D8. Conservacions
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\matriz}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\diag}[3]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {0} & {0}\\
{0} & {#2} & {0}\\
{0} & {0} & {#3}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
}[/math]
Els teoremes vectorials relacionen la variació de dues Magnituds Dinàmiques ([math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math]) que depenen de la geometria de masses i del moviment del sistema (la quantitat de moviment i el moment cinètic) amb la resultant les accions externes [math]\displaystyle{ (\sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}) }[/math] sobre el sistema ( [math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}} }[/math] inclou les interaccions externes i, cas de treballar en referència no galileana, les accions d’inèrcia associades). De manera genèrica, aquests teoremes es poden escriure de la forma següent:
Quan en alguna direcció fixa a la referència R (dfR) alguna component de les accions externes és zero, la component corresponent de la magnitud dinàmica es manté constant: es diu que aquesta component es conserva:[math]\displaystyle{ \left. \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}\right]_\mathrm{dfR}=0 \Rightarrow \left. \overline{\Ms\Ds}\right]_\mathrm{dfR}=\text{constant} }[/math].
Una conservació és una propietat interessant: permet ignorar l’evolució del sistema durant un temps finit i mantenir un coneixement parcial (si no es conserven totes les components de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math]) o total (si la conservació es produeix en les tres direccions de l’espai de R) de l’estat del sistema.
Hi ha dues precaucions a tenir en compte quan es tracta d’invocar conservacions:
- Cal estar segur que la component de les accions externes que és nul·la correspon a una direcció fixa a la referència (un valor nul en una direcció no fixa a R només és indicatiu de valor constant de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] en aquella direcció, no de direcció constant!).
- Cal recordar que la conservació es refereix a una magnitud dinàmica i no cinemàtica (en principi). Quan la [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] és la quantitat de moviment [math]\displaystyle{ (\overline{\Ms\Ds}=\Ms\vel{G}{R}) }[/math], en ser proporcional a la velocitat del centre de masses, la component corresponent de [math]\displaystyle{ \vel{G}{R} }[/math] es conserva. Quan la [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] és el moment cinètic d’un únic sòlid referit a un punt d’aquest sòlid [math]\displaystyle{ (\overline{\Ms\Ds}=\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs),\Qs \in \mathrm{S}) }[/math] , com que en general no és proporcional a la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] , no es pot assegurar que la conservació del primer impliqui la constància de la segona.
Les conservacions solen ser el resultat de simplificacions en la formulació dels problemes, com per exemple negligir les friccions. En la vida real, en general no es conserva res.
💭 Demostració ➕
Projectem el teorema vectorial en una base que tingui una direcció fixa a la referència (per exemple, la direcció 3):
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R} \quad \Rightarrow \quad \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ms\Ds_1}}{\dot{\Ms\Ds_2}}{\dot{\Ms\Ds_3}}+\left\{\velang{B}{R}\right\}\times \vector{\Ms\Ds_1}{\Ms\Ds_2}{\Ms\Ds_3} }[/math]
Ja que la direcció 3 és fixa a R, la velocitat angular de la base [math]\displaystyle{ \velang{B}{R} }[/math] no pot tenir cap component que no sigui en direcció 3. Per tant:
[math]\displaystyle{ \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ms\Ds_1}}{\dot{\Ms\Ds_2}}{\dot{\Ms\Ds_3}}=\vector{0}{0}{\Omega_3}\times \vector{\Ms\Ds_1}{\Ms\Ds_2}{\Ms\Ds_3}= \vector{\dot{\Ms\Ds_1}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2}{\dot{\Ms\Ds_2}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1}{\dot{\Ms\Ds_3}} }[/math]
Si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_3=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_3=\text{CONSTANT!}. }[/math]
En canvi, si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1 }[/math] o [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2 }[/math] són nul·les, les components corresponents de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] ( [math]\displaystyle{ \Ms\Ds_1 }[/math] o [math]\displaystyle{ \Ms\Ds_2 }[/math])no són en principi constants:
[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_1}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_1}=\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_1 \neq \text{constant}, }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_2}+\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_2}=-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_2 \neq \text{constant} . }[/math]
D8.1 Exemples
✏️ Exemple D8.1: salt d’una persona al damunt d’una plataforma
|
|
Una persona de massa M, que es mou amb velocitat [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_0 }[/math] sobre un terra llis [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math], salta sobre una plataforma de massa m que inicialment es troba quieta respecte del terra, i s’hi queda en repòs respecte d’ella. Es tracta d’investigar com evoluciona el moviment d’aquestes dues peces. |
- Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.
- El salt de la persona té lloc al damunt d’un terra llis que no introdueix cap força horitzontal sobre ella ni sobre la plataforma. Per tant, durant el salt i per al SISTEMA (persona + plataforma) i la referència terra:
- [math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horitzontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] quantitat de moviment horitzontal respecte del terra CONSTANT!
- Abans del salt [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}) }[/math], la quantitat de moviment (respecte del terra) està associada només a la persona: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) }[/math]. Just després del salt [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], ja que la persona està en repòs respecte de la plataforma, totes dues peces es mouen amb la mateixa velocitat respecte del terra: [math]\displaystyle{ \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right]. }[/math].
- La conservació de la quantitat de moviment horitzontal entre aquests dos instants permet calcular la velocitat final del conjunt: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) = \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math].
- Aquesta velocitat es manté mentre el conjunt llisca al damunt del terra llis, però tan bon punt entra a la zona rugosa [math]\displaystyle{ (\mu \neq 0) }[/math], deixarà de fer-ho: la força de fricció del terra sobre la plataforma, horitzontal i oposada a [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts }[/math](plataforma), la farà disminuir. Ja no es conserva la quantitat de moviment:
- [math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_\mathrm{terra \rightarrow sist}=(\leftarrow \Fs_\mathrm{fricció})=(\Ms+\ms)\acc{G}{T}. }[/math]
- La quantitat de moviment horitzontal de la persona i la de la plataforma (per separat) no es conserven durant el salt per causa de les forces d’enllaç horitzontals que apareixen entre elles quan comença el contacte persona-plataforma.
- ANIMACIONS
✏️ Exemple D8.2: aturada d’un bloc sobre un carretó
|
|
Una persona es troba al damunt d’un carretó, ambdós en repòs inicialment respecte del terra. La massa del conjunt (persona + carretó) és M, i les rodes del carretó són de massa negligible. El bloc, de massa m, té inicialment una velocitat [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] respecte del terra dirigida cap a la persona, que l’atura respecte de la plataforma. Es negligeix la fricció associada a les articulacions entre rodes i carretó Es tracta d’investigar com evoluciona el moviment del sistema. |
- Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.
- Les rodes son Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAEs) i no poden transmetre forces horitzontals (veure exemple D3.10). Per tant, per al SISTEMA (persona + carretó amb rodes + bloc) i la referència terra:
- [math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horitzontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] quantitat de moviment (QM) horitzontal respecte del terra CONSTANT!
- Abans de l’aturada, la QM respecte del terra està associada només al bloc: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) }[/math]. Just després de l’aturada [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], ja que persona i bloc queden en repòs respecte del carretó, tot el sistema es mou amb la mateixa velocitat respecte del terra: [math]\displaystyle{ \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right]. }[/math]. La conservació de QM horitzontal entre aquests dos instants permet calcular la velocitat final del conjunt: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math].
- Si es considera el bloc tot sol, per exemple, la seva QM respecte del terra no es manté constant per causa de la força de fricció del carretó sobre el bloc, que tendeix a aturar-lo. Per a un instant intermedi entre l’inicial i el final [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}\lt \ts\lt \ts_\mathrm{final}) }[/math] en el qual la velocitat del bloc respecte del terra s’ha reduït fins a [math]\displaystyle{ \vs'(\lt \vs_0) }[/math], la velocitat del conjunt (persona + carretó) es pot calcular invocant la conservació de la QM horitzontal per al sistema (persona + carretó amb rodes + bloc):
- [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = (\leftarrow \ms\vs') + \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs'' \right] \quad \Rightarrow \quad \vs''=\frac{\ms}{\Ms+\ms}(\vs_0-\vs'). }[/math]
- ANIMACIONS
✏️ Exemple D8.3: patinador sobre gel
|
|
Una persona fa patinatge sobre una pista de gel. En un cert moment, gira sobre sí mateixa amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] amb els braços estesos, de manera que l’eix vertical que passa per [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és principal d’inèrcia i el moment d’inèrcia corresponent és [math]\displaystyle{ \Is_0 }[/math]. Es tracta d’investigar com evoluciona la rotació quan canvia la configuració dels seus braços suposant que la fricció entre gel i patins és negligible [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math]. |
- Hi ha conservació del moment cinètic?.
- En tenir [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math] entre gel i patins, les úniques forces externes sobre el sistema (persona + patins) són verticals (pes i forces normals del gel sobre els patins). Aquestes forces verticals no poden generar moment vertical respecte de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]. Per tant, per al sistema (persona + patins):
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANT!} }[/math]
- El moment cinètic vertical en la configuració inicial és [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{inicial})=(\Uparrow \Is_0 \Omega_0) }[/math]. Quan apropa o allunya els braços del cos, el moment d’inèrcia del sistema respecte de l’eix vertical que passa per [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] canvia. Per a un valor qualsevol [math]\displaystyle{ \Is }[/math] d’aquest moment d’inèrcia, la conservació implica: [math]\displaystyle{ (\Uparrow \Is_0 \Omega_0)=(\Uparrow \Is \Omega) }[/math]. Si apropa els braços al cos, [math]\displaystyle{ \Is\lt \Is_0 }[/math] , i per tant [math]\displaystyle{ \Omega\gt \Omega_0 }[/math] (la velocitat angular augmenta). Per al cas concret [math]\displaystyle{ \Is=\Is_0/2 }[/math], la velocitat angular passa a ser el doble: [math]\displaystyle{ \Omega=2\Omega_0 }[/math].
- ANIMACIONS
✏️ Exemple D8.4: col·lisió de dues barres
|
|
Dues barres, que tenen la seva massa concentrada en un extrem, es mouen sobre un terra horitzontal perfectament llis (entre terra i barres el coeficient de fricció és nul, [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math] ) una vers l’altra fins que col·lideixen i queden enganxades. Es tracta de descriure el moviment final del sistema. |
- Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.
- Si es considera el sistema format per les dues barres, les forces externes que reben són estrictament verticals (perpendiculars al pla del moviment): el pes i les forces normals associades al contacte amb el terra. Per tant, per a aquest sistema:
- [math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horitzontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] quantitat de moviment (QM) horitzontal respecte del terra CONSTANT!
- Abans de la col·lisió [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{abans}) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left.\overline{\mathrm{QM}}\right]_\mathrm{horitzontal}=\Ms \vel{G}{T}=2\ms\overline{\vs}_\Ts(\mathrm{barra P})+\ms\overline{\vs}_\Ts(\mathrm{barra Q})=(\rightarrow \ms\vs_0)+(\leftarrow \ms2\vs_0)=0 }[/math]
- Després de la col·lisió [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{després} }[/math], [math]\displaystyle{ \left.\overline{\mathrm{QM}}\right]_\mathrm{horitzontal} }[/math] del sistema ha de seguir sent zero, i per tant la velocitat del centre d’inèrcia del sistema també: [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts(\Gs,\ts_\mathrm{després}) }[/math]. Això vol dir que, després de la col·lisió, el sòlid únic format per les dues barres tindrà el CIR respecte del terra col·locat permanentment a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]:
- Posició del centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]: sobre la línia que uneix [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], a una distància 4L per sota de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
- [math]\displaystyle{ \left.\QGvec\right]_{\uparrow \downarrow}=\frac{\left.\ms \QQvec \right]_{\uparrow \downarrow} +\left. 2\ms \QPvec\right]_{\uparrow \downarrow}}{\ms+2\ms} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\QGvec\right]_{\uparrow \downarrow}=\frac{2}{3}(\downarrow 6\Ls)=(\downarrow 4\Ls) }[/math]
- Per a cada barra per separat no hi ha conservació de la quantitat de moviment: la col·lisió genera forces molt intenses entre elles en direcció perpendicular a les barres que provoquen acceleració en els centres d’inèrcia respectius.
- Hi ha conservació del moment cinètic?
- Per altra banda, les forces verticals (perpendiculars al pla del moviment) no poden generar moments verticals respecte de cap punt. Si es considera el TMC a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] per al sistema format per les dues barres:
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANT!} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{vertical}=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{després})\right]_\mathrm{vertical} }[/math]
- En l’instant [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{abans} }[/math], les dues barres es traslladen, i per tant [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] no pertany cinemàticament a cap d’elles. El càlcul del moment cinètic s’ha de fer per descomposició baricèntrica . Tenint en compte que el centre d’inèrcia de la barra P és a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], i el de la barra Q és a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{barraP}+\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{barraQ}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hspace{2.9cm}=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps,\ts_\mathrm{abans}) \right]_\mathrm{barraP}+\GPvec\times 2\ms\vel{P}{RTG}+\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTQ}(\Qs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{barraQ}+\GQvec \times 2\ms\vel{Q}{RTG}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hspace{2.9cm}=\Is_\mathrm{P}\velang{barraP}{RTG} + \GPvec \times 2\ms\vel{P}{RTG}+\Is_\mathrm{Q}\velang{barraQ}{RTG}+\GQvec\times 2\ms\vel{Q}{RTG} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \velang{barraP}{RTG}=\velang{barraQ}{RTG}=\vec{0} \quad \Rightarrow \quad \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})=(\downarrow 2\Ls)\times 2\ms(\rightarrow \vs_0)+(\uparrow 4\Ls)\times \ms (\leftarrow 2\vs_0)=(\otimes 10\ms\vs_0\Ls) }[/math]
- Després de la col·lisió, [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] pertany al sòlid únic que s’ha format. Per tant:
- [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{després})= \Is_\mathrm{G}\velang{}{RTG}=\left[2\ms(2\Ls)^2+\ms(4\Ls)^2\right](\otimes \Omega_\mathrm{T})=(\otimes 24\ms\Ls^2\Omega_\mathrm{T}) }[/math]
- Finalment: [math]\displaystyle{ (\otimes 10\ms\Ls\vs_0)=(\otimes\ms\Ls^2\Omega_\mathrm{T})\quad \Rightarrow \quad \Omega_\mathrm{T}=\frac{5}{12}\frac{\vs_0}{\Ls} }[/math] .
- Comentari important
- Tot i que, per al sistema format per les dues barres, el moment extern vertical és nul per a qualsevol punt, no es conserva el moment cinètic ni a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] ni a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] perquè tots dos punts estan accelerats (canvien bruscament de velocitat quan hi ha la col·lisió):
- [math]\displaystyle{ \acc{P}{Gal}=\frac{\Delta \vel{P}{Gal}}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}}=\frac{\left[\rightarrow (\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} }[/math] , [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Gal}=\frac{\Delta \vel{Q}{Gal}}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}}=\frac{\left[\rightarrow (2\vs_0-4\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} }[/math] .
- Per tant:
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical}+ \left.\PGvec \times \ms \acc{P}{Gal}\right]_\mathrm{vertical}=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\uparrow 2\Ls)\times \ms \frac{\left[\rightarrow (\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} =\left[\otimes \frac{2\ms\Ls(\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} \right]=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical}\neq \text{constant} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical}+ \left.\QGvec \times \ms \acc{Q}{Gal}\right]_\mathrm{vertical}=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\downarrow 4\Ls)\times \ms \frac{\left[\leftarrow (2\vs_0-4\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} =\left[\otimes \frac{8\ms\Ls(\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} \right]=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical}\neq \text{constant} }[/math]
- ANIMACIONS
✏️ Exemple D8.5: col·lisió d’una anella i un braç
|
|
L’anella, de radi L i massa m, es mou sobre un terra horitzontal llis amb velocitat angular respecte del terra [math]\displaystyle{ \Omega_0=\ns\vs_0/\Ls }[/math] (on n és un número enter), i el seu centre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] s’apropa amb velocitat [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] cap a l’extrem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del braç, de longitud 2L i massa M, que està articulat al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] fix a terra i es troba inicialment en repòs. Després de la col·lisió, anella i braç queden enganxats. Es negligeix la fricció associada a l’articulació a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Es tracta d’investigar el moviment del sistema després de la col·lisió. |
- Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.
- Per a cada element per separat (anella i braç) no hi ha conservació de la quantitat de moviment: la col·lisió genera forces molt intenses entre elles en direcció horitzontal que provoquen acceleració en els centres d’inèrcia respectius. A més, el braç rep una força intensa a l’articulació a [math]\displaystyle{ \Os }[/math].
- Per al sistema (anella + braç) tampoc no n’hi ha: l’articulació a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] introdueix forces en el pla del moviment que provoquen acceleració en el centre d’inèrcia conjunt [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].
- Conservació del moment cinètic?
- Per al sistema (anella + braç), les forces associades a l’articulació provoquen moment extern vertical (ortogonal al pla del moviment) a qualsevol punt tret del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Os)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANT!} }[/math]
- En ser [math]\displaystyle{ \Os }[/math] permanentment fix a terra, ha de ser el CIR permanent respecte del terra del sòlid únic format després de la col·lisió. Abans de la col·lisió, el CIR de l’anella es troba a [math]\displaystyle{ \Ls/2 }[/math] per sota del centre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \vel{S}{T}=\vel{P}{T}+\velang{}{0}\times \PSvec = (\rightarrow \vs_0) + \left(\otimes \frac{\ns\vs_0}{\Ls}\right)\times (\downarrow \Ls)=\left[\leftarrow (\ns-1)\vs_0\right]. }[/math]
- La distància e entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i el CIR de l’anella respecte del terra abans de la col·lisió es pot trobar a partir de:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \left|\vel{P}{T}\right|=\vs_0=\es \Omega_0 \\ \left|\vel{S}{T}\right|=(\ns-1) \vs_0=(\Ls-\es) \Omega_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \es=\frac{\Ls}{\ns} . }[/math]
- Un valor negatiu de n voldria dir que el CIR es troba a una distància e pel damunt de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].
- Abans de la col·lisió [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{abans} }[/math], [math]\displaystyle{ \Os }[/math] no pertany en general cinemàticament a l’anella (no és el seu CIR). El càlcul del seu moment cinètic s’ha de fer per descomposició baricèntrica . El moment cinètic inicial del braç és nul perquè no es mou:
- [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os,\ts_\mathrm{abans})=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{T}(\Os,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{anella}= \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{anella} + \OPvec \times 2\ms\vel{P}{T}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hspace{3.4cm}=\Is_\mathrm{P} \left(\otimes \frac{\ns\vs_0}{\Ls} \right) + \left(\downarrow 2\Ls \right)\times \ms\left(\rightarrow \vs_0 \right) = \left(\otimes \ms\Ls^2 \frac{\ns\vs_0}{\Ls}\right) + \left(\odot 2\ms\Ls\vs_0 \right) = \left[ \otimes (\ns-2)\ms\Ls\vs_0 \right] }[/math]
- Després de la col·lisió:
- [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os,\ts_\mathrm{després})= \Is_\mathrm{O}\overline{\Omega}_\Ts=\left( \Is_\mathrm{O}^\mathrm{anella}+ \Is_\mathrm{O}^\mathrm{braç} \right) \overline{\Omega}_\Ts= \left( \Is_\mathrm{G}^\mathrm{anella}+ \Is_\mathrm{O}^{\mathrm{anella}\otimes}+\Is_\mathrm{O}^\mathrm{braç} \right) \overline{\Omega}_\Ts = \left[ \ms\Ls^2 + \ms(2\Ls)^2+ \frac{4}{3} \ms\Ls^2\right]\overline{\Omega}_\Ts }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \bar{\mathrm{H}}_{\text {RTO }}\left(\Os, \mathrm{t}_{\text {després }}\right)=\left(\otimes \frac{19}{3} \ms\Ls^2 \Omega_{\mathrm{T}}\right) \\ \bar{\mathrm{H}}_{\text {RTO }}\left(\Os, \mathrm{t}_{\text {abans }}\right)=\left[\otimes(\mathrm{n}-2) \mathrm{mLv}_0\right] \end{array}\right\} \Rightarrow \bar{\Omega}_{\mathrm{T}}=\left[\otimes(\mathrm{n}-2) \frac{19}{3} \frac{\mathrm{v}_0}{\mathrm{~L}}\right] }[/math]
- Per a n>2 , el sistema gira en sentit horari. Per a valors de n<2, el sistema gira en sentit antihorari. Per a n=2 , el sistema queda en repòs.
- ANIMACIONS
✏️ Exemple D8.6: sòlid lliure a l’espai
|
|
El sòlid està format per dues plaques homogènies, de la mateixa massa i alçària però amplàries diferents, enganxades pel punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Es tracta d’investigar si alguna magnitud dinàmica es conserva quan es llança enlaire.Es negligeixen les interaccions aerodinàmiques. |
- Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.
- El sòlid està sotmès a l’atracció gravitatòria terrestre com a única força externa. Per tant, la component vertical de la quantitat de moviment respecte del terra no es conserva, però les horitzontals sí..
- Ja que la quantitat de moviment respecte del terra i la velocitat del centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \vel{G=O}{T} }[/math] són estrictament proporcionals, les components horitzontals de [math]\displaystyle{ \vel{G}{T} }[/math] es mantenen constants..
- Hi ha conservació del moment cinètic?
- El torsor gravitatori al centre de gravetat [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] (que coincideix amb el centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) es redueix a una força resultant i cap moment. Per tant:
- [math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathrm{M}}_\mathrm{ext}(\Gs)=\overline{0}=\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs) \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) \mathrm{CONSTANT!} }[/math]
- Per al cas del sòlid que s’estudia: [math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) = \Is\Is (\Gs) \velang{}{RTG} = \Is\Is (\Gs) \velang{}{T}. }[/math]
- El moment cinètic i la velocitat angular no són proporcionals en general (només ho són quan la direcció de la velocitat angular és una direcció principal d’inèrcia per al centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] ), i la conservació del primer no implica la constància de la segona.
- Avaluació qualitativa del tensor d’inèrcia
- En tractar-se les dues plaques de sòlids plans simètrics:
- [math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Gs)\right]=\left[\Is\Is(\Gs)\right]_\text{placa inf} + \left[\Is\Is(\Gs)\right]_\text{placa sup.} = \diag{\Is_{11}}{\Is_{11} + \Is_{33}}{\Is_{33}}+ \diag{2\Is}{\Is}{\Is} , \text{ amb} \Is_{11}\lt \Is_{33}. }[/math]
- Avaluació quantitativa del tensor d’inèrcia
- [math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Gs)\right]=\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{1}{1+4}{4}+\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{2}{1}{1}=\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{3}{6}{5} \equiv \diag{\Is_\mathrm{petit}}{\Is_\mathrm{gran}}{\Is_\mathrm{mitjà}} }[/math]
- Les direccions 1, 2 i 3 són les direccions principals d’inèrcia per a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].
- Cálcul del moment cinètic
- [math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs)\right\}=\diag{\Is_\mathrm{petit}}{\Is_\mathrm{gran}}{\Is_\mathrm{mitjà}} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=\vector{\Is_\mathrm{petit}\Omega_1}{\Is_\mathrm{gran}\Omega_2}{\Is_\mathrm{mitjà}\Omega_3} }[/math],no és proporcional a [math]\displaystyle{ \velang{}{T} }[/math] en principi.
- Si la velocitat angular inicial és exclusivament en una de les tres direccions (és a dir, si la seva direcció es principal d’inèrcia per a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]), llavors sí que hi ha proporcionalitat entre [math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) }[/math] i [math]\displaystyle{ \velang{}{T} }[/math], i la conservació del primer implica la de la segona.
- ANIMACIONS
✏️ Exemple D8.7: giroscopi
|
|
El sistema consta d’un disc homogeni, de massa m i radi r, que està articulat a un suport de massa negligible, i d’una forquilla que pot girar lliurement al voltant de l’eix vertical. Entre suport i forquilla hi ha un motor. El moment d’inèrcia del suport respecte de l’eix vertical que passa pel centre del disc és [math]\displaystyle{ \Is=(\lambda/2)\ms\rs^2 }[/math]. Inicialment [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{incial} }[/math] el disc està paral·lel a terra, i gira amb velocitat angular vertical [math]\displaystyle{ \velang{disc}{T}=\psio }[/math] . Es negligeixen les friccions associades a totes les articulacions. Es tracta d’investigar com es mou el suport quan el motor canvia l’orientació del disc respecte del terra . |
- Hi ha conservació del moment cinètic?.
- Per al SISTEMA disc, el moment total respecte del seu centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és nul en la direcció del seu eix. El motor pot canviar l’orientació d’aquest eix respecte del terra (i respecte de qualsevol referència que es traslladi respecte del terra), i per tant no es tracta d’una direcció fixa al terra (per tant, tampoc a la RTG): no es conserva el moment cinètic en aquesta direcció.
- Per al SISTEMA (disc + suport + forquilla), el moment total respecte del centre del disc [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és nul en la direcció vertical, que sí que és fixa a terra. Per tant:
- [math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =0 \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os) \right]_\mathrm{vert} \text{ CONSTANT!} }[/math]
- Mentre el motor canvia l’orientació del pla del disc [math]\displaystyle{ (\dot{\theta} \neq 0) }[/math] , apareix la rotació del suport al voltant de l’eix vertical [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math] . El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] en cada instant és:
- [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os,\ts)=\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\velang{forq}{T}(\ts)+\Is\Is^\mathrm{disc}(\Os)\velang{disc}{T}(\ts)=\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\dot{\psi}+\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\left( \overline{\dot{\psi}}+ \overline{\dot{\theta}}+ \overline{\dot{\varphi}}\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{forq}(\Os,\ts)}{B}=\diag{\Is_{11}}{\Is_{22}}{(\lambda/2)\ms\rs^2}\vector{0}{0}{\dot{\psi}}=\vector{0}{0}{(\lambda/2)\ms\rs^2 \dot{\psi}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{disc}(\Os,\ts)}{B'}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\diag{1}{1}{2}\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi} \sin\theta}{\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi} \sin\theta}{2(\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)} }[/math]
- El moment cinètic en direcció vertical prové de la projecció de les components 2 i 3:
- [math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\Ts(\Os,\ts)\right]_\mathrm{vert} =\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{sup}(\Os,\ts)+ \left.\overline{\Hs}_\Ts^ \mathrm{disc} (\Os,\ts) \right]_{3'}\cos\theta - \left.\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{disc}(\Os,\ts)\right]_{2'} \sin\theta , }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\Ts(\Os,\ts)\right]_\mathrm{vert} = \left(\Uparrow \frac{\lambda}{2}\ms\rs^2\dot{\psi}\right)+ \left(\Uparrow \frac{1}{4}\ms\rs^2\left[2\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}(1+\cos^2\theta)\right]\right) }[/math]
- Imposant la conservació de moment cinètic vertical:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{ll} \left.\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{O}, \mathrm{t})\right]_{\text {vert }}=\left(\Uparrow \frac{1}{4} \mathrm{mr}^2\left[2 \dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}\left(1+2 \lambda+\cos ^2 \theta\right)\right]\right) \\ \left.\begin{array}{l} \dot{\psi}\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=0 \\ \dot{\varphi}\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=\dot{\varphi}_0 \\ \theta\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=0 \end{array}\right\} \left.\Rightarrow \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\left(\mathbf{O}, \mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)\right]_{\text {vert }}=\left[\Uparrow\left(\frac{1}{2} \mathrm{mr}^2 \dot{\varphi}_0\right)\right] \\ \end{array}\right\} \Rightarrow 2 \dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}\left(1+2 \lambda+\cos ^2 \theta\right)=2 \dot{\varphi}_0 }[/math]
- Per altra banda, per al SISTEMA disc, el moment extern en la direcció de l’eix del disc (direcció 3’) és nul.
- Per tant, [math]\displaystyle{ \left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{disc,T}(\Os)\right]_{3'}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \braq{\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{disc,T}(\Os,\ts)}{B'}=\frac{1}{4}\ms\rs^2 \vector{-\ddot{\theta}}{-\ddot{\psi} \sin\theta -\dot{\psi}\dot{\theta}\cos\theta}{2(\ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta)} + \vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi}\sin\theta}{\dot{\psi}\cos\theta}\times\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi}\sin\theta}{2(\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm}= \frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\ddot{\theta}-\dot{\psi}(2\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)\sin\theta}{-\ddot{\psi}\sin\theta + 2\dot{\theta}\dot{\varphi}}{2(\ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta)} \Rightarrow \ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta=0. }[/math]
- La integració d’aquesta equació condueix a: [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta=\dot{\varphi}_0 }[/math] , on [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}_0 }[/math] és la constant d’integració, que es determina imposant les condicions inicials.
- Combinant aquest resultat amb l’anterior:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} 2\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}(1+2\lambda+\cos^2\theta )=2\dot{\varphi}_0\\ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta=\dot{\varphi}_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \frac{\dot{\psi}}{\dot{\varphi}_0}=\frac{2(1-\cos\theta)}{2\lambda+\sin^2\theta} }[/math]
✏️ Exemple D8.8: barra dins de guia llisa giratòria
|
|
La barra PQ, homogènia i de massa m, es mou mantenint els seus dos extrems dins d’una guia llisa [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math] , de radi r i massa negligible, que pot girar lliurement al voltant de la direcció vertical. L’angle POQ és de [math]\displaystyle{ 120^o }[/math]. Es tracta de determinar l’equació del moviment per a la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math] . Es negligeix la rotació de la barra sobre el seu eix (rotació pròpia [math]\displaystyle{ \dot{\varphi} }[/math] ). |
- Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.
- Les forces externes sobre la barra no són nul·les: a més del pes, hi ha forces de la guia sobre la barra a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que només tenen component normal (dirigida cap a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) i component perpendicular al pla de la guia. En total, doncs, la força externa resultant sobre la barra té components en les tres direccions de l’espai, i la quantitat de moviment no es conserva.
- Si s’analitzen les forces externes sobre el SISTEMA (barra + guia), la conclusió és la mateixa: a més del pes de la barra, hi ha la força d’enllaç associada al coixinet entre terra i guia, que té tres components no nul·les en principi.
- Hi ha conservació del moment cinètic?
- Per al SISTEMA (barra + guia), el moment extern sobre qualsevol punt de l’eix de rotació de la guia (en particular, per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) té component vertical nul·la (doncs el moment d’enllaç del coixinet en aquesta direcció és nul, i el pes no pot donar moment en direcció vertical). Per altra banda, l’acceleració angular de la guia respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\overline{\ddot{\psi}}\right) }[/math] té aquesta direcció. Per tant:
- [math]\displaystyle{ \boxed{\left.\text{Full de ruta: SISTEMA (barra+guia), TMC a }\Os\right]_\mathrm{vert}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os) \right]_\mathrm{vert}=0 \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vert} \text{ CONSTANT!} }[/math]
- L’únic element amb massa és la barra, i el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] hi pertany cinemàticament :
- [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)=\Is\Is(\Os)\velang{barra}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\bigoplus(\Os)\right]\left(\overline{\dot{\psi}}+\overline{\dot{\theta}}\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)}{}=\left(\ms(\sqrt{3\rs})^2\diag{1}{0}{1}+\ms\left(\frac{\rs}{2}\right)^2\diag{1}{1}{0}\right)\vector{\dot{\theta}}{\dot{\psi}\sin\theta}{\dot{\psi}\cos\theta} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)}{}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{14\dot{\theta}}{\dot{\psi}\sin\theta}{13\dot{\psi}\cos\theta} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_3\cos\theta+ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_2\sin\theta= \frac{1}{4}\ms\rs^2\dot{\psi}(13\cos^2\theta + \sin^2\theta)= \frac{1}{4}\ms\rs^2 \dot{\psi}(1+12\cos^2\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =\text{constant } \Rightarrow \quad \frac{\ds\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert}}{\ds\ts}=0=\frac{1}{4}\ms\rs^2 \dot{\psi}(1+12\cos^2\theta)-6\ms\rs^2 \dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta\cos\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ \boxed{\ddot{\psi}(3+7\cos^2\theta)-14\dot{\psi}\dot{\theta} \sin\theta \cos\theta =0} }[/math]
- Comentari rellevant
- El moment cinètic vertical no es conserva ni a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] ni a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] perquè tots dos punts estan accelerats:
- [math]\displaystyle{ \sum \overline{\bar{\Ms}}_{\text {ext }}(\mathbf{Q})-\overline{\mathbf{P G}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})=\dot{\overline{\mathrm{H}}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q}), \quad \overline{\mathbf{QG}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{QG}} \times \mathrm{m}\left[\overline{\mathrm{a}}_{\text {RЕL }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathrm{a}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{Q})+\overline{\mathrm{a}}_{\text {cor }}(\mathbf{Q})\right] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathbf{Q G}} \times \ms \bar{\mathrm{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{Q})\right\}=\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{3\rs} \cos \theta \\ \sqrt{3\rs} \sin \theta \end{array}\right\} \times \ms\left[\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{s}} \sin \left(30^{\circ}-\theta\right)-\mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{n}} \cos \left(30^{\circ}-\theta\right) \\ \mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{s}} \cos \left(30^{\circ}-\theta\right)+\mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{n}} \sin \left(30^{\circ}-\theta\right) \end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c} \mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{s}}-\mathrm{a}_{\mathrm{Cor}} \\ -\mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{n}} \\ 0 \end{array}\right\}\right] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\left.\left.\overline{\mathbf{Q G}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})\right]_{\text {vert }}=\overline{\mathbf{QG}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})\right]_{3^{\prime}}=\sqrt{3} \mathrm{m}\left(\mathrm{a}_{\text {Cor }}-\mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{s}}\right) \sin \theta \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\bar{\Hs}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})\right]_{\text {vert }} \neq 0 }[/math]
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats