C3. Composició de moviments

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} }[/math]

En moltes ocasions, el moviment d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que sembla complicat respecte d’una referència R (no és ni circular ni rectilini) es pot intuir quan respecte d’una altra referència R’ és senzill (rectilini, circular o nul) i, a més, el de R’ respecte de R també (per exemple, és un moviment de translació o de rotació simple). Combinar el moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R’ i el de R’ respecte de R per obtenir el moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R és fer una composició de moviments (Figura C3.1).

Figura C3.1 Combinació de dos moviments senzills uniformes per descriure’n un de més complicat

A l’exemple de la Figura C3.2, la composició de moviments es pot fer servir per determinar el moviment de la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte al vehicle (R’), a partir del moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte al terra (R), que és senzill.

Figura C3.2 El moviment de Q respecte a R’ (referència solidària al xassís del vehicle) es pot obtenir a partir del moviment respecte de R.

Tradicionalment, les referències R i R’ entre les que s’estableix la composició s’anomenen AB (absoluta) i REL (relativa). A partir d’ara, es faran servir aquests noms.

Les relacions entre [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , i entre [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] i [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] que es presenten en aquesta unitat són sempre vàlides, independentment del fet que el moviments de Q respecte a les referències REL o AB i el moviment entre AB i REL siguin senzills o no. Quan són senzills, la composició de moviments és una alternativa algèbrica (no implica derivades temporals) per al càlcul de velocitats i acceleracions (Figura C3.3). Quan no ho són, pot ser adequat recórrer a altres mètodes (com la derivació).

Figura C3.3 Formulació general de la composició de moviments. Els noms de les referències són intercanviables: la referència AB pot ser aquella en la que es veu el moviment senzill, i la referència REL, aquella en la que es veu complicat.

---

---

C3.1 Composició de velocitats

A cada instant, l’equació que relaciona la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dues referències AB i REL diferents és:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

El segon terme del costat dret és la velocitat d’arrossegament, i correspon a la velocitat que tindria [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en aquest instant si fos un punt fix a REL (a la posició que té en aquest instant) i s’avalués la seva velocitat des de la referència AB:[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \overline{v}_{textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL} }[/math] .

---

---

C3.2 Composició d'acceleracions

Bla bla

---

---

C3.3 Composició de moviments VS derivació temporal

Bla bla

---

---

<<< C2. Moviment d'un sistema mecànic

C4. Cinemàtica del sòlid rígid >>>