D7. Exemples de dinàmica 3D

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\mat}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\dth}{\dot{\theta}} \newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}} \newcommand{\sth}{\text{sin}\theta} \newcommand{\cth}{\text{cos}\theta} \newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}} }[/math]

EN CONSTRUCCIÓ

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la secció D6.4 s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is} }[/math]

Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs [math]\displaystyle{ (\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math], roman en repòs [math]\displaystyle{ (\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math]. Per tant, el valor de els coordenades en equilibri ve donat per:

L’equació que defineix les [math]\displaystyle{ \qs_{\text{j,eq}} }[/math] pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ (\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js, }[/math] amb [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js \lt \lt 1 }[/math], i per tant [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js^2 \approx 0 }[/math]) les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

• si apareixen polinomis de grau superior a 1:

[math]\displaystyle{ \qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3 }[/math]

• si es tracta d’una coordenada angular [math]\displaystyle{ (\qs_\js=\theta) }[/math] i apareixen funcions sinus i cosinus:

FALTA

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0 }[/math], on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon = 0 }[/math]. La solució general és: [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math], amb [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt{\Bs/\As} }[/math]. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 }[/math].

💭 Demostració ➕

La solució [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) }[/math] de l’equació [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon = 0 }[/math] ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

[math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math]

Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

[math]\displaystyle{ -\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}} }[/math]

El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math] la freqüència angular de la qual [math]\displaystyle{ (\omega) }[/math] depèn de paràmetres del sistema.

Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials ([math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi) }[/math]), i per tant, no són intrínseques al sistema.

• condicions inicials només de posició: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0) = 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 90\deg\\ \as = \varepsilon_0 \end{aligned}\right. }[/math]

• condicions inicials només de velocitat: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0) = 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 0\deg\\ \as = \dot\varepsilon_0/\omega \end{aligned}\right. }[/math]

• condicions inicials de posició i velocitat: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\ \as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0^2/\omega)^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable. L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon }[/math]

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \gt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon\lt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. És un comportament ESTABLE.

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \lt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. És un comportament INESTABLE.

D7.2 Exemples generals

✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria

---

FOTO

La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant.

Descripció cinemàtica:

Una altra opció per calcular [math]\displaystyle{ \vel{G}{T} }[/math] és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth) }[/math]

Diagrama general d’interaccions

És un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] forçat, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

equacions: 2 sòlids [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs} }[/math]

incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

Full de ruta per a l’equació del moviment

Només la placa té un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

FOTOx2

Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és immediata tant si sempre la base B com la B’.

Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

Una bona proposta és:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}} }[/math]

TMC a [math]\displaystyle{ \Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] placa: [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth] }[/math]

Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\ \I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2 \end{aligned}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\ \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0} }[/math]

Si es substitueixen [math]\displaystyle{ \I{gran + petit} }[/math] i [math]\displaystyle{ \I{petit} - \I{gran} }[/math] pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

[math]\displaystyle{ \boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0} }[/math]

Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\ \frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si [math]\displaystyle{ \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1 }[/math], i això es compleix només si la velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] està per sobre del valor crític [math]\displaystyle{ \Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}} }[/math].

Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

L’anàlisi analítica per a petites amplituds [math]\displaystyle{ (\varepsilon) }[/math] al voltant d’una configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} }[/math] es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques (secció D7.1):

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \varepsilon^2\approx 0 \end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]

Per a les petites amplituds al voltant de [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math], l’equació del moviment és [math]\displaystyle{ \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0 }[/math].

Si les condicions inicials són [math]\displaystyle{ (\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0) }[/math], l’evolució de [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] ve donada per: [math]\displaystyle{ \ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon }[/math].

• Per a [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \gt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] augmenta. És una configuració INESTABLE i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

• Per a [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \lt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \lt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] disminueix. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració ESTABLE. La freqüència angular [rad/s] és [math]\displaystyle{ \omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)} }[/math].

NOTA: si les condicions inicials són [math]\displaystyle{ \theta(\ts = 0) = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot\theta(\ts = 0) = 0 }[/math], el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math].

ANIMACIO

Comentari addicional

Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

[math]\displaystyle{ (\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0 }[/math]

Si es linealitza al voltant de la configuració [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ (\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0 }[/math]

Per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], el coeficient [math]\displaystyle{ \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right] }[/math] és positiu, i per tant la configuració [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] és sempre ESTABLE.

ANIMACIO

Full de ruta per al parell motor

Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:

En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}} }[/math]

El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)} }[/math]

✏️ Exemple D7.2: barres giratòries

---

El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació [math]\displaystyle{ \sth }[/math] d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] pot ser simplement [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] i que la rotació [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] es mantingui constant).

Diagrama general d’interaccions

És un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] forçat, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

equacions: 2 sòlids [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12 }[/math] eqs.

incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

Full de ruta per a l’equació del moviment

La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de [math]\displaystyle{ çdth }[/math]. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:

Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os} }[/math]

TMC a [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] peça [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]

Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], és la base que gira amb [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecte del terra.

L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de Steiner (secció D5.4) per passar a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + \ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + 5\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}\equiv \mat{\I{petit}}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit} + \I{gran}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{petit}}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit} + \I{gran}}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} }[/math]

El vector moment cinètic [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] i escombra una superfície cònica. La derivada de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] prové d’aquest canvi de direcció:

[math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

La derivada també es pot fer de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0} }[/math]

L’únic moment respecte del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

[math]\displaystyle{ \sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math].

Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

[math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️ }[/math]

Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de la peça respecte de la forquilla però mantenint [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math], que és la que genera [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0 }[/math]. Si [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] fos estrictament vertical (paral·lel a [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math]), llavors [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0 }[/math], i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment [math]\displaystyle{ \Ms_1 = \Ms_2 = 0 }[/math]. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una direcció principal d’inèrcia per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math], mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

Es pot aconseguir la rotació vertical constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és el mateix.

Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui [math]\displaystyle{ \dth }[/math]). Pel principi d’acció i reacció, la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

ALTERNATIVA

FOTO

El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math], que es pot trobar amb el [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]} }[/math]
:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vec{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vec{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth }[/math].

L’equació del moviment és:

[math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0 }[/math]

Les configuracions d’equilibri [math]\displaystyle{ (\ddth_{eq} = 0) }[/math] són les solucions de l’equació trascendent:

[math]\displaystyle{ \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq} }[/math], i està clar que, si [math]\displaystyle{ \Omega_0\neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] no és una d’elles.

Les condicions inicials són: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2\gt 0 }[/math].

El fet que [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indica que té el mateix sentit que la desviació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules

---

El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació [math]\displaystyle{ \dth }[/math] d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] pot ser simplement [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] i que la rotació [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] es mantingui constant.

Diagrama general d’interaccions

És un sistema del mateix tipus que el de l’exemple D7.2: té dos GL ([math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] forçat, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

Full de ruta per a l’equació del moviment

La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’exemple D7.2, el full de ruta adequat és:

Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]

TMC a [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] peça [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]

El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

<<< D6. Exemples de dinàmica 2D

EN CONSTRUCCIÓ >>>