C3. Composició de moviments

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{REL}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} }[/math]

En moltes ocasions, el moviment d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que sembla complicat respecte d’una referència R (no és ni circular ni rectilini) es pot intuir quan respecte d’una altra referència R’ és senzill (rectilini, circular o nul) i, a més, el de R’ respecte de R també (per exemple, és un moviment de translació o de rotació simple). Combinar el moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R’ i el de R’ respecte de R per obtenir el moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R és fer una composició de moviments (Figura C3.1).

Figura C3.1 Combinació de dos moviments senzills uniformes per descriure’n un de més complicat

A l’exemple de la Figura C3.2, la composició de moviments es pot fer servir per determinar el moviment de la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte al vehicle (R’), a partir del moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte al terra (R), que és senzill.

Figura C3.2 El moviment de Q respecte a R’ (referència solidària al xassís del vehicle) es pot obtenir a partir del moviment respecte de R.

Tradicionalment, les referències R i R’ entre les que s’estableix la composició s’anomenen AB (absoluta) i REL (relativa). A partir d’ara, es faran servir aquests noms.

Les relacions entre [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , i entre [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] i [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] que es presenten en aquesta unitat són sempre vàlides, independentment del fet que el moviments de Q respecte a les referències REL o AB i el moviment entre AB i REL siguin senzills o no. Quan són senzills, la composició de moviments és una alternativa algèbrica (no implica derivades temporals) per al càlcul de velocitats i acceleracions (Figura C3.3). Quan no ho són, pot ser adequat recórrer a altres mètodes (com la derivació).

Figura C3.3 Formulació general de la composició de moviments. Els noms de les referències són intercanviables: la referència AB pot ser aquella en la que es veu el moviment senzill, i la referència REL, aquella en la que es veu complicat.

---

---

C3.1 Composició de velocitats

A cada instant, l’equació que relaciona la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dues referències AB i REL diferents és:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

El segon terme del costat dret és la velocitat d’arrossegament, i correspon a la velocitat que tindria [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en aquest instant si fos un punt fix a REL (a la posició que té en aquest instant) i s’avalués la seva velocitat des de la referència AB:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \overline{\textbf{v}}_{\textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]

---

---

C3.2 Composició d'acceleracions

L’equació que relaciona l’acceleració d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dues referències AB i REL diferents és:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor} }[/math]

on [math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar} }[/math] és l’acceleració d’arrossegament i [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor} }[/math] és l’acceleració de Coriolis.

L’acceleració d’arrossegament correspon a l’acceleració que tindria [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en aquest instant si fos un punt fix a REL (a la posició que té en aquest instant) i s’avalués la seva acceleració des de la referència AB: [math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\acc{Q}{AB}(\Qs\in REL) }[/math].

L’acceleració de Coriolis és [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL} }[/math] no té una interpretació física senzilla. La velocitat [math]\displaystyle{ \velang{REL}{AB} }[/math] es pot anomenar la velocitat angular d’arrossegament [math]\displaystyle{ (\velang{REL}{AB}\equiv\velang{ }{ar}) }[/math].

Demostració

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\dert{\vel{Q}{AB}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB}+\dert{\vel{Q}{ar}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB} + \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB}+\dert{(\velang{REL}{AB}\times\OQrelvec)}{AB} }[/math]

El terme [math]\displaystyle{ \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB} }[/math] s’identifica immediatament com a [math]\displaystyle{ \acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB} }[/math]. Fent servir la relació que hi ha entre la derivada temporal de un mateix vector en dues referències diferents, els altres termes es poden reescriure com a:

[math]\displaystyle{ \dert{\vel{Q}{REL}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{REL}+\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL}=\acc{Q}{REL}+\velang{ }{ar}\times\vel{Q}{REL}, \dert{(\velang{REL}{AB}\times\OQrelvec)}{AB}=\dert{(\velang{ }{ar}\times\OQrelvec)}{AB}= }[/math] [math]\displaystyle{ \dert{\velang{ }{ar}}{AB}\times\OQrelvec+\velang{ }{ar}\times\dert{\OQrelvec}{AB}= }[/math] [math]\displaystyle{ \accang{}{ar}\times\OQrelvec+\velang{}{ar}\times\left(\dert{\OQrelvec}{REL}+\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)= }[/math] [math]\displaystyle{ \accang{}{ar}\times\OQrelvec+\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}+\velang{}{ar}\times(\velang{}{ar}\times\OQrelvec) }[/math]

Agrupant tots els termes i reordenant-los, s’obté:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}+\velang{}{ar}\times(\velang{}{ar}\times\OQrelvec)+\acc{}{ar}\times\OQrelvec+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}. }[/math] \\

Els tres termes que contenen el punt [math]\displaystyle{ \Orel }[/math] corresponen a l’acceleració d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]: si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a REL, [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{v}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{a}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math]. Introduint això a l’expressió anterior:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\overline{\textbf{a}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}+\velang{}{ar}\times(\velang{}{ar}\times\OQrelvec)+\acc{}{ar}\times\OQrelvec. }[/math]

Finalment:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}\equiv\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor}. }[/math]

✏️ EXEMPLE C3-2.1: roda sobre suport giratori

---

Per al sistema de l’exemple C3-1.2, el moviment d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és nul. Per tant: [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{Cor}=\acc{Q}{REL}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL} }[/math] Si es considera que [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] és constant, el moviment relatiu de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (que és circular) només té component normal d’acceleració. Per tant:

✏️ EXEMPLE C3-2.3: sínia

---

Suposem que la velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] de l’anella de la sínia de l’exemple C3-1.4 és constant. Llavors, l’acceleració del moviment d’arrossegament només té component normal. Per altra banda, ja que la cabina no gira respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\Omega_{ar}=\Omega_{R}^{cabina}=0\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=\vec{0} }[/math]. Així:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL}=\acc{Q}{AB}-\acc{Q}{ar}=-(\rightarrow\textrm{r}\Omega_0^2)=\leftarrow\textrm{r}\Omega_0^2 }[/math]

---

---

C3.3 Composició de moviments versus derivació temporal

Com s’ha comentat anteriorment, l’avantatge principal de la composició de moviments és que es basa en una operació instantània entre vectors (tot i que el resultat que s’obté pot ser vàlid per a qualsevol instant de temps si la configuració en la que es realitza la composició és genèrica). Si, a més, el moviment del punt respecte a una de les dues referències (AB o REL) és senzill i el moviment entre les dues referències també ho és, la composició de moviments és un mètode més intuïtiu i directe que la derivació temporal. En qualsevol cas, a l’hora de fer un càlcul cinemàtic, cal avaluar quin és el mètode més ràpid i segur per arribar al resultat. Això pot portar de vegades a emprar la composició per al càlcul de velocitats i la derivació per al d’acceleracions (sempre que l’expressió de la velocitat que es pretengui derivar sigui genèrica, és a dir, vàlida per a qualsevol instant de temps).

✏️ EXEMPLE C3-3.1: partícula dins de guia rectilínia giratòria

---

La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou dins d’una guia rectilínia que gira respecte del terra amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math].

FALTA FOTO

Si es pren la guia com a referència REL i el terra com a AB, la composició de moviments dóna lloc a la velocitat i l’acceleració següents:

Ja que la velocitat que s’ha obtingut és per a una posició general de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] (la coordenada r no té un valor numèric concret), aquesta velocitat és vàlida per a qualsevol instant de temps. Per tant, es pot derivar per obtenir l’acceleració:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\dert{\vel{Q}{AB}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB}+\dert{\vel{Q}{ar}}{AB} }[/math]

El resultat és el mateix que el que s’ha trobat per composició d’acceleracions.

✏️ EXEMPLE C3-3.1: partícula dins de guia rectilínia giratòria

---

En la configuració particular del pèndol d’Euler que es mostra, si es pren el bloc com a referència REL i el terra com a AB, el moviment relatiu de l’extrem del pèndol [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és circular de radi L (longitud del pèndol) i centre de curvatura situat a l’articulació entre pèndol i bloc. El moviment d’arrossegament és rectilini ja que el bloc es trasllada respecte del terra [math]\displaystyle{ (\Omega_{AB}^{REL}=\Omega_{ar}=0) }[/math]. La composició de moviments dóna lloc a la velocitat i l’acceleració següents:

L’obtenció de l’acceleració per derivació de la velocitat és arriscada. En tenir la velocitat particularitzada a la configuració vertical del pèndol, es pot pensar erròniament que la velocitat no canvia de direcció (que és sempre paral·lela al terra) o que ho fa igual que el pèndol (amb ritme de canvi d’orientació [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math]). Això donaria els resultats erronis següents:

Si es raona adequadament, la derivació geomètrica pot conduir al resultat correcte. Cal tenir present que una part de la velocitat (la que correspon al moviment relatiu) canvia d’orientació a ritme [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math], mentre que l’altra (la del moviment d’arrossegament) és sempre horitzontal.

La derivació analítica és més enganyosa. Si es projecta la velocitat en una base on un dels eixos és paral·lel al pèndol en aquest instant, no queda clar si [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0} }[/math] o bé [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\odot\dot{\psi} }[/math] (que correspon exactament als dos errors que condueixen a la figura anterior).

© Tots els drets reservats als autors

---

---

<<< C2. Moviment d'un sistema mecànic

C4. Cinemàtica del sòlid rígid >>>