D3. Interaccions entre sòlids rígids

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math] Com s’ha vist a la unitat D2, les interaccions entre parelles de partícules [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] queden descrites per una única força de direcció [math]\displaystyle{ \overline{\Ps \Qs} }[/math] . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un torsor resultant.

Aquesta unitat introdueix el concepte de torsor associat a un sistema de forces, i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

D3.1 Torsor associat a un sistema de forces

La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional.

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única força resultant. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el moment (o parell) resultant respecte d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]. El conjunt d’aquests dos vectors és el torsor del sistema de forces en el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (Figura D3.1).

Figura D3.1 Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La Figura D3.2 presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: (a) lliure de forces, (b) forces paral·leles a la barra, (c) forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers (a, b), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer (c), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre (c) i (a, b).

Figura D3.2 Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn (Figura D3.3).