D1. Introducció a la dinàmica

AIXÒ, ARA MATEIX ÉS UN CALAIX DE SASTRE

H1

=Exemple

Fig.1.2.2 Vector Posició

[math]\displaystyle{ \quad \mathbf{\overline{OP}}=\sum_{i=1}^3a_i\mathbf {\overline e_1} \qquad\qquad (1) }[/math]

Si la base és ortogonal.

[math]\displaystyle{ \quad a_i=\mathbf{\overline{OP}}·\mathbf {\overline e_1} \qquad\qquad (2) }[/math]

En l'estudi de la mecànica, la base que es fa servir per projectar els vectors no sol coincidir amb el triedre definidor del referencial.

⚙️ Exemple X.X

El suport del focus esquematitzat a la figura, que permet orientar el feix de llum en qualsevol direcció, té dues articulacions que materialitzen els dos primers angles d'Euler. La rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math] al voltant de l'eix vertical correspon a un primer angle d'Euler -en produirse al voltant d'un eix fix-, i la rotació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] al voltant de l'eix horitzontal orientat per mitjà de l'angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] correspon a un segon angle d'Euler.

Resolució

La velocitat angular de rotació [math]\displaystyle{ \overline\Omega^F_R }[/math] del focus és la mateixa que la de la base B" d'eixos 1" ,2", 3".

[math]\displaystyle{ \overline\Omega^{focus}_R = \begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\0 \\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\\dot{\psi}sin\theta\\\dot{\psi}cos\theta\end{Bmatrix}_{B''} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline\alpha^{focus}_R=\begin{Bmatrix}\frac{d}{dt}\left.\begin{matrix} \overline\Omega^{focus}_R\end{matrix}\right]_T\end{Bmatrix}_{B'} = \frac{d}{dt}\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{focus}_R \end{Bmatrix}_{B'}+\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{B'}_R\end{Bmatrix}_{B'}\times\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{focus}_R\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\ddot{\theta} \\0 \\\ddot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}0 \\0 \\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}\times\begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\0\\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\ddot{\theta} \\\dot{\theta}\dot{\psi} \\\ddot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'} }[/math]

⚙️

☘️ Demostració Y.Z

Aquí demostraríem que la terra és plana

[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{OP}}=\sum_{i=1}^3a_i\mathbf {\overline e_1}\qquad\qquad (1) }[/math]

☘️

---

Z.Z Enllaços habituals entre sòlids

En el context de l’enginyeria mecànica, els sistemes mecànics habituals són sistemes multisòlid: conjunts de sòlids rígids mútuament enllaçats mitjançant articulacions, ròtules, juntes diverses... (Taula Z.2).

	Enllaç de revolució: Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1
	Enllaç cilíndric: Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1, i una translació (desplaçament sense rotació) al llarg de l’eix 1
	Enllaç prismàtic: Permet una translació entre els dos sòlids al llarg de l’eix 1
	Enllaç esfèric (ròtula esfèrica): Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids al voltant dels eixos 1, 2, 3
	Enllaç helicoïdal (enllaç cargolat): Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 3; aquesta rotació provoca un desplaçament al llarg de l’eix 3. La relació entre la rotació i el desplaçament ve donada pel pas de rosca [math]\displaystyle{ e }[/math]

Taula Z.2 Enllaços habituals en els sistemes mecànics

Per causa d’aquests enllaços, l’estat mecànic de cada sòlid (és a dir, la seva configuració a l’espai i el seu moviment) està relacionat amb el dels altres.