D1. Introducció a la dinàmica

AIXÒ, ARA MATEIX ÉS UN CALAIX DE SASTRE

S'arriba a la noció de temps com a successió ordenada d'instants entenent per instants allò que tenen en comú dos esdeveniments simultanis. Un observador veu esdeveniments, com ara l'esdeveniment A consistent en la col·lisió de les partícules [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ P_2 }[/math] i l'esdeveniment B consistent en la col·lisió de les partícules [math]\displaystyle{ P_2 }[/math] i [math]\displaystyle{ P_4 }[/math]. Sobre aquests dos esdeveniments l'observador estableix sense ambigüitat:

En un [math]\displaystyle{ E^3 }[/math], per posicionar un punt P cal un origen O i un triedre [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_1} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_2} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_3} }[/math] , Fig.1.2.1, que es el que en terminologia matemàtica s'anomena una referència, però que en aquest text s'anomena referencial per tal de reservar el nom de referència per a una altra entitat de més interès en la mecànica. El vector [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{OP}} }[/math], que pertany a l'espai vectorial associat a l'espai puntual, situa P a partir de O, i en un context matemàtic les seves components es considerarien en la base [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_1} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_2} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_3} }[/math].

Fig.1.2.2 Vector Posició

[math]\displaystyle{ \quad \mathbf{\overline{OP}}=\sum_{i=1}^3a_i\mathbf {\overline e_1} \qquad\qquad (1) }[/math]

Si la base és ortogonal.

[math]\displaystyle{ \quad a_i=\mathbf{\overline{OP}}·\mathbf {\overline e_1} \qquad\qquad (2) }[/math]

En l'estudi de la mecànica, la base que es fa servir per projectar els vectors no sol coincidir amb el triedre definidor del referencial.

⚙️Exemple 1.2.1

El suport del focus esquematitzat a la figura, que permet orientar el feix de llum en qualsevol direcció, té dues articulacions que materialitzen els dos primers angles d'Euler. La rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math] al voltant de l'eix vertical correspon a un primer angle d'Euler -en produirse al voltant d'un eix fix-, i la rotació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] al voltant de l'eix horitzontal orientat per mitjà de l'angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] correspon a un segon angle d'Euler. .

Resolució

La velocitat angular de rotació [math]\displaystyle{ \overline\Omega^F_R }[/math] del focus és la mateixa que la de la base B" d'eixos 1" ,2", 3".

[math]\displaystyle{ \overline\Omega^{focus}_R = \begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\0 \\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\\dot{\psi}sin\theta\\\dot{\psi}cos\theta\end{Bmatrix}_{B''} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline\alpha^{focus}_R=\begin{Bmatrix}\frac{d}{dt}\left.\begin{matrix} \overline\Omega^{focus}_R\end{matrix}\right]_T\end{Bmatrix}_{B'} = \frac{d}{dt}\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{focus}_R \end{Bmatrix}_{B'}+\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{B'}_R\end{Bmatrix}_{B'}\times\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{focus}_R\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\ddot{\theta} \\0 \\\ddot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}0 \\0 \\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}\times\begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\0\\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\ddot{\theta} \\\dot{\theta}\dot{\psi} \\\ddot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'} }[/math]

⚙️

---

1.3 Secció

Una altra secció.

☘️ Demostració 1.2.1

Aquí demostraríem que la terra és plana

[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{OP}}=\sum_{i=1}^3a_i\mathbf {\overline e_1}\qquad\qquad (1) }[/math]

el veloz muciélago hindú comía feliz cardillo y kiwi 🥝

C1.1 Coordenades independents i graus de llibertat

En l’estudi de qualsevol sistema mecànic, és fonamental la descripció del seu estat mecànic: la posició i velocitat de tots els seus punts.

Quan es tracta d’un objecte sense dimensions (partícula puntual) lliure (que no té contacte amb cap objecte material), la descripció de l’estat mecànic és immediata: en moure’s en un espai tridimensional, l’evolució de la seva posició a cada instant respecte d’una referència R queda resolta donant tres coordenades independents (CI), lineals o angulars, i el seu moviment (també relatiu a R) queda descrit mitjançant tres velocitats independents o graus de llibertat (GL), de dimensions (longitud/temps) o (angle/temps) . La Figura 1.1 mostra diverses opcions per a una partícula puntual P.

Fig. 1.1 Diverses opcions per descriure l’estat mecànic d’una partícula lliure: coordenades cartesianes i coorenades esfèriques

La definició de coordenades [math]\displaystyle{ \{q_1 , q_2 , q_3\}^T }[/math] per donar la posició d’un punt implica la tria d’un origen de coordenades, que correspon a la posició del punt quan [math]\displaystyle{ \{q_1 , q_2 , q_3\}^T=\{0 , 0 , 0\}^T }[/math].

El concepte de coordenades independents té a veure amb posició que evoluciona: correspon al nombre mínim de variables escalars que cal donar perquè, coneguda la posició inicial, la posició en qualsevol altre instant posterior estigui unívocament definida. En qualsevol instant, la posició d’un punt respecte d’una referència R es pot donar mitjançant tres escalars de valor constant, però aquests escalars no són coordenades independents quan el punt està sotmès a restriccions.

⚙️Exemple C1.1.1

La partícula P està restringida a moure’s dins una guia circular fixa a la referència R. La seva posició inicial (a l’instant [math]\displaystyle{ t=0 }[/math]) respecte de R es pot donar mitjançant tres coordenades cartesianes [math]\displaystyle{ \{x, y, z\}^T }[/math] . Ara bé, coneguda aquesta posició inicial, per conèixer la seva posició al cap d’un interval de temps finit [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math] no cal donar la variació d’aquests tres escalars [math]\displaystyle{ \{\Delta x, \Delta y, \Delta z\}^T }[/math] : és suficient donar el valor de l’angle . Es tracta d’un problema amb només una coordenada independent.

⚙️

Quan l’objecte d’estudi és un únic sòlid rígid lliure, la posició d’un sol punt del sòlid no és suficient per definir de manera unívoca la configuració del sòlid (posició i orientació). Una opció és donar la posició de tres punts P, Q, R no alineats. Si es proporcionen tres coordenades per punt, la configuració del sòlid queda definida per 9 coordenades, però no són independents: els punts d’un sòlid rígid no es poden apropar ni allunyar entre ells, i això defineix restriccions sobre aquestes coordenades (Figura 1.2).

Fig. 1.2 Restriccions entre els coordenades de punts d’un mateix sòlid rígid

Un sòlid lliure només pot tenir 6 CI. Tot i que l’opció d’associar-les totes a coordenades d’alguns dels seus punts sempre és vàlida, no és la més habitual. Habitualment, tres s’associen a un punt, i les altres tres són coordenades angulars que defineixen l’orientació del sòlid. Hi ha diverses maneres de definir aquestes coordenades angulars. Dues opcions habituals són les rotacions al voltant deixos fixos a la referència i les rotacions d’Euler.

Com en el cas de la partícula puntual, la configuració d’un sòlid respecte d’una referència R en qualsevol instant es pot donar mitjançant sis escalars de valor constant, però aquests escalars no són coordenades independents quan el sòlid està sotmès a restriccions.

⚙️Exemple 1.2

El bloc està restringida a moure’s sobre un pla fix a la referència R. Coneguda la seva configuració inicial (a l’instant ) respecte de R, la seva posició al cap d’un interval de temps finit queda unívocament definida donant només tres escalars, com per exemple la variació de dues coordenades associades a la posició del seu vèrtex P [math]\displaystyle{ (\Delta x ,\Delta y) }[/math] i l’angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] girat pel bloc. Es tracta d’un problema amb tres coordenades independents.

⚙️

---

C1.2 Rotacions al voltant d'eixos fixos (rotacions en paral·lel)

Hi ha sistemes mecànics on els sòlids s’orienten uns respecte dels altres mitjançant rotacions al voltant d’eixos fixos a un d’ells. Una característica d’aquesta manera d’orientar un sòlid és que, per a uns mateixos valors dels angles i partint d’una mateixa orientació inicial, l’orientació final del sòlid depèn de l’ordre (seqüència) en què s’han introduït. És un mètode d’orientació seqüencial.

La Figura 2.1 ho il·lustra per a un objecte triangular sotmès a tres rotacions de 90o al voltant d’eixos fixos a una referència R.

Fig. 2.1 Rotacions al voltant d’eixos fixos a R: mètode d’orientació seqüencial

VÍDEO

⚙️Exemple 2.1

En un ratolí mecànic d’ordinador, la bola pot girar respecte de la carcassa del ratolí (R) al voltant de dos eixos ortogonals fixos a la carcassa. L’angle girat al voltant de cadascun d’aquest dos eixos és proporcional al que giren les dues rodetes que estan en contacte sense lliscar amb la bola.

VíDEO

⚙️

---

C1.3 Rotacions d'Euler (rotacions en sèrie)

Les rotacions d’Euler són una alternativa no seqüencial per orientar sòlids. Són àmpliament utilitzats en enginyeria mecànica perquè bona part dels sistemes mecànics les tenen implementades (és a dir, inclouen enllaços entre els sòlids que precisament permeten aquest tipus de rotacions).

Es tracta de tres rotacions al voltant deixos que tenen diversos graus de mobilitat respecte de la referència R. Sovint s’associen les lletres gregues [math]\displaystyle{ \psi }[/math], [math]\displaystyle{ \theta }[/math] i [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] a les tres rotacions, respectivament:

• 1a rotació [math]\displaystyle{ (\psi) }[/math]: al voltant d’un eix d’orientació invariant respecte de R (eix fix a R).
• 2a rotació [math]\displaystyle{ (\theta) }[/math]: al voltant d’un eix que gira per causa de [math]\displaystyle{ \psi }[/math] respecte de R.
• 3a rotació [math]\displaystyle{ (\varphi) }[/math]: al voltant d’un eix d’orientació invariant respecte del sòlid (eix que gira per causa de [math]\displaystyle{ \psi }[/math] i [math]\displaystyle{ \theta }[/math] respecte de R).

La Figura 3.1 mostra els eixos d’aquestes rotació en un giroscopi, format per un suport fix a terra (T), una forquilla articulada respecte del suport, un braç articulat respecte de la forquilla, i un volant articulat respecte del braç. Les rotacions dels diversos elements respecte del terra són:

• Forquilla: rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math] al voltant de l’eix vertical fix a T.
• Braç: rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math], i rotació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] al voltant d’un eix afectat de la rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math].
• Volant: rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math], rotació [math]\displaystyle{ \theta }[/math], i rotació [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] al voltant d’un eix afectat de les rotacions [math]\displaystyle{ \psi }[/math] i [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (i que és d’orientació fixa al volant).

Fig. 3.1 Rotacions d’Euler en un giroscopi

Una característica dels eixos d’Euler és que l’angle entre el primer i el segon [math]\displaystyle{ (\beta_{\psi\theta}) }[/math], i l’angle entre el segon i el tercer [math]\displaystyle{ (\beta_{\theta\varphi}) }[/math], són constants. En el cas del giroscopi, aquests angles són [math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta}=\beta_{\theta\varphi}=90^{\circ} }[/math]. En canvi, no és el cas de l’angle entre el primer i el tercer, que en aquest cas pot variar dins d’un rang aproximat d’entre [math]\displaystyle{ 30^{\circ} }[/math] i [math]\displaystyle{ 150^{\circ} }[/math].

Si els angles [math]\displaystyle{ (\beta_{\psi\theta}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\beta_{\theta\varphi}) }[/math] son diferents de [math]\displaystyle{ 90^{\circ} }[/math], el sòlid orientat no pot orientar-se de manera general a l’espai (hi hauria configuracions inassolibles). És per aquest fet que habitualment el primer i el segon eix d’Euler son perpendiculars, així com el segon i el tercer.

Vídeo 3.1 Robot manipulador orientat amb tres angles d'Euler

La descripció de l’orientació d’un sòlid que no forma part d’un sistema multisòlid (per exemple, un objecte flotant a l’aigua, o una pilota a l’aire) és menys senzilla en no tenir els eixos de les rotacions físicament presents. En aquest cas, la manera de procedir depèn de si és un sòlid que té un moviment característic (com una baldufa quan s’hi juga de la manera habitual) o si no el té (com un dau en un joc d’atzar).

En el primer cas, els eixos poden correspondre a rotacions característiques de l’objecte. Quan es tracta d’una baldufa, la rotació ràpida al voltant del seu eix de revolució (que s’estableix com a condició inicial del moviment) suggereix la tria d’aquest eix com a tercer eix d’Euler. Si aquesta rotació inicial és prou ràpida, la baldufa triga a caure al terra, i el que fa l’eix de simetria és precessionar lentament al voltant d’un eix vertical. Aquest eix vertical es pot triar com a l’eix de la primera rotació d’Euler. La segona rotació correspon a l’apropament de l’eix de simetria cap al terra (Figura 3.2). En realitat, el moviment d’una baldufa és idèntic al moviment del volant del giroscopi!

Fig. 3.2 Rotacions d’Euler d'una baldufa

En el cas d’un objecte sense moviment característic, el més senzill és començar per triar el primer i el tercer eix (fix a la referència i fix a l’objecte, respectivament). El segon es determina d’acord amb els angles constants que es vol que formi amb els altres dos eixos [math]\displaystyle{ (\beta_{\psi\theta}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\beta_{\theta\varphi}) }[/math]. Si es decideix que siguin de [math]\displaystyle{ 90^{\circ} }[/math], el segon eix és la intersecció del pla ortogonal al primer amb el pla ortogonal al tercer.

Vídeo 3.2 Vehicle orientat amb angles d'Euler

⚙️Exemple 3.1

OMPLIR

⚙️

Els angles d’Euler presenten un problema quan el sòlid es troba en una configuració on el 1er i el 3er eix són paral·lels (configuració degenerada): el 2n eix no està unívocament definit perquè els plans perpendiculars als altres dos coincideixen. En el cas del volant del giroscopi i del dau de l’exemple anterior, aquesta situació es produeix quan [math]\displaystyle{ \theta=\pm(\pi/2) }[/math]. En el cas de la baldufa anterior, quan [math]\displaystyle{ \theta=0\pm\pi }[/math].

Una solució per evitar aquesta singularitat és emprar dos sistemes diferents d’angles d’Euler i passar de l’un a l’altre quan la configuració s’apropa a la singularitat.

⚙️Exemple 3.2

OMPLIR

⚙️

---

C1.4 Enllaços habituals entre sòlids

En el context de l’enginyeria mecànica, els sistemes mecànics habituals són sistemes multisòlid: conjunts de sòlids rígids mútuament enllaçats mitjançant articulacions, ròtules, juntes diverses... (Taula 4.1).

	Enllaç de revolució: Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1
	Enllaç cilíndric: Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1, i una translació (desplaçament sense rotació) al llarg de l’eix 1
	Enllaç prismàtic: Permet una translació entre els dos sòlids al llarg de l’eix 1
	Enllaç esfèric (ròtula esfèrica): Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids al voltant dels eixos 1, 2, 3
	Enllaç helicoïdal (enllaç cargolat): Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 3; aquesta rotació provoca un desplaçament al llarg de l’eix 3. La relació entre la rotació i el desplaçament ve donada pel pas de rosca [math]\displaystyle{ e }[/math]

Taula 4.1 Enllaços habituals en els sistemes mecànics

Per causa d’aquests enllaços, l’estat mecànic de cada sòlid (és a dir, la seva configuració a l’espai i el seu moviment) està relacionat amb el dels altres.

⚙️Exemple 4.1

GIROSCOPI

⚙️

⚙️Exemple 4.2

TRICICLE

⚙️