D4. Teoremes vectorials

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}} }[/math]

Els Teoremes Vectorials són una eina per resoldre la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (segona llei de Newton) i del principi d’acció i reacció (tercera llei de Newton).

En aquest curs, es presenta només la versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.

En començar un problema, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en tres grups:

• Evolució temporal dels graus de llibertat lliures (no controlats per actuadors) del sistema. Les equacions que les regeixen s’anomenen equacions del moviment. Si els GL lliures es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades ([math]\displaystyle{ \dot{q}_i }[/math], amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). El seu aspecte general és:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}) }[/math]

La dependència en les segones derivades temporals [math]\displaystyle{ (\ddot{q}_j) }[/math] és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats [math]\displaystyle{ (q_i,\dot{q}_j) }[/math] pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).

• Accions dels actuadors: són les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir unes evolucions prefixades dels GL que controlen. Com s’ha comentat a la secció D2.6, en alguns casos es pot considerar que les accions dels actuadors són dades, i llavors les incògnites associades són les evolucions dels GL que controlen.

• Forces i moments d’enllaç: el nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (enllaços directes, enllaços indirectes). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).

D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes

Considerem un sistema de partícules de matèria constant (Figura D4.1). El Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] del sistema. Si la referència que es considera és galileana:

[math]\displaystyle{ \vec{F}_{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math], on [math]\displaystyle{ \vec{F}_{\rightarrow\Ps} }[/math] és la força resultant d’interacció sobre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].

Figura D4.1 Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant

Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): [math]\displaystyle{ \vec{F}_{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\vec{F}_{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math]. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:

[math]\displaystyle{ \F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps m_P\acc{P}{RGal} }[/math]

El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} }[/math]. El terme de la dreta es pot reescriure com a [math]\displaystyle{ M\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{M}\acc{P}{RGal}\right] }[/math], on M és la massa total del sistema [math]\displaystyle{ \left(M\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right) }[/math]. El terme [math]\displaystyle{ \left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{M}\acc{P}{RGal}\right] }[/math] és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat centre de masses (o centre d’inèrcia) del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] queda descrita per les equacions (Figura D4.2):

[math]\displaystyle{ \vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps_\is}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R} }[/math]

Figura D4.2 Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant

En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

[math]\displaystyle{ \vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right) }[/math]

Finalment, el TQM s’escriu com a:

[math]\displaystyle{ \sum\F{ext}=M\acc{P}{RGal} }[/math]

Aquesta equació és molt propera a la segona llei de Newton: el centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:

• la massa del sistema no està localitzada a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] (fins i tot, pot ser que [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);

• les forces externes no estan aplicades a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] en general.

El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de l’estat mecànic inicial i de les interaccions externes, de la quantitat de moviment del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a [math]\displaystyle{ \sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=M\vel{G}{R} }[/math]):

[math]\displaystyle{ \sum\F{ext}=M\acc{G}{RGal}=\dert{M\vel{G}{RGal}}{RGal} }[/math]

La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la secció D5.1. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.

D4.2 Exemples d’aplicació del TQM

✏️ EXEMPLE D4.1: càlcul d’una força d’enllaç

---

Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (exemple D3.4). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.

Per tal que la força d’enllaç [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: [math]\displaystyle{ (\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)] }[/math].

Aquesta equació conté dues incògnites: [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] i [math]\displaystyle{ \as_\Ts(\Gs_\Ss) }[/math]. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:

[math]\displaystyle{ \Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2} }[/math]

✏️ EXEMPLE D4.2: moviment inicial d’un sistema

---

Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió [math]\displaystyle{ \Fs_0=\ms\gs }[/math] i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s.

Es tracta de calcular l’acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: [math]\displaystyle{ \F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3/ms)\acc{G}{T} }[/math].

Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.

El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:

[math]\displaystyle{ |\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs }[/math]

[math]\displaystyle{ |\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs }[/math]

Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa [math]\displaystyle{ 2\ms }[/math] (per tant, [math]\displaystyle{ \a_\Ts(2\ms) = 0 }[/math]), però no en el del bloc de massa m:

L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:

[math]\displaystyle{ }[/math] Finalment: [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2\ms}{T}+\ms\acc{\ms}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs }[/math].

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

---

<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids

D5. Tensor d’inèrcia >>>