D2. Forces d’interacció entre partícules

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math] La segona llei de Newton es pot fer servir per predir l’acceleració d’una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] quan es coneixen totes les forces d’interacció que la resta de partícules ([math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math]) exerceixen sobre ella ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math]), o per calcular les que calen per garantir un moviment predeterminat ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\Rs\mathbf{P}}(\ts) }[/math]).

Aquesta secció tracta de les forces d’interacció entre partícules, tant formulables com no formulables. Formular una interacció és trobar una expressió matemàtica que permeti calcular el seu valor a cada instant a partir del coneixement de l’estat mecànic de les partícules i de constants associades al tipus de fenomen d’interacció. Quan una força no és formulable, és una incògnita del problema dinàmic.

D2.1 Dependència cinemàtica de les forces d’interacció

D’acord amb el Principi de la Determinació, a cada instant de temps t les forces d’interacció entre dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] només poden dependre de la posició i la velocitat de les partícules en aquest instant de temps:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{p} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{P}, \mathrm{t})=\overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}}\left(\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{P}, \mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{Q}, \mathrm{t})\right)=-\mathrm{m}_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{Q}, \mathrm{t}) . }[/math]

El Principi de Relativitat de Galileu (equivalència de les referències galileanes per a laformulació de la dinàmica) imposa restriccions al tipus de dependència de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] en posicions i velocitats:

• La homogeneitat de l’espai en referències galileanes impedeix que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui en les posicions [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}} }[/math] per separat, però permet la dependència en la seva diferència [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P}\Qs}(=\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}-\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}) }[/math]
  

La isotropia de l'espai en referències galileanes impedeix que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui de les velocitats de [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] per separat (doncs [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal1 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) \neq \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal2 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) }[/math]), però permet que depengui de la seva diferència: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q}) \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}} }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall \mathrm{Gal}} }[/math] és el mateix independentment de quina sigui la referència Gal (per això s'ha posat el subíndex ' [math]\displaystyle{ \forall }[/math]Gal', que vol dir “per a tota referència Gal”). En general, [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\text {Gal }} }[/math] té una component parallela a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math], i una de perpendicular a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math] : [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}}=\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\| \overline{\mathbf{P Q}}}+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\perp \overline{\mathbf{P Q}}} \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}} }[/math]. Però la isotropia de l'espai tampoc no permet que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui d'una direcció que no sigui [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math](com s'ha vist quan s'ha presentat la Tercera llei de Newton). Per tant, s'accepta la dependència en el vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho }[/math] però només en el valor de [math]\displaystyle{ \left|\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}}\right| }[/math](tot i que usualment aquesta última dependència no apareix).

💭 Demostració ➕

Considerem dues referències galileanes qualssevol RGal1 i RGal2. La velocitat de les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] respecte de RGal2 es pot expressar a partir de la que tenen a la referència RGal1 per mitjà d'una composició de velocitats. Si AB=RGal2 i REL=RGal1:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right]=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right] }[/math]

En ser totes dues referències galileanes, el seu moviment relatiu és de translació [math]\displaystyle{ \left(\bar{\Omega}_{\mathrm{RGal1}}^{\mathrm{RGal2}}=\overline{0}\right) }[/math], i per tant [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 }) . }[/math]

Finalment: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q}) }[/math].

La Figura D2.1 resumeix totes aquestes restriccions.

Figura D2.1 Dependències acceptables de les forces d’interacció en posicions i velocitats

D2.2 Classificació de les forces d’interacció

Si a l’univers només hi hagués partícules sense dimensions i sense elements de connexió entre elles, la llista d’interaccions possibles seria molt reduïda: en l’àmbit mecànic, només es podria parlar de la força d’atracció gravitatòria, que es produeix “a distància” ([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]). Parlar d’interacció de contacte entre partícules ([math]\displaystyle{ \rho = 0 }[/math]) no és possible: si [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] “es posen en contacte”, en estar la ubicació de cadascuna d’elles definida per un punt, no queda determinada la direcció de la interacció. Per altra banda, dues partícules no poden ocupar un mateix punt de l’espai.

Estrictament parlant, doncs, només es pot parlar d’interacció de contacte entre una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i una partícula [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que pertany a un sòlid rígid [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math] , o entre partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] que totes dues pertanyen a sòlids rígids [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math] . Aquestes interaccions es tracten a la unitat D3.

Quan [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] interaccionen a distància([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]), es parla d’interacció directa. Si no estan en contacte ([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]) però entre elles existeix un element que fa d’intermediari, es parla d’interacció indirecta per mitjà de l’element. En dinàmica, es consideren elements intermedis (EI) tots els que són de massa negligible comparada amb la de les partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] (si no formen part de cap sòlid rígid) o amb la dels sòlids als quals pertanyen.

Les forces que es transmeten entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] per mitjà d’aquests elements verifiquen el Principi d’Acció-Reacció: tenen el mateix valor, de direcció [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{PQ}} }[/math] però de sentits oposats (Figura D2.2).

Figura D2.2 Força que es transmet per mitjà d’un element intermedi entre dues partícules [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math]

Els elements intermedis es tracten com una caixa negra: les forces que introdueixen entre els seus extrems provenen de deformacions i de fenòmens que són fora de l’abast del model de sòlid rígid que es considera en aquest curs (per exemple, fenòmens lligats a la dinàmica de fluids, termodinàmics o electromagnètics), i per tant no s’estudia el que succeeix al seu interior sinó que es busca només una descripció fenomenològica de les seves conseqüències en les partícules entre les que actuen.

En aquest curs, es consideren quatre elements intermedis entre partícules:

• molles: les forces que introdueixen entre dues partícules provenen de la seva deformació; aquestes forces poden ser d’atracció o de repulsió (en aquest cas, poden estar condicionades al guiatge de l’element per tal que no es dobleguin lateralment), i permeten moviments relatius entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] amb qualsevol signe.
  

• amortidors: introdueixen forces, associades sovint a la viscositat de fluids, que s’oposen al moviment relatiu entre [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbf{Q} }[/math] ; en absència de moviment relatiu inicial ([math]\displaystyle{ \rho_\mathrm{inic}=0 }[/math]) , aquests elements no introdueixen cap força.
  

• accionaments lineals: el seu funcionament es basa en fenòmens molt diversos, segons que es tracti d’accionaments hidràulics, pneumàtics, elèctrics o magnètics; exerceixen forces que poden ser predeterminades (és a dir, que es coneixen al llarg del temps: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{acc.lin}(\ts) }[/math] és una dada del problema) o les adequades per controlar moviments relatius predeterminats [math]\displaystyle{ \rho(\ts) }[/math], tant d’apropament com de separació;
  

• fils inextensibles: impedeixen que les partícules s’allunyin (impedeixen [math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math] )però no que s’apropin (permeten [math]\displaystyle{ \rho \lt 0 }[/math]). En tractar-se d’un element intermedi que prohibeix un moviment, la força que introdueix s’anomena força de restricció o d’enllaç.
  

La Figura D2.3 classifica les interaccions entre partícules que es consideren en aquest curs, segons que siguin directes o indirectes, formulables o no formulables.

Figura D2.3 Classificació d’interaccions entre dues partícules.

D2.3 Atracció gravitatòria

La força d’interacció gravitatòria (llei de gravitació universal) va ser formulada per Newton. És una força d’atracció, i és inversament proporcional al quadrat de la distància entre les partícules (Figura D2.4). Es tracta d’una formulació empírica: està basada en observacions astronòmiques acumulades durant molts anys.

Figura D2.4 Formulació de la força d’atracció gravitatòria.