Càlcul vectorial

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} }[/math]

V.1 Representació geomètrica d’un vector

Els vectors es poden representar geomètricament amb un dibuix, indicant-ne la direcció (i el sentit genèric positiu) mitjançant una fletxa i el valor (positiu o negatiu), que pot ser variable (Figura V.1).

Figura V.1 Representació geomètrica del vector de posició d’un punt O que es pot moure
al llarg d’una recta: (a) definició genèrica del valor positiu; (b) tres casos particulars

Les operacions habituals entre vectors (suma, resta, producte per un escalar, producte vectorial, derivació) es poden fer a partir de les seves representacions geomètriques. La secció següent resumeix els procediments.

---

---

V.2 Operacions entre vectors amb representació geomètrica

Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial

La Figura V.2 resumeix els procediments per realitzar les tres operacions entre vectors que només impliquen un únic instant temporal.

Figura V.2 Càlcul geomètric de les operacions instantànies entre vectors

Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode geomètric)

Les dues operacions vectorials al llarg del temps són la derivada i la integral temporal, i depenen de la referència des d’on s’observen els vectors. Aquesta última operació no és senzilla a partir de la representació geomètrica, i es deixa de banda. La derivació temporal d’un vector relativa a una referència R avalua el ritme temporal de canvi de les característiques del vector (direcció i valor) entre dos instants consecutius molt propers, separats per un diferencial de temps (dt). Simbòlicament, aquesta derivada es representa com a [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs }[/math]. El subíndex R recorda que aquesta operació depèn de la referència des d’on s’observa l’evolució temporal del vector.

El resultat de la derivada temporal d'un vector és diferent de zero quan el valor, o la direcció o ambdues coses canvien.

Molts textos fan servir el punt per indicar la derivació temporal d'escalars i de vectors:

Variable escalar: [math]\displaystyle{ \frac{\ds\rho}{\ds\ts}\equiv \dot{\rho} }[/math]

Variable vectorial: [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs\equiv \dot{\uvec}\bigr]_\Rs }[/math]

En aquest curs, el punt es fa servir bàsicament per a la derivada temporal d'escalars.

Cas particular: Derivada d’un vector de direcció constant

Quan un vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] només canvia de valor (és a dir, quan la seva direcció és constant respecte de la referència), la seva derivada és un vector paral·lel a [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] de valor igual al canvi de valor en un dt. Ja que la mida d’un objecte en un cert instant de temps és un invariant, aquest resultat no depèn de la referència (Figura V.3):

[math]\displaystyle{ \begin{equation} \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \bigg]_\Rs = \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|}\end{equation} }[/math] , on [math]\displaystyle{ \frac{\uvec}{|\uvec|} }[/math] és el versor de la direcció del vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math].

Figura V.3 La derivada d’un vector que només canvia de valor és paral·lela al vector,
i és independent de referència: (a) signe([math]\displaystyle{ \dot\us }[/math]) = signe([math]\displaystyle{ \us }[/math]); (b) signe([math]\displaystyle{ \dot\us }[/math]) = -signe([math]\displaystyle{ \us }[/math])

Cas particular: Derivada d’un vector de valor constant que evoluciona sobre un pla fix a la referència

Considerem ara un vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] que evoluciona sobre un pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] fix a la referència R (vector amb moviment pla respecte de R). Si només canvia de direcció en R, la seva derivada és un vector ortogonal a [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] de valor igual al producte del valor del vector (u) pel ritme de canvi de l’angle d’orientació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] del vector en el pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math], [math]\displaystyle{ \us\frac{\ds\theta}{\ds\ts}=\us\dot{\theta} }[/math] (Figura V.4).

Figura V.4 La derivada d’un vector que només canvia de direcció és ortogonal al vector,
i depèn de la referència

El concepte ritme de canvi d’orientació ([math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] a les figures V.4 i V.5) demana la introducció prèvia de l’angle d’orientació ([math]\displaystyle{ \theta }[/math] a les figures V.4 i V.5), definit en un pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] a partir d’una direcció fixa al pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] i el vector que es deriva. L’orientació d’aquest pla a R i el ritme de canvi d’orientació [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] del vector es poden combinar en un únic objecte matemàtic: la velocitat angular del vector respecte de R, de valor [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] i direcció ortogonal al pla. El sentit del vector s’associa a la regla del cargol (Figura V.5). La notació genèrica que es fa servir en aquest curs per a la velocitat angular d’un objecte en una referència R és [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\textup{objecte}}_\Rs }[/math].

Figura V.5 Vector velocitat angular d’un vector de valor constant en una referència

La derivada es pot escriure a partir d’aquest vector de velocitat angular com a [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs \times \uvec }[/math].

Cas particular: Derivada d’un vector de valor constant que evoluciona de manera general a la referència

Es pot demostrar que, quan el vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] que es deriva no evoluciona sobre un pla sinó que té una evolució 3D, el resultat de la derivada s’obté de la mateixa manera a través de la seva velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\uvec}_\Rs }[/math] [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press]. L’obtenció d’aquesta velocitat angular (unitats C1 i C2), però, és més complicada.

Cas general: Derivada d’un vector que evoluciona de manera general respecte d’una referència R

Si el vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] evoluciona de manera general en una referencia R (és a dir, canvia de valor i de direcció), la seva derivada temporal és (Figura V.6):

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = [\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Rs = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|} + {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs\times\uvec }[/math]

Figura V.6 Derivada temporal d’un vector relativa a una referència: cas general

Relació entre les derivades temporals d'un mateix vector en dues referències diferents

A partir de l'equació anterior, és fàcil veure que la diferència entre les derivades d’un mateix vector a dues referències diferents R1 i R2 és:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}-\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} = (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2})\times \uvec }[/math]

Es pot demostrar que [math]\displaystyle{ (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2}=\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}) }[/math] (la demostració general és llarga i no s’inclou aquí). Per tant, quan dues referències no giren una respecte de l’altra [math]\displaystyle{ (\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}=0) }[/math], la derivada temporal d’un vector en totes dues condueix al mateix resultat. Altrament:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}=\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} + \Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}\times \uvec }[/math]

---

---

V.3 Representació analítica d’un vector

Un vector també es pot representar de manera analítica mitjançant les seves components en tres direccions independents de l’espai. Els vectors unitaris (versors) d’aquestes direccions s’anomenen [math]\displaystyle{ (\evec_1, \evec_2, \evec_3) }[/math] i constitueixen una base vectorial. En aquesta base, el vector s’expressa com a combinació lineal d’aquests versors, i els coeficients són les components del vector en aquesta base:

[math]\displaystyle{ \uvec=\textrm{u}_1\evec_1+\textrm{u}_2\evec_2+\textrm{u}_3\evec_3 }[/math]

En aquest curs, ens limitem a bases ortogonals i directes (dextrògires), és a dir, on el versor de la direcció 3 és el producte vectorial dels versors de les direccions 1 i 2: [math]\displaystyle{ \evec_1\times \evec_2=\evec_3 }[/math]. A l’hora de representar una base en un dibuix, sovint es col·loquen tres eixos que interseccionen en un punt. Aquest punt d'intersecció és irrellevant, i de cap manera es pot dir que és l'"origen de la base": el concepte d’origen no és aplicable a les bases vectorials (l’únic que defineix una base son les tres direccions que la composen). Un mateix vector es pot projectar en diverses bases, però això no en modifica ni el seu valor ni la seva direcció.

La Figura V.7 mostra la projecció, en dues bases diferents, del vector [math]\displaystyle{ \overline{\textrm{r}} }[/math], associat a un radi d’una plataforma giratòria amb moviment pla respecte de R. La base [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] no canvia d’orientació respecte de R, mentre que la base [math]\displaystyle{ (1',2',3') }[/math] canvia d’orientació respecte de R però no respecte de R' (que és la plataforma).

Figura V.7 Un mateix vector projectat en dues bases diferents

Una notació alternativa (que és la que preferentment es farà servir en aquest curs per expressar vectors projectats en bases vectorials) és la de posar les components en columna, ordenades segons l’ordre dels eixos de la base:

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{123}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\Bs}= \begin{Bmatrix}\textrm{r}cos\theta \\\textrm{r}sin\theta \\\textup{0} \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{1'2'3'}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{B'}}= \begin{Bmatrix}\textrm{r} \\\textup{0} \\\textup{0} \end{Bmatrix} }[/math]

Si els versors tenen sempre la mateixa direcció respecte de la referència, es diu que es tracta d’una base fixa. En canvi, si la direcció dels versors varia al llarg del temps, es diu que és una base mòbil. Tenint en compte que els tres versors son permanentment ortogonals entre ells, es pot parlar de l’orientació de la base B, i del seu ritme de canvi d’orientació respecte d’una referència R (o velocitat angular de la base respecte de R), [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_\Rs }[/math].

A la Figura V.7, la base [math]\displaystyle{ B=(1,2,3) }[/math] no canvia d’orientació respecte de R (és una base fixa a R) però si que canvia d'orientació respecte de R' (seria una base mòbil a R'): [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_\Rs = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_{\Rs'} \not= 0 }[/math].

En canvi, la base [math]\displaystyle{ B'=(1',2',3') }[/math] canvia d’orientació respecte de R però no respecte de R' (és una base fixa a R' però mòbil a R): , [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\Bs'}_\Rs \not= 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\Bs'}_{\Rs'} = 0 }[/math].

---

---

V.4 Operacions entre vectors amb representació analítica

Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial.

Les operacions instantànies entre vectors es poden fer a través de les bases vectorials. En ser instantànies, el caràcter fix o mòbil de la base és irrellevant. El que és fonamental és que tots dos vectors estiguin projectats a la mateixa base.

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} }[/math] , [math]\displaystyle{ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\vs_1 \\\vs_2 \\\vs_3 \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}+ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1+\vs_1 \\\us_2+\vs_2 \\\us_3+\vs_3 \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}· \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \us_1\vs_1+\us_2\vs_2+\us_3\vs_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}\times \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}\vs_1 \\\vs_2 \\\vs_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\us_2\vs_3-\us_3\vs_2 \\\us_3\vs_1-\us_1\vs_3 \\\us_1\vs_2-\us_2\vs_1 \end{Bmatrix} }[/math]

Video V.1 Algoritme per al càlcul analític del producte vectorial

Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode analític)

Aquest mètode també es coneix com derivació en base.

Projectar un vector en una base vectorial [math]\displaystyle{ (\evec_1, \evec_2, \evec_3) }[/math] és expressar-lo com a suma de tres vectors ortogonals:

[math]\displaystyle{ \uvec=\sum_{\is}^{}\us_\is\evec_\is }[/math]

Si la base és fixa respecte de la referència R on es calcula la derivada, aquests vectors no canvien d’orientació, i per tant:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds(\us_\is\evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is }[/math] , [math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \right]_{\Rs}\right\}_\Bs=\frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs= \begin{Bmatrix}\dot{\us}_1 \\\dot{\us}_2 \\\dot{\us}_3 \end{Bmatrix} }[/math]

Si la base és mòbil respecte de R, aquests vectors canvien d’orientació amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds(\us_\is \evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is+\left.\us_\is\frac{\ds\evec_\is}{\ds\ts}\right]_\Rs=\dot{\us}_\is\evec_\is+\us_\is(\Omegavec^\Bs_\Rs\times \evec_\is) }[/math] ,

De manera que la derivació temporal d'un vector es pot escriure analíticament de la següent manera:

[math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \right]_\Rs\right\}_\Bs = \frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs +\left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs \times \left\{\uvec\right\}_\Bs= \begin{Bmatrix}\dot{\us}_1 \\\dot{\us}_2 \\\dot{\us}_3 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix}\Omega_1 \\\Omega_2 \\\Omega_3 \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} }[/math]

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

<<< Introducció

C1. Configuració d'un sistema mecànic >>>