D2. Forces d’interacció entre partícules

De Mecànica

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math] La segona llei de Newton es pot fer servir per predir l’acceleració d’una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] quan es coneixen totes les forces d’interacció que la resta de partícules ([math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math]) exerceixen sobre ella ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math]), o per calcular les que calen per garantir un moviment predeterminat ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\Rs\mathbf{P}}(\ts) }[/math]).

Aquesta secció tracta de les forces d’interacció entre partícules, tant formulables com no formulables. Formular una interacció és trobar una expressió matemàtica que permeti calcular el seu valor a cada instant a partir del coneixement de l’estat mecànic de les partícules i de constants associades al tipus de fenomen d’interacció. Quan una força no és formulable, és una incògnita del problema dinàmic.




D2.1 Dependència cinemàtica de les forces d’interacció

D’acord amb el Principi de la Determinació, a cada instant de temps t les forces d’interacció entre dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] només poden dependre de la posició i la velocitat de les partícules en aquest instant de temps:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{p} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{P}, \mathrm{t})=\overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}}\left(\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{P}, \mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{Q}, \mathrm{t})\right)=-\mathrm{m}_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{Q}, \mathrm{t}) . }[/math]

El Principi de Relativitat de Galileu (equivalència de les referències galileanes per a laformulació de la dinàmica) imposa restriccions al tipus de dependència de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] en posicions i velocitats:

  • La homogeneitat de l’espai en referències galileanes impedeix que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui en les posicions [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}} }[/math] per separat, però permet la dependència en la seva diferència [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P}\Qs}(=\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}-\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}) }[/math]

La isotropia de l'espai en referències galileanes impedeix que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui de les velocitats de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] per separat (doncs [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal1 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) \neq \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal2 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) }[/math]), però permet que depengui de la seva diferència: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q}) \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}} }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall \mathrm{Gal}} }[/math] és el mateix independentment de quina sigui la referència Gal (per això s'ha posat el subíndex ' [math]\displaystyle{ \forall }[/math]Gal', que vol dir “per a tota referència Gal”). En general, [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\text {Gal }} }[/math] té una component parallela a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math], i una de perpendicular a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math] : [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}}=\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\| \overline{\mathbf{P Q}}}+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\perp \overline{\mathbf{P Q}}} \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}} }[/math]. Però la isotropia de l'espai tampoc no permet que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui d'una direcció que no sigui [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math](com s'ha vist quan s'ha presentat la Tercera llei de Newton). Per tant, s'accepta la dependència en el vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho }[/math] però només en el valor de [math]\displaystyle{ \left|\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}}\right| }[/math](tot i que usualment aquesta última dependència no apareix).

💭 Demostració ➕

Considerem dues referències galileanes qualssevol RGal1 i RGal2. La velocitat de les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] respecte de RGal2 es pot expressar a partir de la que tenen a la referència RGal1 per mitjà d'una composició de velocitats. Si AB=RGal2 i REL=RGal1:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right]=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right] }[/math]

En ser totes dues referències galileanes, el seu moviment relatiu és de translació [math]\displaystyle{ \left(\bar{\Omega}_{\mathrm{RGal1}}^{\mathrm{RGal2}}=\overline{0}\right) }[/math], i per tant [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 }) . }[/math]

Finalment: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q}) }[/math].


La Figura D2.1 resumeix totes aquestes restriccions.

D2-1-neut.png
Figura D2.1 Dependències acceptables de les forces d’interacció en posicions i velocitats




D2.2 Classificació de les forces d’interacció

Si a l’univers només hi hagués partícules sense dimensions i sense elements de connexió entre elles, la llista d’interaccions possibles seria molt reduïda: en l’àmbit mecànic, només es podria parlar de la força d’atracció gravitatòria, que es produeix “a distància” ([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]). Parlar d’interacció de contacte entre partícules ([math]\displaystyle{ \rho = 0 }[/math]) no és possible: si [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] “es posen en contacte”, en estar la ubicació de cadascuna d’elles definida per un punt, no queda determinada la direcció de la interacció. Per altra banda, dues partícules no poden ocupar un mateix punt de l’espai.

Estrictament parlant, doncs, només es pot parlar d’interacció de contacte entre una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que pertany a un sòlid rígid [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math] , o entre partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que totes dues pertanyen a sòlids rígids [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math] . Aquestes interaccions es tracten a la unitat D3.

Quan [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] interaccionen a distància([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]), es parla d’interacció directa. Si no estan en contacte ([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]) però entre elles existeix un element que fa d’intermediari, es parla d’interacció indirecta per mitjà de l’element. En dinàmica, es consideren elements intermedis (EI) tots els que són de massa negligible comparada amb la de les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] (si no formen part de cap sòlid rígid) o amb la dels sòlids als quals pertanyen.

Les forces que es transmeten entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] per mitjà d’aquests elements verifiquen el Principi d’Acció-Reacció: tenen el mateix valor, de direcció [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{PQ}} }[/math] però de sentits oposats (Figura D2.2).

D2-2-cat.png
Figura D2.2 Força que es transmet per mitjà d’un element intermedi entre dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math]

Els elements intermedis es tracten com una caixa negra: les forces que introdueixen entre els seus extrems provenen de deformacions i de fenòmens que són fora de l’abast del model de sòlid rígid que es considera en aquest curs (per exemple, fenòmens lligats a la dinàmica de fluids, termodinàmics o electromagnètics), i per tant no s’estudia el que succeeix al seu interior sinó que es busca només una descripció fenomenològica de les seves conseqüències en les partícules entre les que actuen.

En aquest curs, es consideren quatre elements intermedis entre partícules:

  • Molles: les forces que introdueixen entre dues partícules provenen de la seva deformació; aquestes forces poden ser d’atracció o de repulsió (en aquest cas, poden estar condicionades al guiatge de l’element per tal que no es dobleguin lateralment), i permeten moviments relatius entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] amb qualsevol signe.
  • Amortidors: introdueixen forces, associades sovint a la viscositat de fluids, que s’oposen al moviment relatiu entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] ; en absència de moviment relatiu inicial ([math]\displaystyle{ \dot{\rho}_\mathrm{inic}=0 }[/math]) , aquests elements no introdueixen cap força.
  • Actuadors lineals: el seu funcionament es basa en fenòmens molt diversos, segons que es tracti d’accionaments hidràulics, pneumàtics, elèctrics o magnètics; exerceixen forces que poden ser predeterminades (és a dir, que es coneixen al llarg del temps: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{acc.lin}(\ts) }[/math] és una dada del problema) o les adequades per controlar moviments relatius predeterminats [math]\displaystyle{ \dot{\rho}(\ts) }[/math], tant d’apropament com de separació;
  • Fils inextensibles de massa negligible: impedeixen que les partícules s’allunyin (impedeixen [math]\displaystyle{ \dot{\rho} \gt 0 }[/math] )però no que s’apropin (permeten [math]\displaystyle{ \dot{\rho} \lt 0 }[/math]). En tractar-se d’un element intermedi que prohibeix un moviment, la força que introdueix s’anomena força de restricció o d’enllaç.

La Figura D2.3 classifica les interaccions entre partícules que es consideren en aquest curs, segons que siguin directes o indirectes, formulables o no formulables.

D2-3-cat.png
Figura D2.3 Classificació d’interaccions entre dues partícules.




D2.3 Atracció gravitatòria

La força d’interacció gravitatòria (llei de gravitació universal) va ser formulada per Newton. És una força d’atracció, i és inversament proporcional al quadrat de la distància entre les partícules (Figura D2.4). Es tracta d’una formulació empírica: està basada en observacions astronòmiques acumulades durant molts anys.

D2-4-cat.png
Figura D2.4 Formulació de la força d’atracció gravitatòria.

[math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0 }[/math] és la constant gravitatòria universal, i el seu valor és [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0=6,67\cdot 10^{-11} \mathrm{m}^3/(\mathrm{Kg}\cdot \mathrm{s}^2) }[/math]

La distància entre partícules ([math]\displaystyle{ \rho }[/math]) s’ha d’expressar en funció de les coordenades que s’han escollit per descriure la configuració del sistema.


✏️ Exemple D2.1: atracció gravitatòria entre dos satèl·lits


EX D2-1-cat-esp.png
Dos satèl·lits [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math], modelitzats com a partícules de masses [math]\displaystyle{ \ms_\Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{Q} }[/math] , descriuen en un mateix pla òrbites circulars de radis [math]\displaystyle{ \rs_\Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \rs_\mathrm{Q} }[/math] , respectivament, al voltant d’un planeta.

La configuració del sistema es descriu mitjançant els angles [math]\displaystyle{ \theta_\Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \theta_\mathrm{Q}. }[/math]


La força gravitatòria que s’exerceixen mútuament és:


[math]\displaystyle{ \rho=|\overline{\mathbf{P Q}}|=|\overline{\mathbf{O Q}}-\overline{\mathbf{O P}}|=\sqrt{\left(\rs_\mathrm{Q} \sin \theta_\mathrm{Q}-\rs_\Ps \sin \theta_\Ps\right)^2+\left(\rs_\mathrm{Q} \cos \theta_\mathrm{Q}-\rs_\Ps \cos \theta_\Ps\right)^2}=\sqrt{\rs_\mathrm{Q}^2+\rs_\Ps^2-2 \rs_\mathrm{Q} \rs_\Ps \sin \left(\theta_\mathrm{Q}+\theta_\Ps\right)} }[/math]


[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\Ps \leftrightarrow \mathrm{Q}}^{\text {grav }}=\mathrm{G}_0 \frac{\ms^2}{\rs_\mathrm{Q}^2+\rs_\Ps^2-2 \rs_\mathrm{Q} \rs_\Ps \cos \left(\theta_\Ps-\theta_\mathrm{Q}\right)} }[/math]




D2.4 Interacció per mitjà de molles

Les molles introdueixen forces atractives o repulsives entre els seus extrems en funció de la seva deformació. A partir de la seva llargària natural [math]\displaystyle{ \rho_\mathrm{nat} }[/math] (per a la qual no es produeix força entre els extrems de la molla), un allargament ([math]\displaystyle{ \rho-\rho_\mathrm{nat} \gt 0 }[/math]) provoca forces atractives mentre que un escurçament ([math]\displaystyle{ \rho-\rho_\mathrm{nat} \lt 0 }[/math]) en provoca de repulsives.

La formulació matemàtica d’aquestes forces s’obté de manera empírica a partir d’assajos que mesuren la força en funció del canvi de llargària. Habitualment, es parteix d’una configuració estàtica on la llargària [math]\displaystyle{ \rho_0 }[/math] de la molla no té per què coincidir amb la natural. Si [math]\displaystyle{ \rho_0 \gt \rho_\mathrm{nat} }[/math] , la força [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] entre els extrems de la molla per a aquesta configuració és atractiva. En cas contrari ([math]\displaystyle{ \rho_0 \lt \rho_\mathrm{nat} }[/math]), [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] és repulsiva.

Les molles lineals que es consideren en aquest curs són de comportament lineal: la variació de força [math]\displaystyle{ \Delta\mathrm{F} }[/math] a partir del valor de referència ([math]\displaystyle{ \Delta\mathrm{F}=\mathrm{F}-\mathrm{F}_0 }[/math]) és proporcional a la variació de llargària [math]\displaystyle{ \Delta\rho=\rho-\rho_0 }[/math] per mitjà d’una constant k.

Una molla que forma part d’un sistema mecànic pot introduir forces atractives i repulsives al llarg del seu funcionament. Tot i així, aquestes forces es dibuixen amb un criteri únic (atractives o repulsives), i es formulen de manera que el seu valor pot tenir signe positiu o negatiu. D’aquesta manera, amb un dibuix únic es poden reproduir forces tant atractives com repulsives (Figura D2.5).

D2-5-cat.png
Figura D2.5 Formulació de la força d’atracció (a) o repulsió (b) d’una molla lineal de comportament lineal.


✏️ Exemple D2.2: força d’atracció d’una molla de comportament lineal


EX D2-2-neut.png
La molla de comportament lineal actua entre les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que es mouen dins de dues guies paral·leles. Per a [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2 }[/math] , la molla està estirada i la força que exerceix entre els seus extrems és [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math].
Per a [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2 }[/math] , la llargària de la molla és L i la força [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] és d’atracció. Per a [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1 \neq \mathrm{x}_2 }[/math], la llargària augmenta i la força d’atracció també.


L’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força atractiva és:


[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{at}^\mathrm{molla}=\mathrm{F}_0+k\Delta\rho=\mathrm{F}_0 + k [\rho(\mathrm{x}_1 \neq \mathrm{x}_2)-\rho(\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2)]=\mathrm{F}_0 + k[\sqrt{\mathrm{L}^2+(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)^2}-\mathrm{L}] }[/math].




D2.5 Interacció per mitjà d’amortidors

Els amortidors lineals introdueixen forces atractives o repulsives entre els seus extrems en funció de la seva velocitat de deformació [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math]. Quan els extrems de l’amortidor s’allunyen, la força és atractiva; quan s’apropen, és repulsiva. A diferència de les molles, els amortidors no exerceixen cap força entre els seus extrems en situacions estàtiques.

La força associada als amortidors lineals de comportament lineal és proporcional a aquesta velocitat [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{at}^\mathrm{amort}=c\dot{\rho} }[/math] , [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{rep}^\mathrm{amort}=-c\dot{\rho} }[/math]

En els sistemes mecànics, els amortidors apareixen sovint en paral·lel amb una molla. En aquest cas, es formula la força d’acord amb el criteri que s’ha triat per a la molla. Quan no formen part d’un grup molla- amortidor, el criteri es fixa arbitràriament.


✏️ Exemple D2.3: força de repulsió d’un amortidor de comportament lineal


EX D2-3-neut.png
La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament calculat a l’exemple D2.2 per derivació:


[math]\displaystyle{ \rho=\sqrt{\mathrm{L}^2+(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)^2}\equiv \sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2} \Rightarrow \dot{\rho}= \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\mathrm{z}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{z}\dot{\mathrm{z}}}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2}} }[/math]


[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{rep}^\mathrm{amort}=-c \frac{\mathrm{z}\dot{\mathrm{z}}}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2}}=-c\frac{(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)(\dot{\mathrm{x}}_1-\dot{\mathrm{x}}_2)}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2})^2}} }[/math]




D2.6 Interacció per mitjà d’actuadors

Els actuadors lineals estan presents a la gran majoria de sistemes mecànics, i són responsables del control del seu moviment. En ser elements basats en fenòmens no estrictament mecànics, la seva formulació en el context de la dinàmica newtoniana no és possible. El tractament que se’ls dóna és diferent al dels altres elements intermedis. Es consideren dues situacions:

  • La força que introdueixen entre els seus extrems és una dada del problema: això vol dir que es coneix el seu valor al llarg del temps: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{act.lin}=\mathrm{F}_\mathrm{act.lin}(\ts) }[/math]. El moviment que produeixen, en aquest cas, és una incògnita del problema (Figura D2.6a).
  • La força que introdueixen entre els seus extrems és la necessària per garantir un moviment predeterminat conegut [math]\displaystyle{ \dot{\rho}(\ts) }[/math]. En aquest cas, aquesta força és una incògnita (Figura D2.6b).
D2-6-cat-esp.png
Figura D2.6 Actuador lineal entre dues partícules. (a) la força que introdueix és una dada, i el moviment que en resulta és
una incògnita; (b) el moviment que controla és predeterminat, i la força que ha d’exercir per aconseguir-lo és una incògnita.




D2.7 Interaccions d’enllaç

Les forces d’enllaç restringeixen els moviments relatius entre les partícules, entre partícules i superfícies, o entre sòlids. Aquestes forces provenen de les petites deformacions dels elements intermedis que connecten les partícules, de les deformacions locals de la superfície o de la dels sòlids, respectivament. Aquest curs tracta de la dinàmica d’objectes rígids, i per tant aquestes deformacions (i conseqüentment les forces d’interacció associades) no es poden formular: són incògnites del problema dinàmic.

Les forces d’enllaç s’adapten per tal de garantir les restriccions, però sempre dins d’uns rangs permesos. Més enllà d’aquests rangs, es diu que s’ha superat la condició límit, i l’enllaç deixa d’actuar, i la força d’enllaç és substituïda per una força formulable o bé deixa d`haver-hi interacció.

Quan un sistema conté enllaços, cal caracteritzar-los: veure quina direcció poden tenir les forces associades i quines són les condicions límit associades. Aquesta direcció és la de les restriccions cinemàtiques que és capaç de garantir.

Aquesta secció tracta de la caracterització de l’enllaç indirecte entre partícules per mitjà d’un fil. Els enllaços entre una partícula i un sòlid, o entre sòlids (directes i indirectes) es tracten a la unitat D3.

Enllaç indirecte per mitjà de fils inextensibles

Els fils inextensibles de massa negligible són elements intermedis que impedeixen que les partícules s’allunyin però no que s’apropin.

Considerem dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] unides mitjançant un fil. Si amb les mans s’exerceix una força sobre cada partícula en el sentit adequat per intentar separar-les, el fil introdueix una força en sentit contrari per impedir-ho: és la força d’enllaç que es transmet entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] per mitjà del fil, i és de tracció. Si les forces de les mans sobre les partícules tenen sentit contrari, el fil es destensa i no és capaç de garantir l’enllaç: per mitjà del fil una partícula pot estirar l’altra però no la pot empènyer. Per tant, la força de tracció no pot ser negativa: si després de resoldre un problema es conclou que la força necessària per mantenir l’enllaç per mitjà del fil s’ha de fer negativa ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{fil}\lt 0 }[/math]), això indica que l’enllaç ha deixat d’actuar (el fil ha perdut tensió i és com si no hi fos, Figura D2.7a). Es tracta d’un enllaç unilateral.

Per altra banda, el fil permet el moviment de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] (de [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math]) sobre una superfície esfèrica centrada a [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] (a [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math]): en les direccions tangents a aquestes superfícies, el fil no pot introduir cap força (Figura D2.7b). En altres paraules: la força d’enllaç és ortogonal al moviment relatiu permès:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{P}} \cdot \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RTQ }}(\mathbf{P})=0, \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{Q}} \cdot \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RTP }}(\mathbf{Q})=0 }[/math]

D2-7-cat.png
Figura D2.7 Caracterització i condició límit de l’enllaç indirecte per mitjà d’un fil inextensible.


La condició límit en aquest tipus d’enllaç l’estableix el límit de ruptura del fil: per a cada tipus de material, existeix una força ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{ruptura}} }[/math]) a partir de la qual el fil es trenca. Si en resoldre un problema de dinàmica on intervé un fil es detecta que la força per garantir l’enllaç és més gran que aquest valor límit ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{fil}}\gt \mathrm{F}_{\mathrm{ruptura}} }[/math]) , cal refer el problema suprimint el fil (la qual cosa augmenta el nombre de GL del sistema que s’estudia).


© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats




<<< D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana

D3. Interaccions entre sòlids rígids >>>