D8. Conservacions

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\Ds}{\textrm{D}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math] Els teoremes vectorials relacionen la variació de dues Magnituds Dinàmiques ( [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math]) que depenen de la geometria de masses i del moviment del sistema (la quantitat de moviment i el moment cinètic) amb la resultant les accions externes [math]\displaystyle{ (\sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}) }[/math] sobre el sistema ( [math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}} }[/math] inclou les interaccions externes i, cas de treballar en referència no galileana, les accions d’inèrcia associades). De manera genèrica, aquests teoremes es poden escriure de la forma següent:

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}. }[/math]

Quan en alguna direcció fixa a la referència R(dfR) alguna component de les accions externes és zero, la component corresponent de la magnitud dinàmica es manté constant: es diu que aquesta component es conserva:[math]\displaystyle{ \left. \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}\right]_\mathrm{dfR}=0 \Rightarrow \left. \overline{\Ms\Ds}\right]_\mathrm{dfR}=\text{constant} }[/math].

Una conservació és una propietat interessant: permet ignorar l’evolució del sistema durant un temps finit i mantenir un coneixement parcial (si no es conserven totes les components de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math]) o total (si la conservació es produeix en les tres direccions de l’espai de R) de l’estat del sistema.

Hi ha dues precaucions a tenir en compte quan es tracta d’invocar conservacions:

• Cal estar segur que la component de les accions externes que és nul·la correspon a una direcció fixa a la referència (un valor nul en una direcció no fixa a R només és indicatiu de valor constant de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] en aquella direcció, no de direcció constant!).
  

• Cal recordar que la conservació es refereix a una magnitud dinàmica i no cinemàtica (en principi). Quan la [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] és la quantitat de moviment [math]\displaystyle{ (\overline{\Ms\Ds}=\Ms\vel{G}{R}) }[/math], en ser proporcional a la velocitat del centre de masses, la component corresponent de [math]\displaystyle{ \vel{G}{R} }[/math] es conserva. Quan la [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] és el moment cinètic d’un únic sòlid referit a un punt d’aquest sòlid [math]\displaystyle{ (\overline{\Ms\Ds}=\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs),\Qs \in \mathrm{S}) }[/math] , com que en general no és proporcional a la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] , no es pot assegurar que la conservació del primer impliqui la constància de la segona.
  

Les conservacions solen ser el resultat de simplificacions en la formulació dels problemes, com per exemple negligir les friccions. En la vida real, en general no es conserva res.

💭 Demostració ➕

Projectem el teorema vectorial en una base que tingui una direcció fixa a la referència (per exemple, la direcció 3):

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R} \quad \Rightarrow \quad \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ms\Ds_1}}{\dot{\Ms\Ds_2}}{\dot{\Ms\Ds_3}}+\left\{\velang{B}{R}\right\}\times \vector{\Ms\Ds_1}{\Ms\Ds_2}{\Ms\Ds_3} }[/math]

Ja que la direcció 3 és fixa a R, la velocitat angular de la base [math]\displaystyle{ \velang{B}{R} }[/math] no pot tenir cap component que no sigui en direcció 3. Per tant:

[math]\displaystyle{ \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ms\Ds_1}}{\dot{\Ms\Ds_2}}{\dot{\Ms\Ds_3}}=\vector{0}{0}{\Omega_3}\times \vector{\Ms\Ds_1}{\Ms\Ds_2}{\Ms\Ds_3}= \vector{\dot{\Ms\Ds_1}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2}{\dot{\Ms\Ds_2}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1}{\dot{\Ms\Ds_3}} }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_3=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_3=\text{CONSTANT!}. }[/math]

En canvi, si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1 }[/math] o [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2 }[/math] són nul·les, les components corresponents de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] ( [math]\displaystyle{ \Ms\Ds_1 }[/math] o [math]\displaystyle{ \Ms\Ds_2 }[/math])no són en principi constants:

[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_1}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_1}=\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_1 \neq \text{constant}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_2}+\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_2}=-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_2 \neq \text{constant} . }[/math]

---

---

D8.1 Exemples

✏️ Exemple D8.1: salt d’una persona al damunt d’una plataforma

---

Una persona de massa M, que es mou amb velocitat [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_0 }[/math] sobre un terra llis [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math], salta sobre una plataforma de massa m que inicialment es troba quieta respecte del terra, i s’hi queda en repòs respecte d’ella. Es tracta d’investigar com evoluciona el moviment d’aquestes dues peces.

Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.

El salt de la persona té lloc al damunt d’un terra llis que no introdueix cap força horitzontal sobre ella ni sobre la plataforma. Per tant, durant el salt i per al SISTEMA (persona + plataforma) i la referència terra:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horitzontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] quantitat de moviment horitzontal respecte del terra CONSTANT!

Abans del salt [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}) }[/math], la quantitat de moviment (respecte del terra) està associada només a la persona: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) }[/math]. Just després del salt [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], ja que la persona està en repòs respecte de la plataforma, totes dues peces es mouen amb la mateixa velocitat respecte del terra: [math]\displaystyle{ \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right]. }[/math].

La conservació de la quantitat de moviment horitzontal entre aquests dos instants permet calcular la velocitat final del conjunt: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) = 0 \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math].

Aquesta velocitat es manté mentre el conjunt llisca al damunt del terra llis, però tan bon punt entra a la zona rugosa [math]\displaystyle{ (\mu \neq 0) }[/math], deixarà de fer-ho: la força de fricció del terra sobre la plataforma, horitzontal i oposada a [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts }[/math](plataforma), la farà disminuir. Ja no es conserva la quantitat de moviment:

[math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_\mathrm{terra \rightarrow sist}=(\leftarrow \Fs_\mathrm{fricció})=(\Ms+\ms)\acc{G}{T}. }[/math]

La quantitat de moviment horitzontal de la persona i la de la plataforma (per separat) no es conserven durant el salt per causa de les forces d’enllaç horitzontals que apareixen entre elles quan comença el contacte persona-plataforma.

ANIMACIONS

✏️ Exemple D8.2: aturada d’un bloc sobre un carretó

---

Una persona es troba al damunt d’un carretó, ambdós en repòs inicialment respecte del terra. La massa del conjunt (persona + carretó) és M, i les rodes del carretó són de massa negligible. El bloc, de massa m, té inicialment una velocitat [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] respecte del terra dirigida cap a la persona, que l’atura respecte de la plataforma. Es negligeix la fricció associada a les articulacions entre rodes i carretó Es tracta d’investigar com evoluciona el moviment del sistema.

Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.

Les rodes son Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAEs) (secció D3.5) i no poden transmetre forces horitzontals (veure exemple D3.10). Per tant, per al SISTEMA (persona + carretó amb rodes + bloc) i la referència terra:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horitzontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] quantitat de moviment(QM) horitzontal respecte del terra CONSTANT!

Abans de l’aturada, la QM respecte del terra està associada només al bloc: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) }[/math]. Just després de l’aturada [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], ja que persona i bloc queden en repòs respecte del carretó, tot el sistema es mou amb la mateixa velocitat respecte del terra: [math]\displaystyle{ \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right]. }[/math]. La conservació de QM horitzontal entre aquests dos instants permet calcular la velocitat final del conjunt: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = 0 \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math].

Si es considera el bloc tot sol, per exemple, la seva QM respecte del terra no es manté constant per causa de la força de fricció del carretó sobre el bloc, que tendeix a aturar-lo. Per a un instant intermedi entre l’inicial i el final [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}\lt \ts\lt \ts_\mathrm{final}) }[/math] en el qual la velocitat del bloc respecte del terra s’ha reduït fins a [math]\displaystyle{ \vs'(\lt \vs_0) }[/math], la velocitat del conjunt (persona + carretó) es pot calcular invocant la conservació de la QM horitzontal per al sistema (persona + carretó amb rodes + bloc):

[math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = 0 \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math]

ANIMACIONS