C1. Configuració d'un sistema mecànic
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textrm{O}} \newcommand{\Qs}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textrm{S}} }[/math]
En l’estudi de qualsevol sistema mecànic, ja sigui de partícules lliures, de sòlids rígids lliures o un sistema amb sòlids i partícules enllaçats (sistema multisòlid), és fonamental la descripció del seu estat mecànic: la seva configuració (posició de tots els seus punts) i la seva distribució de velocitats (velocitat de tots els seus punts) respecte d’una referència.
En aquesta unitat C1, es descriu la configuració dels sistemes. La descripció de la distribució de velocitats es tracta a la unitat C2.
C1.1 Posició d'una partícula
La posició d’una partícula Q a una referència R es pot descriure mitjançant un vector de posició [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Qs }[/math], on [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math]ha de ser un punt fix a R (un punt que pertanyi a la referència R). Aquest vector no està unívocament definit, ja que el seu origen pot ser qualsevol punt de R (Figura C1.1).
C1.2 Configuració d'un sòlid rígid
bla bla
C1.3 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment pla
bla bla
C1.4 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment a l'espai
bla bla
Rotacions al voltant de direccions fixes
bla bla
⚙️Exemple C1.1
- En un ratolí mecànic d’ordinador, la bola pot girar respecte de la carcassa del ratolí (R) al voltant de dos eixos ortogonals fixos a la carcassa. L’angle girat al voltant de cadascun d’aquest dos eixos és proporcional al que giren les dues rodetes que estan en contacte sense lliscar amb la bola.
- FALTA IMATGE
- FALTA VÍDEO
⚙️
Rotacions d'Euler
bla bla
⚙️Exemple C1.2
- Es poden definir els següents eixos d’Euler:
- - 1r eix: vertical (eix fix a terra)
- - 3r eix: perpendicular a la cara 3
- - 2n eix: ortogonal als dos anteriors (per tant, intersecció del pla horitzontal amb el pla de la cara 3!)
- FALTA IMATGE
- Es pot comprovar la no seqüencialitat d’aquests angles partint d’una mateixa orientació inicial i introduint increments de cadascun d’ells de 90º segons seqüencies diferents. Si es fa correctament, s’arriba sempre a la mateixa orientació final.
- FALTA IMATGE
- NOTA: En un dau, la suma dels números en cares oposades és sempre 7.
⚙️
bla bla bla bla bla bla
⚙️Exemple C1.3
- FALTA OMPLIR
⚙️
C1.5 Coordenades independents
Tot i que la posició d’una partícula (un punt) respecte d’una referència es pot descriure mitjançant tres coordenades, aquestes coordenades poden no ser independents quan la partícula està sotmesa a restriccions per causa del seu contacte amb altres objectes. En aquest cas, el conjunt mínim de coordenades per descriure la posició constitueix el conjunt de coordenades independents (CI) de la partícula.
⚙️Exemple C1.4
- La partícula P està restringida a moure’s dins una guia circular fixa a la referència R. La seva posició respecte de R es pot donar mitjançant tres coordenades cartesianes (x,y,z) . Ara bé, pel fet de trobar-se dins la guia, n’hi ha prou amb donar el valor de l’angle per conèixer la seva posició en qualsevol instant de temps. Es tracta d’un problema amb només una coordenada independent.
- FALTA IMATGE
⚙️
Anàlogament, si bé la configuració d’un sòlid rígid lliure (sense contactes amb cap altre objecte) respecte d’una referència demana 6 coordenades, el nombre de coordenades independents és inferior quan el sòlid està sotmès a restriccions.
⚙️Exemple C1.5
- FALTA OMPLIR
⚙️
⚙️Exemple C1.6
- FALTA OMPLIR
⚙️
⚙️Exemple C1.7
- FALTA OMPLIR
⚙️