D2. Forces d’interacció entre partícules
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
}[/math]La segona llei de Newton es pot fer servir per predir l’acceleració d’una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] quan es coneixen totes les forces d’interacció que la resta de partícules ([math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math]) exerceixen sobre ella ([math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math]), o per calcular les forces d'interacció que calen per garantir un moviment determinat ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\Rs\mathbf{P}}(\ts) }[/math]).
Aquesta secció tracta de les forces d’interacció entre partícules, tant formulables com no formulables. Formular una interacció és trobar una expressió matemàtica que permeti calcular el seu valor a cada instant a partir del coneixement de l’estat mecànic de les partícules i de constants associades al tipus de fenomen d’interacció. Quan una força no és formulable, és una incògnita del problema dinàmic.
D2.1 Dependència cinemàtica de les forces d’interacció
D’acord amb el Principi de la Determinació, a cada instant de temps t les forces d’interacció entre dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] només poden dependre de la posició i la velocitat de les partícules en aquest instant de temps:
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{p} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{P}, \mathrm{t})=\overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}}\left(\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{P}, \mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{Q}, \mathrm{t})\right)=-\mathrm{m}_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{Q}, \mathrm{t}) . }[/math]
El Principi de Relativitat de Galileu (equivalència de les referències galileanes per a laformulació de la dinàmica) imposa restriccions al tipus de dependència de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] en posicions i velocitats:
- La homogeneitat de l’espai en referències galileanes impedeix que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui en les posicions [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}} }[/math] per separat, però permet la dependència en la seva diferència [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P}\Qs}(=\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}-\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}) }[/math]
- La isotropia de l'espai en referències galileanes impedeix que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui de les velocitats de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] per separat (doncs [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal1 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) \neq \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal2 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) }[/math]), però permet que depengui de la seva diferència: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q}) \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}} }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall \mathrm{Gal}} }[/math] és el mateix independentment de quina sigui la referència Gal (per això s'ha posat el subíndex ' [math]\displaystyle{ \forall }[/math]Gal', que vol dir “per a tota referència Gal”). En general, [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\text {Gal }} }[/math] té una component parallela a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math], i una de perpendicular a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math] : [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}}=\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\| \overline{\mathbf{P Q}}}+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\perp \overline{\mathbf{P Q}}} \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}} }[/math]. Però la isotropia de l'espai tampoc no permet que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui d'una direcció que no sigui [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math](com s'ha vist quan s'ha presentat la Tercera llei de Newton). Per tant, s'accepta la dependència en el vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho }[/math] però només en el valor de [math]\displaystyle{ \left|\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}}\right| }[/math](tot i que usualment aquesta última dependència no apareix).
💭 Demostració ➕
Considerem dues referències galileanes qualssevol RGal1 i RGal2. La velocitat de les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] respecte de RGal2 es pot expressar a partir de la que tenen a la referència RGal1 per mitjà d'una composició de velocitats. Si AB=RGal2 i REL=RGal1:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right]= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right] }[/math]
En ser totes dues referències galileanes, el seu moviment relatiu és de translació [math]\displaystyle{ \left(\bar{\Omega}_{\mathrm{RGal1}}^{\mathrm{RGal2}}=\overline{0}\right) }[/math], i per tant [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 }) . }[/math]
Finalment: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q}) }[/math].
La Figura D2.1 resumeix totes aquestes restriccions.
D2.2 Classificació de les forces d’interacció
Si a l’univers només hi hagués partícules sense dimensions i sense elements de connexió entre elles, la llista d’interaccions possibles seria molt reduïda: en l’àmbit mecànic, només es podria parlar de la força d’atracció gravitatòria, que es produeix “a distància” ([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]). Parlar d’interacció de contacte entre partícules ([math]\displaystyle{ \rho = 0 }[/math]) no és possible: si [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] “es posen en contacte”, en estar la ubicació de cadascuna d’elles definida per un punt, no queda determinada la direcció de la interacció. Per altra banda, dues partícules no poden ocupar un mateix punt de l’espai.
Estrictament parlant, doncs, només es pot parlar d’interacció de contacte entre una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que pertany a un sòlid rígid [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math] , o entre partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que totes dues pertanyen a sòlids rígids
[math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math] . Aquestes interaccions es tracten a la unitat D3.
Quan [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] interaccionen a distància([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]), es parla d’interacció directa. Si no estan en contacte ([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]) però entre elles existeix un element que fa d’intermediari, es parla d’interacció indirecta per mitjà de l’element. En dinàmica, es consideren elements intermedis (EI) tots els que són de massa negligible comparada amb la de les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] (si no formen part de cap sòlid rígid) o amb la dels sòlids als quals pertanyen.
Les forces que es transmeten entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] per mitjà d’aquests elements verifiquen el Principi d’Acció-Reacció: tenen el mateix valor, de direcció [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{PQ}} }[/math] però de sentits oposats (Figura D2.2).
Els elements intermedis es tracten com una caixa negra: les forces que introdueixen entre els seus extrems provenen de deformacions i de fenòmens que són fora de l’abast del model de sòlid rígid que es considera en aquest curs (per exemple, fenòmens lligats a la dinàmica de fluids, termodinàmics o electromagnètics), i per tant no s’estudia el que succeeix al seu interior sinó que es busca només una descripció fenomenològica de les seves conseqüències en les partícules entre les que actuen.
En aquest curs, es consideren quatre elements intermedis entre partícules:
- Molles: les forces que introdueixen entre dues partícules provenen de la seva deformació; aquestes forces poden ser d’atracció o de repulsió (en aquest cas, poden estar condicionades al guiatge de l’element per tal que no es dobleguin lateralment), i permeten moviments relatius entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] amb qualsevol signe.
- Amortidors: introdueixen forces, associades sovint a la viscositat de fluids, que s’oposen al moviment relatiu entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] ; en absència de moviment relatiu inicial ([math]\displaystyle{ \dot{\rho}_\mathrm{inic}=0 }[/math]) , aquests elements no introdueixen cap força.
- Actuadors lineals: el seu funcionament es basa en fenòmens molt diversos, segons que es tracti d’accionaments hidràulics, pneumàtics, elèctrics o magnètics; exerceixen forces que poden ser predeterminades (és a dir, que es coneixen al llarg del temps: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{acc.lin}(\ts) }[/math] és una dada del problema) o les adequades per controlar moviments relatius predeterminats [math]\displaystyle{ \dot{\rho}(\ts) }[/math], tant d’apropament com de separació;
- Fils inextensibles de massa negligible: impedeixen que les partícules s’allunyin (impedeixen [math]\displaystyle{ \dot{\rho} \gt 0 }[/math] )però no que s’apropin (permeten [math]\displaystyle{ \dot{\rho} \lt 0 }[/math]). En tractar-se d’un element intermedi que prohibeix un moviment, la força que introdueix s’anomena força de restricció o d’enllaç.
La Figura D2.3 classifica les interaccions entre partícules que es consideren en aquest curs, segons que siguin directes o indirectes, formulables o no formulables.
D2.3 Atracció gravitatòria
La força d’interacció gravitatòria (llei de gravitació universal) va ser formulada per Newton. És una força d’atracció, i és inversament proporcional al quadrat de la distància entre les partícules (Figura D2.4). Es tracta d’una formulació empírica: està basada en observacions astronòmiques acumulades durant molts anys.
[math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0 }[/math] és la constant gravitatòria universal, i el seu valor és [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0=6,67\cdot 10^{-11} \mathrm{m}^3/(\mathrm{Kg}\cdot \mathrm{s}^2) }[/math]
La distància entre partícules ([math]\displaystyle{ \rho }[/math]) s’ha d’expressar en funció de les coordenades que s’han escollit per descriure la configuració del sistema.
✏️ Exemple D2.1: atracció gravitatòria entre dos satèl·lits
- Dos satèl·lits [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math], modelitzats com a partícules de masses [math]\displaystyle{ \ms_\Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{Q} }[/math] , descriuen en un mateix pla òrbites circulars de radis [math]\displaystyle{ \rs_\Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \rs_\mathrm{Q} }[/math] , respectivament, al voltant d’un planeta.
La configuració del sistema es descriu mitjançant els angles [math]\displaystyle{ \theta_\Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \theta_\mathrm{Q}. }[/math]
- La força gravitatòria que s’exerceixen mútuament és:
- [math]\displaystyle{ \rho=|\overline{\mathbf{P Q}}|=|\overline{\mathbf{O Q}}-\overline{\mathbf{O P}}|=\sqrt{\left(\rs_\mathrm{Q} \sin \theta_\mathrm{Q}-\rs_\Ps \sin \theta_\Ps\right)^2+\left(\rs_\mathrm{Q} \cos \theta_\mathrm{Q}-\rs_\Ps \cos \theta_\Ps\right)^2}=\sqrt{\rs_\mathrm{Q}^2+\rs_\Ps^2-2 \rs_\mathrm{Q} \rs_\Ps \sin \left(\theta_\mathrm{Q}+\theta_\Ps\right)}
}[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\Ps \leftrightarrow \mathrm{Q}}^{\text {grav }}=\mathrm{G}_0 \frac{\ms^2}{\rs_\mathrm{Q}^2+\rs_\Ps^2-2 \rs_\mathrm{Q} \rs_\Ps \cos \left(\theta_\Ps-\theta_\mathrm{Q}\right)} }[/math]
D2.4 Interacció per mitjà de molles
Les molles introdueixen forces atractives o repulsives entre els seus extrems en funció de la seva deformació. A partir de la seva llargària natural [math]\displaystyle{ \rho_\mathrm{nat} }[/math] (per a la qual no es produeix força entre els extrems de la molla), un allargament ([math]\displaystyle{ \rho-\rho_\mathrm{nat} \gt 0 }[/math]) provoca forces atractives mentre que un escurçament ([math]\displaystyle{ \rho-\rho_\mathrm{nat} \lt 0 }[/math]) en provoca de repulsives.
La formulació matemàtica d’aquestes forces s’obté de manera empírica a partir d’assajos que mesuren la força en funció del canvi de llargària. Habitualment, es parteix d’una configuració estàtica on la llargària [math]\displaystyle{ \rho_0 }[/math] de la molla no té per què coincidir amb la natural. Si [math]\displaystyle{ \rho_0 \gt \rho_\mathrm{nat} }[/math] , la força [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] entre els extrems de la molla per a aquesta configuració és atractiva. En cas contrari ([math]\displaystyle{ \rho_0 \lt \rho_\mathrm{nat} }[/math]), [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] és repulsiva.
Les molles lineals que es consideren en aquest curs són de comportament lineal: la variació de força [math]\displaystyle{ \Delta\mathrm{F} }[/math] a partir del valor de referència ([math]\displaystyle{ \Delta\mathrm{F}=\mathrm{F}-\mathrm{F}_0 }[/math]) és proporcional a la variació de llargària [math]\displaystyle{ \Delta\rho=\rho-\rho_0 }[/math] per mitjà d’una constant k.
Una molla que forma part d’un sistema mecànic pot introduir forces atractives i repulsives al llarg del seu funcionament. Tot i així, aquestes forces es dibuixen amb un criteri únic (atractives o repulsives), i es formulen de manera que el seu valor pot tenir signe positiu o negatiu. D’aquesta manera, amb un dibuix únic es poden reproduir forces tant atractives com repulsives (Figura D2.5).
✏️ Exemple D2.2: força d’atracció d’una molla de comportament lineal
- La molla de comportament lineal actua entre les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que es mouen dins de dues guies paral·leles. Per a [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2 }[/math] , la molla està estirada i la força que exerceix entre els seus extrems és [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math].
- Per a [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2 }[/math] , la llargària de la molla és L i la força [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] és d’atracció. Per a [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1 \neq \mathrm{x}_2 }[/math], la llargària augmenta i la força d’atracció també.
- L’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força atractiva és:
[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{at}^\mathrm{molla}=\mathrm{F}_0+k\Delta\rho=\mathrm{F}_0 + k [\rho(\mathrm{x}_1 \neq \mathrm{x}_2)-\rho(\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2)]=\mathrm{F}_0 + k[\sqrt{\mathrm{L}^2+(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)^2}-\mathrm{L}] }[/math].
D2.5 Interacció per mitjà d’amortidors
Els amortidors lineals introdueixen forces atractives o repulsives entre els seus extrems en funció de la seva velocitat de deformació [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math]. Quan els extrems de l’amortidor s’allunyen, la força és atractiva; quan s’apropen, és repulsiva. A diferència de les molles, els amortidors no exerceixen cap força entre els seus extrems en situacions estàtiques.
La força associada als amortidors lineals de comportament lineal és proporcional a aquesta velocitat [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{at}^\mathrm{amort}=c\dot{\rho} }[/math] , [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{rep}^\mathrm{amort}=-c\dot{\rho} }[/math]
En els sistemes mecànics, els amortidors apareixen sovint en paral·lel amb una molla. En aquest cas, es formula la força d’acord amb el criteri que s’ha triat per a la molla. Quan no formen part d’un grup molla- amortidor, el criteri es fixa arbitràriament.
✏️ Exemple D2.3: força de repulsió d’un amortidor de comportament lineal
- La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament calculat a l’exemple D2.2 per derivació:
- [math]\displaystyle{ \rho=\sqrt{\mathrm{L}^2+(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)^2}\equiv \sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2} \Rightarrow \dot{\rho}= \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\mathrm{z}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{z}\dot{\mathrm{z}}}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{rep}^\mathrm{amort}=-c \frac{\mathrm{z}\dot{\mathrm{z}}}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2}}=-c\frac{(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)(\dot{\mathrm{x}}_1-\dot{\mathrm{x}}_2)}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2})^2}} }[/math]
D2.6 Interacció per mitjà d’actuadors
Els actuadors (o accionaments) lineals estan presents a la gran majoria de sistemes mecànics, i són responsables del control del seu moviment. En ser elements basats en fenòmens no estrictament mecànics, la seva formulació en el context de la dinàmica newtoniana no és possible. El tractament que se’ls dóna és diferent al dels altres elements intermedis. Es consideren dues situacions:
- La força que introdueixen entre els seus extrems és una dada del problema: això vol dir que es coneix el seu valor al llarg del temps: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{ac.lin.}=\mathrm{F}_\mathrm{ac.lin.}(\ts) }[/math]. El moviment que produeixen, en aquest cas, és una incògnita del problema (Figura D2.6a).
- La força que introdueixen entre els seus extrems és la necessària per garantir un moviment predeterminat conegut [math]\displaystyle{ \dot{\rho}(\ts) }[/math]. En aquest cas, aquesta força és una incògnita (Figura D2.6b).
una incògnita; (b) el moviment que controla és predeterminat, i la força que ha d’exercir per aconseguir-lo és una incògnita.
D2.7 Interaccions d’enllaç
Els enllaços restringeixen el moviment relatiu entre les partícules, entre partícules i superfícies, o entre sòlids. Les forces d'enllaç provenen de les petites deformacions dels elements intermedis que connecten les partícules, de les deformacions locals de la superfície o de la dels sòlids, respectivament. Aquest curs tracta de la dinàmica d’objectes rígids, i per tant aquestes deformacions (i conseqüentment les forces d’interacció associades) no es poden formular: són incògnites del problema dinàmic.
Les forces d’enllaç s’adapten per tal de garantir les restriccions, però sempre dins d’uns rangs permesos. Més enllà d’aquests rangs, es diu que s’ha superat la condició límit, i l’enllaç deixa d’actuar, i la força d’enllaç és substituïda per una força formulable o bé deixa d'haver-hi interacció.
Quan un sistema conté enllaços, cal caracteritzar-los: veure quina direcció poden tenir les forces associades i quines són les condicions límit associades. Aquesta direcció és la de les restriccions cinemàtiques que és capaç de garantir.
Aquesta secció tracta de la caracterització de l’enllaç indirecte entre partícules per mitjà d’un fil, i el de l'enllaç directe entre una partícula i un sòlid. Els enllaços entre sòlids (directes i indirectes) es tracten a la unitat D3.
Enllaç indirecte per mitjà de fils inextensibles
Els fils inextensibles de massa negligible són elements intermedis que impedeixen que les partícules s’allunyin però no que s’apropin.
Considerem dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] unides mitjançant un fil. Si amb les mans s’exerceix una força sobre cada partícula en el sentit adequat per intentar separar-les, el fil introdueix una força en sentit contrari per impedir-ho: és la força d’enllaç que es transmet entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] per mitjà del fil, i és de tracció. Si les forces de les mans sobre les partícules tenen sentit contrari, el fil es destensa i no és capaç de garantir l’enllaç: per mitjà del fil una partícula pot estirar l’altra però no la pot empènyer. Per tant, la força de tracció no pot ser negativa: si després de resoldre un problema es conclou que la força necessària per mantenir l’enllaç per mitjà del fil s’ha de fer negativa ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{fil}\lt 0 }[/math]), això indica que l’enllaç ha deixat d’actuar (el fil ha perdut tensió i és com si no hi fos, Figura D2.7a). Es tracta d’un enllaç unilateral.
Per altra banda, el fil permet el moviment de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] (de [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math]) sobre una superfície esfèrica centrada a [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] (a [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math]): en les direccions tangents a aquestes superfícies, el fil no pot introduir cap força (Figura D2.7b). En altres paraules: la força d’enllaç és ortogonal al moviment relatiu permès:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{P}} \cdot \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RTQ }}(\mathbf{P})=0, \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{Q}} \cdot \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RTP }}(\mathbf{Q})=0 }[/math]
La condició límit en aquest tipus d’enllaç l’estableix el límit de ruptura del fil: per a cada tipus de material, existeix una força ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{ruptura}} }[/math]) a partir de la qual el fil es trenca. Si en resoldre un problema de dinàmica on intervé un fil es detecta que la força per garantir l’enllaç és més gran que aquest valor límit ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{fil}}\gt \mathrm{F}_{\mathrm{ruptura}} }[/math]) , cal refer el problema suprimint el fil (la qual cosa augmenta el nombre de GL del sistema que s’estudia).
Enllaç directe entre una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i un sòlid rígid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] llis
La presència del sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math], en contacte amb la partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], és un obstacle per a certs moviments de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]. La força d’enllaç de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] sobre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] és la descripció dinàmica d’aquest obstacle.
L’anàlisi cinemàtica de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] per caracteritzar la força l’enllaç es fa des de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math], que és l’element responsable d’aquesta força. Això permet emfatitzar les direccions dels moviments de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] per a les quals [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] constitueix un obstacle: són les direccions en les quals apareix un valor nul de velocitat.
La Figura D2.8 presenta la caracterització del contacte entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] quan el sòlid és llis. Es tracta d’un enllaç unilateral: la força d’enllaç sobre la partícula en la direcció normal a la superfície en el punt de contacte només pot ser repulsiva, doncs no és capaç de retenir la partícula cas que alguna interacció la vulgui allunyar del sòlid. Igual que en el cas d’enllaços indirectes entre partícules per mitjà de fils inextensibles, hi ha una condició d’ortogonalitat entre la força d’enllaç i la velocitat permesa de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de S. El fet que hi hagi lliscament implica que es permet el moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] en qualsevol direcció del pla tangent al sòlid en el punt de contacte: el contacte no introdueix cap component de força en aquestes direccions.
Enllaç directe entre una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i un sòlid rígid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] rugós
Quan la superfície del sòlid S és rugosa i la partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] no hi llisca (Figura D2.9), la força d’enllaç pot tenir components no nul·les en les dues direccions tangencials. A diferència de la força normal, aquestes components poden tenir qualsevol signe, però la seva resultant no pot superar un valor màxim [math]\displaystyle{ \sqrt{\Fs_1^2 + \Fs_2^2}\leq\Fs_{\text{t, màx}}^{\text{enllaç}} }[/math]. En el model de frec sec, aquest valor depèn de la rugositat: com més rugosa la superfície, més alt el valor màxim (D2.8 Fricció).
D2.8 Fricció
Quan la partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou respecte de la superfície rugosa del sòlid S, la força tangencial no és d'enllaç sinó de fricció, i és sempre oposada a la velocitat de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de S: [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció} = |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}|\frac{\vel{P}{S}}{|\vel{P}{S}|} }[/math].
Hi ha diversos models per formular el valor de [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció} }[/math], segons les característiques del contacte entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i S.
Model de frec sec de Coulomb
La rugositat de la superfície de S es descriu mitjançant coeficients de fricció. Quan la rugositat és isòtropa (igual en totes les direccions) es defineixen dos coeficients de fricció:
- coeficient de fricció estàtic [math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math]: defineix el valor màxim (condició límit) de la força tangencial d'enllaç: [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_\text{t, màx}^\text{enllaç} = \mu_\es\Ns }[/math]. Si per garantir que [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] no llisca sobre S cal una força superior a F, el lliscament es produeix i apareix la força de fricció [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció} }[/math] (Figura D2.10a)
- coeficient de fricció dinàmic [math]\displaystyle{ \mu_\ds }[/math]: defineix el valor de la força de fricció [math]\displaystyle{ |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}| = \mu_\ds\Ns }[/math] (Figura D2.10b)
Model de frec viscós
És un model molt adequat quan entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i S hi ha una certa lubrificació. La força de fricció es formula en funció de la velocitat relativa entre els dos. Si és un model lineal: [math]\displaystyle{ |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}| = \cs|\vel{P}{S}| }[/math]
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats