D6. Exemples de dinàmica 2D

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math] Aquesta unitat proposa un mètode sistemàtic per resoldre problemes de dinàmica de sistemes constituïts per un nombre qualsevol de sòlids. Si aquest nombre és elevat, definir l’estratègia per arribar als resultats que es busquen és fonamental per evitar desenvolupaments excessius.

Els exemples se centren en problemes de dinàmica plana (2D). La unitat D7 analitza exemples de dinàmica 3D.

D6.1 Cinemàtica 2D i dinàmica 2D

La condició perquè un sistema presenti una dinàmica 2D no és exclusivament que la seva cinemàtica sigui plana: cal a més que el moment cinètic de cada sòlid del sistema referit al seu centre d’inèrcia sigui ortogonal al pla del moviment ( secció D4.5). Això és equivalent a dir que la direcció ortogonal al pla del moviment sigui una direcció principal d’inèrcia ( secció D5.2) per a [math]\displaystyle{ \Gs_\is }[/math].

✏️ EXEMPLE D6.1: cinemàtica 2D i dinàmica 3D

---

La barra prima i homogènia està articulada a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a un suport que gira respecte del terra amb velocitat angular vertical [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant. La barra recolza al damunt del terra llis, de manera que el seu moviment és pla: tots els seus punts (tret del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) descriuen trajectòries circulars horitzontals. El fet que la cinemàtica de la barra és plana pot fer pensar que només la component vertical del TMC és necessària per estudiar-ne la dinàmica. Però no és així. El moment cinètic de la barra al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és:

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO=T}}(\Os)}{}= \matriz{\Is}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{\Is}\vector{\Omega_0 \sin \beta}{\Omega_0 \cos \beta}{0}= \vector{\Is\Omega_0 \sin \beta}{0}{0} . }[/math]

D’aquest vector, només la part horitzontal és variable (canvia de direcció per causa de [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]). La derivada geomètrica condueix a:

[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\mathbf{H}}}_{\text {RTO}} (\Os)=(\Uparrow \Omega_0) \times (\Rightarrow \Is \Omega_0 \sin \beta \cos \beta)= \otimes\Is \Omega_0^2 \sin\beta \cos\beta. }[/math]

Aquesta derivada també es pot calcular per mitjà de la base vectorial:

[math]\displaystyle{ \braq{\dot{\overline{\mathbf{H}}}_{\text {RTO}} (\Os)}{}= \vector{\Omega_0 \sin \beta}{\Omega_0 \cos \beta}{0} \times \vector{\Is \Omega_0 \sin \beta}{0}{0} =\vector{0}{0}{-\Is \Omega_0^2\sin\beta\cos\beta}. }[/math]

En l’aplicació del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a la barra no es pot prescindir de la component 3, que és horitzontal.

D6.2 Diagrama de sòlid lliure (DSL) i full de ruta

Quan un sistema format només per únic sòlid té dinàmica 2D, el nombre d’equacions per resoldre el problema és 3: les dues components del TQM en el pla del moviment i la component del TMC perpendicular a aquest pla. Segons el que es vulgui calcular (equació del moviment, força d’enllaç...), pot ser que no calgui aplicar els dos teoremes.

Trobar un camí ràpid per arribar al resultat que es busca demana elaborar un full de ruta (que és una declaració de l’estratègia a seguir). L’exploració d’estratègies possibles i la tria d’una d’adequada demana una bona comprensió de la cinemàtica i la dinàmica del sòlid. Per això, es recomana començar sempre per investigar la distribució de velocitats del sòlid i la descripció de les interaccions a les que està sotmès. La representació d’aquestes interaccions constitueix el diagrama de sòlid lliure (DSL).

D6.3 Exemples d’un únic sòlid

✏️ EXEMPLE D6.2: condició límit de lliscament

---

El disc homogeni, de massa m i radi R, es troba al damunt d’un terra horitzontal llis, i té un punt de contacte amb una paret rugosa. Es tracta d’investigar quin és el valor mínim del coeficient de fricció entre disc i paret, en funció de F, per tal que no hi hagi lliscament entre aquests dos elements. Les descripcions cinemàtica i dinàmica del problema són:

Les incògnites del problema són [math]\displaystyle{ \ddot{\theta}, \Ns, \Ts }[/math] . La força tangencial T és l’objectiu del càlcul, doncs la condició límit de lliscament imminent es formula sobre aquesta força: [math]\displaystyle{ \Ts_\mathrm{màx}=\mu_\mathrm{mín}\Ns. }[/math] .

Full de ruta

La força T apareix tant a la component horitzontal del TQM com a la component perpendicular al pla del TMC a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]. En les dues equacions, però, apareix també la incògnita [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math]. Per altra banda, cal conèixer també el valor de N per poder imposar la condició límit. Per tant:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TQM i TMC a } \Gs} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{ll} \text { TQM: } \hspace{1.2cm} \left\{\begin{array}{l} (\rightarrow \mathrm{F} \cos \beta)+(\leftarrow \mathrm{T})=(\rightarrow \mathrm{mR} \ddot{\theta}) \\ (\downarrow \mathrm{F} \sin \beta)+(\uparrow \mathrm{N})=0 \end{array}\right. \\ \text { TMC a }\Gs: \quad (\otimes\Ts\Rs)=(\otimes \Is_\mathrm{G} \ddot{\theta})=\left(\otimes \frac{1}{2} \ms \Rs^2\ddot{\theta} \right) \end{array}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \ddot{\theta}=\frac{2}{3} \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{mR}} \cos \beta \\ \mathrm{T}=\frac{1}{3} \mathrm{~F} \cos \beta \\ \mathrm{N}=\mathrm{F} \sin \beta \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{T}_{\text {màx }}=\mu_{\text {mín }} \mathrm{N} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} \mathrm{F}_{\mathrm{màx} } \cos \beta=\mu_{\text {mín }} \mathrm{F}_{\mathrm{màx}} \sin \beta \quad \Rightarrow \quad \mu_{\text{mín} }=\frac{1}{3 \tan \beta} \\ }[/math]

✏️ EXEMPLE D6.3: barra amb moviment de translació

---

L’extrem [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] de la barra homogènia, de massa m i longitud 2L, llisca per una guia rugosa. Es tracta d’investigar per quin valor de l’angle [math]\displaystyle{ \beta }[/math] la velocitat angular de la barra respecte del terra és nul·la. La descripció cinemàtica i dinàmica del problema és:

Full de ruta
Si la barra no gira, el seu moment cinètic en qualsevol dels seus punts és permanentment nul, i per tant la seva derivada també. Aquesta condició porta a plantejar en primer lloc el TMC.

Si s’aplica a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math], la condició per tenir moment nul respecte d’aquest punt es tradueix en què la recta d’acció de la resultant de les dues forces sobre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] passi [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TMC a } \Gs} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\mu\Ns}{\Ns}=\tan\beta }[/math] Es pot arribar al mateix resultat amb un altre full de ruta, però el procediment és molt més llarg. [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TQM i TMC a } \Ps} }[/math]

Ja que [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] és un punt amb acceleració respecte del terra, al TMC apareix la incògnita , i per això cal aplicar el TQM per calcular-la.

[math]\displaystyle{ \text {TQM: } \quad\left\{\begin{array}{l} (\nearrow \mathrm{N})+(\swarrow \mathrm{mg} \cos \delta)=0 \\ (\nwarrow \mu \mathrm{N})+(\searrow \mathrm{mg} \sin \delta)=(\searrow \mathrm{m} \dot{\mathrm{v}}) \end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{v}}=\mathrm{g}(\sin \delta-\mu \cos \delta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{TMC a } \Ps : \quad \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps) - \PGvec \times \ms\acc{P}{Gal}=\overline{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps)=\PGvec \times \ms\overline{\gs} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps)=\left[ (\swarrow \Ls \cos \beta )+ (\searrow \Ls \sin\beta )\right]\times\left[ (\swarrow \ms \gs \cos \delta )+(\searrow \ms\gs\sin\delta)\right] = \left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\cos\delta\sin\beta)\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \PGvec \times \ms\acc{P}{Gal}=\left[ (\swarrow \Ls \cos \beta )+ (\searrow \Ls \sin\beta )\right] \times(\searrow\ms\dot{\vs})=(\odot\ms\Ls\dot{\vs}\cos\beta)=\left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\mu\cos\delta\cos\beta)\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\cos\delta\sin\beta)\right]-\left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\mu\cos\delta\cos\beta)\right] =0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \ms\gs\Ls\cos\delta(\sin\beta-\mu\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \tan \beta =\mu }[/math]

✏️ EXEMPLE D6.4: anell sobre terra rugós

---

L’anell homogeni, de massa m i radi R, té inicialment un moviment de translació respecte del terra rugós. Es tracta d’investigar quan de temps trigarà a deixar de lliscar respecte del terra. La descripció cinemàtica de l’anell en tres instants de temps diferents (inicial, intermedi i final) i la descripció dinàmica són:

Full de ruta
Mentre llisca, l’anell té dos GL [math]\displaystyle{ (\vs,\Omega) }[/math] mentre que al final només en té un ([math]\displaystyle{ \vs_\fs }[/math]) . Ja que es tracta d’investigar com es passa de moviment de translació a rotació, el que cal determinar són les equacions del moviment [math]\displaystyle{ (\dot{\vs},\dot{\Omega}) }[/math].

El TQM proporciona dues equacions, però inclouran la N. Per tant, cal també el TMC. El problema suggereix dos punts per a l’aplicació: [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] i el punt de contacte entre anell i terra (punt [math]\displaystyle{ \Js }[/math]). Si es tria aquest últim, cal precisar si es tracta de [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{anella} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{terra} }[/math] o [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{geom} }[/math] (secció D4.5), i això és una dificultat afegida. Per aquest motiu, el full de ruta serà: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TQM i TMC a } \Gs} }[/math]

[math]\displaystyle{ \text {TQM: } \quad\left\{\begin{array}{l} (\uparrow \mathrm{N})+(\downarrow \mathrm{mg})=0 \\ (\leftarrow \mu \mathrm{N})=(\rightarrow \mathrm{m} \dot{\mathrm{v}}) \end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{v}}=-\mu\mathrm{g} }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{TMC a } \Gs : \quad \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Gs)=\dot{\overline{H}}_\mathrm{RTG}(\Gs) \quad \Rightarrow \quad (\otimes \mu\ms\gs\Rs)=(\otimes\Is_\mathrm{G}\dot{\Omega})\quad \Rightarrow \quad \dot{\Omega}=\mu\frac{\gs}{\Rs} }[/math]

Ja que [math]\displaystyle{ \dot{\vs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot{\Omega} }[/math] són constants, el moviment de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] i el de rotació són uniformement accelerats. Per tant:

[math]\displaystyle{ \vs(\ts)=\vs_0 - \mu\gs\ts \quad,\quad \Omega(\ts)=\mu\frac{\gs}{\Rs}\ts }[/math]

[math]\displaystyle{ \text {Per a }\ts=\ts_\fs: \quad\left\{\begin{array}{l} \vs(\ts_\fs)=\vs_0 - \mu\gs\ts_\fs \quad,\quad \Omega(\ts_\fs)=\mu\frac{\gs}{\Rs}\ts_\fs \\ \vs(\ts_\fs)=\Rs\Omega(\ts_\fs) \end{array}\right\} \Rightarrow \ts_\fs=\frac{\vs_0}{2\mu\gs} }[/math]