D1. Introducció a la dinàmica

S'arriba a la noció de temps com a successió ordenada d'instants entenent per instants allò que tenen en comú dos esdeveniments simultanis. Un observador veu esdeveniments, com ara l'esdeveniment A consistent en la col·lisió de les partícules [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ P_2 }[/math] i l'esdeveniment B consistent en la col·lisió de les partícules [math]\displaystyle{ P_2 }[/math] i [math]\displaystyle{ P_4 }[/math]. Sobre aquests dos esdeveniments l'observador estableix sense ambigüitat:

En un [math]\displaystyle{ E^3 }[/math], per posicionar un punt P cal un origen O i un triedre [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_1} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_2} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_3} }[/math] , Fig.1.2.1, que es el que en terminologia matemàtica s'anomena una referència, però que en aquest text s'anomena referencial per tal de reservar el nom de referència per a una altra entitat de més interès en la mecànica. El vector [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{OP}} }[/math], que pertany a l'espai vectorial associat a l'espai puntual, situa P a partir de O, i en un context matemàtic les seves components es considerarien en la base [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_1} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_2} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf {\overline e_3} }[/math].

Fig.1.2.2 Vector Posició

[math]\displaystyle{ \quad \mathbf{\overline{OP}}=\sum_{i=1}^3a_i\mathbf {\overline e_1} \qquad\qquad (1) }[/math]

Si la base és ortogonal.

[math]\displaystyle{ \quad a_i=\mathbf{\overline{OP}}·\mathbf {\overline e_1} \qquad\qquad (2) }[/math]

En l'estudi de la mecànica, la base que es fa servir per projectar els vectors no sol coincidir amb el triedre definidor del referencial.

⚙️Exemple 1.2.1

---

El suport del focus esquematitzat a la figura, que permet orientar el feix de llum en qualsevol direcció, té dues articulacions que materialitzen els dos primers angles d'Euler. La rotació [math]\displaystyle{ \psi }[/math] al voltant de l'eix vertical correspon a un primer angle d'Euler -en produirse al voltant d'un eix fix-, i la rotació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] al voltant de l'eix horitzontal orientat per mitjà de l'angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] correspon a un segon angle d'Euler. .

Resolució

La velocitat angular de rotació [math]\displaystyle{ \overline\Omega^F_R }[/math] del focus és la mateixa que la de la base B" d'eixos 1" ,2", 3".

[math]\displaystyle{ \overline\Omega^{focus}_R = \begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\0 \\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\\dot{\psi}sin\theta\\\dot{\psi}cos\theta\end{Bmatrix}_{B''} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline\alpha^{focus}_R=\begin{Bmatrix}\frac{d}{dt}\left.\begin{matrix} \overline\Omega^{focus}_R\end{matrix}\right]_T\end{Bmatrix}_{B'} = \frac{d}{dt}\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{focus}_R \end{Bmatrix}_{B'}+\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{B'}_R\end{Bmatrix}_{B'}\times\begin{Bmatrix}\overline\Omega^{focus}_R\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\ddot{\theta} \\0 \\\ddot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}0 \\0 \\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}\times\begin{Bmatrix}\dot{\theta} \\0\\\dot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'}= \begin{Bmatrix}\ddot{\theta} \\\dot{\theta}\dot{\psi} \\\ddot{\psi}\end{Bmatrix}_{B'} }[/math]

⚙️

---

1.3 Secció

Una altra secció.

☘️ Demostració 1.2.1

Aquí demostraríem que la terra és plana

[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{OP}}=\sum_{i=1}^3a_i\mathbf {\overline e_1}\qquad\qquad (1) }[/math]

el veloz muciélago hindú comía feliz cardillo y kiwi 🥝