D5. Geometria de masses

De Mecànica

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math] Els Teoremes Vectorials relacionen el torsor extern d‘interacció sobre un sistema ([math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} }[/math], [math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) }[/math]) amb el canvi al llarg del temps de vectors que depenen de com està distribuïda la massa en el sistema (geometria de masses) i del seu moviment. En el TQM, aquest vector és la quantitat de moviment del sistema, mentre que en el TMC és el moment cinètic (o moment angular) del sistema. En aquesta unitat es donen les eines necessàries per poder descriure la geometria de masses d’un sòlid rígid i calcular aquests dos vectors.



D5.1 Centre d'inèrcia

El centre d'inèrcia (també anomenat centre de masses) d’un sistema mecànic és un punt la cinemàtica del qual és una cinemàtica ponderada de tots els elements del sistema que tenen massa, i en aquest curs es representa amb la lletra [math]\displaystyle{ \Gs. }[/math]

D5-1-cat-esp-ana.png
Figura D5.1 Centre d'inèrcia d’un sistema de massa constant


Per al cas d’un sòlid rígid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] homogeni, la localització de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és fàcil quan el sòlid té simetries importants (Figura D5.2).


D5-2-cat.png
Figura D5.2 Centre d'inèrcia de sòlids amb simetries importants


Quan no és el cas, cal procedir a la integració per obtenir-lo. Si [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math] és la massa total del sòlid: [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Gs}=\frac{1}{\mathrm{M}} \int_\mathrm{S}\mathrm{dm}(\Ps)\overline{\Os_\Rs\Ps} }[/math]

La Taula mostra el centres d'inpercia de les geometries més habituals. A partir d’aquesta informació i per a sòlids [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] formats per diversos d’aquests elements [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\is }[/math] , la posició del centre d'inèrcia es pot trobar com a mitjana ponderada de la posició de cada [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_\is }[/math] .


✏️ EXEMPLE D5.1: closca


ExD5-1-neut.png
El sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] està format per una closca cilíndrica i una semiclosca esfèrica, ambdós homogenis i de la mateixa densitat superficial [math]\displaystyle{ \sigma }[/math].

Per simetria, les coordenades [math]\displaystyle{ (\xs,\ys) }[/math] del centre d'inèrcia [math]\displaystyle{ \mathrm{G} }[/math] total són nul·les: [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=(0,0) }[/math]. La coordenada [math]\displaystyle{ \zs }[/math] de la closca cilíndrica és [math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{Gcil}=\Rs/2 }[/math]. La de la semiclosca esfèrica es pot trobar a partir de la Taula:

[math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{Gesf}=\Rs+(\Rs/2)=3\Rs/2 }[/math].
La massa de cada element és el producte de la densitat superficial per la superfície de l’element:
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{cil}=\sigma 2 \pi \Rs^2 }[/math] , [math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{esf}=\sigma \frac{1}{2} 4 \pi \Rs^2= \sigma 2 \pi \Rs^2 }[/math]

Per tant: [math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{G}=\frac{\ms_\mathrm{esf}\zs_\mathrm{Gesf}+\ms_\mathrm{cil}\zs_\mathrm{Gcil}}{\ms_\mathrm{esf}+\ms_\mathrm{cil}}=\frac{2\pi\Rs^2(3/2)\Rs +2\pi\Rs^2(1/2)\Rs}{2\pi\Rs^2+2\pi\Rs^2}=\Rs }[/math]


✏️ EXEMPLE D5.2: placa plegada


ExD5-2-1-cat.png
El sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] és una placa triangular homogènia, de densitat superficial [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] , plegada.

El centre d'inèrcia es pot trobar com a mitjana ponderada del centre d'inèrcia d’una placa quadrada de costat 6L i dues de triangulars de catets 6L:

ExD5-2-2-neut.png
[math]\displaystyle{ (\xs_1,\ys_1)=(3\Ls,3\Ls) \hspace{3cm} (\xs_2,\ys_2)=(8\Ls,2\Ls) \hspace{3cm} (\xs_3,\ys_3)=(2\Ls,4\Ls) }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{1cm} \ms_1=(6\Ls)(6\Ls)\sigma=36\Ls^2\sigma \hspace{1.5cm} \ms_2=(1/2)(6\Ls)(6\Ls)\sigma=18\Ls^2\sigma \hspace{1cm} \ms_3=(1/2)(6\Ls)(6\Ls)\sigma=18 \Ls ^2 \sigma }[/math]


Per tant: [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=\frac{36\sigma(3,3)\Ls^3+ 18\sigma (8,2)\Ls^3 + 18\sigma (2,4)\Ls^3}{36\Ls^2\sigma+18\Ls^2\sigma+ 18 \Ls^2 \sigma}=(4,3)\Ls. }[/math]

✏️ EXEMPLE D5.3: cilindre foradat


ExD5-3-1-neut.png
El sòlid és un cilindre homogeni foradat de densitat [math]\displaystyle{ \rho }[/math], i es pot considerar com a la superposició d’un cilindre massís d’alçària [math]\displaystyle{ 4\Ls }[/math] i radi [math]\displaystyle{ 2\rs }[/math], i un cilindre de massa negativa, d’alçària [math]\displaystyle{ 2\Ls }[/math] i radi [math]\displaystyle{ \rs }[/math].

Per simetria ,[math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=(0,0) }[/math]. La coordenada [math]\displaystyle{ \zs }[/math] es pot trobar com a promig ponderat de la coordenada [math]\displaystyle{ \zs }[/math] del cilindre massís:

Massa del cilindri massís i del forat per separat:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{massís}=\mathrm{V}_\mathrm{massís}\rho=\pi(2\rs)^24\Ls\rho=16\pi\Ls \rs^2\rho \quad , \quad \ms_\mathrm{forat}=\mathrm{V}_\mathrm{forat} \rho=\pi\rs^22 \Ls\ \rho=2\pi\Ls \rs^2\rho }[/math]


[math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{G}=\frac{\ms_\mathrm{massís}\zs_\mathrm{massís}- \ms_ \mathrm{forat} \zs_\mathrm{forat}}{\ms_\mathrm{massís} -\ms_\mathrm{forat}}= \frac{16\pi\Ls\rs^2\rho \cdot 2\Ls - 2\pi\Ls \rs^2 \rho \cdot 3\Ls}{16\pi\Ls\rs^2\rho-2\pi\Ls\rs^2\rho}=\frac{13}{7}\Ls. }[/math]




D5.2 Tensor d’inèrcia

El càlcul del moment cinètic d’un sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] en un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] d’aquest sòlid es pot fer de manera àgil a partir d’una matriu simètrica definida positiva [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] , anomenada matriu del tensor d’inèrcia del sòlid [math]\displaystyle{ \mathbf{S} }[/math] al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], i la seva velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTQ} }[/math] (que és igual a [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] ja que la referència RTQ es trasllada respecte d’una de galileana):

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \overline{\mathbf{Q P}} \times \mathrm{dm}(\mathbf{P}) \overline{\mathbf{v}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{P}) \equiv \mathrm{II}(\mathbf{Q}) \bar{\Omega}_{\text {RTQ }}^{\mathrm{s}}=\mathrm{II}(\mathbf{Q}) \bar{\Omega}_{\text {Gal }}^{\mathrm{s}} . }[/math]

La relació entre el moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math] i la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] no és una simple proporcionalitat ja que [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] és una matriu. Per aquest motiu, aquests dos vectors no són paral·lels en general (Figura D5.3).

D5-3-neut.png
Figura D5.3 Moment cinètic i velocitat angular d’un sòlid rígid no són paral·lels en general


Els elements de [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] en una base vectorial [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math] d’eixos 123 tenen a veure amb la distribució de massa de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] al voltant d’uns eixos de coordenades [math]\displaystyle{ (\xs_1,\xs_2,\xs_3) }[/math] amb origen a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (Figura D5.4):

D5-4-cat-ana.png
Figura D5.4 Tensor d’inèrcia d’un sòlid


Els elements de la diagonal ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) s’anomenen moments d’inèrcia, i no poden ser mai negatius. Els de fora de la diagonal ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) són els productes d’inèrcia, i poden tenir qualsevol signe.

Si la base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math] és d’orientació fixa a [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math], els elements de ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) són constants. En aquest curs, es treballa sempre amb tensors d’inèrcia d’elements constants.

💭 Demostració ➕

Quan el moment cinètic d’un sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] es refereix a un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que pertany a aquest mateix sòlid, es pot aplicar la cinemàtica de sòlid rígid per relacionar la velocitat de tots els punts de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] amb la del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \overline{\mathbf{Q P}} \times \mathrm{dm}(\mathbf{P}) \vel{P}{RTQ} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Ps, \Qs \in \mathrm{S} \quad \Rightarrow \quad \vel{P}{RTQ}=\vel{Q}{RTQ}+ \velang{S}{RTQ} \times \QPvec = \velang{S}{RTQ} \times \QPvec = -\QPvec \times \velang{S}{RTQ} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \QPvec \times (\QPvec \times \velang{S}{RTQ})\mathrm{dm}(\Ps) }[/math]


Si s‘expressa el vector [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] en una base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math] d’eixos (1,2,3):


[math]\displaystyle{ \braq{\QPvec \times \velang{S}{RTQ}}{B}=\vector{\mathrm{QP}_1}{\mathrm{QP}_2}{\mathrm{QP}_3} \times \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} \equiv \vector{\xs_1}{\xs_2}{\xs_3} \times \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}= \vector{\xs_2\Omega_3-\xs_3\Omega_2}{\xs_3\Omega_1-\xs_1\Omega_3}{\xs_1\Omega_2-\xs_2\Omega_1}=\matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} , }[/math]


[math]\displaystyle{ \braq{\QPvec \times (\QPvec \times \velang{S}{RTQ})}{B}= \matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} = - \matriz{\xs_2^2 + \xs_3^2}{-\xs_1\xs_2}{-\xs_1\xs_3}{-\xs_1\xs_2}{\xs_1^2 + \xs_3^2}{-\xs_2\xs_3}{-\xs_1\xs_3}{-\xs_2\xs_3}{\xs_1^2 + \xs_2^2} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}. }[/math]


Finalment: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\Qs)}{B}=\matriz{\int_{\mathrm{s}}(\xs_2^2 + \xs_3^2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_2)\mathrm{dm}(\Ps)}{\int_{\mathrm{s}}(\xs_1^2 + \xs_3^2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_2\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)} {-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)} {-\int_{\mathrm{s}}(\xs_2\xs_3\mathrm{dm}(\Ps)}{\int_{\mathrm{s}}(\xs_1^2 + \xs_2^2)\mathrm{dm}(\Ps)} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} \equiv \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math]


✏️ EXEMPLE D5.4: sòlid fet de partícules


ExD5-4-1-neut.png
El sòlid rígid està format per sis partícules de massa m unides per barres rígides de massa negligible. En tractar-se d’una distribució de massa discreta, no cal fer cap integral per calcular el tensor d’inèrcia.


Els moments d’inèrcia del tensor a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per a la base 123 són:

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{11}=6\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 2 \cdot \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]


[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{22}=6\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2: 0\\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 2 \cdot \ms(\sqrt{2}\Ls)^2 \end{array}\right. }[/math]


[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=4\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 0 \\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 2 \cdot \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]


Els productes d’inèrcia són:


[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{12}=0 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2 \text{i l'eix} 3: 0 \text{ (perquè } \xs_1=0)\\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 0 \text{ (perquè } \xs_2=0) \end{array}\right. }[/math]


[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{13}=2\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2 \text{ i l'eix } 3 : \xs_1=0 \Rightarrow 0 \\ \bullet \text { contribució de la partícula del quadrant }1^+3^-: \xs_1=\Ls, \xs_3=-\Ls \Rightarrow \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de la partícula del quadrant }1^-3^+: \xs_1=-\Ls, \xs_3=\Ls \Rightarrow \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]


[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{23}=0 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2: 0 \text{ (perquè} \xs_3=0)\\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 0 \text{ (perquè} \xs_2=0)\\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 0 \text{ (perquè} \xs_2=0)\\ \end{array}\right. }[/math]


Finalment:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{6}{0}{2}{0}{6}{0}{2}{0}{4} \ms \Ls^2 }[/math]




La Taula recull informació sobre moments i productes d’inèrcia de sòlids continus (no formats per partícules, com el de l’exemple D5.3 ) de geometria senzilla.




D5.3 Eixos principals d'inèrcia

La matriu [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] canvia d’aspecte quan es canvia de base:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_{\mathrm{B}1} \neq \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_{\mathrm{B}2} }[/math]. Si es treballa en la base pròpia BP de la matriu (la que té els eixos en la direcció dels vectors propis), [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{BP} }[/math] és diagonal:


[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{BP}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{33}}. }[/math]


Les direccions de la base BP que passen per [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] s’anomenen direccions principals d’inèrcia (DPI per a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]) per al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] o eixos principals d’inèrcia (la paraula “eix” dóna a entendre que passa per un punt concret). Els moments d’inèrcia corresponents als eixos principals són els moments principals per al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]. Si la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] és paral·lela a una dels eixos principals, el moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math] i la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] són paral·lels (Figura D5.5).


D5-5-cat.png
Figura D5.5 Moment cinètic quan la direcció de la velocitat angular és la d’un DPI



✏️ EXEMPLE D5.5: sòlid fet de partícules


ExD5-5-1-neut.png
Considerem una rotació general del sòlid discret de l’ exemple D5.4 . El moment cinètic no resulta paral·lel a la velocitat angular:


[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\matriz{6}{0}{2}{0}{6}{0}{2}{0}{4}\ms \Ls^2 \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}= \vector{6\Omega_1 + 2\Omega_3}{6\Omega_2}{2\Omega_1 + 4\Omega_3}\ms \Ls^2 }[/math]


L’aspecte del tensor [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math] però, posa de manifest que la direcció 2 és DPI. Per tant, si la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] té aquesta direcció,[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] serà paral·lel a [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{0}{\Omega_2}{0} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{0}{6\Omega_2}{0} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) \parallel \velang{S}{T} }[/math]


Si [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] és de direcció 1 o 3, el paral·lelisme entre [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] i [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] és perd:


[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{\Omega_1}{0}{0} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{6\Omega_1}{0}{2\Omega_1} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] en el quadrant [math]\displaystyle{ 1^+3^- }[/math]


[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{0}{0}{\Omega_3} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{2\Omega_3}{0}{4\Omega_3} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] en el quadrant [math]\displaystyle{ 1^-3^+ }[/math]




D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia

Quan es tracta de calcular el tensor d’inèrcia d’un sòlid, és necessari fer-ne una avaluació qualitativa abans de recórrer a la Taula, doncs en aquesta només s’hi recull una informació mínima (no es dóna mai l’expressió d’un tensor sencer). En aquesta secció es presenten algunes propietats generals que faciliten aquesta avaluació.

Propietat 1: En un sòlid pla (Figura D5.6), la direcció perpendicular (direcció k) al sòlid és sempre principal d’inèrcia ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ik}=\mathrm{I}_\mathrm{jk}=0 }[/math]) per a qualsevol punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], i el moment d’inèrcia corresponent és suma dels altres dos (pel teorema de Pitàgores):

D5-6-cat-ana.png
Figura D5.6 Sòlid pla


Propietat 2: En un sòlid pla (Figura D5.7), el signe de la contribució de cada quadrant ij al producte d’inèrcia [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ij}(\Qs) }[/math] és:

D5-7-cat-ana.png
Figura D5.7 Sòlid pla


Propietat 3: En qualsevol sòlid, si hi ha simetria respecte del pla ij que passa per un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (Figura D4.8), la direcció k és principial d’inèrcia per a qualsevol punt d’aquest pla:


[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \xs_\is(\Ps)=\xs_\is (\Ps^{\prime)} \\ \xs_\js(\Ps)=\xs_\js (\Ps^{\prime}) \\ \xs_\ks(\Ps)=\xs_\ks (\Ps^{\prime}) \end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{I}_\mathrm{i k}(\Qs \in \text { pla de simetria })=-\int_{\mathrm{s}} \xs_\is(\Ps) \xs_\ks(\Ps) \mathrm{dm}(\Ps)=0 \\ \mathrm{I}_\mathrm{j k}(\Qs \in \text { pla de simetria })=-\int_{\mathrm{s}} \xs_\js(\Ps) \xs_\ks(\Ps) \mathrm{dm}(\Ps)=0 \end{array}\right. }[/math]

D5-8-cat.png
Figura D5.7 Sòlid amb pla de simetria ij



✏️ EXEMPLE D5.6: sòlid pla


ExD5-6-1-neut.png
El sòlid pla està constituït per tres barres homogènies del mateix material unides a un marc de massa negligible.
  • figura plana continguda en el pla 23: per la propietat 1, la direcció 1 és DPI, i [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{11}=\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33} }[/math].

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{\mathrm{I}_{23}}{0}{\mathrm{I}_{23}}{\mathrm{I}_{33}} }[/math]

  • per la propietat 3, ja que el pla 13 és de simetria, la direcció 2 és DPI:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{33}} }[/math]

Si tenim en compte que la barra central no contribueix al moment d’inèrcia [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33} }[/math] perquè està al damunt de l’eix 3 i la seva distància a aquest és zero, és fàcil veure que [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{22}\gt \mathrm{I}_{33} }[/math] .




Propietat 4: Quan un sòlid té dos moments principals d’inèrcia (segons direccions ortogonals) iguals per a un punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] ([math]\displaystyle{ \Is_\mathrm{ii} (\Os) = \Is_\mathrm{jj}(\Os) \equiv \Is , \Is_\mathrm{ij} (\Os)= 0 }[/math]), el seu tensor d’inèrcia a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és invariant sota rotacions al voltant de la direcció k:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math]. En efecte:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}= \matriz{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{kk}} }[/math]


Per trobar [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math], només cal transformar el quadrant superior esquerre (ja que l’eix k és el mateix). Si [math]\displaystyle{ [\mathrm{S}] }[/math] és la matriu canvi de base [math]\displaystyle{ (\is,\js) \rightarrow (\is',\js'): }[/math]


[math]\displaystyle{ \left[\begin{array}{l} \text { quadrant } \\ \text { superior } \\ \text { esquerre } \end{array}\right]_{\is' \js'}=[\mathrm{S}]^{-1}\left[\begin{array}{ll} \mathrm{I} & 0 \\ 0 & \mathrm{I} \end{array}\right][\mathrm{S}]=\mathrm{I}[\mathrm{S}]^{-1}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right][\mathrm{S}]=\mathrm{I}[\mathrm{S}]^{-1}[\mathrm{S}]=\mathrm{I}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \text {. } }[/math]


El sòlid és un rotor simètric per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Si la seva velocitat angular està continguda en el pla ij o és de direcció k, el moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os ( \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)) }[/math] i la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTO}(=\velang{S}{Gal}) }[/math] són paral·lels.

✏️ EXEMPLE D5.7: rotor simètric


ExD5-7-1-neut.png
El sòlid rígid homogeni està format per dues plaques triangulars idèntiques.
  • figura plana continguda en el pla 12: per la propietat 1, la direcció 3 és DPI, i [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=\mathrm{I}_{11}+ \mathrm{I}_{22} }[/math].

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{\mathrm{I}_{12}}{0}{\mathrm{I}_{12}}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}(\Os)=\mathrm{I}_{11}(\Os)+\mathrm{I}_{22}(\Os), \mathrm{I}_{13}(\Os)=\mathrm{I}_{23}(\Os)=0. }[/math]

Pel que fa als moments d’inèrcia en els eixos 1 i 2, és fàcil veure que són iguals: les distàncies a l’eix 1 i a l’eix 2 dels dm del triangle situat al quadrant dret inferior ([math]\displaystyle{ \mathrm{dm}(\Ps) }[/math]) són iguals a les distàncies a l’eix 2 i a l’eix 1, respectivament, dels dm del triangle situat al quadrant esquerre inferior ([math]\displaystyle{ \mathrm{dm}(\Ps') }[/math]):

ExD5-7-2-neut.png
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps'\right) \\ \delta_2(\Ps)=\delta_1\left(\Ps'\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \Is_{11}(\Os)=\Is_{22}(\Os) \equiv \Is }[/math]


Per altra banda:


[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \xs_1(\Ps)=-\xs_2\left(\Ps'\right) \\ \xs_2(\Ps)=\xs_1\left(\Ps'\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \Is_{12}(\Os)=0 }[/math]

Finalment:

ExD5-7-3-neut.png

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}}= \matriz{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}} }[/math]

Es tracta d’un rotor simètric (propietat 4). Per tant, el tensor d’inèrcia a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és invariant sota rotació de la base al voltant de l’eix 3: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{1'2'3'}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{123} }[/math]

L’aspecte qualitatiu de [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math] posa de manifest que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] és paral·lel a [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTO} }[/math] quan aquesta està continguda en el pla 12 o és de direcció 3:

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=\vector{\Is \Omega_1}{\Is \Omega_2}{0} \quad , \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} \vector{0}{0}{\Omega_3}=\vector{0}{0}{2\Is \Omega_3} }[/math].




Propietat 5: Quan un sòlid té tres o més moments d’inèrcia en un mateix pla ij iguals per a un punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math], també és un rotor simètric per a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k'} }[/math]. La demostració és més llarga que la de la propietat 4, i s’omet.


✏️ EXEMPLE D5.8: rotor simètric


ExD5-8-1-neut.png
El sòlid està format per tres plaques hexagonals homogènies i idèntiques.
  • figura plana continguda en el pla 12: per la propietat 1, la direcció 3 és DPI, i [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=\mathrm{I}_{11}+ \mathrm{I}_{22} }[/math].

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{\mathrm{I}_{12}}{0}{\mathrm{I}_{12}}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math]

ExD5-8-2-neut.png

El sòlid no presenta cap pla de simetria, per tant no és fàcil veure si el productie d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Is_{12} }[/math] és zero o diferent de zero. Tampoc és fàcil avaluar a simple vista quin dels dos moments d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Is_{11},\Is_{22} }[/math] és més gran. Però hi ha tres eixos coplanaris que generen la mateixa dstribució de massa a banda i banda i per tant es pot assegurar que els moments d’inèrcia respecte d’aquests eixos són iguals.

Per la propietat 5, es tracta d’un rotor simètric. Així doncs, totes les direccions del pla 12 que passen per [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] són pricipials amb el mateix moment d’inèrcia.




Propietat 6: Quan un sòlid té els tres moments principals d’inèrcia (segons direccions ortogonals) iguals per a un punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math], el seu tensor d’inèrcia a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és invariant sota canvi de base: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k'} }[/math]. El sòlid és un rotor esfèric per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i el vector moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i la velocitat angular sempre són paral·lels: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) \parallel \velang{S}{RTO}(=\velang{S}{Gal}). }[/math]


✏️ EXEMPLE D5.9: rotor esfèric


ExD5-9-1-neut.png
El sòlid està format per una anella homogènia, de massa 2m, i una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] de massa m. Les barres que uneixen aquests elements són de massa negligible.


El tensor a [math]\displaystyle{ \mathbf{C} }[/math] és la suma de dos tensors:


[math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\mathbf{C})=\mathrm{II}^{\mathrm{part}}(\mathbf{C})+\mathrm{II}^{\mathrm{anella}}(\mathbf{C}) }[/math].


El de la partícula és immediat:


[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps\right), \delta_3(\Ps)=0\\ \xs_1(\Ps)=\xs_2\left(\Ps\right)=0 \end{array}\right\} \Rightarrow \Bigr[\mathrm{II}^\mathrm{part}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{0} }[/math]

Ja que l’anella és un sòlid pla I simètric respecte de l’eix 1 o del 2, la propietat 1 i la propietat 3 condueixen a:


[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}_\mathrm{anella}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}} }[/math].


El sòlid és un rotor simètric per a [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] ja que té dos moments principals iguals:


[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{0} + \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p} + \mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p} + \mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}}. }[/math]


L’expressió quantitativa del tensor no requereix acudir a les taules:


[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps\right)=\Rs\quad \Rightarrow \quad \mathrm{I}_\mathrm{p}=\ms\Rs^2\\ \delta_3(\mathrm{dm} \in \mathrm{anella}) \quad \Rightarrow \quad 2\mathrm{I}_\mathrm{a}=2\ms\Rs^2 \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \Bigr[\mathrm{II}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{2}{0}{0}{0}{2}{0}{0}{0}{2} \ms\Rs^2 }[/math]


Es tracta d’un rotor esfèric , i per tant [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_ \mathrm{RTC}(\Cs) }[/math] sempre és paral·lel a [math]\displaystyle{ \velang{S}{T} }[/math] : [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_ \mathrm{RTC}(\Cs)=\Is\Is(\Cs) \velang{S}{T}=2\ms\Rs^2\velang{S}{T} }[/math].




D5.5 Teorema de Steiner

El tensor d’inèrcia d’un sòlid en una base B i per a un punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] o per a un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] no té la mateixa expressió: [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps) \neq \Is\Is(\Qs) }[/math] . La relació entre els dos es pot trobar mitjançant el Teorema de Steiner, que es demostra immediatament a partir de la descomposició baricèntrica del moment cinètic:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math] ,

on [math]\displaystyle{ \Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math] és el tensor d’una partícula de massa igual a la del sòlid i situada al centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].

Si s’aplica el teorema a dos unts diferents i es combinen les equacions, s’arriba a la relació entre [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Qs) }[/math] :


[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Gs) + \Is\Is^\oplus(\Qs)\\ \Is\Is(\Ps)=\Is\Is(\Gs) + \Is\Is^\oplus(\Ps) \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Ps) - \Is\Is^\oplus(\Ps) - \Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math]


✏️ EXEMPLE D5.10: barres paral·leles


ExD5-10-1-neut.png
El sòlid està format per dues barres curtes i una de llarga, homogènies, de la mateixa densitat lineal, i unides a un marc de massa negligible. Es tracta de trobar l’aspecte qualitatiu del tensor d’inèrcia al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math].


Pel fet de ser un sòlid pla: [math]\displaystyle{ \Is_{11}=\Is_{22}+\Is_{33} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Is_{12}=\Is_{13}=0 }[/math]. En l’anàlisi del tensor d’inèrcia, és útil considerar la barra llarga com a dues de curtes. Les dues barres situades als quadrants superiors tenen el mateix moment d’inèrcia respecte de de l’eix 2 i de l’eix 3 [math]\displaystyle{ \left(\Is_{22}^{\mathrm{quad.sup.}}=\Is_{33}^{\mathrm{quad.sup.}} \right) }[/math], però les que es troben als quadrants inferiors estan més allunyades de l’eix 2 que de l’eix 3 [math]\displaystyle{ \left( \Is_{22}^{\mathrm{quad.inf.}}\gt \Is_{33}^{\mathrm{quad.inf.}} \right) }[/math]. Per tant: [math]\displaystyle{ \Is_{22}\gt \Is_{33} }[/math].

En no haver-hi simetria respecte de l’eix 3, és difícil veure el signe del producte d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Is_{23} }[/math] . Per tant:


[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\Is_{22}+\Is_{33}}{0}{0}{0}{\Is_{22}}{\Is_{23}}{0}{\Is_{23}}{\Is_{33}} }[/math].


El signe de [math]\displaystyle{ \Is_{23} }[/math] es pot deduir molt fàcilment si es refereix el tensor [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os) }[/math] als tensors de les quatre barres idèntiques al seu centre de masses per mitjà del teorema de Steiner:


[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os)=\sum_{\is=1}^{4}\Is\Is_\is(\Os)=\sum_{\is=1}^{4} \Bigr[\mathrm{II}_\is(\Gs_\is) + \Is\Is_\is^\oplus(\Os) \Bigr] }[/math]

ExD5-10-2-neut.png

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}_\is(\Gs_\is) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{-|\Is_{23}'|}{0}{-|\Is_{23}'|}{\Is} }[/math] ,


[math]\displaystyle{ \sum_{\is=1}^{4} \Bigr[\Is\Is_\is^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}=\Bigr[\Is\Is_\mathrm{quad.sup.}^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} + \Bigr[\Is\Is_\mathrm{quad.inf.}^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= 2\ms \left( \frac{\Ls}{2} \right)^2 \matriz{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + 2\ms \left( \frac{\Ls}{2} \right)^2 \matriz{10}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{1} = \ms\Ls^2 \matriz{6}{0}{0}{0}{5}{0}{0}{0}{1} }[/math]


[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{8\Is+6\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 5\ms\Ls^2}{-4|\Is_{23}'|}{0}{-4|\Is_{23}'|}{4\Is + \ms\Ls^2} }[/math].


✏️ EXEMPLE D5.11: sòlid pla, tensor quantitatiu


ExD5-11-1-neut.png
El sòlid està format per dues plaques quadrades homogènies idèntiques. Es tracta de trobar el tensor d’inèrcia al punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].

L’aspecte qualitatiu del tensor en el seu centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és immediat (és figura plana i tota la massa està concentrada en els quadrants que contribueixen amb signe positiu al producte d’inèrcia):

ExD5-11-2-neut.png

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} }[/math]


La Taula dóna informació del tensor d’una placa rectangular:


[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Gs)=\Is\Is_\mathrm{placa.inf.}(\Gs)+\Is\Is_\mathrm{placa.sup} (\Gs) }[/math]


[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]= 2 \matriz{\frac{1}{3}\ms (2\Ls)^2}{\frac{1}{4}\ms (2\Ls)^2}{0}{\frac{1}{4}\ms (2\Ls)^2}{\frac{1}{3}\ms (2\Ls)^2}{0}{0}{0}{\frac{2}{3}\ms (2\Ls)^2}= \frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{4}{3}{0}{3}{4}{0}{0}{0}{8} }[/math]


Ara cal passar al punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] amb el teorema de Steiner:[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps)=\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Ps) }[/math].

ExD5-11-3-neut.png



[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}^\oplus(\Ps) \Bigr]= \matriz{2\ms (2\Ls)^2}{-2\ms (2\Ls)(-2\Ls)}{0}{-2\ms (2\Ls)(-2\Ls)}{2\ms (2\Ls)^2}{0}{0}{0}{4\ms (2\Ls)^2}= 8 \ms\Ls^2 \matriz{1}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{2} }[/math]


[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]=\frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{4}{3}{0}{3}{4}{0}{0}{0}{8}+ 8 \ms\Ls^2 \matriz{1}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{2}=\frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{16}{15}{0}{15}{16}{0}{0}{0}{32} }[/math]




D5.6 Canvi de base del tensor d'inèrcia

Un tensor d’inèrcia expressat en una base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math] es pot canviar a una altra base base [math]\displaystyle{ \mathrm{B}' }[/math] mitjançant la matriu de canvi de base [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math], les columnes de la qual són els versors de la base [math]\displaystyle{ \mathrm{B}'(\overline{\mathbf{e}}_{\is'}) }[/math] projectats a la base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_{\mathrm{B}'}=\Bigr[\mathrm{S} \Bigr]^{-1} \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_\mathrm{B} \Bigr[\mathrm{S}\Bigr] \quad , \quad \Bigr[\mathrm{S} \Bigr] = \Bigr[ \braq{\overline{\mathbf{e}}_{1'}}{B} \quad \braq{\overline{\mathbf{e}}_{2'}}{B} \quad \braq{\overline{\mathbf{e}}_{3'}}{B} \Bigr] }[/math].

És fàcil veure que [math]\displaystyle{ \Is_{\is'\js'}(\Ps)=\Bigl\{ \overline{\mathbf{e}}_{\is'} \Bigl\}_{\mathrm{B}}^{\Ts} \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_{\mathrm{B}} \braq{\overline{\mathbf{e}}_{\js'}}{B} }[/math] .


✏️ EXEMPLE D5.12: sòlid pla, canvi de base


ExD5-12-1-neut.png
La placa circular és homogènia, de massa m i radi r. Es tracta de determinar el moment d’inèrcia respecte de l’eix p-p’ que passa pel seu centre i forma un angle de [math]\displaystyle{ 45^o }[/math] amb l’eix de la placa.

Les taules donen informació del tensor de la placa per als eixos vertical i horitzontals. A partir d’aquest tensor, s’obté [math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os) }[/math] :

ExD5-12-2-neut.png

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \frac{1}{4} \ms\rs^2\matriz{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{2} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os)=\Is_{1'1'}=\Bigl\{ \overline{\mathbf{e}}_{1'} \Bigl\}_{\mathrm{B}}^{\Ts} \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{\mathrm{B}} \braq{\overline{\mathbf{e}}_{1'}}{B} }[/math]


[math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os)=\frac{1}{\sqrt{2}} \{ 0 \quad 1 \quad 1\} \frac{1}{4} \ms \rs^2 \matriz{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \vector{0}{1}{1}=\frac{3}{8} \ms\rs^2 }[/math]




D5.7 Taula de centres i tensors d'inèrcia de sòlids rígids homogenis


ExD5-Taula-cat.png


© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats




<<< D4. Teoremes vectorials

EN CONSTRUCCCIÓ >>>