D7. Exemples de dinàmica 3D

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}] \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la secció D6.4 s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is} }[/math]

Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs [math]\displaystyle{ (\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math], roman en repòs [math]\displaystyle{ (\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math]. Per tant, el valor de els coordenades en equilibri ve donat per:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs_{i}} = \fs(\q{j},\dot{q_{j}},\ddot{q_{j}},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}) }[/math]

L’equació que defineix les [math]\displaystyle{ \qs_{\text{j,eq}} }[/math] pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ (\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js, }[/math] amb [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js \lt \lt 1 }[/math], i per tant [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js^2 \approx 0 }[/math]) les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

• si apareixen polinomis de grau superior a 1:

[math]\displaystyle{ \qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3 }[/math]

• si es tracta d’una coordenada angular [math]\displaystyle{ (\qs_\js=\theta) }[/math] i apareixen funcions sinus i cosinus:

FALTA

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0 }[/math], on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon = 0 }[/math]. La solució general és: [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math], amb [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt{\Bs/\As} }[/math]. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 }[/math].