D4. Teoremes vectorials
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math]
Els Teoremes Vectorials són una eina per resoldre la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (segona llei de Newton) i del principi d’acció i reacció (tercera llei de Newton).
En aquest curs, es presenta només la versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.
En començar un problema, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en tres grups:
- Evolució temporal dels graus de llibertat lliures (no controlats per actuadors) del sistema. Les equacions que les regeixen s’anomenen equacions del moviment. Si els GL lliures es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades ([math]\displaystyle{ \dot{q}_i }[/math], amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). El seu aspecte general és:
[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}) }[/math]
La dependència en les segones derivades temporals [math]\displaystyle{ (\ddot{q}_j) }[/math] és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats [math]\displaystyle{ (q_i,\dot{q}_j) }[/math] pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).
- Accions dels actuadors: són les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir unes evolucions prefixades dels GL que controlen. Com s’ha comentat a la secció D2.6, en alguns casos es pot considerar que les accions dels actuadors són dades, i llavors les incògnites associades són les evolucions dels GL que controlen.
- Forces i moments d’enllaç: el nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (enllaços directes, enllaços indirectes). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).
D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes
Considerem un sistema de partícules de matèria constant (Figura D4.1). El Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] del sistema. Si la referència que es considera és galileana:
[math]\displaystyle{ \vec{F}_{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math], on [math]\displaystyle{ \vec{F}_{\rightarrow\Ps} }[/math] és la força resultant d’interacció sobre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].
FOTo
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): [math]\displaystyle{ \vec{F}_{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\vec{F}_{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math]. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció: