C3. Composició de moviments
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Es}{\textrm{E}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} \newcommand{\psio}{\dot{\psi_0}} \newcommand{\accrel}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{REL}} (\textbf{#1})} \newcommand{\stheta}{\text{sin}\theta} \newcommand{\ctheta}{\text{cos}\theta} }[/math]
En moltes ocasions, el moviment d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que sembla complicat respecte d’una referència R (no és ni circular ni rectilini) es pot intuir quan respecte d’una altra referència R’ és senzill (rectilini, circular o nul) i, a més, el de R’ respecte de R també (per exemple, és un moviment de translació o de rotació simple). Combinar el moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R’ i el de R’ respecte de R per obtenir el moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R és fer una composició de moviments (Figura C3.1).
A l’exemple de la Figura C3.2, la composició de moviments es pot fer servir per determinar el moviment de la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte al vehicle (R’), a partir del moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte al terra (R), que és senzill.
Tradicionalment, les referències R i R’ entre les que s’estableix la composició s’anomenen AB (absoluta) i REL (relativa). A partir d’ara, es faran servir aquests noms.
Les relacions entre [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , i entre [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] i [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] que es presenten en aquesta unitat són sempre vàlides, independentment del fet que el moviments de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte a les referències REL o AB i el moviment entre AB i REL siguin senzills o no. Quan són senzills, la composició de moviments és una alternativa algèbrica (no implica derivades temporals) per al càlcul de velocitats i acceleracions (Figura C3.3). Quan no ho són, pot ser adequat recórrer a altres mètodes (com la derivació).
C3.1 Composició de velocitats
A cada instant, l’equació que relaciona la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dues referències AB i REL diferents és:
El segon terme del costat dret és la velocitat d’arrossegament, i correspon a la velocitat que tindria [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en aquest instant si fos un punt fix a REL (a la posició que té en aquest instant) i s’avalués la seva velocitat des de la referència AB:
💭 Demostració ➕
- El càlcul de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] es pot fer per derivació de dos vectors de posició:
[math]\displaystyle{ \newcommand{\punt}[2]{\textbf{#1}_\textrm{#2}} \vel{Q}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{Q}{ }}}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{O}{REL}}}{AB} + \dert{\OQrelvec}{AB} = \vel{$\punt{O}{REL}$}{AB} +\dert{\OQrelvec}{AB} }[/math]
- L’últim terme de l’equació no té sentit físic: tot i ser la derivada d’un vector de posició a la referència REL (doncs l’origen del vector, [math]\displaystyle{ \punt{O}{REL} }[/math] , és un punt que pertany a REL), aquesta derivada no es calcula a REL sinó a AB. Fent ús de l’expressió que relaciona la derivada d’un mateix vector en dues referències diferents:
[math]\displaystyle{ \dert{\OQrelvec}{AB} = \dert{\OQrelvec}{REL} + \omegarelab\times\OQrelvec = \vel{Q}{REL}+\omegarelab \times \OQrelvec }[/math]
[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]
- Tot i que l’última equació és correcte (s’ha demostrat!), conté dos termes on apareix [math]\displaystyle{ \Orel }[/math] , que és un punt que no està unívocament definit (pot ser qualsevol punt fix a REL). Aquest inconvenient es pot resoldre introduint el moviment d’arrossegament: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]. Si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és un punt de REL, la seva velocitat respecte d’AB és:
[math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vvec_\textrm{REL}(\Qs \in \textrm{REL}) + \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec = \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]
- Finalment, [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]
Es tracta d’una equació que implica una operació entre vectors instantània: [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] (o [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math]) en un instant t s’obté a partir de dos vectors, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] (o [math]\displaystyle{ \velQab }[/math]) i [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} }[/math] en el mateix instant t). Es tracta, doncs, d’una operació més senzilla que la derivació (la derivació no és instantània, ja que requereix el coneixement del vector de posició en dos instants de temps per obtenir la velocitat). Com es veurà a l'exemple C3-1.1, l’instant t pot correspondre a una configuració particular o a una configuració genèrica.
A la secció C3.3 s’aprofundeix en les diferències entre la composició de moviments i la derivada temporal de vectors per al càlcul de velocitats i acceleracions.
✏️ Exemple C3-1.1: anella giratòria
- La guia circular (REL) té un moviment de rotació simple respecte del terra (AB) , amb valor [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] . La partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es mou dins la guia.
- L’instant que es presenta a la figura és genèric ja que la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] no té un valor numèric concret. La velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra es pot obtenir de manera immediata per composició:
- El moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de REL és circular de radi r, i la velocitat és tangent a la guia. Si imaginem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] fixa a la guia, el seu moviment respecte del terra (moviment d’arrossegament) és circular, de radi [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} \equiv \rho }[/math] i centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i la velocitat és perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] i de valor [math]\displaystyle{ \rho\dot\psi }[/math] . Ja que la direcció [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (i per tant la seva perpendicular) són direccions que no tenen a veure amb les que suggereix el sistema (com ara el mànec de la guia, o la direcció [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math] ), és millor descriure la velocitat d’arrossegament com a suma de dos vectors:
- El resultat obtingut per a [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] és genèric, i pot reproduir aquest vector per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (per tant, per a qualsevol instant de temps). Per aquest motiu, l’acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra ([math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math]) es podria obtenir a través de la derivació de [math]\displaystyle{ \velQab }[/math].
- En aquest sistema, la guia arrossega físicament la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]. En l’aplicació de la composició, en general, això no té per què ser així (veure exemple C3-1.3 i exemple C3-1.4).
✏️ Exemple C3-1.2: roda sobre suport giratori
- El suport (REL) té un moviment de rotació simple respecte del terra (AB) , al voltant d’un eix vertical fix i amb valor [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] . La roda està articulada al suport, i gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] respecte del suport.
- Per a l’instant que es mostra, la velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra, es pot obtenir de manera immediata per composició:
- El moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de REL és circular de radi R en tot instant. Per a l’instant representat, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] és vertical cap a baix de valor [math]\displaystyle{ \Rs\omega_0 }[/math].
- El moviment d’arrossegament, per a l’instant representat, és nul: si imaginem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] fix al suport, com que es troba just al damunt de l’eix de rotació, la seva velocitat instantània és zero [math]\displaystyle{ (\vel{Q}{ar} = \vec{0}) }[/math] . Per tant:
- Si [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es trobés a la posició diametralment oposada de la que es mostra, el moviment d’arrossegament seria circular en un pla horitzontal, amb radi 2R i centre de curvatura sobre l’eix de rotació del suport.
- La configuració que s’ha estudiat en aquest exemple no és genèrica, doncs es refereix només a l’instant en que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es troba sobre l’eix de rotació del suport. Per aquest motiu, no conté la informació estesa al llarg del temps necessària per obtenir [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] com a derivada temporal de la velocitat [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] obtinguda.
✏️ Exemple C3-1.3: vehicles
- Els punts [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] dels vehicles VP i VQ, respectivament, recorren trajectòries circulars respecte del terra (R), del mateix radi r però diferent centre de curvatura. Tots dos tenen celeritat [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math].
- Per a l’instant mostrat a la figura, la velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del vehicle VP es pot trobar fàcilment per composició:
- Si [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \Rs }[/math] i [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{VP} }[/math]
- El vehicle VP fa un moviment de rotació simple respecte del terra. Des del punt de vista cinemàtic, és totalment equivalent a una plataforma giratòria de qualsevol radi amb centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] fix a terra.
- Si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a la plataforma, el seu moviment respecte del terra és circular, amb centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i celeritat doble de la de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], ja que es troba a distància 2r de [math]\displaystyle{ \Os }[/math]: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar}=(\leftarrow 2\vs_0) }[/math].
- Finalment:
- En aquest cas, la plataforma (el vehicle VP) no arrossega físicament [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
✏️ Exemple C3-1.4: sínia
- L’anella de la sínia gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecte del terra (R). La cabina està articulada a l’anella. Si es negligeix la petita oscil·lació que permet l’articulació, la cabina no gira respecte del terra (exemple C2-6.4).
- La velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], fix a terra, respecte de la cabina, és:
- Si [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \textrm{terra} }[/math] [math]\displaystyle{ (\Rs }[/math]) i [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{cabina} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \velQrel=\velQab-\velQar=-\velQar }[/math]
- Si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a la cabina, el seu moviment respecte del terra és com el de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] perquè la cabina no gira respecte del terra: circular, de radi r i valor [math]\displaystyle{ \rs\Omega_0 }[/math]. El que és diferent és la ubicació del centre de curvatura: per al moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], és el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]; per al moviment d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], es troba a la dreta de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] a una distància R. Per tant:
C3.2 Composició d'acceleracions
L’equació que relaciona l’acceleració d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dues referències AB i REL diferents és:
on [math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar} }[/math] és l’acceleració d’arrossegament i [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor} }[/math] és l’acceleració de Coriolis.
L’acceleració d’arrossegament correspon a l’acceleració que tindria [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en aquest instant si fos un punt fix a REL (a la posició que té en aquest instant) i s’avalués la seva acceleració des de la referència AB:
L’acceleració de Coriolis té la següent expressió, i no té una interpretació física senzilla:
La velocitat [math]\displaystyle{ \velang{REL}{AB} }[/math] es pot anomenar velocitat angular d’arrossegament [math]\displaystyle{ (\velang{REL}{AB}\equiv\velang{ }{ar}) }[/math].
💭 Demostració ➕
- El terme [math]\displaystyle{ \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB} }[/math] s’identifica immediatament com a [math]\displaystyle{ \acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB} }[/math]. Fent servir la relació que hi ha entre la derivada temporal de un mateix vector en dues referències diferents, els altres termes es poden reescriure com a:
- Agrupant tots els termes i reordenant-los, s’obté:
- Els tres termes que contenen el punt [math]\displaystyle{ \Orel }[/math] corresponen a l’acceleració d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]: si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a REL, [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{v}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{a}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math]. Introduint això a l’expressió anterior:
- Finalment, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}\equiv\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor}. }[/math]
✏️ Exemple C3-2.1: roda sobre suport giratori
- Per al sistema de l’exemple C3-1.2, el moviment d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és nul. Per tant:
- Si es considera que [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] és constant, el moviment relatiu de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (que és circular) només té component normal d’acceleració. Per tant:
✏️ Exemple C3-2.2: vehicles
- En l’exemple C3-1.3, la velocitat angular d’arrossegament és vertical (perpendicular al dibuix) i de valor [math]\displaystyle{ \textrm{v}_0 /\textrm{r} }[/math]. Si es considera que els punts [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tenen celeritat constant ([math]\displaystyle{ \textrm{v}_0 }[/math] constant), l’acceleració del moviment relatiu i la del d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (tots dos circulars) només tenen component normal. Per tant:
✏️ Exemple C3-2.3: sínia
- Suposem que la velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] de l’anella de la sínia de l’exemple C3-1.4 és constant. Llavors, l’acceleració del moviment d’arrossegament només té component normal. Per altra banda, ja que la cabina no gira respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\Omega_{ar}=\Omega_{R}^{cabina}=0\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=\vec{0} }[/math]. Així:
C3.3 Composició de moviments VS derivació temporal
Com s’ha comentat anteriorment, l’avantatge principal de la composició de moviments és que es basa en una operació instantània entre vectors (tot i que el resultat que s’obté pot ser vàlid per a qualsevol instant de temps si la configuració en la que es realitza la composició és genèrica). Si, a més, el moviment del punt respecte a una de les dues referències (AB o REL) és senzill i el moviment entre les dues referències també ho és, la composició de moviments és un mètode més intuïtiu i directe que la derivació temporal. En qualsevol cas, a l’hora de fer un càlcul cinemàtic, cal avaluar quin és el mètode més ràpid i segur per arribar al resultat. Això pot portar de vegades a emprar la composició per al càlcul de velocitats i la derivació per al d’acceleracions (sempre que l’expressió de la velocitat que es pretengui derivar sigui genèrica, és a dir, vàlida per a qualsevol instant de temps).
✏️ Exemple C3-3.1: partícula dins de guia rectilínia giratòria
La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou dins d’una guia rectilínia que gira respecte del terra amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]. Si es pren la guia com a referència REL i el terra com a AB, la composició de moviments dóna lloc a la velocitat i l’acceleració següents:
- Ja que la velocitat que s’ha obtingut és per a una posició general de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] (la coordenada r no té un valor numèric concret), aquesta velocitat és vàlida per a qualsevol instant de temps. Per tant, es pot derivar per obtenir l’acceleració:
- El resultat és el mateix que el que s’ha trobat per composició d’acceleracions.
✏️ Exemple C3-3.2: pèndol d’Euler
- En la configuració particular del pèndol d’Euler que es mostra, si es pren el bloc com a referència REL i el terra com a AB, el moviment relatiu de l’extrem del pèndol [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és circular de radi L (longitud del pèndol) i centre de curvatura situat a l’articulació entre pèndol i bloc. El moviment d’arrossegament és rectilini ja que el bloc es trasllada respecte del terra [math]\displaystyle{ (\Omega_{AB}^{REL}=\Omega_{ar}=0) }[/math]. La composició de moviments dóna lloc a la velocitat i l’acceleració següents:
- L’obtenció de l’acceleració per derivació de la velocitat és arriscada. En tenir la velocitat particularitzada a la configuració vertical del pèndol, es pot pensar erròniament que la velocitat no canvia de direcció (que és sempre paral·lela al terra) o que ho fa igual que el pèndol (amb ritme de canvi d’orientació [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math]). Això donaria els resultats erronis següents:
- Si es raona adequadament, la derivació geomètrica pot conduir al resultat correcte. Cal tenir present que una part de la velocitat (la que correspon al moviment relatiu) canvia d’orientació a ritme [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math], mentre que l’altra (la del moviment d’arrossegament) és sempre horitzontal.
- La derivació analítica és més enganyosa. Si es projecta la velocitat en una base on un dels eixos és paral·lel al pèndol en aquest instant, no queda clar si [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0} }[/math] o bé [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\odot\;\dot{\psi} }[/math] (que correspon exactament als dos errors que condueixen a la figura anterior).
C3.E Exercicis resolts
🔎 Exercici C3-E.1: pèndol giratori
-
La placa està articulada en el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a una forquilla, que gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \psio }[/math] respecte del terra (T). Entre forquilla i terra (sostre), i entre placa i forquilla hi ha articulacions.
1. Determina la velocitat del punt P respecte del terra
- El moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte del terra és complicat, però respecte de la forquilla és senzill: és un moviment circular de centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math], radi L i velocitat angular associada [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math]. Es pot obtenir el moviment respecte del terra per composició de moviments.
- Si es pren AB [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] terra i REL [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] forquilla, el moviment d’arrossegament (el que tindria [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] si en una configuració genèrica pertanyés a la forquilla i s’avalués des del terra) també seria circular, de radi [math]\displaystyle{ \Ls\text{cos}\theta }[/math] i velocitat angular associada [math]\displaystyle{ \psio }[/math].
- [math]\displaystyle{ \vel{P}{AB}=\vel{P}{REL}+\vel{P}{ar} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vel{P}{REL}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})^* }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vel{P}{ar}=\vel{$\Ps_{\in REL}$}{AB}=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta) }[/math]
- Per tant, [math]\displaystyle{ \vel{P}{T}\equiv\vel{P}{AB}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta) }[/math]
- Aquest resultat es pot projectar fàcilment a la base B, fixa a la placa:
- [math]\displaystyle{ \braq{\vel{P}{T}}{B}=\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0} }[/math]
2. Determina l’acceleració del punt P respecte del terra
- Si es pren AB [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] terra i REL [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] forquilla, el moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte del suport (moviment relatiu) és circular amb velocitat angular associada [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] (no constant). Per tant, té tant component tangencial com component normal d’acceleració. El moviment d’arrossegament també és circular però amb velocitat associada [math]\displaystyle{ \psio }[/math] (constant). Per tant, es produeix a celeritat constant i l’acceleració només té component normal.
- Observació: Si el moviment d’un punt en una referència és circular (és a dir, té una trajectòria de radi de curvatura constant en un arc de circumferència), són aplicables directament les definicions d'acceleració normal i acceleració tangencial ja que es coneixen el radi de curvatura, la celeritat (o la velocitat angular) i l’acceleració tangencial (o l’acceleració angular).
- [math]\displaystyle{ \acc{P}{AB}=\accrel{P}+\acc{P}{ar}+\acc{P}{Cor} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \accrel{P}=\accs{P}{REL}+\accn{P}{REL}=(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{P}{ar}=\acc{$\Ps_{\in \Rs\Es\Ls}$}{AB}=\accn{P}{ar}=(\leftarrow\Ls\psio^2\stheta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{P}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{P}{REL}=2(\Uparrow\psio)\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta) }[/math]
- Per tant,
- [math]\displaystyle{ \acc{P}{T}\equiv\acc{P}{AB}=(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\leftarrow\Ls\psio^2\stheta)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta) }[/math]
- La projecció a la base B fixa a la placa és: [math]\displaystyle{ \braq{\acc{P}{T}}{B}=\vector{-2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta}{\Ls\ddot{\theta}-\Ls\psio^2\ctheta\stheta}{\Ls\dot{\theta}^2+\Ls\psio^2\text{sin}^2\theta} }[/math]
-
La placa està articulada en el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a una forquilla, que gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \psio }[/math] respecte del terra (T). Entre forquilla i terra (sostre), i entre placa i forquilla hi ha articulacions.
🔎 Exercici C3-E.2: placa articulada giratòria
-
La placa rectangular està unida a un suport giratori a través de dues barres amb articulacions als extrems. Una tercera barra està unida a la placa a través d’una ròtula esfèrica (a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]) i al suport a través d’un enllaç cilíndric. El suport gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] de valor variable respecte del terra (T).
1. Determina la velocitat del punt Q respecte del terra
- El moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del suport és rectilini de direcció [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math]. Si es pren AB [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] terra i REL [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] suport, el moviment d’arrossegament (el que tindria [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] si es fixés al suport i es mirés des del terra) seria circular de centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math], radi [math]\displaystyle{ |\OQvec| }[/math] i velocitat angular associada [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math].
- [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL}=(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\stheta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar}=\vel{$\Qs_{\in\Rs\Es\Ls}$}{AB}=(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\ctheta) }[/math]
- Per tant,
- [math]\displaystyle{ \vel{Q}{T}\equiv\vel{Q}{AB} = (\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\stheta)+(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\ctheta) }[/math]
- Aquest resultat es pot projectar fàcilment a la base B fixa al suport:
- [math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{T}}{B}=\vector{2\Ls\dot{\theta}\stheta}{2\Ls\dot{\psi}\ctheta}{0} }[/math]
2. Determina l’acceleració del punt Q respecte del terra
- El moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és rectilini respecte del suport. Per tant, només té component tangencial d’acceleració. El moviment d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (el que tindria si fos fix al suport), en ser circular i amb celeritat variable, dóna lloc a una acceleració amb components tangencial i normal.
- Observació: Si el moviment d’un punt en una referència és rectilini (és a dir, té una trajectòria de radi de curvatura infinit durant un cert interval temporal), són aplicables directament les definicions d'acceleració normal i acceleració tangencial. L’acceleració normal resulta nul·la.
- Observació: Si el moviment d’un punt en una referència és circular (és a dir, té una trajectòria de radi de curvatura constant en un arc de circumferència), són aplicables directament les definicions d'acceleració normal i acceleració tangencial ja que es coneixen el radi de curvatura, la celeritat (o la velocitat angular) i l’acceleració tangencial (o l’acceleració angular).
- [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\accrel{Q}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \accrel{Q}=\accs{Q}{REL}=[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\stheta+\dot{\theta}^2\ctheta)] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\acc{$\Qs_{\in REL}$}{AB}=\accs{Q}{ar}+\accn{Q}{ar}=(\otimes 2\Ls\ddot{\psi}\ctheta) + (\leftarrow 2\Ls\dot{\psi}^2 \ctheta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL}=2(\Uparrow\dot{\psi})\times(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\stheta)=(\odot 4\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\stheta) }[/math]
- Per tant, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{T}\equiv\acc{Q}{AB} = \left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\stheta+(\dot{\theta}^2+\dot{\psi}^2)\ctheta)\right]+\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\ctheta-2\dot{\psi}\dot{\theta}\stheta)\right] }[/math]
- La projecció a la base B fixa al suport és: [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{T}}{B}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\stheta-(\dot{\theta}^2+\dot{\psi}^2)\ctheta}{\ddot{\psi}\ctheta-2\dot{\psi}\dot{\theta}\stheta}{0} }[/math]
-
La placa rectangular està unida a un suport giratori a través de dues barres amb articulacions als extrems. Una tercera barra està unida a la placa a través d’una ròtula esfèrica (a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]) i al suport a través d’un enllaç cilíndric. El suport gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] de valor variable respecte del terra (T).
🔎 Exercici C3-E.3: pèndol giratori amb punt de suspensió mòbil
-
El pèndol format per una anella solidaria a una barra està articulat al suport, el qual té un enllaç prismàtic amb la guia. La guia està articulada al sostre, i la seva velocitat angular respecte d’aquest ([math]\displaystyle{ \psio }[/math]) es manté constant. La molla entre suport i guia evita que el primer no caigui a terra quan el sistema està aturat.
1. Determina la velocitat i acceleració del punt G respecte de la guia
- El moviment de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és senzill si s’avalua respecte del suport: és circular, de centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math], radi L i velocitat angular associada [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math]. Si es pren AB [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] guia i REL [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] suport, el moviment d’arrossegament (el que tindria [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] si pertanyés al suport i s’observés des de la guia) seria rectilini (en la direcció vertical descrit pel canvi de la coordenada x).
- [math]\displaystyle{ \vel{G}{AB}=\vel{G}{REL}+\vel{G}{ar} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vel{G}{REL}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})^* }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vel{G}{ar}=\vel{$\Gs_{\in\Rs\Es\Ls}$}{AB}=(\downarrow\dot{x}) }[/math]
- Per tant, [math]\displaystyle{ \vel{G}{guia}\equiv\vel{G}{AB}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x}) }[/math]
- El moviment respecte del suport és circular, i la seva acceleració té component tangencial i normal. El moviment d’arrossegament (el que tindria [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] si pertanyés al suport i s’observés des de la guia), que és rectilini, només té component tangencial.
- Observació: Si el moviment d’un punt en una referència és circular (és a dir, té una trajectòria de radi de curvatura constant en un arc de circumferència), són aplicables directament les definicions d'acceleració normal i acceleració tangencial ja que es coneixen el radi de curvatura, la celeritat (o la velocitat angular) i l’acceleració tangencial (o l’acceleració angular).
- Observació: Si el moviment d’un punt en una referència és rectilini (és a dir, té una trajectòria de radi de curvatura infinit durant un cert interval temporal), són aplicables directament les definicions d'acceleració normal i acceleració tangencial, (l’acceleració normal resulta nul·la, ja que una recta matemàticament es pot entendre com una circunferència de radi infinit).
- [math]\displaystyle{ \acc{G}{AB}=\accrel{G}+\acc{G}{ar}+\acc{G}{Cor} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \accrel{G}=\accs{G}{REL}+\accn{G}{REL}=(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{G}{ar}=\acc{$\Gs\in REL$}{AB}=(\downarrow\ddot{x}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{G}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{G}{REL}=\vec{0}\:(\velang{REL}{AB}=\velang{suport}{guia}=\vec{0}) }[/math]
- Per tant,
- [math]\displaystyle{ \acc{G}{guia}\equiv\acc{G}{AB} = (\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\downarrow\ddot{x}) }[/math]
- Aquests resultats es poden projectar fàcilment a la base B fixa a l’anella:
- [math]\displaystyle{ \braq{\vel{G}{guia}}{B}=\vector{\Ls\dot{\theta}\ctheta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\stheta}{0} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \braq{\acc{G}{guia}}{B}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\ctheta-\dot{\theta}^2\stheta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\stheta+\dot{\theta}^2\ctheta)}{0} }[/math]
2. Determina la velocitat i acceleració del punt G respecte del terra
- A partir del resultat anterior, es pot obtenir la cinemàtica de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] respecte del terra amb una segona composició on AB’[math]\displaystyle{ \equiv }[/math]terra i REL’[math]\displaystyle{ \equiv }[/math]guia. El moviment d’arrossegament (el que tindria [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] si es fixés a la guia i es mirés des del terra) és senzill: circular, de radi [math]\displaystyle{ \Ls\ctheta }[/math] i velocitat angular associada [math]\displaystyle{ \psio }[/math].
- [math]\displaystyle{ \vel{G}{AB'}=\vel{G}{REL'}+\vel{G}{ar'} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vel{G}{REL'}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vel{G}{ar'}=\vel{$\Gs_{\in\Rs\Es\Ls'}$}{AB'}=(\otimes\Ls\psio\ctheta) }[/math]
- Per tant, [math]\displaystyle{ \vel{G}{T}\equiv\vel{G}{AB'}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})+(\otimes\Ls\psio\ctheta) }[/math]
- El moviment d’arrossegament, que és circular amb celeritat constant, només té component normal d’acceleració.
- [math]\displaystyle{ \acc{G}{AB'}=\acc{G}{REL'}+\acc{G}{ar'}+\acc{G}{Cor'} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{G}{REL'}=(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\downarrow\ddot{x}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{G}{ar'}=\acc{$\Gs_{\in\Rs\Es\Ls'}$}{AB'}=(\leftarrow\Ls\psio^2\ctheta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \acc{G}{Cor'}=2\velang{REL'}{AB'}\times\vel{G}{REL'}=2(\Uparrow\psio)\times\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})\right]=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta) }[/math]
- Per tant, [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}\equiv\acc{G}{AB'} = (\nearrow\Ls(\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\downarrow\ddot{x})+ }[/math]
- [math]\displaystyle{ +(\leftarrow\Ls\psio^2\ctheta)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta) }[/math]
- La projecció d’aquests resultats a la base B fixa a l’anella és:
- [math]\displaystyle{ \braq{\vel{G}{T}}{B}=\vector{-\dot{x}\stheta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\ctheta}{-\Ls\psio\stheta} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \braq{\acc{G}{T}}{B}=\vector{-\ddot{x}\stheta+\Ls(\ddot{\theta}-\psio^2\stheta\ctheta)}{-\ddot{x}\ctheta+\Ls(\dot{\theta}^2+\psio^2\text{sin}^2\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta} }[/math]
-
El pèndol format per una anella solidaria a una barra està articulat al suport, el qual té un enllaç prismàtic amb la guia. La guia està articulada al sostre, i la seva velocitat angular respecte d’aquest ([math]\displaystyle{ \psio }[/math]) es manté constant. La molla entre suport i guia evita que el primer no caigui a terra quan el sistema està aturat.
*NOTA: En aquest web (i per manca de símbols de fletxa més precisos), tot i que les fletxes [math]\displaystyle{ \nearrow }[/math], [math]\displaystyle{ \swarrow }[/math], [math]\displaystyle{ \nwarrow }[/math] i [math]\displaystyle{ \searrow }[/math] semblen indicar que els vectors formen un angle de 45° amb la direcció vertical, no té per què ser així. Cal interpretar les fletxes de manera qualitativa, observant el dibuix que sempre acompanya aquest tipus de notació. Per exemple, l’apartat 1 de l’exercici C3-E.1, el vector [math]\displaystyle{ \vel{P}{REL} }[/math] forma un angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] genèric amb la direcció vertical. Si el valor de l’angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] és menor de 90° (com a la figura), el vector [math]\displaystyle{ \vel{P}{REL} }[/math] té component cap a dalt i una altra cap a la dreta.
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats