C2. Moviment d'un sistema mecànic

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\boldsymbol\alpha}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{x}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\dth}{\dot\theta} \newcommand{\ddth}{\ddot\theta} \newcommand{\sth}{\sin{\theta}} \newcommand{\cth}{\cos{\theta}} \definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255} \definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9} }[/math]

C2.1 Velocitat d’una partícula

La velocitat d’una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o d’un punt que pertany a un sòlid) respecte d’una referència R, [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math] , és el ritme de canvi del vector de posició al llarg del temps. Matemàticament, és la derivada temporal d’un vector de posició (relatiu a R). La derivació temporal de dos vectors de posició diferents ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math]) dóna lloc a la mateixa velocitat perquè els punts [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] i [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] són fixos entre ells i fixos a la referència, i per tant [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs} }[/math] és constant a R:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

És important recordar que la derivada d’un vector depèn de la referència on s’avalua. Per aquest motiu, a les equacions anteriors s’especifica la referència on es deriva mitjançant un subíndex R.

La derivació temporal d’un vector respecte d’una referència R avalua el canvi de les característiques del vector (direcció i valor) entre dos instants consecutius molt propers, separats per un diferencial de temps. Per tant, la velocitat [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] és diferent de zero quan el valor del vector de posició, o la seva direcció o ambdues coses canvien.

✏️ Exemple C2-1.1: plataforma giratòria

---

La plataforma (RP) gira al voltant d’un eix perpendicular al terra (R). El moviment d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la perifèria de la plataforma és diferent segons s’observi des del terra o des de la plataforma.

El centre de la plataforma [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és fix a totes dues referències. Per tant, [math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] és un vector de posició per al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tant a la referència R com a la referència RP. És evident que [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0} }[/math], tot i que el vector que es deriva és el mateix.

Com que [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] és el radi r de la plataforma, té valor constant. Per tant, la derivada de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] només pot estar associada a un canvi de direcció.

Per avaluar el canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] respecte del terra o de la plataforma, cal definir un angle entre una recta fixa a la referència (recta de “sortida”) i el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (recta “d’arribada”). Per tal que quedi clar la recta origen, representem la recta de “sortida” com a la direcció del braç d’un observador situat a la referència (i, per tant, que no es mou respecte de la referència).

[math]\displaystyle{ \psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] canvia de direcció respecte de R [math]\displaystyle{ \implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}} }[/math]

D’acord amb el que s’ha vist a la secció V.1, [math]\displaystyle{ \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)} }[/math] és perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], i el seu valor és el mòdul de [math]\displaystyle{ \OQvec(\textrm{r}) }[/math] multiplicat per la velocitat de canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] respecte de R [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}) }[/math]:

Velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a la plataforma (RP):

[math]\displaystyle{ \psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] no canvia de direcció respecte de RP [math]\displaystyle{ \textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}} }[/math]

Càlcul analític ➕

Les dues bases vectorials més evidents per fer els càlculs són:

• Base B (1,2,3) fixa a la referència R (i per tant mòbil a RP): [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= -\vec{\dot{\psi}} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fixa respecte de RP (i per tant mòbil a R): [math]\displaystyle{ \velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = \vec{\dot{\psi}} }[/math]

Projecció del vector de posició [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en les dues bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0} }[/math]

Velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0} }[/math]

Velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de RP:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0} }[/math]

✏️ Exemple C2-1.2: pèndol d'Euler

---

L’extrem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del pèndol d’Euler descriu un moviment circular respecte del bloc. La velocitat associada [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL} }[/math] s’obté de manera anàloga a l’exemple anterior.

L’angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] orienta la barra tant respecte del bloc com respecte del terra, doncs el seu origen (recta vertical) té orientació constant a les dues referències.

La velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra es pot obtenir derivant el vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ}) }[/math] respecte del terra:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] té direcció constant a R però valor variable, per tant la seva derivada és paral·lela a [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] i de valor [math]\displaystyle{ \dot x }[/math] . El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] , en canvi, té valor constant L però direcció variable. Per tant, la seva derivada és perpendicular a [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], i el seu valor és el mòdul de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] per la velocitat de canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] respecte de R ([math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]):

La direcció de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no és cap de les direccions associades al sistema (ni la vertical, ni l’horitzontal, ni paral·lela a la barra ni perpendicular a la barra). Per aquest motiu, és millor deixar-la dibuixada com a suma dels dos termes [math]\displaystyle{ \dot x }[/math] i [math]\displaystyle{ L\dot\psi }[/math] , les direccions dels quals sí corresponen a una d’aquestes direccions singulars.

És interessant veure que el primer terme de l’expressió [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] correspon a la velocitat de [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right) }[/math] , mentre que el segon no té interpretació física: el punt [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] no és fix a R, i per tant no és un vector de posició en aquesta referència.

Càlcul analític ➕

Les dues bases vectorials lògiques per fer els càlculs són:

• Base B (1,2,3) fixa respecte de R i de BL: [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fixa respecte de la barra, i per tant mòbil a R i BL: [math]\displaystyle{ \velang{P}{B'}=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]

Projecció del vector de posició [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en les dues bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B} = \vector{x+\Ls \sin{\psi}}{\Ls \cos{\psi}}{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: }[/math], [math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+x \sin{\psi}}{x\cos{\psi}}{0} }[/math]

Velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot x+\Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot x sin\psi+\ x\dot\psi cos\psi}{\dot x cos\psi - x \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+x sin\psi}{x cos\psi}{0}=\vector{\dot x sin \psi}{\dot x cos\psi + \Ls\dot\psi}{0} }[/math]

Si es vol calcular la velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL, el vector de posició a derivar és [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{-\Ls \cos{\psi}}{0}, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0} }[/math]

---

---

C2.2 Acceleració d’una partícula

L’acceleració d’una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o d’un punt que pertany a un sòlid) respecte d’una referència R, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] , és el ritme de canvi de la velocitat al llarg del temps:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} = \dert{\vel{Q}{R}}{R} }[/math]

✏️ Exemple C2-2.1: plataforma giratòria

---

En el moviment circular del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la plataforma respecte del terra, l’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] prové tant del canvi de valor com del canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]. En ser [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] permanentment perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] , el seu ritme de canvi d’orientació és [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] , el mateix que el de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] :

La direcció de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] no és cap de les direccions associades al sistema (ni la radial, ni la perpendicular al radi). Per aquest motiu, és millor deixar-la dibuixada com a suma dels dos termes [math]\displaystyle{ \rs\ddot\psi }[/math] i [math]\displaystyle{ r\dot\psi^2 }[/math] , les direccions dels quals sí corresponen a una d’aquestes direccions singulars.

Càlcul analític ➕

Les bases B i B’ són les mateixes de l’exemple C2-1.1.

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vector{-\rs \ddot\psi sin\psi - \rs \dot\psi^2cos\psi}{\rs\ddot\psi cos\psi - \rs \dot\psi^2sin\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \vel{Q}{R}}{B} = \vector{0}{\rs\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{0}{\rs\dot\psi}{0} = \vector{-\rs\dot\psi^2}{\rs\ddot\psi}{0} }[/math]

✏️ Exemple C2-2.2: pèndol d’Euler

---

El càlcul de l’acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra (R) és laboriós perquè la velocitat [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] prové de la suma de dos termes: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} + \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math]: direcció constant (horitzontal), valor [math]\displaystyle{ (\dot x) }[/math] variable. La seva derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math] , doncs, serà horitzontal i de valor [math]\displaystyle{ \ddot x }[/math] .
• [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math]: direcció perpendicular a la barra i per tant variable; valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi }[/math] variable. La seva derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] , doncs, tindrà una part perpendicular a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (i per tant paral·lela a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi\cdot\dot\psi }[/math] , i una part paral·lela a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (i per tant perpendicular a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\ddot\psi }[/math].

Càlcul analític ➕

Les bases B i B’ són les mateixes de l’exemple C2-1.2.

Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi +\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

---

---

C2.3 Direccions intrínseques. Components intrínseques de l’acceleració

Un simple dibuix posa de manifest que la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a una referència R és sempre tangent a la trajectòria que descriu a R (Figura C2.1). La seva direcció és la direcció tangencial.

Figura C2.1 El vector de velocitat sempre és tangent a la trajectòria

En un cas general, la velocitat [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] canvia tant en valor com en direcció. Per tant, l’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] té dues components, una associada al canvi de valor (paral·lela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) i l’altra associada al canvi de direcció (ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]). Aquestes components són les components intrínseques de l’acceleració, i s’anomenen component tangencial [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math] i component normal [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math], respectivament:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\accs{Q}{R}+\accn{Q}{R} }[/math]

Per al cas del moviment circular, la component tangencial és perpendicular al radi, i la normal és paral·lela al radi i dirigida cap al centre de la trajectòria (Figura C2.2):

Figura C2.2 Components intrínseques de l’acceleració en el moviment circular

Aquest resultat es pot fer servir localment per a qualsevol altre moviment. Efectivament, així com el càlcul de la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte d’una referència R ([math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) es basa en dos vectors de posició consecutius (o, el que és el mateix, en dos punts consecutius de la trajectòria), el de l’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] en demana tres:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\dert{\vel{Q}{R}}{R}\simeq\frac{\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})-\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)}\equiv\frac{\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)} }[/math]

El càlcul del vector [math]\displaystyle{ \Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] requereix tres punts consecutius de la trajectòria (dos per a cada velocitat, on l’últim punt per calcular [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] i el primer per calcular [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt}) }[/math] són el mateix). Aquests tres punts defineixen un pla (pla osculador), i hi ha un únic cercle que els pot contenir tots tres. En altres paraules: qualsevol trajectòria es pot aproximar localment per un cercle (cercle osculador). El centre i el radi d’aquest cercle s’anomenen centre de curvatura i radi de curvatura de la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R ([math]\displaystyle{ \textrm{CC}_\textrm{R}(\textbf{Q}) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math] respectivament). Els resultats obtinguts per al moviment circular es poden fer servir localment per calcular [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math] (Figura C2.3).

Figura C2.3 Geometria local de la trajectòria d’una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte d’una referència R

Tant el radi de curvatura com la posició del centre de curvatura canvien al llarg de la trajectòria en general. En trams rectilinis, en no haver-hi canvi de direcció de la velocitat, la component normal de l’acceleració és zero, i el radi de curvatura es fa infinit.

El versor tangencial [math]\displaystyle{ \vecbf{s} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{s}=\velo{R}/|\velo{R}|=\accso{R}/|\accso{R}| }[/math]) i el versor normal [math]\displaystyle{ \vecbf{n} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{n}=\accno{R}/|\accno{R}| }[/math]) es poden completar amb un tercer versor [math]\displaystyle{ \vecbf{b} }[/math] ortogonal a tots dos (versor binormal, [math]\displaystyle{ \vecbf{b}\equiv\vecbf{s}\times\vecbf{n} }[/math]), i formar la base intrínseca o base de Frenet per al moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] a la referència R.

✏️ Exemple C2-3.1: pèndol d'Euler

---

En el moviment circular de l’extrem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la barra respecte del bloc, les dues components intrínseques de l’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] són diferents de zero. Els seus valors i direccions són els del moviment circular:

• acceleració tangencial [math]\displaystyle{ \accs{Q}{BL} }[/math]: paral·lela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] i de valor L[math]\displaystyle{ \ddot\psi }[/math].
• acceleració normal [math]\displaystyle{ \accn{Q}{BL} }[/math] : perpendicular a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] i de valor L[math]\displaystyle{ \dot\psi^2 }[/math].

Tot i ser evident que el radi de curvatura de la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] a la referència BL és L (ja que fa un moviment circular), també es pot obtenir com a [math]\displaystyle{ \frac{\vecbf{v}_{\textrm{BL}}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{BL}|}=\frac{(\Ls\dot\psi)^2}{\Ls\dot\psi^2}=\Ls }[/math].

L’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] s’ha descrit a l’exemple C2-2.2 com a suma de tres termes (els dos de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] més un permanentment horitzontal de valor [math]\displaystyle{ \ddot x }[/math]). Identificar en aquest cas quina és la component tangencial (paral·lela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) i quina la normal (ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) no és immediat, doncs la direcció de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no és cap de les direccions singulars del problema.

Aquesta identificació sí que és immediata per a dues configuracions particulars per a les quals la direcció de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] (que és la direcció tangencial) és horitzontal:

El radi de curvatura de l’extrem del pèndol respecte del terra per a la configuració [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] és:

El centre de curvatura sempre es troba per sobre de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] perquè l’acceleració normal apunta cap a dalt.

Casos particulars:

Les línies circulars discontínues indiquen l’aproximació de la trajectòria en l’entorn de la configuració [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] per a aquests dos casos particulars.

Tot i que és laboriós, és possible calcular [math]\displaystyle{ \re{Q}{R} }[/math] per a una configuració general recordant que en el producte escalar [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\cdot\acc{Q}{R} }[/math] només participen les components paral·leles (i per tant la [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math]), i en el producte vectorial [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\times\acc{Q}{R} }[/math], només les ortogonals (i per tant la [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math]) (exemple C2-3.1 analític). El resultat és:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}=\frac{\textbf{v}_{\Rs}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{R}|}=\frac{\left[\dot x^2+\left(\Ls\dot\psi\right)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right]^{3/2}}{\left|\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)\right|} }[/math]

Quan s’obtenen expressions complicades com l’anterior, és aconsellable fer alguna comprovació per assegurar-se que no hi ha errors evidents evitables. Per exemple:

• Si [math]\displaystyle{ \dot x=0 }[/math] permanentment (és a dir, [math]\displaystyle{ \ddot x=0 }[/math]), la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R és circular de radi L:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot x=0, \ddot x=0}=\frac{\left(\Ls^2\dot\psi^2\right)^{3/2}}{\Ls\dot\psi^2\Ls\dot\psi}=\Ls }[/math]

• Si [math]\displaystyle{ \dot\psi=0 }[/math] permanentment ([math]\displaystyle{ \ddot\psi=0 }[/math]), la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R és rectilínia, i el radi de curvatura ha de ser infinit:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot\psi=0, \ddot\psi=0}=\frac{(\dot x^2)^{3/2}}{0}\rightarrow\infty }[/math]

Càlcul analític ➕

Les bases B i B’ són les mateixes de l’exemple C2-2.1.

Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi+\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

El càlcul del radi de curvatura per a la configuració general és laboriós. Com que es tracta d’un moviment pla, on la velocitat i l’acceleració només tenen dos components, s’ometrà la tercera component. La base emprada és la B (però es pot treballar també en la base B’).

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls \dot\psi sin\psi}, \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\acc{Q}{R}\times\frac{\vel{Q}{R}}{\abs{\vel{Q}{R}}}} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\frac{1}{\sqrt{({\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)^2+(\Ls \dot\psi sin\psi)^2}}}\vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}\times\vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{ \frac { (\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi)\Ls \dot\psi sin\psi-(\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi)(\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi) } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} }} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}= \abs{ \frac { \Ls\ddot x\dot\psi sin\psi-\Ls\dot x\ddot\psi sin\psi-L^2\dot\psi^3-\Ls\dot x\dot\psi^2cos\psi } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} } }= \abs{ \frac { \Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi) } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} } } }[/math]

[math]\displaystyle{ \Re_\Rs(\Qs)=\frac{\textrm{v}^2_\Rs(\Qs)}{\abs{\accn{Q}{R}}}= \frac { \left( \dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right)^{3/2} } { \abs{ \Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi) } } }[/math]

---

---

C2.4 Velocitat angular d’un sòlid rígid

De la mateixa manera que la configuració d’un sòlid rígid S respecte d’una referència R queda definida per la posició d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del sòlid i per l’orientació de S a R (descrita, per exemple, mitjançant angles d’Euler), el canvi de la configuració respecte de R es pot descriure mitjançant la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del sòlid, [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math], i la velocitat angular del sòlid [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] (ritme de canvi d’orientació al llarg del temps). Quan l’orientació respecte de R es manté constant al llarg del temps, es diu que el sòlid té un moviment de translació [math]\displaystyle{ \left(\velang{S}{R}=0\right) }[/math].

Rotació simple

L’orientació d’un sòlid rígid que descriu un moviment pla respecte d’una referència R queda definida mitjançant un únic angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. El canvi d’aquesta orientació implica [math]\displaystyle{ \dot\psi\neq0 }[/math] .

Donar el valor de [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] [math]\displaystyle{ [rad/s] }[/math] no és suficient per definir com canvia d’orientació un sòlid que descriu un moviment pla.

✏️ Exemple C2-4.1: roda amb moviment pla

---

La roda descriu un moviment pla respecte de R. El seu centre [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math] és fix a R, i la seva orientació canvia a ritme [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] [math]\displaystyle{ [rad/s] }[/math]. Amb aquesta informació, no podem saber quin moviment està fent. Per exemple, la informació podria correspondre a qualsevol dels dos casos següents:

• Cas (a): angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] definit en el pla horitzontal; el pla del moviment és horitzontal.
• Cas (b): angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] definit en un pla vertical; el pla del moviment és vertical.

Si no es diu en quin pla està definit l’angle (i això és equivalent a donar una direcció: la perpendicular al pla en qüestió), el moviment no queda definit.

---

El moviment associat al canvi d’orientació, doncs, queda definit pel ritme de canvi de l’angle i per una direcció. L’objecte matemàtic que incorpora aquestes dues característiques és un vector. Per tant, la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] és un vector. El conveni per associar-li un sentit és la regla del cargol (o de la mà dreta, o del llevataps).

✏️ Exemple C2-4.2: roda amb moviment pla

---

La velocitat angular associada als moviments (a) i (b) de l’exemple anterior és:

---

Rotació a l’espai

L’orientació d’un sòlid rígid S que es mou de manera general respecte d’una referència R es pot definir mitjançant tres angles d’Euler [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math]. La variació de cadascun d'aquests angles, per separat, correspon a una rotació simple. La velocitat angular del sòlid S respecte de R és la superposició de les tres velocitats angulars associades a aquestes rotacions simples:

[math]\displaystyle{ \velang{S}{R} = \vecdot\psi + \vecdot\theta + \vecdot\varphi }[/math]

Tot i tractar-se d’una superposició intuïtiva, cal una demostració rigorosa. No s’inclou aquí però es pot trobar a [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press].

✏️ Exemple C2-4.3: giroscopi

---

L’orientació d’un giroscopi respecte del terra (R) es pot donar mitjançant tres angles d’Euler. Les velocitats angulars associades a [math]\displaystyle{ (\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi) }[/math] tenen les interpretacions següents: [math]\displaystyle{ \vecdot\psi=\velang{forquilla}{R} }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\theta=\velang{braç}{forquilla} }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi=\velang{volant}{braç} }[/math]. La velocitat angular del volant respecte del terra és la superposició de les tres:

[math]\displaystyle{ \velang{volant}{R} = \velang{volant}{braç} + \velang{braç}{forquilla} + \velang{forquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi }[/math]

Aquestes velocitats angulars es poden projectar en qualsevol de les bases vectorials que suggereix el problema:

• Base [math]\displaystyle{ \Bs_\Rs }[/math] fixa a la referència
• Base [math]\displaystyle{ \Bs }[/math] fixa a la forquilla (es pot generar a partir de [math]\displaystyle{ \Bs_\Rs }[/math] mitjançant la rotació [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math])
• Base [math]\displaystyle{ \Bs' }[/math] fixa a al braç (es pot generar a partir de [math]\displaystyle{ \Bs }[/math] mitjançant la rotació [math]\displaystyle{ \dot\theta }[/math])
• Base [math]\displaystyle{ \Bs_\textrm{V} }[/math] fixa al volant

Ara bé, és aconsellable triar una base on el nombre màxim de rotacions tinguin la direcció d’un dels eixos de la base, per evitar haver de projectar. Ja que els eixos de les tres rotacions no formen un triedre ortogonal, sempre caldrà projectar com a mínim una de les velocitats angulars ([math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}}, \vec{\dot{\theta}}, \vec{\dot{\varphi}} }[/math]). Si es tria adequadament la base, es pot aconseguir que les velocitats a projectar estiguin contingudes en un pla definit per dos eixos de la base, i això simplifica l’operació. Això porta a triar la base B o la B’. Les velocitats angulars que tindran dues components seran [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\varphi}} }[/math], quan s’empri la B, i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] quan s’empri la B’:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{forquilla}{R}}{B}=\vector{0}{0}{\dot\psi}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B}=\vector{0}{\dot{\varphi}cos\theta}{\dot{\varphi}sin\theta} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\velang{forquilla}{R}}{B'}=\vector{0}{\dot{\psi}sin\theta}{\dot{\psi}cos\theta}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B'}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B'}=\vector{0}{\dot{\varphi}}{0} }[/math]

---

---

C2.5 Acceleració angular d’un sòlid rígid

L’acceleració angular d’un sòlid rígid S respecte d’una referència R ([math]\displaystyle{ \accang{S}{R} }[/math]) és la derivada temporal de la seva velocitat angular respecte de R:

[math]\displaystyle{ \accang{S}{R}= \dert{\velang{S}{R}}{R} }[/math]

La descripció de la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] pot ser qualsevol (rotacions al voltant d’eixos fixos, rotacions d’Euler...). Quan el sòlid fa un moviment pla respecte de R, la direcció de la seva velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] no canvia (és sempre perpendicular al pla del moviment). En aquest cas, l’acceleració angular només prové del canvi de valor de [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math], i és paral·lela a [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math]. En moviments generals a l’espai, si [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] es descriu mitjançant rotacions d’Euler, [math]\displaystyle{ \accang{S}{R} }[/math] pot provenir del canvi dels valors de ([math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math],[math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math]) i del canvi de direcció de [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math] i [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math] és sempre de direcció constant respecte de R).

✏️ Exemple C2-5.1: giroscopi

---

La forquilla d’un giroscopi té moviment pla respecte del terra (R), amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{forquilla}{R}=\vecdot\psi }[/math] vertical. La seva acceleració angular és també vertical, de valor [math]\displaystyle{ \ddot{\psi}: \accang{S}{R}=\vec{\ddot{\psi}} }[/math].

L’acceleració angular del volant és més complicada. Es pot obtenir mitjançant la derivació geomètrica de [math]\displaystyle{ \velang{volant}{R}=\vecdot\psi+\vecdot\theta+\vecdot\varphi }[/math]. La rotació [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math] es pot descompondre en una component vertical de valor [math]\displaystyle{ \dot\varphi\textrm{sin}\theta }[/math], i una d’horitzontal de valor [math]\displaystyle{ \dot\varphi\textrm{cos}\theta }[/math]. La component vertical només pot canviar de valor, mentre que l'horitzontal canvia de valor i de direcció (per causa de [math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math]).

Derivada de les components verticals:

Derivada de les components horitzontals:

Càlcul analític ➕

El mateix resultat s’obté si la derivada es fa de manera analítica a través de la base vectorial que gira amb [math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math] respecte de R o de la que gira amb [math]\displaystyle{ \vecdot\psi+\vecdot\theta }[/math] (també respecte de R):

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{volant}{R}}{B}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi \cos{\theta}}{\dot\psi+\dot\varphi \sin{\theta}}, }[/math]          [math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B}=\braq{\dert{\velang{volant}{R}}{R}}{B}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volant}{R}}{B}+\braq{\velang{B}{R}\times\velang{volant}{R}}{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B} = \vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi \cth-\dot\varphi\dth \sth}{\ddot\psi+\ddot\varphi \sth+\dot\varphi\dth \cth}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi \cth}{\dot\psi+\dot\varphi \sth} = \vector{\ddot\theta-\dot\psi\dot\varphi \cth}{\ddot\varphi \cth-\dot\varphi\dth \sth+\dot\psi\dot\theta}{\ddot\psi+\ddot\varphi \sth+\dot\varphi\dth \cth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{volant}{R}}{B'}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi \sth}{\dot\psi \cth}, }[/math]          [math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B'}=\braq{\dert{\velang{volant}{R}}{R}}{B'}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volant}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times\velang{volant}{R}}{B'} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B'} = \vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi+\ddot\psi \sth+\dot\psi\dot\theta \cth}{\ddot\psi \cth-\dot\psi\dot\theta \sth} + \vector{\dth}{\dot\psi\sth}{\dot\psi\cth}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi \sth}{\dot\psi \cth} = \vector{\ddth-\dot\psi\dot\varphi\cth}{\ddot\varphi+\ddot\psi \sth+\dot\psi\dth\cth}{\ddot\psi \cth-\dot\psi\dth\sth+\dot\varphi\dth} }[/math]

---

---

C2.6 Cinemàtica de partícula VS cinemàtica de sòlid rígid

Partícula (punt) i sòlid rígid són dos models molt diferents. Des del punt de vista de la cinemàtica, el segon és molt més ric en incloure el concepte de rotació (inexistent en partícules, ja que aquestes no es poden orientar perquè no tenen dimensions). Per causa de les rotacions, els punts d’un mateix sòlid rígid poden descriure trajectòries diferents.

És important tenir present això per no emprar erròniament conceptes que només s’apliquen a un dels dos models quan es parla de l’altre. Els exemples següents il·lustren algunes afirmacions errònies i correctes.

✏️ Exemple C2-6.1: partícula dins una guia circular

---

La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] gira respecte de R: ERRONI El vector [math]\displaystyle{ \vec{\textbf{OP}} }[/math] gira respecte de R: CORRECTE La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] descriu una trajectòria circular respecte de R (o té un moviment circular respecte de R): CORRECTE

✏️ Exemple C2-6.2: partícula en un pla inclinat

---

La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es trasllada respecte de R: ERRONI La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] descriu una trajectòria rectilínia respecte de R (o té un moviment rectilini respecte de R): CORRECTE

✏️ Exemple C2-6.3: roda en contacte amb el terra sense lliscar i amb moviment pla

---

Els punts de la roda giren respecte de R: ERRONI

La roda gira respecte de R: CORRECTE

El centre de la roda es trasllada respecte de R: ERRONI

El centre de la roda té un moviment rectilini respecte de R: CORRECTE

Un sòlid rígid que gira pot tenir punts que facin moviments rectilinis.

Video C2.1 Visualització de les trajectòries de punts

✏️ Exemple C2-6.4: moviment d’una sínia

---

	L’anella gira respecte de R: CORRECTE La cabina gira respecte de R: ERRONI (si negligim el moviment pendular, el terra i el sostre de la cabina sempre són paral·lels al terra, i per tant no gira). La cabina es trasllada respecte de R: CORRECTE
	En aquest cas, tots els punts de la cabina fan moviments circulars del mateix radi respecte de R, però amb diferents centres de curvatura. En un cas com aquest, es poden combinar un concepte de cinemàtica de sòlid rígid (translació) amb un concepte de cinemàtica de partícula (moviment circular) per descriure el moviment de la cabina: La cabina té un moviment de translació circular respecte de R.

Els punts d’un sòlid rígid que es trasllada poden descriure moviments curvilinis.

---

---

C2.7 Graus de llibertat

Segons s’ha vist a través dels diversos exemples d’aquesta unitat, les velocitats dels punts d’un sistema mecànic depenen d’un conjunt de variables escalars de dimensions (longitud/temps) o (angle/temps). El conjunt mínim de variables escalars d’aquesta mena que cal per descriure el moviment del sistema constitueix el conjunt de graus de llibertat (GL) del sistema.

Quan el sistema és un únic sòlid rígid lliure a l’espai (sense contacte amb cap objecte material), el nombre de GL és 6: tres associats al moviment d’un punt (per exemple, [math]\displaystyle{ (\dot{\textrm{x}}, \dot{\textrm{y}}, \dot{\textrm{z}}) }[/math]) i tres al canvi d’orientació del sòlid (per exemple, [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}, \dot{\theta}, \dot{\varphi}) }[/math]).

En el context de l’enginyeria mecànica, els sistemes mecànics habituals són sistemes multisòlid: conjunts de sòlids rígids mútuament enllaçats mitjançant articulacions, ròtules, juntes diverses... Per causa d’aquests enllaços, l’estat mecànic de cada sòlid (és a dir, la seva configuració a l’espai i el seu moviment) està relacionat amb el dels altres: en un sistema multisòlid amb N sòlids, el nombre de GL és inferior a 6N.

---

---

C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics

Un enllaç restringeix el moviment relatiu entre dos sòlids, i per tant limita el nombre de graus de llibertat d'un respecte de l'altre. La taula següent recull els enllaços més habituals.

	Contacte puntual amb lliscament [Permet 5 GL]: Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids (al voltant de la direcció normal i de les dues tangencials), i dues translacions independents (al llarg de les dues direccions tangencials). Contacte puntual sense lliscament [Permet 3 GL]: Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids (al voltant de la direcció normal i de les dues tangencials).
	Enllaç de revolució (articulació) [Permet 1 GL]: Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l'eix de revolució (eix 1 a la figura).
	Enllaç cilíndric [Permet 2 GL]: Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1, i una translació (desplaçament sense rotació) al llarg de l’eix 1.
	Enllaç prismàtic [Permet 1 GL]: Permet una translació entre els dos sòlids al llarg de l’eix 1.
	Enllaç esfèric (ròtula esfèrica) [Permet 3 GL]: Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids al voltant dels eixos 1, 2, 3.
	Enllaç helicoidal (enllaç cargolat) [Permet 1 GL]: Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 3; aquesta rotació provoca un desplaçament al llarg de l’eix 3. La relació entre la rotació i el desplaçament ve donada pel pas de rosca e [mm/volta].
	Junta Cardan (junta universal o de creueta) [Permet 2 GL]: Permet dues rotacions independents entre els dos sòlids al voltant dels eixos 1, 3. L'enllaç és indirecte, a través de la creueta, que es considera un sòlid auxiliar d'enllaç (Video C2.2).

Video C2.2 Junta Cardan (junta universal o de creueta)

✏️ Exemple C2-8.1: GL d’un giroscopi

---

En el giroscopi, el suport no es mou respecte del terra (R). Entre forquilla i suport, entre braç i forquilla, i entre volant i braç hi ha articulacions. Va bé representar això en un diagrama simplificat:

La posició respecte del terra del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] no canvia. Per tant, la configuració del giroscopi queda totalment definida pels tres angles [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math]: el giroscopi té 3 CI respecte del terra.

Pel que fa al seu moviment, ja que la variació de qualsevol d’aquests angles no implica la dels altres dos, les seves evolucions són independents: el giroscopi té 3 GL respecte del terra, que es poden descriure com a [math]\displaystyle{ (\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi) }[/math].

✏️ Exemple C2-8.2: GL d’un tricicle

---

El tricicle és un sistema de 5 sòlids: el xassís, el manillar i les tres rodes. No hi ha cap element fix a terra. Entre les rodes del darrere i el xassís, entre el manillar i el xassís, i entre la roda del davant i el manillar hi ha articulacions. Per altra banda, les rodes toquen a terra: això també és una restricció. Si es mou sobre un terra pla sense que les rodes patinin, aquest contacte es pot idealitzar com a contacte puntual sense lliscament (que hi hagi o no lliscament en un contacte és una conseqüència de la dinàmica del sistema; en el context de la cinemàtica, això es formula com a hipòtesi).

Una manera eficaç de determinar el nombre de GL d’un sistema respecte d’una referència és comptar quants moviments cal aturar perquè el sistema quedi totalment en repòs. En el cas del tricicle, si s’atura el moviment del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] (que només pot ser en la direcció longitudinal si les rodes no patinen), el xassís no es podria moure [math]\displaystyle{ (\dot\psi=0) }[/math], però el manillar i la roda del davant podrien pivotar al voltant de l’eix vertical que passa pel centre de la roda [math]\displaystyle{ (\dot\psi'\neq 0) }[/math]. Si s'atura aquest últim moviment, el tricicle ja no es mou. S’han aturat dos moviments, per tant el tricicle té 2 GL.

✏️ Exemple C2-8.3: GL d’una closca esfèrica sobre una plataforma

---

El sistema consta de 4 sòlids: la plataforma, la closca, el braç i la forquilla. Entre la plataforma i el terra, entre la closca i el braç, entre el braç i la forquilla, i entre la forquilla i el sostre (terra) hi ha articulacions. Per altra banda, entre closca i plataforma hi ha un contacte puntual sense lliscament.

Per comptar els GL del sistema respecte del terra (R), es poden bloquejar moviments fins que tot queda aturat:

• bloquegem la rotació de la plataforma respecte del terra
• bloquegem la rotació de la forquilla respecte del terra

En aquestes condicions, tot i que l’articulació entre closca i braç permet una rotació, aquesta rotació faria patinar la closca sobre la plataforma, i això va en contra de la hipòtesi que es tracta d’un contacte sense lliscament. Per tant, el sistema està totalment aturat: té 2 GL respecte del terra.

---

Video C2.3 Graus de Llibertat d'una roda emb moviment pla i contacte amb el terra

---

---

C2.E Exercicis resolts

🔎 Exercici C2-E.1: pèndol giratori

---

La placa està articulada en el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a una forquilla, que gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \psio }[/math] respecte del terra (T) sota l’acció d’un motor. Entre forquilla i terra (sostre), i entre placa i forquilla hi ha articulacions de revolució.

1. Quants graus de llibertat (GL) té el sistema? Descriu-los.

La forquilla pot fer una rotació simple respecte del terra, al voltant de l’eix vertical.

De manera independent, la placa pot fer una rotació simple al voltant de l’eix horitzontal de la forquilla.

Una manera de veure que aquests dos moviments són independents és que si n’aturem un, l’altre encara pot existir.

Per tant, el sistema té dos graus de llibertat.

2. Determina la velocitat angular i l’acceleració angular de la placa respecte del terra.

La velocitat angular de la placa és la superposició de [math]\displaystyle{ \vecdot\psi_0 }[/math] (1a rotació d’Euler, eix fix a terra) i [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math] (2a rotació d’Euler, eix afectat de la rotació [math]\displaystyle{ \vecdot\psi_0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \velang{placa}{T}=\vecdot\psi_0+\vecdot\theta }[/math]

Càlcul geomètric

[math]\displaystyle{ \velang{placa}{T}=\vecdot\psi_0+\vecdot\theta=(\Uparrow \psio)+(\odot \dot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \accang{placa}{T}=\dert{\velang{placa}{T}}{T}=\dert{\vecdot\psi_0}{T}+\dert{\vecdot\theta}{T}=\dert{(\Uparrow \psio)}{T}+\dert{(\odot \dot{\theta})}{T} }[/math]

Ja que [math]\displaystyle{ \vecdot\psi_0 }[/math] és constant en valor i direcció, l’acceleració angular provindrà només del canvi de valor i de direcció de [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math]. Es tracta d’un vector de valor no constant i que gira al voltant de l’eix vertical, afectat per la primera rotació d’Euler [math]\displaystyle{ (\Omegavec^{\vecdot\theta}_\textrm{T}=\vecdot\psi_0) }[/math].

[math]\displaystyle{ \accang{placa}{T}=\dert{(\odot\dot{\theta})}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left[\ddot{\theta}\frac{\vecdot{\theta}}{|\vecdot{\theta}|}\right]+[\velang{$\vecdot{\theta}$}{$\Ts$}\times\vecdot{\theta}]=[\odot\ddot{\theta}]+[(\Uparrow\psio)\times(\odot\dot{\theta})]=(\odot\ddot{\theta})+(\Rightarrow\psio\dot{\theta}) }[/math]

Càlcul analític:

La derivada de la velocitat angular es pot fer també de manera analítica. La base vectorial en la qual la projecció de [math]\displaystyle{ \velang{placa}{T} }[/math] és immediata és la base fixa a la forquilla [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vecdot{\psi}_0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{\psio} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{placa}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{placa}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{placa}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{\ddot{\theta}}{0}{0}+\vector{0}{0}{\psio}\times\vector{\dot{\theta}}{0}{\psio}=\vector{\ddot{\theta}}{\psio\dot{\theta}}{0} }[/math]

3. Determina la velocitat i l’acceleració del punt P de la placa respecte del terra.

Ja que el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és fix al terra, el vector [math]\displaystyle{ \OGvec }[/math] és un vector de posició per a la referència del terra. El seu valor L és constant, però la seva direcció és variable per causa de [math]\displaystyle{ \psio }[/math] i [math]\displaystyle{ \vecdot{\theta} }[/math]: [math]\displaystyle{ \OGvec=(\searrow\Ls)^{*} }[/math].

Càlcul geomètric:

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=\dert{\OGvec}{T}=[\text{canvi de direcció}]_\Ts=\velang{$\OGvec$}{T}\times\OGvec=(\vec{\dot{\psi}}_0+\vec{\dot{\theta}})\times\OGvec=\left[(\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta})\right]\times(\searrow\Ls)=(\Uparrow\psio)\times(\rightarrow\Ls\text{cos}\theta)+(\odot\dot{\theta})\times(\searrow\Ls)=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta}) }[/math]

La velocitat té valor i direcció variables, i per tant l’acceleració té tant component paral·lela com component perpendicular a la velocitat.

[math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\dert{\vel{G}{T}}{T}=\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}+\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ (\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta) }[/math] gira respecte del terra només per causa de [math]\displaystyle{ \psio }[/math], mentre que el vector [math]\displaystyle{ (\nearrow\Ls\dot{\theta}) }[/math] ho fa per causa de [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts= }[/math]

[math]\displaystyle{ =[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+\left[(\Uparrow\psio)\times(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)\right]=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+\left[\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts=\left[\nearrow\Ls\ddot{\theta}\right]+\left[((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})\right]=\left[\nearrow\Ls\ddot{\theta}\right]+\left[(\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)\right] }[/math]

Per tant: [math]\displaystyle{ \acc{P}{T}=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)+(\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta)+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\nearrow\Ls\ddot{\theta}) }[/math]

Càlcul analític:

Tot el càlcul es pot fer de manera analítica. La base vectorial en la qual la projecció del vector [math]\displaystyle{ \OGvec }[/math] és immediata és la fixa a la placa (base B’). Aquesta base canvia d’orientació quan el valor dels dos angles [math]\displaystyle{ \psi }[/math] i [math]\displaystyle{ \theta }[/math] canvia. Per tant, la velocitat angular de la base és [math]\displaystyle{ \velang{B'}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\OGvec}{B'}=\vector{0}{0}{-L} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\OGvec}{B'}=\vector{0}{0}{0}+\vector{\dot{\theta}}{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}\times\vector{0}{0}{-\Ls}=\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\vector{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}{\Ls\ddot{\theta}}{0}+\vector{\dot{\theta}}{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}\times\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0}=\vector{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}{\Ls\ddot{\theta}-\Ls\psio^2\text{sin}\theta\text{cos}\theta}{\Ls\dot{\theta}^2+\Ls\psio^2\text{sin}^2\theta} }[/math]

🔎 Exercici C2-E.2: placa articulada giratòria

---

La placa rectangular està unida a un suport giratori a través de dues barres paral·leles amb articulacions als extrems. Una tercera barra està enllaçada a la placa a través d’una ròtula esfèrica a P i al suport a través d’un enllaç cilíndric. El suport gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \vecdot{\psi} }[/math] variable respecte del terra (T).

1. Quants graus de llibertat (GL) té el sistema? Descriu-los.

El suport pot girar lliurement al voltant de l’eix vertical fix a terra (rotació simple). Si el suport s’atura respecte del terra, el sistema encara es pot moure.

Respecte del suport, les barres [math]\displaystyle{ \OCvec }[/math] poden fer una rotació simple al voltant de l’eix horitzontal perpendicular a les barres i que passa per [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Si una d’aquestes barres s’atura respecte del suport, ni la placa, ni les barres [math]\displaystyle{ \OCvec }[/math], ni la barra en colze es poden moure. Una anàlisi alternativa d’aquest segon grau de llibertat és veure que si la barra en colze s’atura (si s’atura la seva translació vertical respecte del suport), ni la placa, ni les barres [math]\displaystyle{ \OCvec }[/math] es poden moure respecte del suport.

Per tant, el sistema té dos graus de llibertat.

2. Determina la velocitat angular i l’acceleració angular de la placa respecte del terra.

La velocitat angular de la placa és la superposició de [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] (1a rotació d’Euler, eix fix a terra) i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math] (2a rotació d’Euler, eix afectat de la rotació [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math]):

Càlcul geomètric:

[math]\displaystyle{ \velang{placa}{T}=\vec{\dot{\psi}}+\vec{\dot{\theta}}=(\Uparrow\dot{\psi})+(\otimes\dot{\theta}) }[/math]

L’acceleració angular prové del canvi de valor de [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math], i del de valor i direcció de [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \accang{placa}{T}=\dert{\velang{placa}{T}}{T}=\dert{(\Uparrow\dot{\psi})}{T}=\dert{(\otimes\dot{\theta})}{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\Uparrow\dot{\psi})}{T}=[\text{canvi de valor}]=\ddot{\psi}\frac{\vec{\dot{\psi}}}{|\vec{\dot{\psi}}|}=(\Uparrow\ddot{\psi}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\otimes\dot{\theta})}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts=\left[\ddot{\theta}\frac{\vec{\dot{\theta}}}{|\vec{\dot{\theta}}|}\right]+\left[\velang{$\vec{\dot{\theta}}$}{T}\times\vec{\dot{\theta}}\right]=[\otimes\ddot{\theta}]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\otimes\dot{\theta})\right] }[/math]

Per tant, [math]\displaystyle{ \accang{placa}{T}=(\Uparrow\ddot{\psi})+(\otimes\ddot{\theta})+(\Leftarrow\dot{\psi}\dot{\theta}) }[/math]

Càlcul analític:

La derivada de la velocitat angular es pot fer també de manera analítica. La base vectorial B en la qual la projecció de [math]\displaystyle{ \velang{placa}{T} }[/math] és immediata és la fixa al suport [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{0}{\dot{\theta}}{\dot{\psi}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{placa}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{placa}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{placa}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{placa}{T}}{B}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\vector{0}{\ddot{\theta}}{\ddot{\psi}}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times\vector{0}{\dot{\theta}}{\dot{\psi}}=\vector{-\dot{\psi}\dot{\theta}}{\ddot{\theta}}{\ddot{\psi}} }[/math]

3. Determina la velocitat i l’acceleració del punt Q de la placa respecte del terra.

Ja que el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és fix al terra, el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] és un vector de posició per a la referencia del terra. El seu valor és [math]\displaystyle{ 2\Ls\text{cos}\theta }[/math], i la seva direcció és sempre horitzontal. La velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] prové tant del canvi de valor (doncs [math]\displaystyle{ \theta }[/math] és variable) com del canvi de direcció respecte del terra (ocasionat per la rotació [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] del suport).

Càlcul geomètric:

[math]\displaystyle{ \OQvec=(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{T}=\dert{\OQvec}{T}=\dert{(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left[\rightarrow -2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)\right]=\left[\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]+\left[\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta\right] }[/math]

L’acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] prové tant del canvi de valor com del canvi de direcció (associat a [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math]) dels dos termes de la velocitat:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{T}=\dert{\vel{Q}{T}}{T}=\dert{(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)}{T}+\dert{\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta}{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts=\left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]=\left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)\right]+\left[\odot 2\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta)}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts=\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta)\right]=\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]+\left[\leftarrow 2\Ls\dot{\psi}^2\text{cos}\theta\right] }[/math]

Per tant, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{T}=(\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+(\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2)\text{cos}\theta))+(\odot 4\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)+(\otimes 2\Ls\ddot{\psi}\text{cos}\theta) }[/math]

Càlcul analític:

La derivada també es pot fer de manera analítica. La base vectorial B en la qual la projecció del vector [math]\displaystyle{ \OPvec }[/math] és immediata és la fixa al suport [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{2\Ls\text{cos}\theta}{0}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{T}}{B}=\braq{\dert{\OQvec}{T}}{B}=\frac{d}{dt}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\OQvec}{B}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\vector{-2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}{0}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times\vector{2\Ls\text{cos}\theta}{0}{0}=\vector{-2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{T}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\vel{Q}{T}}{B}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\text{sin}\theta-\dot{\theta}^2\text{cos}\theta}{\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times 2\Ls\vector{-\dot{\theta}\text{sin}\theta}{\dot{\psi}\text{cos}\theta}{0}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\text{sin}\theta-(\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2)\text{cos}\theta}{\ddot{\psi}\text{cos}\theta-2\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0} }[/math]

🔎 Exercici C2-E.3: pèndol giratori amb punt de suspensió mòbil

---

El pèndol en forma d’anella està articulat al suport, el qual té un enllaç prismàtic amb la guia. La guia està articulada al sostre, i la seva velocitat angular respecte d’aquest [math]\displaystyle{ (\vec{\psio}) }[/math] es manté constant. La molla entre suport i guia garanteix que el primer no caigui a terra quan el sistema està aturat.

1. Quants graus de llibertat (GL) té el sistema? Descriu-los.

La guia pot girar al voltant de l’eix vertical que passa per [math]\displaystyle{ \Os ' }[/math] (rotació simple).

Independentment, el suport es pot traslladar al llarg de la guia (translació rectilínia).

Finalment, si els dos moviments anteriors s’aturen, l’anella encara pot fer una rotació simple al voltant de l’eix horitzontal que passa per [math]\displaystyle{ \Os ' }[/math], és perpendicular al pla de l’anella i és fix al suport.

Per tant, el sistema té 3 graus de llibertat.

2. Determina la velocitat angular i l’acceleració angular de l’anella respecte del terra.

Càlcul geomètric:

La velocitat angular de l’anella és la superposició de [math]\displaystyle{ (\vec{\psio}) }[/math] (1a rotació d’Euler, eix fix a terra) i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math] (2a rotació d’Euler, eix afectat de la rotació [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math]):

[math]\displaystyle{ \velang{anella}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}}=(\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \accang{anella}{T}=\dert{\velang{anella}{T}}{T}=\dert{(\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}})}{T}=\dert{\vec{\psio}}{T}+\dert{\vec{\dot{\theta}}}{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\dert{(\Uparrow\psio)}{T}+\dert{(\odot\dot{\theta})}{T} }[/math]

L’acceleració angular prové exclusivament del canvi de valor i direcció de [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math], ja que [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math] és de valor i direcció constant.

[math]\displaystyle{ \accang{anella}{T} = \dert{\velang{anella}{T}}{T} = \dert{(\odot\dot{\theta})}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left[\ddot{\theta}\frac{\vec{\dot{\theta}}}{|\vec{\dot{\theta}}|}\right]+\left[\velang{$\vec{\dot{\theta}}$}{T}\times\vec{\dot{\theta}}\right]=[\odot\ddot{\theta}]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\odot\dot{\theta})\right]=(\odot\ddot{\theta})+(\Rightarrow\psio\dot{\theta}) }[/math]

Càlcul analític:

La derivada de la velocitat angular de l’anella es pot fer també de manera analítica. La base vectorial en la qual la projecció de [math]\displaystyle{ \velang{anella}{T} }[/math] és immediata és la fixa al suport [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{anella}{T}}{B}=\vector{0}{\psio}{\dot{\theta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{anella}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{anella}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{anella}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{anella}{T}}{B}=\vector{0}{0}{\ddot{\theta}}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{0}{\psio}{\dot{\theta}}=\vector{\psio\dot{\theta}}{0}{\ddot{\theta}} }[/math]

3. Determina la velocitat i l’acceleració del punt G de l’anella respecte del terra.

Càlcul geomètric:

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Os'\Gs} }[/math] és un vector de posició de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] a la referencia del terra, ja que [math]\displaystyle{ \Os' }[/math] és un punt fix a terra.

[math]\displaystyle{ \vec{\Os'\Gs}=\vec{\Os'\Os}+\vec{\Os\Gs}=(\downarrow \textrm{x})+(\searrow \Ls)^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=\dert{\vec{\Os'\Gs}}{T}=\dert{\vec{\Os'\Os}}{T}+\dert{\vec{\Os\Gs}}{T}=\dert{(\downarrow \textrm{x})}{T}+\dert{(\searrow \Ls)}{T} }[/math]

El terme [math]\displaystyle{ (\downarrow \text{x}) }[/math] té valor variable però orientació constant, en tant que el terme [math]\displaystyle{ (\searrow \Ls) }[/math], de valor constant, canvia d’orientació respecte del terra per causa de [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os'\Os}}{T}=\dert{(\downarrow \textrm{x})}{T}=[\text{canvi de valor}]=(\downarrow\dot{\text{x}}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os\Gs}}{T}=\dert{(\searrow \Ls)}{T}=[\text{canvi de direcció}]_\Ts=\velang{$\OGvec$}{T}\times\OGvec=((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\searrow \Ls)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(\Uparrow\psio)\times(\rightarrow\Ls\text{sin}\theta)+(\odot\dot{\theta})\times(\searrow \Ls)=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta}) }[/math]

Per tant, [math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=(\downarrow\dot{\text{x}})+(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{T}=\dert{\vel{G}{T}}{T}=\dert{(\downarrow\dot{\text{x}})}{T}+\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}+\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T} }[/math]

Tots tres termes de la velocitat són de valor variable, i només els dos últims giren (canvien de direcció) respecte del terra. El segon, que és perpendicular al pla de l’anella, només gira per causa de [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math], en tant que el tercer gira per causa de [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math]. La derivada de cadascun d’aquests termes és:

[math]\displaystyle{ \dert{(\downarrow\dot{\text{x}})}{T}=[\text{canvi de valor}]=(\downarrow\ddot{x}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+[(\Uparrow\psio)\times(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)]=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+[\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta] }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts=[\nearrow\Ls\ddot{\theta}]+[((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})]=[\nearrow\Ls\ddot{\theta}]+[(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)] }[/math]

Per tant, [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=(\downarrow\ddot{x})+(\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta) }[/math]

Càlcul analític:

Tot el càlcul es pot fer de manera analítica. El vector [math]\displaystyle{ \OGvec=\vec{\Os\Os'}+\vec{\Os'\Gs} }[/math] té el primer terme vertical, i per tant la seva projecció és immediata a la base B fixa al suport [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\psio}) }[/math]; el segon terme, en canvi, es projecta immediatament a la base B’ fixa a l’anella [math]\displaystyle{ (\velang{B'}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}}) }[/math]. Qualsevol de les dues pot ser adequada.

Càlcul a la base B

[math]\displaystyle{ \braq{\OGvec}{B}=\vector{\Ls\text{sin}\theta}{-\text{x}-\Ls\text{cos}\theta}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{G}{T}}{B}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\OGvec}{B}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{\Ls\text{sin}\theta}{-x-\Ls\text{cos}\theta}{0}=\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{G}{T}}{B}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\vel{G}{T}}{B}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\text{cos}\theta-\dot{\theta}^2\text{sin}\theta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta-\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)}{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\text{cos}\theta-\dot{\theta}^2\text{sin}\theta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta} }[/math]

Càlcul a la base B'

[math]\displaystyle{ \braq{\OGvec}{B}=\vector{x\text{sin}\theta}{-x\text{cos}\theta-\Ls}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\OGvec}{B'}=\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta-x\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}\text{cos}\theta+x\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}{\dot{\theta}}\times\vector{-x\text{sin}\theta}{-x\text{cos}\theta-\Ls}{0}=\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\text{cos}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\vector{-\ddot{x}\text{sin}\theta-\dot{x}\dot{\theta}\text{cos}\theta+\Ls\ddot{\theta}}{-\ddot{x}\text{cos}\theta+\dot{x}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}+\vector{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}{\dot{\theta}}\times\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\text{cos}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta}=\vector{-\ddot{x}\text{sin}\theta+\Ls(\ddot{\theta}-\psio^2\text{sin}\theta\text{cos}\theta)}{-\ddot{x}\text{cos}\theta+\Ls(\dot{\theta}^2+\psio^2\text{sin}^2\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta} }[/math]

---

*NOTA: En aquest web (i per manca de símbols de fletxa més precisos), tot i que les fletxes [math]\displaystyle{ \nearrow }[/math], [math]\displaystyle{ \swarrow }[/math], [math]\displaystyle{ \nwarrow }[/math] i [math]\displaystyle{ \searrow }[/math] semblen indicar que els vectors formen un angle de 45° amb la direcció vertical, no té per què ser així. Cal interpretar les fletxes de manera qualitativa, observant el dibuix que sempre acompanya aquest tipus de notació. Per exemple, l’apartat 3 de l’exercici C2-E.1, el vector [math]\displaystyle{ \OPvec }[/math] forma un angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] genèric amb la direcció vertical. Si el valor de l’angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] és menor de 90° (com a la figura), el vector [math]\displaystyle{ \OPvec }[/math] té component cap a baix i cap a la dreta.

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

<<< C1. Configuració d'un sistema mecànic

C3. Composició de moviments >>>