C2. Moviment d'un sistema mecànic

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} }[/math]

---

---

C2.1 Velocitat d’una partícula

La velocitat d’una partícula Q (o d’un punt que pertany a un sòlid) respecte d’una referència R,[math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math] , és el ritme de canvi temporal del vector de posició al llarg del temps. Matemàticament, es pot obtenir mitjançant la derivació temporal d’un vector de posició (relatiu a R). La derivació temporal de dos vectors de posició diferents ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math],[math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math] ) donen lloc a la mateixa velocitat perquè els punts [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] i [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] són fixos entre ells i fixos a la referència, i per tant la derivada temporal de és zero:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

És important recordar que la derivada d’un vector depèn de la referència on s’avalua. Per aquest motiu, a les equacions anteriors s’especifica la referència on es deriva mitjançant un subíndex R.

La derivació temporal d’un vector respecte d’una referència R avalua el canvi de les característiques del vector (direcció i valor) entre dos instants consecutius molt propers, separats per un diferencial de temps (secció V.2). Per tant, la velocitat [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] és diferent de zero quan el valor del vector de posició, o la seva direcció o ambdues coses canvien.

⚙️ EXEMPLE 1.1: plataforma giratòria; càlcul geomètric

La plataforma (RP) gira al voltant d’un eix perpendicular al terra (R). El moviment d’un punt Q de la perifèria de la plataforma és diferent segons s’observi des del terra o des de la plataforma.

El centre de la plataforma (O) és fix a totes dues referències. Per tant,[math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] és un vector de posició per al punt Q tant a la referència R com a la referència RP. És evident que [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)= \vec{0} }[/math], tot i que el vector que es deriva és el mateix. Ja que [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] és el radi r de la plataforma, té valor constant. Per tant, la derivada de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] en qualsevol referència només pot estar associada a un canvi de direcció. Per avaluar el canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] respecte del terra o de la plataforma, cal definir un angle entre una recta fixa a la referència i el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math]. Per tal que quedi clar la recta origen, la representem com a la direcció del braç d’un observador situat a la referència (i, per tant, que no es mou respecte de la referència).

[math]\displaystyle{ \Psi(t)\neq\Psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] canvia de direcció respecte de [math]\displaystyle{ \Rs \implies \vvec_\Rs(\Qs) \neq \vec{0} }[/math]

D’acord amb el que s’ha vist a la secció V.1,[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] és perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], i el seu valor és el mòdul de [math]\displaystyle{ \OQvec(r) }[/math] per la velocitat de canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] respecte de R [math]\displaystyle{ (\Psi) }[/math] :

Velocitat de Q relativa a la plataforma(P):

[math]\displaystyle{ \Psi(t)=\Psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] no canvia de direcció respecte de [math]\displaystyle{ \Rs \implies \vvec_\Rs(\Qs) = \vec{0} }[/math]

⚙️

⚙️ EXEMPLE 1.1: plataforma giratòria; càlcul geomètric

Les dues bases vectorials més evidents per fer els càlculs són:

• Base B (1,2,3) fixa a la referència R (i per tant mòbil respecte de RP): [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_\Ps^\Bs = \dot{\vec{\Psi}} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fixa respecte de RP (i per tant mòbil respecte de R): [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Ps^{\Bs'}=\vec{0},\Omegavec_\Rs^{\Bs'} = -\dot{\vec{\Psi}} }[/math]

Projecció del vector de posició [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en les dues bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\Psi}{rsin\Psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0} }[/math]

Velocitat de Q respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{\Rs}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \Psi sin\Psi}{r\dot{\Psi} cos\Psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{\Rs}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\Omegavec^{B'}_{\Rs}\times \OQvec}{B'}=\braq{\Omegavec^{B'}_{\Rs}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\Psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\Psi}{0} }[/math]

Velocitat de Q respecte de RP:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{\Rs\Ps}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\Omegavec^{B}_{\Rs\Ps}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\Psi sin\Psi}{r\dot\Psi cos\Psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\Psi}\times \vector{rcos\Psi}{rsin\Psi}{0}= \vector{0}{0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{\Rs\Ps}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\Omegavec^{B'}_{\Rs\Ps}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0} }[/math]

⚙️

⚙️ EXEMPLE 1.2: pèndol d'Euler; càlcul geomètric

L’extrem Q del pèndol d’Euler (exemple C1-5.4) descriu un moviment circular respecte del bloc. La velocitat associada [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL} }[/math] s’obté de manera anàloga a l’exemple de la plataforma (exemple C2-1.1 anterior).

L’angle [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] orienta la barra tant respecte del bloc com respecte del terra, doncs el seu origen (recta vertical) té orientació constant respecte de les dues referències. La velocitat de Q respecte del terra es pot obtenir derivant el vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ}) }[/math] respecte del terra:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] té direcció constant respecte de R però valor variable, per tant la seva derivada és paral·lela a [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] i de valor [math]\displaystyle{ \dot{x} }[/math] . El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Os} }[/math] , en canvi, té valor constant (L) però direcció variable. Per tant, la seva derivada és perpendicular a [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Os} }[/math], i el seu valor és el mòdul de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Os} }[/math] per la velocitat de canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Os} }[/math] respecte de R([math]\displaystyle{ \dot\Psi }[/math]):

<<< C1. Configuració d'un sistema mecànic

C3. Composició de moviments >>>