D2. Forces d’interacció entre partícules

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math] La segona llei de Newton es pot fer servir per predir l’acceleració d’una partícula P quan es coneixen totes les forces d’interacció que la resta de partícules (Q) exerceixen sobre ella ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math]), o per calcular les que calen per garantir un moviment predeterminat ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\Rs\mathbf{P}}(\ts) }[/math]).

Aquesta secció tracta de les forces d’interacció entre partícules, tant formulables com no formulables. Formular una interacció és trobar una expressió matemàtica que permeti calcular el seu valor a cada instant a partir del coneixement de l’estat mecànic de les partícules i de constants associades al tipus de fenomen d’interacció. Quan una força no és formulable, és una incògnita del problema dinàmic.

D2.1 Dependència cinemàtica de les forces d’interacció

D’acord amb el Principi de la Determinació, a cada instant de temps t les forces d’interacció entre dues partícules P i Q només poden dependre de la posició i la velocitat de les partícules en aquest instant de temps:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{p} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{P}, \mathrm{t})=\overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}}\left(\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{P}, \mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{Q}, \mathrm{t})\right)=-\mathrm{m}_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{Q}, \mathrm{t}) . }[/math]

El Principi de Relativitat de Galileu (equivalència de les referències galileanes per a laformulació de la dinàmica) imposa restriccions al tipus de dependència de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] en posicions i velocitats:

• La homogeneitat de l’espai en referències galileanes impedeix que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui en les posicions [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}} }[/math] per separat, però permet la dependència en la seva diferència [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P}\Qs}(=\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}-\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}) }[/math]
  

La isotropia de l'espai en referències galileanes impedeix que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui de les velocitats de P i Q per separat (doncs [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal1 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) \neq \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal2 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) }[/math]), però permet que depengui de la seva diferència: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q}) \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}} }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall \mathrm{Gal}} }[/math] és el mateix independentment de quina sigui la referència Gal (per això s'ha posat el subíndex ' [math]\displaystyle{ \forall }[/math]Gal', que vol dir ``per a tota referència Gal´´). En general, [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\text {Gal }} }[/math] té una component parallela a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math], i una de perpendicular a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math] : [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}}=\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\| \overline{\mathbf{P Q}}}+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\perp \overline{\mathbf{P Q}}} \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}} }[/math]. Però la isotropia de l'espai tampoc no permet que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] depengui d'una direcció que no sigui [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math](com s'ha vist quan s'ha presentat la Tercera llei de Newton). Per tant, s'accepta la dependència en el vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho }[/math] però només en el valor de [math]\displaystyle{ \left|\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}}\right| }[/math](tot i que usualment aquesta última dependència no apareix).

Demostració

Considerem dues referències galileanes qualssevol RGal1 i RGal2. La velocitat de les partícules P i Q respecte de RGal2 es pot expressar a partir de la que tenen a la referència RGal1 per mitjà d'una composició de velocitats (secció C3.1). Si AB=RGal2 i REL=RGal1:

[math]\displaystyle{ & \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right]= \\ & =\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right] }[/math]

En ser totes dues referències galileanes, el seu moviment relatiu és de translació [math]\displaystyle{ \left(\bar{\Omega}_{\mathrm{kGal1}}^{\mathrm{RGal2}}=\overline{0}\right) }[/math], i per tant [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 }) . }[/math]

Finalment: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q}) }[/math].