E2. Teorema de l’energia: versió integrada

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ws}{\textrm{W}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\Ds}{\textrm{D}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}} \newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\diag}[3]{ \begin{bmatrix} {#1} & {0} & {0}\\ {0} & {#2} & {0}\\ {0} & {0} & {#3} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}} \newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}} }[/math]

Aquesta unitat presenta el Teorema de l’Energia com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de treballs (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.

---

---

E2.1 Teorema de l’energia

El balanç de potències per a una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):

[math]\displaystyle{ \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad \Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + \left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + \left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f }[/math]

on [math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right) }[/math], i [math]\displaystyle{ \left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt }[/math] és el treball de la força F entre els instants (i) I (f).

Tenint en compte que [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt }[/math] correspon al diferencial de recorregut de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt }[/math]

Sumant per a totes les partícules del sistema: [math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{T}_R^{sist} = \left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + \left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + \left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f }[/math]

✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada

---

Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. Es tracta de calcular la potència del fre. Càlcul directe: [math]\displaystyle{ \dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r} }[/math] El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo. [math]\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \text{SISTEMA: politja + bloc} \\ \text{TMC a }\mathbf{O} \end{array} \right\} \quad \sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = \dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O}) }[/math] El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que O no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc: [math]\displaystyle{ \begin{align*} \vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) &= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) + \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) = \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) + \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}) + \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\ &= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}} + \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}} + \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right) + (\otimes m v_0 r) \, . \end{align*} }[/math] Es tracta d’un moment cinètic constant en direcció i valor. Per tant: [math]\displaystyle{ \dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O}) = 0 \Rightarrow \sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = (\Gamma) + (\otimes m g r) = 0 \Rightarrow \Gamma = m g r }[/math] Finalment: [math]\displaystyle{ \dot{W}_R^{\text{fre}} = - \Gamma \frac{v_0}{r} = - \text{m g v_0} }[/math]