D7. Exemples de dinàmica 3D

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}] \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la secció D6.4 s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is} }[/math]

Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs [math]\displaystyle{ (\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math], roman en repòs [math]\displaystyle{ (\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math]. Per tant, el valor de els coordenades en equilibri ve donat per:

L’equació que defineix les [math]\displaystyle{ \qs_{\text{j,eq}} }[/math] pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ (\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js, }[/math] amb [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js \lt \lt 1 }[/math], i per tant [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js^2 \approx 0 }[/math]) les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

• si apareixen polinomis de grau superior a 1:

[math]\displaystyle{ \qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3 }[/math]

• si es tracta d’una coordenada angular [math]\displaystyle{ (\qs_\js=\theta) }[/math] i apareixen funcions sinus i cosinus:

FALTA

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0 }[/math], on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon = 0 }[/math]. La solució general és: [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math], amb [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt{\Bs/\As} }[/math]. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 }[/math].

DEMOSTRACIÓ

La solució [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) }[/math] de l’equació [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon = 0 }[/math] ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

[math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math]

Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

[math]\displaystyle{ -\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}} }[/math]

El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math] la freqüència angular de la qual [math]\displaystyle{ (\omega) }[/math] depèn de paràmetres del sistema.

Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials ([math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi) }[/math]), i per tant, no són intrínseques al sistema.

• condicions inicials només de posició: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0) = 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 90\deg\\ \as = \varepsilon_0 \end{aligned}\right. }[/math]

• condicions inicials només de velocitat: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0) = 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 0\deg\\ \as = \dot\varepsilon_0/\omega \end{aligned}\right. }[/math]

• condicions inicials de posició i velocitat: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\ \as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0^2/\omega)^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable. L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs\As)\varepsilon }[/math]

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \gt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon\lt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. És un comportament ESTABLE.

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \lt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math]creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. És un comportament INESTABLE.

D7.2 Exemples generals

EXEMPLE D7.1: placa rectangular giratòria

La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant.