Càlcul vectorial

V.1 Representació geomètrica d’un vector

Els vectors es poden representar geomètricament amb un dibuix, indicant-ne la direcció (i el sentit genèric positiu) mitjançant una fletxa i el valor (que tant pot ser positiu com negatiu), que pot ser variable (Figura V.1).

Fig. V.1 Representació geomètrica del vector de posició d’un punt O que es pot moure al llarg d’una recta: (a) definició genèrica del valor positiu; (b) tres casos particulars

Les operacions habituals entre vectors (suma, resta, producte per un escalar, producte vectorial, derivació) es poden fer a partir de les seves representacions geomètriques. La secció següent resumeix els procediments.

---

V.2 Operacions amb vectors amb representació geomètrica

Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial

La Figura V.2 resumeix els procediments per realitzar les tres operacions entre vectors que només impliquen un únic instant temporal.

Fig. V.2 Càlcul geomètric de les operacions instantànies entre vectors

Operacions al llarg del temps: derivació temporal

Les dues operacions vectorials al llarg del temps són la derivada i la integral temporal, i dependent de la referència des d’on s’observen els vectors. Aquesta última operació no es senzilla a partir de la representació geomètrica, i es deixa de banda. La derivació temporal d’un vector relativa a una referència R avalua el ritme temporal de canvi de les característiques del vector (direcció i valor) entre dos instants consecutius molt propers, separats per un diferencial de temps (dt). Simbòlicament, aquesta derivada es representa com a [math]\displaystyle{ \frac{d\hat{u}}{dt} }[/math] . El subíndex R recorda que aquesta operació depèn de la referència des d’on s’observa l’evolució temporal del vector. El resultat de la derivada és diferent de zero quan el valor, o la direcció o ambdues coses canvien.

Cas particular: Derivada d’un vector de direcció constant

bla bla

Cas particular: Derivada d’un vector de valor constant que evoluciona sobre un pla fix a la referència

bla bla

Cas particular: Derivada d’un vector de valor constant que evoluciona de manera general a la referència

bla bla

Cas general: Derivada d’un vector que evoluciona de manera general respecte d’una referència R

---

V.3 Representació analítica d’un vector

bla bla

---

V.4 Operacions amb vectors amb representació analítica

Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial.

bla bla

Operacions al llarg del temps: derivació temporal.

bla bla

[math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\mathrm{d}\overline{\textbf{u}}}{\textrm{dt}} \right]_{\textrm{R}}\right\}_\textrm{B} = \frac{\textrm{d}}{\mathrm{dt}}\left\{\overline{\textbf{u}}\right\}_\textrm{B} +\left\{\overline{\mathbf{\Omega}}^\textrm{B}_\textrm{R}\right\}_\textrm{B} \times \left\{\overline{\mathbf{u}}\right\}_\textrm{B} }[/math]