C2. Moviment d'un sistema mecànic
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[1]{\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} }[/math]
C2.1 Velocitat d’una partícula
La velocitat d’una partícula Q (o d’un punt que pertany a un sòlid) respecte d’una referència R,[math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math] , és el ritme de canvi temporal del vector de posició al llarg del temps. Matemàticament, es pot obtenir mitjançant la derivació temporal d’un vector de posició (relatiu a R). La derivació temporal de dos vectors de posició diferents ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math],[math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math] ) donen lloc a la mateixa velocitat perquè els punts [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] i [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] són fixos entre ells i fixos a la referència, i per tant la derivada temporal de és zero:
[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Or\Qs}} = \dert{\vec{\Or\Or'}} + \dert{\vec{\Or'\Qs}}= \dert{\vec{\Or\Qs}} }[/math]
És important recordar que la derivada d’un vector depèn de la referència on s’avalua. Per aquest motiu, a les equacions anteriors s’especifica la referència on es deriva mitjançant un subíndex R.
La derivació temporal d’un vector respecte d’una referència R avalua el canvi de les característiques del vector (direcció i valor) entre dos instants consecutius molt propers, separats per un diferencial de temps (secció V.2). Per tant, la velocitat [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] és diferent de zero quan el valor del vector de posició, o la seva direcció o ambdues coses canvien.
⚙️ EXEMPLE 1.1: plataforma giratòria; càlcul geomètric
La plataforma (P) gira al voltant d’un eix perpendicular al terra (R). El moviment d’un punt Q de la perifèria de la plataforma és diferent segons s’observi des del terra o des de la plataforma.
El centre de la plataforma (O) és fix a totes dues referències. Per tant,[math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] és un vector de posició per al punt Q tant a la referència R com a la referència P. És evident que [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)= \vec{0} }[/math], tot i que el vector que es deriva és el mateix.
Ja que [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] és el radi r de la plataforma, té valor constant. Per tant, la derivada de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] en qualsevol referència només pot estar associada a un canvi de direcció.
Per avaluar el canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] respecte del terra o de la plataforma, cal definir un angle entre una recta fixa a la referència i el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math]. Per tal que quedi clar la recta origen, la representem com a la direcció del braç d’un observador situat a la referència (i, per tant, que no es mou respecte de la referència).
[math]\displaystyle{ \Psi(t)\neq\Psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] canvia de direcció respecte de [math]\displaystyle{ \Rs \implies \vvec_\Rs(\Qs) \neq \vec{0} }[/math]
D’acord amb el que s’ha vist a la secció V.1,[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] és perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], i el seu valor és el mòdul de [math]\displaystyle{ \OQvec(r) }[/math] per la velocitat de canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] respecte de R [math]\displaystyle{ (\Psi) }[/math] :
Velocitat de Q relativa a la plataforma(P):
[math]\displaystyle{ \Psi(t)=\Psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] no canvia de direcció respecte de [math]\displaystyle{ \Rs \implies \vvec_\Rs(\Qs) = \vec{0} }[/math]
⚙️ EXEMPLE 1.1: plataforma giratòria; càlcul geomètric
Les dues bases vectorials més evidents per fer els càlculs són:
- Base B (1,2,3) fixa a la referència R (i per tant mòbil respecte de P): [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_\Ps^\Bs = \vec{\Psi} }[/math]