i la rotació vertical forçada [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math].

El moviment del centre de l’anella [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{AB: guia} \\ \text{AB: suport} \end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{AB: terra} \\ \text{AB: guia} \end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth) }[/math]

Diagrama general d'interaccions

El problema és determinat:

(15 inc. d'enllaç, 3GL) [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incògnites

3 sòlids rígids [math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}} }[/math] = 18 equacions

Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math]

Només el moviment de l’anella depèn de [math]\displaystyle{ \ddth }[/math]. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular [math]\displaystyle{ \dth }[/math] (i, per tant, el canvi del seu valor [math]\displaystyle{ \ddth }[/math]). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1} }[/math]

Ja que el punt O es mou respecte del terra: :[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}} }[/math]

Per altra banda, [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és un punt fix a l’anella: :[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0} }[/math], amb [math]\displaystyle{ 2\Is = \ms\Rs^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth }[/math]

[math]\displaystyle{ \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth) }[/math]

Finalment: [math]\displaystyle{ \boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0 }[/math].

Aquesta equació del moviment inclou també la variable [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Això vol dir que els graus de llibertat [math]\displaystyle{ \dth }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] estan acoblats: encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

La component 1 del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per al sistema anella és l’única on apareixen [math]\displaystyle{ \dth }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

El moviment de l’anella i el del suport depenen de [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math], [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] ja no és una incògnita.

Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

Per tant: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal} }[/math]

Càlcul de l’acceleració de G:

Opció 1: per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

[math]\displaystyle{ \left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth},  :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth }[/math]

Opció 2: per cinemàtica del sòlid rígid.

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \Gs\in\text{anella} \\ \Os\in\text{anella} \end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec }[/math]

[math]\displaystyle{ \velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth) }[/math]

L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de [math]\displaystyle{ \vec{\dth} }[/math]: [math]\displaystyle{ \accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth }[/math]

Formulació de la força de la molla

El GL de translació vertical del suport [math]\displaystyle{ (\dot\xs) }[/math] està associat a la variació d’una coordenada [math]\displaystyle{ \xs }[/math] l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

Si es pren [math]\displaystyle{ \xs=0 }[/math] per a l’equilibri en absència de rotació [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math], és clar que la molla haurà d’exercir una força [math]\displaystyle{ \Fs_0 }[/math] d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: [math]\displaystyle{ \Fs_0 = \ms\gs }[/math]. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: [math]\displaystyle{ \Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho }[/math].

Ja que el moviment [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] s’ha definit positiu cap a baix, un augment de [math]\displaystyle{ \xs }[/math] implica un augment de llargària de la molla. Per tant: [math]\displaystyle{ \Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs }[/math].

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\ \left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth) \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0} }[/math]

Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

Les condicions inicials [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) }[/math] amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

Una condició inicial del tipus [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) = \xs_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) =0 }[/math] no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0 }[/math].

En canvi, una condició inicial del tipus [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0)=\theta_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) =\dth_0 }[/math] sí que genera movement vertical [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math], doncs l’equació que governa la [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] per a l’instant inicial és:

[math]\displaystyle{ \ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0 }[/math].

Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic

Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 = 0 }[/math]) s’obtenen de les equacions del moviment imposant [math]\displaystyle{ \ddot\xs_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddth_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth_\text{eq} = 0 }[/math]:

Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri [math]\displaystyle{ (\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta) }[/math], les equacions es poden (secció D7.1)linealitzar. Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sth\sim\varepsilon_\theta \\ \cth\sim 1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs \lt 0\\ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta \lt 0 \end{cases} }[/math]

Ja que [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \lt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \lt 0 }[/math], es tracta d’una configuració ESTABLE.

Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sth\sim -\varepsilon_\theta \\ \cth\sim -1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs \gt 0\\ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta \gt 0 \end{cases} }[/math]

Ja que [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math], es tracta d’una configuració INESTABLE.

Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0\gt 0 }[/math], per a [math]\displaystyle{ \ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math] l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, [math]\displaystyle{ \xs_\text{eq}=0 }[/math] és estable: [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \lt 0 }[/math]), però la de la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

[math]\displaystyle{ (\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \begin{cases} \text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\ \text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right) \end{cases} }[/math]

La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de [math]\displaystyle{ \dot\psi_0^2 }[/math] ja que la funció [math]\displaystyle{ \text{cos}\theta_\text{eq} }[/math] està acotada entre -1 i +1:

[math]\displaystyle{ |\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls} }[/math]

Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0) }[/math], la linealització de l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] condueix a:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 \lt \dot\psi_{\cs\rs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \lt 0 }[/math], la configuració és ESTABLE. Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 \gt \dot\psi_{\cs\rs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math], la configuració és INESTABLE.

Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg) }[/math], l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] linealitzada és:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math]

La configuració és INESTABLE per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \dot\psi_0^2 }[/math].

L’estudi de les configuracions [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2) }[/math] es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

<<< D6. Exemples de dinàmica 2D

D8. Conservacions >>>