D4. Teoremas vectoriales
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\ss}{\textsf{s}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}} \newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}} \newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})} }[/math]
Los Teoremas Vectoriales son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica (segunda ley de Newton) y del principio de acción y reacción (tercera ley de Newton).
En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.
Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en dos grupos:
Incógnitas asociadas a grados de libertad
Los GL de un sistema mecánico pueden ser libres o actuados (o forzados, asociados a actuadores. En ambos casos, su valor inicial (el valor cuando empieza un experimento o se pone en marcha el sistema) es conocido. Cuando se trata de GL libres, la evolución de este valor inicial no se conoce: es una incógnita. Se dice que el problema es de dinámica directa.
Este es el caso también cuando se trata de GL actuados si la acción del actuador asociado es conocida (es decir, cuando se conoce el valor de [math]\displaystyle{ \Fs_{ac} }[/math] – en el caso de los actuadores lineales –, o de [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] – caso de los rotacionales). El problema también es de dinámica directa.
Las ecuaciones que rigen la evolución de los GL se llaman ecuaciones del movimiento. Si los GL se describen mediante derivadas temporales de coordenadas ([math]\displaystyle{ \dot{\qs}_i }[/math] , con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones).
Para un sistema con 2 GL libres descritos, por ejemplo, por ([math]\displaystyle{ \dot{\xs} }[/math], [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math]), estas ecuaciones tendrían el aspecto general siguiente:
La dependencia en las segundas derivadas temporales ([math]\displaystyle{ \ddot{\xs} }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math]) siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades ([math]\displaystyle{ \xs }[/math], [math]\displaystyle{ \theta }[/math], [math]\displaystyle{ \dot{\xs} }[/math], [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math]) puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).
En algunas ocasiones, las acciones de los actuadores ([math]\displaystyle{ \Fs_{ac} }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]) no se conocen, mientras que las evoluciones temporales de los GL actuados están prefijadas. Entonces, las incógnitas asociadas a los GL actuados son el valor de las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar estas evoluciones prefijadas. Se dic que el problema es de dinámica inversa.
Para el caso del ejemplo anterior, si está prefijada, las ecuaciones que describen las incógnitas del problema asociadas a los GL son:
donde [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] sería el par motor del actuador rotacional asociado al movimiento [math]\displaystyle{ \theta }[/math].
Incógnitas asociadas a enlaces
Son los valores de las componentes de los torsores de enlace. El número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos (enlaces directos , enlaces indirectos). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).
D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas
Consideremos un sistema de partículas de materia constante (Figura D4.1). El Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:
[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math], donde [math]\displaystyle{ \F{\rightarrow\Ps} }[/math] es la fuerza resultante de interacción sobre P.
La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): [math]\displaystyle{ \F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math]. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:
El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} }[/math]. El de la derecha se puede reescribir como [math]\displaystyle{ \Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right] }[/math], donde M es la masa total del sistema [math]\displaystyle{ \left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right) }[/math]. El término [math]\displaystyle{ \left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right] }[/math] es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado centro de masas (o centro de inercia) del sistema, y en este curso se designa con la letra G. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones (Figura D4.2):
En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:
Finalmente, el TCM se escribe como:
Esta ecuación se parece mucho a la segunda ley de Newton: el centro de masas G se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:
- la masa del sistema no está localizada en G (puede ser incluso que G esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);
- las fuerzas externas no están aplicadas a G en general.
El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del estado mecánico inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como [math]\displaystyle{ \sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R} }[/math]):
La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la sección D5.1. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de G se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.
En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.
D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM
✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace
 |
Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento (ejemplo D3.4). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes. |
Para que la fuerza de enlace [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: [math]\displaystyle{ (\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)] }[/math].
Esta ecuación contiene dos incógnitas: [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] y [math]\displaystyle{ \as_\Ts(\Gs_\Ss) }[/math]. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:
✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema
| Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión [math]\displaystyle{ \Fs_0=\ms\gs }[/math] y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse. |
Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: [math]\displaystyle{ \F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T} }[/math].
Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.
El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:
[math]\displaystyle{ |\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs }[/math]
[math]\displaystyle{ |\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs }[/math]
Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, [math]\displaystyle{ \as_\Ts(2\ms) = 0 }[/math]), pero no en el del bloque de masa m:
La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\ \sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs) }[/math]
Finalmente: [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs }[/math].
✏️ EJEMPLO D4.3: estudio de una condición límite
| La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo. |
Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite [math]\displaystyle{ /mu\ns }[/math] (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.
La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:
| SISTEMA: esfera + cuñas
[math]\displaystyle{ \left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs }[/math] |
SISTEMA: cuña de la izquierda
[math]\displaystyle{ \left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}} }[/math] |
SISTEMA: esfera
[math]\displaystyle{ \left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}} }[/math] |
Combinando las dos últimas ecuaciones: [math]\displaystyle{ \Ts = \Ms\gs/2 }[/math]. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: [math]\displaystyle{ \Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns }[/math]. Teniendo en cuenta que [math]\displaystyle{ N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs }[/math]:
[math]\displaystyle{ \Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu} }[/math]
D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas
La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis (Figura D4.3):
[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal} }[/math],
donde [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal} }[/math] y [math]\displaystyle{ \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} }[/math]
Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: [math]\displaystyle{ \sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal} }[/math], donde M es la masa total del sistema.
💭 Demostración ➕
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext} }[/math]
En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el centro de masas:
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el centre de masses (secció D4.2):
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} }[/math]
Así pues: [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal} }[/math]
✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio
| El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:
[math]\displaystyle{ \sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sop\rightarrow\Gs}= \vec{0}) }[/math] porque [math]\displaystyle{ \velang{sop}{T} = \vec{0} }[/math] |
La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a [math]\displaystyle{ N = mg }[/math]. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: [math]\displaystyle{ 0\leq\mid\Fs_{sop\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms }[/math]. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor [math]\displaystyle{ \mu\ms\gs }[/math], opuesta a la velocidad de deslizamiento.
Entre [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] y [math]\displaystyle{ t = 0,4s }[/math], la aceleración del soporte respecto al suelo es [math]\displaystyle{ \ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2 }[/math], y por tanto la fuerza de arrastre es [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$soporte}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms] }[/math]. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor [math]\displaystyle{ \F{sop\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2) }[/math],, contrarrestará la[math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} }[/math] y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.
Entre [math]\displaystyle{ t=0,4s }[/math] y [math]\displaystyle{ t = 0,6s }[/math], la aceleración del soporte respecto al suelo es 2[math]\displaystyle{ \ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2} }[/math]. Por tanto, [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] }[/math]. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:
[math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right) }[/math]
En el instante [math]\displaystyle{ t = 0,6s }[/math], la velocidad del bloque respecto al soporte es
[math]\displaystyle{ \vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) }[/math].
Aunque entre en la fase en la que [math]\displaystyle{ \mid\Fcal{ar}{sop\rightarrow G}\mid\lt \mu\Ms\gs }[/math], la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción [math]\displaystyle{ (\F{sop\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms]) }[/math] hasta conseguir parar el bloque.
La aceleración del bloque respecto al soporte es:
[math]\displaystyle{ \acc{G}{sop} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right) }[/math]
Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante [math]\displaystyle{ t_f }[/math] para el que el bloque deja de deslizar:
[math]\displaystyle{ \vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i) }[/math], [math]\displaystyle{ t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s }[/math]
En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta [math]\displaystyle{ \ts = 1,4s }[/math]. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo [math]\displaystyle{ [0,1,4s] }[/math]. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.
D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general
La dinámica de un sólido rígido (y por tanto, de un sistema multisólido) no queda nunca totalmente resuelta con el TCM cuando el sólido gira: el TCM sólo informa sobre el movimiento de un punto (G), y no sobre la rotación.
El Teorema del Momento Cinético (TMC) se encuentra enunciado de dos maneras distintas en la literatura. En este curso, se ha optado por una formulación paralela a la del TCM: a la izquierda aparecen términos que sólo tienen que ver con las interacciones externas sobre el sistema, mientras que a la derecha aparece la derivada temporal de un vector que depende sólo de la geometría de masas del sistema y de su estado mecánico.
Como ya se ha visto cuando se introdujo el concepto de torsor de un sistema de fuerzas, lo que se relaciona con la rotación de un sólido es el momento de las fuerzas, no la fuerza resultante. Por tanto, si bien el TMC se demuestra también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa del sistema, habrá que transformar las fuerzas que aparecen en momento de estas fuerzas respecto a un punto Q.
Estas dos consideraciones (formulación paralela al TCM y necesidad de escoger un punto Q para calcular el momento de las fuerzas) lleva a partir de la formulación de la segunda ley de Newton en la Referencia que se Traslada con Q (RTQ) respecto a una referencia galileana [math]\displaystyle{ \velang{RTQ}{RGal} = \vec{0} }[/math]. Si [math]\displaystyle{ \acc{Q}{RGal}\neq\vec{0} }[/math], esta referencia no es galileana, y por tanto hay que tener en cuenta en principio las fuerzas de inercia de arrastre (Figura D4.3).
Consideremos un sistema de partículas con materia constante. La segunda ley de Newton aplicada a cada partícula del sistema y en la RTQ es:
[math]\displaystyle{ \sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} }[/math] ,
donde [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal} }[/math] , y [math]\displaystyle{ \Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0} }[/math] ya que [math]\displaystyle{ \velang{RTQ}{RGal}=\overline{0} }[/math].
Si los dos lados de la ecuación se multiplican vectorialmente por [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] y se suma para todas las partículas (o elementos de masa) del sistema, se obtiene el TMC en el punto Q:
[math]\displaystyle{ \sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
donde [math]\displaystyle{ \Ms }[/math] es la masa total del sistema, y [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ} }[/math] es el momento cinético del sistema respecto al punto Q.
Si el sistema tiene elementos continuos (por ejemplo, un sistema con N sólidos rígidos [math]\displaystyle{ S_i }[/math]), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right ) }[/math].
💭 Demostración ➕
La segunda ley de Newton para cada elemento de masa multiplicada vectorialmente por [math]\displaystyle{ \QPvec\lt /math es: \lt math\gt \sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} }[/math]
El término de la derecha se puede reescribir como:
[math]\displaystyle{ \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math]
Al ser Q un punto de la RTQ, se puede tomar como origen de un vector de posición de P en esta referencia. Por tanto:
[math]\displaystyle{ \vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math] [math]\displaystyle{ =\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math]
Teniendo en cuenta que la masa es constante:
[math]\displaystyle{ \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} }[/math]
La suma de este término para todos los elementos P conduce a:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
Si las fuerzas de interacción sobre cada partícula P se clasifican en internas y externas, la suma para todas las partículas del sistema del lado izquierdo de la primera ecuación se convierte en:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}= }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , }[/math]
ya que el principio de acción y reacción garantiza que el momento total de una pareja de fuerzas de acción y reacción es nulo:
[math]\displaystyle{ \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0} }[/math]
Agrupando todos los términos:
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares
El TMC toma expresiones más sencillas cuando el punto Q es fijo a una referencia galileana o cuando es el centro de masas del sistema.
- [math]\displaystyle{ \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). }[/math] De manera concisa, llamamos a esta versión “TMC en punto fijo”, donde se sobreentiende que “fijo” quiere decir “fijo a una referencia galileana”. En este caso, normalmente utilizaremos la letra O para designar el punto Q.
- [math]\displaystyle{ \Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs). }[/math] Hay que notar que, si bien la expresión es similar a la versión en punto fijo, el centro de masas G no tiene por qué ser fijo a una referencia galileana.
Cuando Q no es ni un punto fijo a RGal ni coincide con el centro de masas, se suele hablar de la versión del TMC “en punto móvil”. Aunque Q sea un punto móvil respecto a RGal, el término asociado a las fuerzas de inercia [math]\displaystyle{ \left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right) }[/math] puede ser nulo si Q se mueve a velocidad constante respecto a RGal, o si su aceleración respecto a RGal es paralela a [math]\displaystyle{ \QGvec }[/math].
| TMC en punto fijo | TMC en [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] | TMC en punto móvil [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] |
|---|---|---|
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os) }[/math] |
[math]\displaystyle{ \quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad }[/math] |
[math]\displaystyle{ \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad }[/math] |
El vector momento cinético [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) }[/math] no es sencillo de calcular en general, y se presenta en la unidad D5.
En problemas de cinemática plana (2D), si el momento cinético [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is) }[/math] de cada sólido del sistema que se estudia es paralelo a la velocidad angular del sólido [math]\displaystyle{ \velang{Si}{RTQ} }[/math] (que es de dirección ortogonal al plano del movimiento), sólo la componente del TMC perpendicular al plano es interesante. Se dice entonces que el problema es de dinámica plana (2D), y el problema se puede hacer a partir de dos componentes del TCM y de una del TMC.
En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.
TMC en un punto de contacto entre dos sólidos
Un enlace que aparece a menudo en los sistemas mecánicos es el contacto puntual entre parejas de sólidos (S1 y S2, por ejemplo). Este enlace puede introducir entre 1 y 3 incógnitas de enlace (según la rugosidad de las superficies y la cinemática del contacto – con o sin deslizamiento). Cuando estas fuerzas no se quieren calcular, es tentador aplicar el TMC en el punto de contacto J (ya que su momento respecto a J es nulo).
La aplicación del TMC en J es muy delicada. Hay que precisar de qué punto J se habla (ejemplo C5-1.8): si se trata del J del sólido S1 [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{S}1}) }[/math], del sólido S2 [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{S}2}) }[/math], o bien si es el punto geométrico de contacto [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{geom}}) }[/math]. Por un lado, estos tres puntos tienen cinemáticas distintas [math]\displaystyle{ \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right) }[/math], y el término complementario asociado al momento de las fuerzas de inercia [math]\displaystyle{ \left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right) }[/math] es distinto. Por otro lado, si por ejemplo el TMC se aplica al sólido S1, hay que tener presente que, aunque [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{S}1} }[/math] pertenece a S1 y se puede calcular el momento cinético a partir del tensor de inercia, [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{S}1} }[/math] y [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{geom}} }[/math] no pertenecen a S1, y hay que hace la descomposición baricéntrica para calcular este vector.
Finalmente, ya que hay que derivar el momento cinético, hay que calcularlo en una configuración general (es decir, cuando J no es aún el punto de contacto), y sólo después de haber hecho la derivada se puede particularizar el resultado a la configuración en que J es el punto de contacto. Como ilustración de todo ello, el esquema siguiente muestra la aplicación del TMC a una rueda con movimiento plano que toca al suelo y desliza.
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{rueda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{rueda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{rueda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ} }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
}[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\ \dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) \end{array}\right. }[/math]
D4.6 Exemples d’aplicació del TMC
✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica
| El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{Q} }[/math] ). Es tracta de calcular el valor mínim de [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{Q} }[/math] que permet l’equilibri. És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són: |
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\overline{0} }[/math] i la força externa total ha de ser zero. Per tant:
[math]\displaystyle{ \Ns_\Ps=\Ns_\Qs }[/math] , [math]\displaystyle{ \ms\gs=\Ts_\Qs }[/math]
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] ha arribat al seu valor màxim possible: [math]\displaystyle{ \Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs }[/math]. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular [math]\displaystyle{ \Ns_\Qs }[/math] , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], com a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] o a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], el moment cinètic és zero:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}. }[/math]
Per tant: [math]\displaystyle{ \Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. }[/math]
✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood
| Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són [math]\displaystyle{ (\gs \approx 10 \ms/\ss^2) }[/math] : |
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] :
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) }[/math]
Per la definició de centre de masses: [math]\displaystyle{ \int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} }[/math] . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial [math]\displaystyle{ \OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc}) }[/math] només contribueix la component horitzontal de [math]\displaystyle{ \OGvec_\mathrm{bloc} }[/math] . Així doncs:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs} }[/math]
Resolución alternativa
Si se aplica el TMC al punto O para el sistema formado por las poleas y las cuerdas, el peso de los bloques ya no aparece como interacción externa, pero aparecen en cambio las tensiones de las dos cuerdas (que son incógnitas de enlace).
El momento cinético del sistema es nulo porque no tiene masa:
SIST: poleas + cuerdas
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0 }[/math]
La aplicación del TCM a cada uno de los bloques genera dos ecuaciones más:
SIST: bloque de 10kg
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta}) }[/math]
SIST: bloque de 5kg
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta}) }[/math]
La resolución del sistema de ecuaciones conduce a [math]\displaystyle{ \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs} }[/math].
La primera resolución es más rápida (solo utiliza una ecuación escalar), pero implica el cálculo del momento cinético. Esta segunda resolución es más larga (sistema de tres ecuaciones) pero no requiere calcular ningún momento cinético.
✏️ EJEMPLO D4.7: dinámica longitudinal de un vehículo
| El vehículo sin suspensiones se mueve sobre una carretera rectilínea. La masa de las ruedas es despreciable comparada con la del resto de los elementos, y se considera que su contacto con el suelo es puntual. Se trata de analizar las fuerzas normales de enlace entre suelo y ruedas.
Es un problema de dinámica plana. Las fuerzas externas sobre el vehículo se reducen al peso y al enlace con el suelo. Si la aceleración del chasis respecto al suelo es un dato, la aplicación del TCM conduce a: |
|
[math]\displaystyle{ \sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\ [\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts) \end{aligned}\right. }[/math] donde [math]\displaystyle{ (\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs}) }[/math] y [math]\displaystyle{ (\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs}) }[/math] son las fuerzas normal y tangencial que en total reciben las dos ruedas delanteras y las dos traseras, respectivamente. El TMC en G conduce a: [math]\displaystyle{ \sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0 }[/math] (el momento cinético [math]\displaystyle{ \vec{H}_{RTG}(\Gs) }[/math] es permanentemente nulo ya que las ruedas no tienen masa, y el resto del vehículo tiene movimiento nulo respecto a la RTG). |
Resolviendo el sistema de ecuaciones: [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, }[/math]
Este resultado es válido para cualquier valor de [math]\displaystyle{ \as_\Ls }[/math]:
- Situación estática ([math]\displaystyle{ \as_\Ts = 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; la fuerza normal es mayor en las ruedas que tienen el eje más cerca de G.
- Acelerando ([math]\displaystyle{ \as_\Ls \gt 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; hay un trasvase de fuerza de delante hacia detrás (se cargan las ruedas traseras y se descargan las delanteras). Si la aceleración [math]\displaystyle{ |\as_\Ts| }[/math] es suficientemente elevada, la fuerza normal delantera pasa a ser negativa, cosa que indica que se ha perdido el contacto y el vehículo vuelca en sentido antihorario. Entonces, [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = 0 }[/math], el chasis pasa a tener, en principio, aceleración angular, y como consecuencia el centro de masas G adquiere aceleración vertical.
- Frenando ([math]\displaystyle{ \as_\Ls \lt 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; hay un trasvase de fuerza del atrás hacia delante (se descargan las ruedas traseras y se cargan las delanteras). Como en el caso precedente, hay un valor crítico de [math]\displaystyle{ |\as_\Ts| }[/math] que provoca el vuelco, esta vez en sentido horario.
D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç
La aplicación de los teoremas vectoriales a los Sòlidos Auxiliares de Enlace (SAE) es sencilla ya que los términos de la derecha (variación de cantidad de movimiento y variación de momento cinético) son nulos por ser nula su masa:
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{cualquier} \hspace{0.2cm} \mathrm{punto}) \approx \overline{0}. }[/math]
Para el caso de un SAE (sólido S) que conecta dos sólidos rígidos S1 y S2 (Figura D4.5), estas ecuaciones permiten demostrar que el torsor que actúa sobre S1 se puede obtener a partir de una ecuación de caracterización analítica donde la cinemática del punto P de caracterización (que tiene que pertenecer al sólido S1) se evalúa en la referencia solidaria a S2:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0. }[/math]
(Cuando se trata de velocidades, es importante especificar a qué sólido pertenece el punto P. Esto, en cambio, es irrelevante cuando se trata de momentos: [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps) }[/math]).
💭 Demostración ➕
Los teoremas vectoriales aplicados sobre el SAE implican que los torsores de enlace que recibe de S1 y S2 en un mismo punto P han de sumar cero:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right. }[/math]
Por otro lado, estos torsores cumplen la ecuación de caracterización analítica:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. }[/math]
Si se combinan todas las ecuaciones anteriores, se obtiene:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. }[/math]
Una composición de movimientos permite reescribir la ecuación anterior de manera más compacta:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) }[/math]
Finalmente: [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0. }[/math]
✏️ EJEMPLO D4.8: dinámica longitudinal de un vehículo
| En el vehículo del ejemplo D4.7, se considera que la tracción es posterior. Esto quiere decir que el motor del vehículo actúa entre el chasis y las ruedas posteriores, mientras que las delanteras sólo están sometidas a interacciones de enlace (articulación con el chasis y contacto con el suelo).
Si se tratan las ruedas delanteras como SAE, el análisis cinemático del chasis respecto al suelo para la caracterización del enlace a través de las ruedas delanteras conduce a un torsor en el centro de la rueda (que es fijo al chasis) con sólo una componente de fuerza: |
La existencia de una componente horizontal de fuerza entre las ruedas posteriores (¡necesaria para acelerar o frenar el vehículo!) está asociada al par motor. Si se aplican los teoremas vectoriales a las ruedas posteriores, las interacciones externas a tener en cuenta son el enlace con el suelo, la articulación con el chasis y el par motor [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]:
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{ruedas} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TCM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{en} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. }[/math]
La fuerza tangencial sobre las ruedas motrices es directamente proporcional al par motor que se les aplica. Sin embargo, hay que recordar que, como fuerza tangencial de enlace, su valor está limitado por [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} }[/math]. Esto permite calcular la aceleración máxima que puede adquirir el vehículo (mientras la rueda delantera no pierda el contacto con el suelo):
[math]\displaystyle{ \left.\as_\Ts (\mathrm{vehículo})\right]_\mathrm{máx}= \Ts_\mathrm{dr,máx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} }[/math].
En terrenos de bajo rozamiento ([math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math] de valor bajo), un motor capaz de suministrar un par máximo alto es inútil: quien pone límite a la aceleración es el valor del coeficiente de fricción [math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math]: [math]\displaystyle{ \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms }[/math].
En terrenos de alto rozamiento, si el par máximo es bajo, es él el que pone límite a la aceleración: [math]\displaystyle{ \left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs }[/math] (si la rueda delantera no pierde contacto con el suelo).
D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético
La versión del TMC que se ha presentado permite escoger libremente el punto Q de aplicación. El criterio para escogerlo se basa en lo que se quiera investigar (una fuerza de enlace, una ecuación del movimiento...). En la unidad D6 se discute este criterio.
En algunos casos, puede ser interesante escoger un punto Q que no pertenezca a ningún elemento material del sistema. Entonces, es útil referir el cálculo del momento cinético [math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} }[/math] al momento cinético en el centro de masas G del sistema, [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG} }[/math]. Esto se conoce con el nombre de descomposición baricéntrica del momento cinético:
[math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ} }[/math],
donde el superíndice [math]\displaystyle{ \oplus }[/math] indica que el momento cinético debe calcularse como si el sistema se hubiera reducido a una partícula concentrada en G con masa igual a la masa total del sistema (M):
[math]\displaystyle{ \H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} }[/math]
💭 Demostración ➕
- La definición de momento cinético de un sólido rígido S es: [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) }[/math]. La velocidad [math]\displaystyle{ \vel{P}{RTQ} }[/math] se puede escribir como suma de dos términos si se aplica una composición de movimientos:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ} }[/math]
- Por tanto: [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ} }[/math].
- La definición de centro de masas lleva a reescribir el segundo término como:
- [math]\displaystyle{ \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} }[/math], que coincide con el momento cinético respecto a Q de una partícula de masa M situada en G: [math]\displaystyle{ \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ} }[/math].
- En el primer término de la expresión de [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} }[/math], se puede descomponer [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] en suma de dos términos:
- [math]\displaystyle{ \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG} }[/math]
- Por definición de centro de masas: [math]\displaystyle{ \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0} }[/math].
- Por tanto: [math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ} }[/math].
✏️ EJEMPLO D4.9: descomposición baricéntrica
| El sólido está formado por dos barras de masa despreciable y cuatro partículas (P) con masa m unidas a los extremos de las barras. El sólido está articulado a un soporte que puede moverse a lo largo de una guía fija al suelo. Su momento cinético en G es:
[math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} }[/math] La RTG es fija al soporte, y la velocidad de las partículas respecto a esta referencia es proporcional a la rotación [math]\displaystyle{ \omega }[/math]: [math]\displaystyle{ |\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega }[/math]. Por tanto: [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) }[/math] |
- El momento cinético en O (fijo al suelo) se puede calcular a partir de [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG} }[/math] mediante descomposición baricéntrica:
- [math]\displaystyle{ \H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} = }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs) }[/math]
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