D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\QPs}{\textrm{QP}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{libre}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math]
La dinámica es la teoría que estudia el movimiento de un cuerpo material en función de los factores físicos que le afectan. En mecánica newtoniana, los factores que afectan el movimiento de las partículas son su masa y las fuerzas que recibe. Ninguno de estos dos conceptos (masa y fuerza) es simple. Pero sea cual sea la definición que se dé de ellos, se acepta que hay una correlación unívoca entre ellos y el movimiento de la partícula.
La palabra “fuerza” se utiliza a menudo en la vida cotidiana, y se utilizaba ya mucho antes de que Newton formulase sus leyes del movimiento. La primera noción de “fuerza” está asociada con la sensación muscular necesaria para evitar o provocar el movimiento de cuerpos materiales. Por extensión, todo lo que evita o provoca movimiento también se llama “fuerza”.
Los problemas de dinámica pueden ser de dos tipos, según qué sean datos y qué incógnitas:
- incógnitas de movimiento: a partir del conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema mecánico, se trata de deducir cómo evolucionará su movimiento.
- incógnitas de fuerza: a partir de un movimiento predeterminado (es decir, dada la evolución de las coordenadas del sistema), se trata de predecir las fuerzas que han de actuar sobre el sistema para conseguir este movimiento.
Como toda teoría científica, la mecánica de Newton se basa en un conjunto de principios (leyes o axiomas) no demostrables, cuya plausibilidad se justifica mediante resultados experimentales tanto reales (obtenidos en un laboratorio) como conceptuales (obtenidos mediante un razonamiento estricto puramente mental). Estas leyes se presentan en la obra principal de Newton (Philosophiæ Naturalis Principioa Mathematica), y tienen por objetivo resolver la dinámica de una partícula. A partir de estas leyes, se demuestran los teoremas que abordan la dinámica de los sistemas materiales más complejos (como los sistemas multisólido).
En esta sección se enuncian y comentan las leyes fundacionales de la mecánica newtoniana tal como aparecen en los Principia Mathematica (aunque con un lenguaje más actual). La discusión de los problemas axiomáticos que presentan ha sido objeto de mucha literatura en historia de la ciencia. Aquí se hace una exposición rigurosa y breve. Una exposición más extensa, que contiene la reformulación que hizo Ernst Mach y otras informaciones de interés, se puede encontrar en Rigid Body Dynamics, Batlle&Barjau, chapter 1.
D1.1 Referencias galileanas
La relación entre fuerzas y movimiento de una partícula P se puede expresar de manera genérica mediante la ecuación cualitativa:
[math]\displaystyle{ \text{movimiento}_{\Rs}(\Ps) = f_{\Rs}(\text{fuerzas}) }[/math]
Esta ecuación pone de manifiesto que, al depender el movimiento de P de la referencia R desde la que s emide, el término de la derecha (y por tanto las fuerzas) también pueden depender de R.
La observación de fenómenos mecánicos simples sugiere que el origen de las fuerzas que evitan o provocan el movimiento de P no está sólo relacionado con la existencia de objetos materiales (como dice la intuición). Un ejemplo sencillo lo pone de manifiesto.
Consideremos un objeto pequeño (una partícula P) ligado a un marco a través de dos muelles idénticos. El marco se fija a una superficie horizontal perfectamente lisa (como una pista de hielo). Si sólo se considera el movimiento horizontal de P respecto a la referencia solidaria a esta superficie (R), las fuerzas ligadas a objetos materiales sólo pueden provenir de los muelles, ya que no hay interacción con la superficie lisa.
A partir de un instante inicial [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] en el que la partícula se encuentra en reposo respecto a la superficie [math]\displaystyle{ (\vel{P,$\ts_0$}{R} = \vec{0}) }[/math] y los muelles tienen la misma longitud, se observa la evolución de su movimiento desde la superficie (la evolución de su velocidad respecto de R,[math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] , Figura D1.1).
Según cómo sea el movimiento de la superficie respecto al suelo, se pueden ver evoluciones diferentes:
- Si la superficie és la de un vagón con movimiento uniforme respecto al suelo (referencia R1): independientemente del lugar donde se fija el marco, de su orientación respecto al vagón y del instante de tiempo en que se hace el experimento, P no se mueve respecto al vagón [math]\displaystyle{ (\vel{P,t}{R} = \vec{0}) }[/math], y los muelles mantienen su longitud (Figura D1.2). En otras palabras: el resultado es independiente de la posición, la orientación y el instante de tiempo. Esto es equivalente a decir que, para este experimento, el espacio de la referencia es homogéneo e isótropo, y que el tiempo es uniforme. La referencia, pues, no influye en el resultado.
- Si la superficie as la de un vagón con aceleración de frenada constante respecto al suelo (referencia R2): si el marco se fija en cualquier posición pero se orienta en la dirección longitudinal del vagón, P se mueve inicialmente en la dirección longitudinal del marco hacia adelante [math]\displaystyle{ (\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marco }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marco }}=0) }[/math], y los muelles se deforman con signos opuestos (uno se estira y el otro se acorta, Figura D1.3a); si se orienta en la dirección transversal del vagón, P se mueve inicialmente en la dirección transversal del marco hacia adelante [math]\displaystyle{ (\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{trans marco }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {long marco }}=0) }[/math], y el cambio de longitud de los dos muelles es el mismo (Figura D1.3b); si se orienta en cualquier otra dirección, la velocidad inicial de P tiene dos componentes ([math]\displaystyle{ \left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marco }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marco }}\neq 0 }[/math], Figura D1.3c). Resumiendo: el resultado de este experimento es [math]\displaystyle{ \vel{P,t}{R} \neq 0 }[/math] independientemente de la posición y del instante de tiempo, pero no de la orientación. Para este experimento, el espacio de la referencia es homogéneo pero no isótropo, y el tiempo es uniforme.
Si el vagón tuviese aceleración variable, el tiempo no sería uniforme: para el caso de frenada, la velocidad inicial de P sería la que se ha comentado, pero para el de acelerada, la velocidad inicial tendría una componente hacia atrás en lugar de tenerla hacia adelante. En función del instante de tiempo, pues, la velocidad inicial no sería la misma.
- Si la superficie es la de una plataforma horizontal, con centro fijo al suelo, que gira con velocidad angular constante respecto al suelo (referencia R3), la evolución inicial del movimiento de P desde el reposo respecto a la plataforma depende de la posición inicial y de la orientación del marco: si P se encuentra inicialmente en el centro de la plataforma, no se mueve independientemente de la orientación del marco ([math]\displaystyle{ \vel{P,t}{R} = \vec{0} }[/math], FiguraD1.4a). Si se pone en una posición distinta y la orientación del marco es según un radio de la plataforma, P se mueve inicialmente en la dirección longitudinal del marco hacia fuera, de manera que el muelle interior se estira y el exterior se comprime ([math]\displaystyle{ \left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marco }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marco }}=0 }[/math], Figura D1.4b); si la orientación del marco es perpendicular a un radio de la plataforma, P se mueve inicialmente en la dirección transversal del marco hacia fuera, pero los dos muelles tienen la misma longitud ([math]\displaystyle{ \left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marco }}= 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marco }} \neq 0 }[/math], Figura D1.4b); si se pone el marco con cualquier otra orientación respecto a la plataforma, la velocidad inicial de P tiene dos componentes, y los muelles tienen longitudes diferentes ([math]\displaystyle{ \left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text{long marco }} \neq 0,\left.\vel{P,t}{R}\right]_{\text {trans marco }} \neq 0 }[/math], Figura D1.4c). El resultado de este experimento, pues, depende de la posición y de la orientación, pero no del instante de tiempo. Para este experimento, el espacio de la referencia no es homogéneo ni isótropo, pero el tiempo es uniforme.
En todos los experimentos descritos, los objetos materiales que ejercen fuerzas sobre la partícula son los mismos (los muelles), pero la influencia de la referencia en la que se hacen las observaciones es diferente: la referencia R1 no participa en el resultado, mientras que las R2 y R3 participan a través de las características del espacio y el tiempo que las constituyen (Figura D1.5).
Una referencia en la que el tiempo es uniforme y el espacio es homogéneo y isótropo se denomina referencia galileana o inercial. Newton dice que el tiempo y el espacio en este tipo de referencia son “absolutos”, son realidades que existen independientemente de todo el resto, y constituyen un escenario “neutro” (o pasivo). El estudio de la dinámica en las referencias no galileanas (no inerciales) lleva a introducir fuerzas –llamadas fuerzas de inercia– que provienen de la propia referencia.
Pero una cosa es definir una referencia galileana, y otra es aceptar que existe alguna (¿cómo se pueden comprobar la uniformidad del tiempo y la homogeneidad y isotropía del espacio?). En los Principia Mathematica, antes de enunciar sus leyes, Newton postula la existencia de una referencia galileana.
Las dos primeras leyes de Newton proporcionan dos maneras adicionales de comprobar el carácter galileano de una referencia que se comentarán en las secciones secciones D1.4 y D1.5.
D1.2 Principio de Relatividad de Galileo
Un principio de relatividad establece el conjunto de referencias (o de marcos espacio-temporales) de validez de una teoría, y es fundamental en cualquier disciplina científica en el ámbito de la física. Una ley (o la ecuación matemática correspondiente) se puede cumplir en una referencia R pero no en una referencia R’.
La mecánica newtoniana también parte de un principio de relatividad: el Principio de Relatividad de Galileo. Este principio establece que todas las referencias galileanas son equivalentes para la formulación de las leyes que gobiernan la dinámica de los sistemas mecánicos, o lo que es lo mismo, que las referencias galileanas son indistinguibles cuando los objetos materiales interaccionan entre ellos. De manera genérica, esto se puede expresar mediante la ecuación cualitativa:
[math]\displaystyle{ \text{movimiento}_{\textrm{Gal}}(\Ps) = f(\text{fuerzas}) }[/math]
donde las fuerzas representan estas interacciones (y no provienen nunca de la referencia), y su formulación ha de ser la misma en todas las referencias galileanas.
D1.3 Principio de la Determinación de Newton
En los Principia Mathematica de Newton, el Principio de la Determinación precede al enunciado de las tres leyes del movimiento. Newton no lo postula como a una ley sino que lo presenta como una observación. Una posible formulación de este principio es “las posiciones y velocidades iniciales (en un cierto instante [math]\displaystyle{ t_0 }[/math]) de todas las partículas de un sistema mecánico aislado determinen unívocamente su movimiento futuro”. Esto es equivalente a decir que la aceleración (respecto a una referencia galileana) de una partícula P del sistema en el instante [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] depende exclusivamente del estado mecánico (posiciones y velocidades) del sistema en ese mismo instante [math]\displaystyle{ t_0 }[/math]. Los sistemas mecánicos, pues, no tienen memoria.
Con este principio, la ecuación cualitativa que relaciona el movimiento de una partícula con las fuerzas a las que está sometida puede escribirse de manera más precisa:
[math]\displaystyle{ \text{movimiento}_{\Rs}(\Ps_i) = f_{\Rs} (\text{fuerzas}) \implies \acc{$\Ps_\is$,t}{R}=f \left[\text{fuerzas}(\vec{\Os_{\textrm{Gal}}\Ps_\js}(\ts_0),\vel{$\Ps_\js$,t}{Gal})\right] }[/math]
Newton concluye que el conocimiento de las posiciones y las velocidades iniciales es suficiente per predecir la evolución de los sistemas mecánicos basándose en observaciones empíricas (básicamente astronómicas) acumuladas a lo largo del tiempo.
D1.4 Primera ley de Newton (ley de la inercia)
La ley de la inercia es la resolución del problema dinámico más sencillo que podemos imaginar: el de la partícula libre [math]\displaystyle{ \Pll }[/math] (partícula sola en el universo). Esta ley postula que la aceleración de la partícula libre en una referencia galileana es nula, independientemente de su velocidad inicial:
[math]\displaystyle{ \text{Primera ley de Newton (ley de la inercia): } \:\:\:\agal{\Pll,\ts_0} = \vec{0} }[/math]
De hecho, lo que constituye una ley (y por tanto no es demostrable) es que [math]\displaystyle{ \accs{$\Pll,t_0$}{Gal}=0 }[/math]. Efectivamente:
- Si en el instante [math]\displaystyle{ \ts_0 }[/math] la observamos desde una referencia galileana y vemos que tiene velocidad nula ([math]\displaystyle{ \vgal{\Pll,\ts_0} = \vec{0} }[/math]), este estado de reposo tendrá que mantenerse, ya que adquirir una velocidad diferente de cero querría decir empezar a moverse en una dirección concreta. Pero esto sería privilegiar una dirección, y no es compatible con la isotropía del espacio. Por tanto, [math]\displaystyle{ \vgal{\Pll,\ts_0}=\vec{0}\Rightarrow\agal{\Pll,\ts_0} = \vec{0} }[/math] (Figura D1.6a).
- Si en el instante [math]\displaystyle{ \ts_0 }[/math] la velocidad no es nula ([math]\displaystyle{ \vgal{\Pll,\ts_0}\neq\vec{0} }[/math]), su dirección deberá mantenerse, ya que en caso contrario se volvería a privilegiar una dirección. Por tanto [math]\displaystyle{ \vgal{\Pll,\ts_0}\neq\vec{0}\Rightarrow\accn{$\Pll,t_0$}{Gal}=0 }[/math] (Figura D1.6b).
En este segundo caso, sólo se puede asegurar, como consecuencia de la isotropía del espacio, que la componente normal de la aceleración será nula. El carácter galileano de la referencia no permite asegurar que la componente tangencial también tiene que serlo. Efectivamente, podría ser que [math]\displaystyle{ \accs{$\Pll,t_0$}{Gal}\neq0 }[/math], y entonces el valor de la velocidad iría cambiando. Si en algún momento se llegara a velocidad nula, el movimiento no se podría reiniciar.
Hay quien afirma que la primera ley de Newton es un caso particular de la segunda ley, pero no es así. La utilidad de la primera ley no es resolver un problema que no se nos presentará nunca (¡el universo está lleno de partículas!), sino proporcionar una definición alternativa de referencia galileana: aquella en la que [math]\displaystyle{ \acc{$\Pll$}{R} = \vec{0} }[/math] (R=Gal). Las referencias en las que [math]\displaystyle{ \acc{$\Pll$}{R} = \fs_\Rs(\text{espai}_\Rs,\text{temps}_\Rs)\neq\vec{0} }[/math] son no galileanas (R=NGal).
Si en una referencia R se cumple que [math]\displaystyle{ \acc{$\Pll$}{R}=\vec{0} }[/math] (y por tanto R=Gal), entonces hay una familia infinita de referencias donde también se cumple esta ecuación: todas las que, respecto a R, tienen un movimiento de translación rectilíneo y uniforme (una simple composición de aceleraciones permite demostrarlo). Todas las referencias de esta familia son equivalentes (indistinguibles) cuando se trata de estudiar la dinámica de la partícula libre.
Determinar de manera estricta el carácter galileano (inercial) de una referencia es formalmente imposible: ni se puede hacer el experimento de la partícula libre (¡no podemos vaciar el universo!) ni se puede comprobar si el espaciotiempo es homogéneo, isótropo y uniforme (¡ya que el espacio y el tiempo son infinitos!).
D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)
La segunda ley de Newton formula la dinámica de la partícula material P que interacciona con otras partículas materiales Q:
[math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}}=\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math],
donde [math]\displaystyle{ \ms_\Ps }[/math] es la masa de P, y [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math] son las fuerzas que las partículas Q ejercen sobre P.
El parámetro [math]\displaystyle{ \mathrm{m}_\Ps }[/math] parece ser una característica intrínseca de P, y por tanto estar asociado exclusivamente a esta partícula. Implícitamente, Newton acepta que no todas las partículas son iguales, y que la única propiedad que las diferencia es la “masa”. Antes de enunciar esta ley, Newton define la “masa” como un parámetro constante que corresponde a la “cantidad de materia”, pero no proporciona ninguna manera de medirla.
Para entender todo lo que esta ecuación dice, es útil plantearse el problema dinámico más sencillo (después del de la partícula libre): un universo con sólo dos partículas P y Q que interaccionan. De esta forma, el sumatorio de la izquierda desaparece. Entonces:
- Por la isotropía del espacio en referencias galileanas, la aceleración [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math] que Q provoca en P ha de tener necesariamente la dirección [math]\displaystyle{ \OPvec }[/math]. Se trata de una aceleración de atracción (acercamiento) o de repulsión (separación).
- Como consecuencia, la fuerza [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math] que Q ejerce sobre P también ha de tenir la dirección [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math].
- Si eliminamos la partícula Q, el parámetro [math]\displaystyle{ \ms_\Ps }[/math] pasa a ser irrelevante: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P})=\overline{0} }[/math] independientemente de su masa. La masa, pues, sólo se manifiesta en interacción.
Volvamos ahora al caso general de muchas partículas interaccionando con P. La segunda ley de Newton contiene un principio de superposición: la fuerza resultante que actúa sobre P es la suma de las que provocarían, por separado, cada una de las otras partículas sobre P: la existencia simultánea de diversas partículas no altera las interacciones entre ellas (Figura D1.7).
La segunda ley de Newton se puede utilizar para resolver los dos tipos de problemas dinámicos descritos en la introducción de esta sección, según si los datos son las fuerzas que actúan sobre P o la aceleración de P. Al tratarse de una ecuación vectorial (tres ecuaciones escalares), puede ocurrir, por ejemplo, que la aceleración se conozca en una dirección (componente) pero no en las otras dos. Entonces, sólo una componente de la fuerza resultante sobre P es incógnita.
Para resolver problemas donde la incógnita sea la aceleración (las tres componentes), hay que poder formular las fuerzas de interacción entre partículas. El Principio de acción y reacción, el de la Determinación y el de la Relatividad de Galileo condicionan estas formulaciones matemáticas. La formulación concreta para a cada tipo de interacción se obtiene a partir de experimentos, y se expone en la unidad D2.
La segunda ley de Newton permite evaluar el carácter galileano de una referencia: a efectos prácticos, se acepta que una referencia es galileana cuando la resolución de los problemas dinámicos no requiere incluir fuerzas no asociadas a objetos materiales. Así pues, el carácter galileano depende del tipo de problemas que se resuelven. Para problemas de alcance corto (que suelen ser los que preocupan en ingeniería mecánica), la Tierra se comporta como galileana. Para alcances medio y largo (problemas de balística, aeronáutica, astronomía...), no es así.
D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción-reacción)
La segunda ley y la isotropía del espacio en referencias galileanas ha hecho ver que las fuerzas de interacción entre parejas de partículas ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}},\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P} \rightarrow \mathrm{Q}} }[/math]) han de tener la dirección [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] definida por las partículas. La tercera ley de Newton asegura que han de ser atractivas o repulsivas, y han de tenar el mismo valor (Figura D1.8).
Este principio da una información esencial sobre las fuerzas de interacción entre dos partículas, y para muchos científicos es la ley de Newton más importante porque introduce la simetría en la descripción de las interacciones: cada interacción se describe mediante una única magnitud. “Fuerza” no es algo que posee una partícula, sino que está asociada a parejas de partículas.
A partir de este principio, es posible obtener una definición de “masa” más entendedora que la que proporciona Newton al principio de los Principia. Dadas dos partículas P y Q que interaccionan, ya que la fuerza mutua que se ejercen tiene el mismo valor, su relación de masas ([math]\displaystyle{ \mu_{\QPs}=\ms_\textrm{Q}/\ms_\Ps }[/math]) coincide con su cociente de aceleraciones (Figura D1.9). Entonces, a más masa, menos aceleración, y viceversa. La masa de una partícula, pues, se puede interpretar como la dificultad que tiene para cambiar de velocidad. Es una interpretación inercial de la masa.
Si se escoge un patrón de masa (un valor concreto de masa para una partícula concreta, por ejemplo [math]\displaystyle{ \ms_\textrm{Q}= }[/math]1Kg), la masa de cualquier otra partícula queda determinada (Figura D1.10). Newton postula que esta masa es constante e intrínseca a cada partícula.
D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas
Tal com se ha dicho en la sección D1.1, la dinámica en referencias galileanas lleva a introducir fuerzas de inercia sobre las partículas que provienen de las características del espacio-tiempo, que ya no es neutro:
Dinámica en referencias galileanas: [math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}}=\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math]
Dinámica en referencias no galileanas: [math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}}+\mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{P}}^{-}=\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P}) }[/math]
Restando la primera ecuación de la segunda:
[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{P}}^{-}=\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P})-\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math]
Si se hace una composición de movimientos para relacionar [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P}) }[/math] i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P}):
}[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \mathrm{AB}=\mathrm{Gal} \\ \mathrm{REL}=\mathrm{NGal} \end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P})=\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{P})-2 \overline{\mathbf{\Omega}}_{\text {Gal }}^{\mathrm{NGal}} \times \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P}) }[/math],
La fuerza de inercia se puede descomponer en dos fuerzas: la fuerza de inercia de arrastre y la fuerza de inercia de Coriolis:
[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{P}}^{-}=\left[-\mathrm{m}_{\mathrm{P}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{P})\right]+\left[-\mathrm{m}_{\mathrm{P}} 2 \overline{\boldsymbol{\Omega}}_{\text {Gal }}^{\mathrm{NGal}} \times \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P})\right] \equiv \mathbf{F}_{\mathrm{ar} \rightarrow \mathrm{P}}^{-}+\mathbf{F}_{\text {cor } \rightarrow \mathrm{P}}^{-} }[/math].
Las dos dependen de magnitudes cinemáticas de la referencia no galileana (NGal) respecto a la referencia galileana (Gal), y por tanto son distintas para cada referencia NGal (¡las referencias no galileanas son distinguibles en dinámica newtoniana!).
Hay que tener presente que no se trata de fuerzas de interacción. Así, la fuerza de arrastre no proviene de un arrastre físico de la partícula por parte de la referencia.
En situaciones estáticas (ausencia de movimiento de P respecto a NGal, [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{NGal}}(\mathbf{P})=\overline{0} }[/math]) o cuando la referencia NGal sólo se traslada respecto a una galileana ([math]\displaystyle{ \overline{\boldsymbol{\Omega}}_{\text {Gal }}^{\mathrm{NGal}}=\overline{0} }[/math]), la fuerza de inercia de Coriolis es nula.
✏️ Ejemplo D1-7.1
- Dos personas, que se modelizan como dos partículas P y Q con la misma masa m, están en reposo respecto a una plataforma giratoria y respecto al suelo, respectivamente.
- Si Q estudia la dinámica de P desde la referencia del suelo, no tendrá de incluir fuerzas de inercia porque, para este tipo de problema, la Tierra se considera galileana.
Si P estudia la dinámica de Q desde la referencia de la plataforma giratoria (que tiene el centro O fijo al suelo y gira con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]), como que es una referencia no galileana (no tiene un movimiento de translación rectilíneo y uniforme respecto al suelo), tendrá de incluir dos fuerzas de inercia:
- Fuerza de inercia de arrastre [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\mathrm{ar}\rightarrow \mathrm{Q}}^{-} }[/math]: ya que el movimiento de arrastre de Q es circular de centro O, radio R y velocidad angular asociada [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], la fuerza de arrastre será radial hacia fuera (centrífuga) y de valor [math]\displaystyle{ \ms\Rs\Omega_0^2 }[/math].
- Fuerza de inercia de Coriolis [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\mathrm{Cor}\rightarrow \mathrm{Q}}^{-} }[/math]: se obtiene a partir de la aceleración de Corilis:
[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\text {Cor } \rightarrow \mathbf{Q}}^{-}=-\mathrm{m} \overline{\mathbf{a}}_{\text {Cor }}(\mathbf{Q})=-\mathrm{m} 2 \overline{\boldsymbol{\Omega}}_{\mathrm{T}}^{\text {Plat }} \times \overline{\mathbf{v}}_{\text {Plat }}(\mathbf{Q})=-\mathrm{m} 2 \overline{\boldsymbol{\Omega}}_0 \times\left[\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{Q})-\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{Q})\right]=\mathrm{m} 2 \overline{\boldsymbol{\Omega}}_0 \times \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{Q}) }[/math]
Ya que la velocidad de arrastre es ortogonal a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] y la [math]\displaystyle{ \overline{\boldsymbol{\Omega}}_0 }[/math] es vertical, la fuerza de Coriolis es radial centrífuga (dirigida hacia O), y de valor [math]\displaystyle{ 2\ms\Rs\Omega_0^2 }[/math].
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