C1. Configuració d'un sistema mecànic

De Mecànica

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} }[/math]

En l’estudi de qualsevol sistema mecànic, ja sigui de partícules lliures, de sòlids rígids lliures o un sistema amb sòlids i partícules enllaçats (sistema multisòlid), és fonamental la descripció del seu estat mecànic: la seva configuració (posició de tots els seus punts) i la seva distribució de velocitats (velocitat de tots els seus punts) respecte d’una referència.

En aquesta unitat C1, es descriu la configuració dels sistemes. La descripció de la distribució de velocitats es tracta a la unitat C2.




C1.1 Posició d'una partícula

La posició d’una partícula (o d'un punt que pertany a un sòlid) [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] a una referència R es pot descriure mitjançant un vector de posició [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Qs} }[/math], on [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] ha de ser un punt fix a R (un punt que pertanyi a la referència R). Aquest vector no està unívocament definit, ja que el seu origen pot ser qualsevol punt de R (Figura C1.1).

C1-1-neut.png
Figura C1.1 Dos vectors de posició per a un mateix punt Q respecte d’una referència R

Una alternativa a la descripció vectorial de la posició és la descripció escalar mitjançant tres coordenades (cartesianes, polars...). També cal, en aquest cas, triar un origen de coordenades que pot ser qualsevol punt de R (Figura C1.2). En aquest curs, però, es fa servir la descripció vectorial.


C1-2-cat-color.png
Figura C1.2 Descripció de la posició d’una partícula Q respecte d’una referència R mitjançant tres coordenades cartesianes


En mecànica, interessa sobretot l’evolució de la posició al llarg del temps (el moviment). Una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es mou respecte d’una referència R quan, al llarg del temps, la seva posició a R canvia o, el que és el mateix, passa per punts diferents de R. El conjunt de punts de R per on passa [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] constitueix la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] a la referència R (la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a R).

C1-3-neut-color.png
Figura C1.3 Trajectòria respecte del terra (R) de quatre punts d’una roda d’un vehicle amb moviment rectilini




C1.2 Configuració d'un sòlid rígid

Quan cal descriure la configuració d’un sòlid rígid, la posició d’un sol dels seus punts no és suficient. Una opció és donar la posició de tres punts [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], [math]\displaystyle{ \textbf{R} }[/math] no alineats. Però és evident que aquests vectors compleixen unes restriccions: ja que els punts d’un sòlid rígid no es poden apropar ni allunyar entre ells, les diferències d’aquests vectors dos a dos son vectors de mòdul constant (Figura C1.4):

C1-4-cat.png
Figura C1.4 Restriccions entre els vectors de posició de tres punts d’un mateix sòlid rígid


En la descripció escalar de la posició, si es proporcionen tres coordenades per punt, la configuració del sòlid es defineix mitjançant 9 coordenades, però com que hi ha 3 relacions entre elles, només 6 coordenades són estrictament necessàries (Figura C1.5).

C1-5-neut-color.png
C1-5-2-REV01.png
Figura C1.5 Restriccions entre les coordenades de tres punts d’un mateix sòlid rígid


Hi ha múltiples opcions per a definir la configuració d’un sòlid rígid, però en aquest curs s’opta per definir la posició d’un dels seus punts i l’orientació del sòlid. Així com la posició d’un punt es pot donar mitjançant un vector o tres coordenades escalars, l'orientació només accepta una descripció escalar.




C1.3 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment pla

Es diu que un sòlid te moviment pla respecte d’una referència quan tots els seus punts descriuen trajectòries contingudes en plans paral·lels. En aquest cas, la seva orientació es pot descriure mitjançant un angle definit per la intersecció entre una direcció fixa a la referència (direcció “de sortida”) i una altra fixa al sòlid (direcció “d’arribada”), ambdues contingudes en el pla del moviment. Ja que aquestes direccions no estan definides de manera unívoca, l’angle d’orientació tampoc (Figura C1.6).

C1-6-cat-color.png
Figura C1.6 Angles d’orientació d’una roda amb moviment pla
(la fletxa vertical amb la lletra g indica l’atracció gravitatòria terrestre)


Quan l’angle d’orientació canvia de valor al llarg del temps, es diu que el sòlid té un moviment de rotació simple al voltant d’un eix perpendicular al pla del moviment i en sentit horari o antihorari, segons s’hagi definit l’angle d’orientació (Figura C1.7).

C1-7-cat-color.png
Figura C1.7 Rotació simple d’una plataforma




C1.4 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment a l'espai

La descripció de l’orientació d’un sòlid a l’espai és més complexa i hi ha diverses maneres de fer-la. Dues opcions són les rotacions al voltant de direccions fixes i les rotacions d’Euler.

Rotacions al voltant de direccions fixes

Es tracta de tres rotacions simples al voltant de tres direccions permanentment ortogonals entre elles i que no canvien d’orientació respecte de la referència R (direccions “fixes”). Una característica d’aquest mètode d’orientació d’un sòlid és que, per a uns mateixos valors dels angles i partint d’una mateixa orientació inicial, l’orientació final del sòlid depèn de l’ordre (seqüència) en què s’han introduït. És un mètode d’orientació seqüencial.

La Figura C1.8 ho il·lustra per a un objecte triangular sotmès a tres rotacions de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math] al voltant de direccions fixes a una referència R.

link
Figura C1.8 Rotacions al voltant de direccions fixes a R: mètode d’orientació seqüencial


✏️ Exemple C1-4.1: el ratolí mecànic d'un ordinador


En un ratolí mecànic d’ordinador, la bola pot girar respecte de la carcassa del ratolí (R) al voltant de dos eixos ortogonals fixos a la carcassa. L’angle girat al voltant de cadascun d’aquest dos eixos és proporcional al que giren les dues rodetes que estan en contacte sense lliscar amb la bola.
C1-Ex1-cat-color.png



Rotacions d'Euler

Les rotacions d’Euler són una alternativa per orientar sòlids on l’orientació final no depèn de la seqüencia en la que s’introdueixen les rotacions. Són àmpliament utilitzats en enginyeria mecànica perquè bona part dels sistemes mecànics inclouen eixos físics (associats a enllaços entre els sòlids) que permeten aquest tipus de rotacions.

Es tracta de 3 rotacions simples encadenades (en sèrie), de manera que la rotació al voltant del primer eix fa moure els altres dos, i la rotació al voltant del segon fa moure el tercer. En aquest curs, en general s’associen les variables [math]\displaystyle{ \psi }[/math], [math]\displaystyle{ \theta }[/math] i [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] a les tres rotacions:

  • 1a rotació [math]\displaystyle{ (\psi) }[/math]: al voltant d’un eix d’orientació invariant respecte de R (eix fix a la referència).
  • 2a rotació [math]\displaystyle{ (\theta) }[/math]: al voltant d’un eix que gira per causa de [math]\displaystyle{ \psi }[/math] respecte de R.
  • 3a rotació [math]\displaystyle{ (\varphi) }[/math]: al voltant d’un eix d’orientació invariant respecte del sòlid (eix que gira per causa de [math]\displaystyle{ \psi }[/math] i [math]\displaystyle{ \theta }[/math] respecte de R).

La Figura C1.9 mostra els eixos d’aquestes rotacions en un giroscopi, format per un suport fix a terra (R), una forquilla articulada respecte del suport, un braç articulat respecte de la forquilla, i un volant articulat respecte del braç. Les rotacions dels diversos elements respecte del terra són:

  • Forquilla: rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math] al voltant de l’eix vertical fix a R; l’angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] està definit en el pla horitzontal.
  • Braç: rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math], i rotació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] al voltant d’un eix afectat de la rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math]; l’angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] està definit en el pla vertical que conté el braç.
  • Volant: rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math], rotació [math]\displaystyle{ \theta }[/math], i rotació [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] al voltant d’un eix afectat de les rotacions [math]\displaystyle{ \psi }[/math] i [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (i que és d’orientació constant al volant); l’angle [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] està definit en el pla del volant.
C1-9-cat-color.png
Figura C1.9 Rotacions d’Euler en un giroscopi


Video C1.1 Angles d'Euler en un giroscopi


Una característica dels eixos d’Euler és que l’angle entre el primer i el segon ([math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math]), i l’angle entre el segon i el tercer ([math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math]), són constants. En el cas del giroscopi, aquests angles són [math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} = \beta_{\theta\varphi } = }[/math] 90[math]\displaystyle{ \deg. }[/math] En canvi, no és el cas de l’angle entre el primer i el tercer, que en el cas del giroscopi de la figura pot variar dins d’un rang aproximat entre 30[math]\displaystyle{ \deg }[/math] i 150[math]\displaystyle{ \deg }[/math]. Si els angles [math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math] i [math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math] són diferents de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math], el sòlid no pot orientar-se de manera general a l’espai (hi hauria configuracions inassolibles). És per aquest fet que habitualment el primer i el segon eix d’Euler son perpendiculars, i el segon i el tercer també.


Video C1.2 Robot manipulador orientat amb tres angles d'Euler


La descripció de l’orientació d’un sòlid que no forma part d’un sistema multisòlid (per exemple, un objecte flotant a l’aigua, o una pilota a l’aire) és més complicada de visualitzar en no tenir els eixos de les rotacions físicament presents. En aquest cas, la manera de procedir depèn de si és un sòlid que té un moviment característic (com una baldufa quan s’hi juga de la manera habitual) o si no el té (com un dau en un joc d’atzar).

En el primer cas, els eixos poden correspondre a rotacions característiques de l’objecte. Quan es tracta d’una baldufa, la rotació ràpida al voltant del seu eix de simetria de revolució (que s’introdueix com a condició inicial del moviment) suggereix la tria d’aquest eix com a tercer eix d’Euler. Si aquesta rotació inicial és prou ràpida, la baldufa triga a caure al terra, i el que fa l’eix de simetria és precessionar lentament al voltant d’un eix vertical. Aquest eix vertical es pot triar com a l’eix de la primera rotació d’Euler. La segona rotació correspon a l’apropament de l’eix de simetria cap al terra (Figura C1.10). En realitat, el moviment d’una baldufa és idèntic al moviment del volant del giroscopi!

C1-10-cat-color.png
Figura C1.10 Rotacions d’Euler d’una baldufa


Animació interactiva C1.1 Rotacions d'Euler en una baldufa [© GeoGebra]


Per a la baldufa i el giroscopi (i per a sòlids que tinguin un moviment comparable, com el de la roda del Video C1.3), la primer rotació d'Euler s'anomena precessió, la segona nutació o inclinació i la tercera rotació pròpia o spin.


Video C1.3 Angles d'Euler en una roda


En el cas d’un objecte sense moviment característic, el més senzill és triar lliurement el primer i el tercer eix (fix a la referència i fix a l’objecte, respectivament). El segon es determina d’acord amb els angles constants que es vol que formi amb els altres dos eixos ([math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math], [math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math]). Si es decideix que siguin de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math], el segon eix és la intersecció del pla ortogonal al primer amb el pla ortogonal al tercer.


✏️ Exemple C1-4.2: orientació d'un dau


C1-Ex2-1-neut-color.png
Es poden definir els següents eixos d’Euler:
- 1r eix: vertical (direcció del camp gravitatori [math]\displaystyle{ \Downarrow g }[/math])
- 3r eix: perpendicular a la cara 3 del dau
- 2n eix: ortogonal als dos anteriors (per tant, intersecció del pla horitzontal amb el pla de la cara 3!)
Es pot comprovar la no seqüencialitat d’aquests angles partint d’una mateixa orientació inicial i introduint increments de cadascun d’ells de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math] segons seqüencies diferents. Si es fa correctament, s’arriba sempre a la mateixa orientació final.
C1-Ex2-2-neut-color.png
NOTA: En un dau, la suma dels números en cares oposades és sempre 7.




Els angles d’Euler presenten un problema quan el sòlid es troba en una configuració on el 1r i el 3r eix són paral·lels (configuració singular): el 2n eix no està unívocament definit perquè els plans perpendiculars als altres dos coincideixen. En el cas del volant del giroscopi i del dau de l’exemple anterior, aquesta situació es produeix quan [math]\displaystyle{ \theta = \pm }[/math]90[math]\displaystyle{ \deg }[/math]. En el cas de la baldufa, quan [math]\displaystyle{ \theta = }[/math] 0, [math]\displaystyle{ \pm }[/math]180[math]\displaystyle{ \deg. }[/math]

Una solució per evitar aquesta singularitat és emprar dos sistemes diferents d’angles d’Euler i passar de l’un a l’altre quan la configuració s’apropa a la singularitat.


✏️ Exemple C1-4.3: dues famílies d'angles d'Euler per a un vaixell


Es poden definir diverses famílies d’angles d’Euler per orientar un vaixell respecte d’una referència R. En aquest exemple, es defineixen les famílies A i B i per a la configuració de referència [math]\displaystyle{ \psi = \theta = \varphi = }[/math] 0, els eixos són els que es mostren a la figura:
C1-Ex3-cat-corr.png
Si es parteix d’aquesta orientació, la configuració [math]\displaystyle{ \psi = \varphi = }[/math] 0, [math]\displaystyle{ \theta = }[/math] [math]\displaystyle{ \textsf{90}\deg }[/math] per a la família A i la configuració [math]\displaystyle{ \psi = \theta = }[/math] 0, [math]\displaystyle{ \varphi = }[/math] [math]\displaystyle{ \textsf{90}\deg }[/math] per a la família B corresponen a una mateixa orientació del vaixell. La família A passa per una singularitat perquè el 1r i el 3r eix són paral·lels, mentre que a la família B el 1r i el 3r eix són ortogonals, i per tant s’està lluny de la singularitat.




En els vaixells, avions i vehicles en general, les rotacions d'Euler reben noms determinats, en funció de la direcció que ocupen els eixos corresponents a la configuració de referència (on tots els angles valen zero). La rotació que inicialment té l'eix en la direcció longitudinal del vehicle s'anomena balanceig. La que inicialment té l'eix en la direcció transversal del vehicle s'anomena capcineig. La que inicialment té l'eix en la direcció perpendicular a les dues anteriors (que coincidiria amb la direcció vertical si el vehicle està estacionat en un terra pla) s'anomena guinyada.

Cal tenir present que, quan el vehicle es troba en configuracions diferents de la incial, aquests noms (balanceig, capcineig i guinyada) estan associats a les rotacions d'Euler, els eixos de les quals ja no tenen perquè coincidir amb les tres direccions fixes al vehicle (longitudinal, transversal i perpendicular a aquestes dues) esmentades anteriorment.

En el Video C1.4 es mostren dues opcions alternatives: a la primera part, la primera rotació és el balanceig, la segona el capcineig i la tercera és la guinyada; a la segona part del vídeo, la primera és la guinyada la segona és el capineig i la tercera és el balanceig. En la major part de la literatura, es tria la guinyada com a primera rotació d'Euler, el capcineig com a segona i el balanceig com a tercera rotació (com a la segona part del Vídeo C1.4 i com a la "família B" de l'exemple C1-4.5).


Video C1.4 Dues possibilitats en la tria dels eixos d'Euler per orientar un vehicle




C1.5 Coordenades independents

Tot i que la posició d’una partícula (un punt) respecte d’una referència es pot descriure mitjançant tres coordenades, aquestes coordenades poden no ser independents quan la partícula està sotmesa a restriccions per causa del seu contacte amb altres objectes. En aquest cas, el conjunt mínim de coordenades per descriure la posició constitueix el conjunt de coordenades independents (CI) de la partícula.


✏️ Exemple C1-5.1: partícula en una guia


C1-Ex4-neut REV01.png
La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] està restringida a moure’s dins una guia circular fixa a la referència R. La seva posició respecte de R es pot donar mitjançant tres coordenades cartesianes (x,y,z). Ara bé, pel fet de trobar-se dins la guia, n’hi ha prou amb donar el valor de l’angle per conèixer la seva posició en qualsevol instant de temps. Es tracta d’un problema amb només una coordenada independent.




Anàlogament, si bé la configuració d’un sòlid rígid lliure (sense contactes amb cap altre objecte) respecte d’una referència demana 6 coordenades, el nombre de coordenades independents és inferior quan el sòlid està sotmès a restriccions.


✏️ Exemple C1-5.2: vehicle sobre un terra pla


C1-Ex5-cat-color.png
El vehicle està restringit a moure’s sobre un terra horitzontal (pla x-y de la referència R). Si el vehicle no té suspensions, la coordenada z de qualsevol dels punts del xassís és constant, i la rotació del xassís només pot ser d’eix perpendicular al pla. Per tant, només calen tres coordenades per donar la configuració del xassís (per exemple, (x,y) del punt mig de l’eix posterior i angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math]). Es tracta d’un sòlid amb tres coordenades independents.


✏️ Exemple C1-5.3: rodes d'un vehicle


C1-Ex6-cat-color.png

En un model simplificat de vehicle com el de l’exemple 5.2, es pot negligir la inclinació variable de les rodes sobre el pla. La configuració de qualsevol d’elles queda unívocament definida si es donen les coordenades (x,y) del seu centre [math]\displaystyle{ \textbf{C} }[/math], l’angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] girat pel pla que la conté i l’angle [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] girat al voltant del seu eix de revolució. Es tracta d’un sòlid amb quatre coordenades independents.


✏️ Exemple C1-5.4: pèndol d'Euler


C1-Ex7-1-neut-color.png
El pèndol d’Euler està format per un bloc (B) que pot lliscar al llarg d’una guia fixa al terra (R), i una barra articulada al bloc.
La restricció imposada per la guia fa que la configuració del bloc respecte del terra quedi totalment definida per una coordenada (x).
Per a la configuració de la barra respecte del terra, cal a més afegir una coordenada angular [math]\displaystyle{ \psi }[/math] que n’expliqui la seva inclinació (orientació).
El sistema format pels dos elements té doncs dues coordenades independents respecte del terra.
C1-Ex7-2-neut-color.png


© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats




<<< Càlcul vectorial

C2. Moviment d'un sistema mecànic >>>