D4. Teoremes vectorials

De Mecànica

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\ss}{\textsf{s}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}} \newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}} }[/math]

Els Teoremes Vectorials són una eina per resoldre la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (segona llei de Newton) i del principi d’acció i reacció (tercera llei de Newton).

En aquest curs, es presenta només la versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.

En començar un problema, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en tres grups:

  • Evolució temporal dels graus de llibertat lliures (no controlats per actuadors) del sistema. Les equacions que les regeixen s’anomenen equacions del moviment. Si els GL lliures es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades ([math]\displaystyle{ \dot{q}_i }[/math], amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). El seu aspecte general és:
[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}) }[/math]

La dependència en les segones derivades temporals [math]\displaystyle{ (\ddot{q}_j) }[/math] és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats [math]\displaystyle{ (q_i,\dot{q}_j) }[/math] pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).

  • Accions dels actuadors: són les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir unes evolucions prefixades dels GL que controlen. Com s’ha comentat a la secció D2.6, en alguns casos es pot considerar que les accions dels actuadors són dades, i llavors les incògnites associades són les evolucions dels GL que controlen.




D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes

Considerem un sistema de partícules de matèria constant (Figura D4.1). El Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] del sistema. Si la referència que es considera és galileana:

[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math], on [math]\displaystyle{ \F{\rightarrow\Ps} }[/math] és la força resultant d’interacció sobre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].

D4-1-cat.png
Figura D4.1 Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant

Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): [math]\displaystyle{ \F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math]. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:

[math]\displaystyle{ \F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps m_P\acc{P}{RGal} }[/math]

El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} }[/math]. El terme de la dreta es pot reescriure com a [math]\displaystyle{ M\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{M}\acc{P}{RGal}\right] }[/math], on M és la massa total del sistema [math]\displaystyle{ \left(M\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right) }[/math]. El terme [math]\displaystyle{ \left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{M}\acc{P}{RGal}\right] }[/math] és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat centre de masses (o centre d’inèrcia) del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] queda descrita per les equacions (Figura D4.2):

[math]\displaystyle{ \vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps_\is}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R} }[/math]
D4-2-cat-esp.png
Figura D4.2 Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant

En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

[math]\displaystyle{ \vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right) }[/math]

Finalment, el TQM s’escriu com a:

[math]\displaystyle{ \sum\F{ext}=M\acc{P}{RGal} }[/math]

Aquesta equació és molt propera a la segona llei de Newton: el centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:

  • la massa del sistema no està localitzada a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] (fins i tot, pot ser que [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);
  • les forces externes no estan aplicades a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] en general.

El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de l’estat mecànic inicial i de les interaccions externes, de la quantitat de moviment del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a [math]\displaystyle{ \sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=M\vel{G}{R} }[/math]):

[math]\displaystyle{ \sum\F{ext}=M\acc{G}{RGal}=\dert{M\vel{G}{RGal}}{RGal} }[/math]

La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la secció D5.1. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.




D4.2 Exemples d’aplicació del TQM

✏️ EXEMPLE D4.1: càlcul d’una força d’enllaç


D4-Ex1-1-neut.png
Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra.

Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (exemple D3.4). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.


Per tal que la força d’enllaç [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: [math]\displaystyle{ (\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)] }[/math].

D4-Ex1-2new-neut.png

Aquesta equació conté dues incògnites: [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] i [math]\displaystyle{ \as_\Ts(\Gs_\Ss) }[/math]. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:

[math]\displaystyle{ \Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2} }[/math]


✏️ EXEMPLE D4.2: moviment inicial d’un sistema


D4-Ex2-1-cat.png
Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió [math]\displaystyle{ \Fs_0=\ms\gs }[/math] i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s.


Es tracta de calcular l’acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: [math]\displaystyle{ \F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T} }[/math].

Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.

El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:

[math]\displaystyle{ |\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs }[/math]

[math]\displaystyle{ |\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs }[/math]

Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa [math]\displaystyle{ 2\ms }[/math] (per tant, [math]\displaystyle{ \as_\Ts(2\ms) = 0 }[/math]), però no en el del bloc de massa m:

D4-Ex2-2-cat.png

L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\ \sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs) }[/math]


Finalment: [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs }[/math].


✏️ EXEMPLE D4.3: estudi d’una condició límit


D4-Ex3-1-neut.png
L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de terminar el valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs.

Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit [math]\displaystyle{ /mu\ns }[/math] (on [math]\displaystyle{ \Ns }[/math] és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura: Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces. L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:

D4-Ex3-3-neut.png
SISTEMA: esfera + falques

[math]\displaystyle{ \left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs }[/math]

SISTEMA: falca de l'esquerra

[math]\displaystyle{ \left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}} }[/math]

SISTEMA: esfera

[math]\displaystyle{ \left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}} }[/math]

Combinant les dues últimes equacions: [math]\displaystyle{ \Ts = \Ms\gs/2 }[/math]. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: [math]\displaystyle{ \Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns }[/math]. Tenint en compte que [math]\displaystyle{ N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu} }[/math]




D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes

La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis (Figura D4.3):

[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal} }[/math],

on [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal} }[/math] i [math]\displaystyle{ \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} }[/math]

D4-3-cat.png
Figura D4.3: Forces d’inèrcia en una referència no galileana

Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: [math]\displaystyle{ \sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal} }[/math] massa total del sistema.

💭 Demostració ➕

Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:

[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext} }[/math]

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el centre de masses (secció D4.2):

[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} }[/math]

Així doncs: [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal} }[/math]


✏️ EXEMPLE D4.4: desplaçament vibratori


D4-Ex4-1-cat-esp.png
El bloc de massa m es troba inicialment en repòs

sobre un suport que oscil·la respecte del terra d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a la figura. Es tracta d’investigar la possibilitat que el bloc llisqui al damunt del suport. La condició de repòs del bloc respecte del suport (que és una referència no galileana en tenir un moviment accelerat respecte del terra) demana:

[math]\displaystyle{ \sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0}) }[/math] perquè [math]\displaystyle{ \velang{sup}{T} = \vec{0} }[/math]

La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a [math]\displaystyle{ N = mg }[/math] . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: [math]\displaystyle{ 0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms }[/math]. Si llisca, és una força de fricció de valor [math]\displaystyle{ \mu\ms\gs }[/math], oposada a la velocitat de lliscament.

Entre [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] i [math]\displaystyle{ t = 0,4s }[/math], l’acceleració del suport respecte del terra és [math]\displaystyle{ \ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2 }[/math] i per tant la força d’arrossegament és [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms] }[/math]. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor [math]\displaystyle{ \F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2) }[/math], contrarestarà la [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} }[/math] i es mantindrà el repòs entre els dos elements.

Entre [math]\displaystyle{ t=0,4s }[/math] i [math]\displaystyle{ t = 0,6s }[/math], l’acceleració del suport respecte del terra és 2[math]\displaystyle{ \ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2} }[/math]. Per tant,[math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] }[/math]. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:

[math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right) }[/math]

A l’instant [math]\displaystyle{ t = 0,6s }[/math], la velocitat del bloc respecte del suport és

[math]\displaystyle{ \vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) }[/math].

Tot i entrar en la zona on [math]\displaystyle{ \mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid\lt \mu\Ms\gs }[/math], la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció [math]\displaystyle{ (\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms]) }[/math] fins aconseguir aturar el bloc.

L’acceleració del bloc respecte del suport és:

[math]\displaystyle{ \acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right) }[/math]

En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:

[math]\displaystyle{ \vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i) }[/math], [math]\displaystyle{ t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s }[/math]

En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a [math]\displaystyle{ \ts = 1,4s }[/math]. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que en l’estudi de l’interval [math]\displaystyle{ [0,1,4s] }[/math]. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.

D4-Ex4-2-cat.png




D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general

L’estudi de la dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt ([math]\displaystyle{ \Gs }[/math]), i no sobre la rotació.

El Teorema del Moment Cinètic (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: en una banda apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu estat mecànic.

Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de torsor d’un sistema de forces, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].

Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la Referència que es Trasllada amb Q (RTQ) respecte d’una referència galileana [math]\displaystyle{ \velang{RTQ}{RGal} = \vec{0} }[/math]. Si [math]\displaystyle{ \acc{Q}{RGal}\neq\vec{0} }[/math], aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les forces d’inèrcia d’arrossegament (Figura D4.3).

D4-4-cat.png
Figura D4.4: Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (RTQ)



Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:

[math]\displaystyle{ \sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} }[/math] ,

on [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal} }[/math] , i [math]\displaystyle{ \Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0} }[/math] ja que [math]\displaystyle{ \velang{RTQ}{RGal}=\overline{0} }[/math].

Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{P}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]

on [math]\displaystyle{ \Ms }[/math] és la massa total del sistema, i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ} }[/math] és el moment cinètic del sistema respecte el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].

Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \frac{1}{\Ms_\is} \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right ) }[/math].


💭 Demostració ➕

La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] és:

[math]\displaystyle{ \sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} }[/math]

El terme de la dreta es pot reescriure com a:

[math]\displaystyle{ \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math]

En ser [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] en aquesta referència, i per tant:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math] [math]\displaystyle{ =\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math]

Tenint en compte que la massa és constant:

[math]\displaystyle{ \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} }[/math]

La suma d’aquest terme per a tots els elements P condueix a:

[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]

Si les forces d’interacció sobre cada partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:

[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}= }[/math]

[math]\displaystyle{ = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , }[/math]
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:

[math]\displaystyle{ \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0} }[/math]
Agrupant tots els termes:

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]




D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars

El TMC pren expressions més senzilles quan el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.

  • [math]\displaystyle{ \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). }[/math] De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per designar el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs). }[/math]Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] no té per què ser fix a una referència galileana.

Quan [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia [math]\displaystyle{ \left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right) }[/math] pot ser nul si [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a [math]\displaystyle{ \QGvec }[/math] .

TMC a punt fix TMA a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] TMC a un punt mòbil [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad }[/math]


El vector moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) }[/math] no és senzill de calcular en general, i es presenta a la unitat D5.

En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is) }[/math] de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid [math]\displaystyle{ \velang{Si}{RTQ} }[/math] (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D).

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.


TMC en un punt de contacte entre dos sòlids

Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte [math]\displaystyle{ \Js }[/math] (ja que el seu moment respecte de [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és nul).

TMCaJ-0-cat.png

L’aplicació del TMC a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és molt delicada. Cal precisar de quin punt [math]\displaystyle{ \Js }[/math] es parla (secció C5.n – PER AFEGIR): si es tracta del [math]\displaystyle{ \Js }[/math] del sòlid S1 [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{S}1}) }[/math], del sòlid S2 [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{S}2}) }[/math] , o bé si és el punt geomètric de contacte [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{geom}}) }[/math] . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents [math]\displaystyle{ \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right) }[/math] , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia [math]\displaystyle{ \left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right) }[/math] és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{S}1} }[/math] pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{S}1} }[/math] i [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{geom}} }[/math] no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.

Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan [math]\displaystyle{ \Js }[/math] no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.


TMCaJ-1-cat.png

[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ} }[/math]


TMCaJ-2-cat.png

[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\ \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0} \end{array}\right. }[/math]


TMCaJ-3-cat-esp.png

[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\ \dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) \end{array}\right. }[/math]




D4.6 Exemples d’aplicació del TMC

✏️ EXEMPLE D4.5: condició límit estàtica


D4-Ex5-1-cat.png
El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{Q} }[/math] ). Es tracta de calcular el valor mínim de [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{Q} }[/math] que permet l’equilibri.

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:

D4-Ex5-2-neut.png

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\overline{0} }[/math] i la força externa total ha de ser zero. Per tant:

[math]\displaystyle{ \Ns_\Ps=\Ns_\Qs }[/math] , [math]\displaystyle{ \ms\gs=\Ts_\Qs }[/math]

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] ha arribat al seu valor màxim possible: [math]\displaystyle{ \Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs }[/math]. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular [math]\displaystyle{ \Ns_\Qs }[/math] , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], com a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] o a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], el moment cinètic és zero:


[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\ \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0} \end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} }[/math]


[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}. }[/math]

Per tant: [math]\displaystyle{ \Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. }[/math]


✏️ EXEMPLE D4.6: màquina d’Atwood


D4-Ex6-1-cat.png
Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges.

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són [math]\displaystyle{ (\gs \approx 10 \ms/\ss^2) }[/math] :

D4-Ex6-1-neut.png

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] :


[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) }[/math]


Per la definició de centre de masses: [math]\displaystyle{ \int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} }[/math] . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial [math]\displaystyle{ \OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc}) }[/math] només contribueix la component horitzontal de [math]\displaystyle{ \OGvec_\mathrm{bloc} }[/math] . Així doncs:


[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs} }[/math]

D4-Ex6-3-neut.png

Resolució alternativa

Si s’aplica el TMC al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).

El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:

SIST: politges + cordes

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0 }[/math]

D4-Ex6-4-neut.png


L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:

SIST: bloc de 10kg

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta}) }[/math]


SIST: bloc de 5kg

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta}) }[/math]


La resolució del sistema d’equacions condueix a [math]\displaystyle{ \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs} }[/math].


La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.


✏️ EXEMPLE D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle


D4-Ex7-1-cat.png
El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes.

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre tot el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:

[math]\displaystyle{ \sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\ [\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts) \end{aligned}\right. }[/math]


on [math]\displaystyle{ (\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs}) }[/math] són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament. El TMC a G condueix a: [math]\displaystyle{ \sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0 }[/math] (el moment cinètic [math]\displaystyle{ \vec{H}_{RTG}(\Gs) }[/math] és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).

D4-Ex7-2-cat.png


Resolent el sistema d’equacions: [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, }[/math]

Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \as_\Ls }[/math]:

  • Situació estàtica ([math]\displaystyle{ \as_\Ts = 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; la força normal és més gran a la roda que té l’eix més proper a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].
  • Accelerant ([math]\displaystyle{ \as_\Ls \gt 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math] ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carrega la roda del darrere i es descarrega la del davant). Si l’acceleració [math]\displaystyle{ |\as_\Ts| }[/math] és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = 0 }[/math], el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] passa a tenir acceleració vertical.
  • Frenant ([math]\displaystyle{ \as_\Ls \lt 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarrega la roda del darrere i es carrega la del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de [math]\displaystyle{ |\as_\Ts| }[/math] que provoca el bolcament, ara en sentit horari.


© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats




<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids

D5. Geometria de masses >>>