D2. Fuerzas de interacción entre partículas
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math]
La segunda ley de Newton se puede utilizar para predecir la aceleración de una partícula P cuando se conocen todas las fuerzas de interacción que el resto de partículas (Q) ejercen sobre ella ([math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math]), o para calcular las que hacen falta para garantizar un movimiento predeterminado ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\Rs\mathbf{P}}(\ts) }[/math]).
Esta sección trata de las fuerzas de interacción entre partículas, tanto formulables como no formulables. Formular una interacción es encontrar una expresión matemática que permita calcular su valor en cada instante a partir del conocimiento del estado mecánico de las partículas y de constantes asociadas al tipo de fenómeno de interacción. Cuando una fuerza no es formulable, es una incógnita del problema dinámico.
D2.1 Dependencia cinemática de las fuerzas de interacción
De acuerdo con el Principio de la Determinación, a cada instante de tiempo t las fuerzas de interacción entre dos partículas P y Q solo pueden depender de la posición y la velocidad de las partículas en ese instante de tiempo:
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{p} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{P}, \mathrm{t})=\overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}}\left(\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{P}, \mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{Q}, \mathrm{t})\right)=-\mathrm{m}_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{Q}, \mathrm{t}) . }[/math]
El Principio de Relatividad de Galileo (equivalencia de las referencias galileanas para la formulación de la dinámica) impone restricciones al tipo de dependencia de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] en posiciones y velocidades:
- La homogeneidad del espacio en referencias galileanas impide que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] dependa de las posiciones [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}} }[/math] por separado, pero permite la dependencia en su diferencia [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P}\Qs}(=\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}-\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}) }[/math].
- La isotropía del espacio en referencias galileanas impide que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] dependa de las velocidades de P y Q por separado (ya que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal1 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) \neq \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal2 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) }[/math]), pero permite que dependa de su diferencia: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q}) \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}} }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall \mathrm{Gal}} }[/math] es el mismo independientemente de la referencia Gal (por eso se ha puesto el subíndice [math]\displaystyle{ \forall }[/math]Gal', que quiere decir “para toda referencia Gal”). En general, [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\text {Gal }} }[/math] tiene una componente paralela a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math], y una perpendicular a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math]: [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}}=\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\| \overline{\mathbf{P Q}}}+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\perp \overline{\mathbf{P Q}}} \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}} }[/math]. Pero la isotropía del espacio tampoco permite que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] dependa de una dirección que no sea [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math] (como se ha visto cuando se ha presentado la Tercera Ley de Newton). Por tanto, se acepta la dependencia en el vector pero solo en el valor de [math]\displaystyle{ \left|\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}}\right| }[/math] (aunque usualmente esta última dependencia no aparece).
💭 Demostración ➕
Consideremos dos referencias galileanas cualesquiera RGal1 y RGal2. La velocidad de las partículas P y Q respecto a RGal2 se puede expresar a partir de la que tienen en la referencia RGal1 mediante una composición de velocidades. Si AB=RGal2 y REL=RGal1:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right]= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right] }[/math]
Al ser galileanas las dos referencias, su movimiento relativo es de translación [math]\displaystyle{ \left(\bar{\Omega}_{\mathrm{RGal1}}^{\mathrm{RGal2}}=\overline{0}\right) }[/math], y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 }) . }[/math]
Finalmente: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q}) }[/math].
La Figura D2.1 resume todas estas restricciones.
D2.2 Clasificación de las fuerzas de interacción
Si en el universo solo hubiera partículas sin dimensiones y sin elementos de conexión entre ellas, la lista de interacciones posibles sería muy reducida: en el ámbito mecánico, solo se podría hablar de la fuerza de atracción gravitatoria, que se produce “a distancia” . Hablar de interacción de contacto entre partículas ([math]\displaystyle{ \rho = 0 }[/math]) no es posible: si P y Q “se ponen en contacto”, al estar la ubicación de cada una de ellas definida por un punto, no queda determinada la dirección de la interacción. Por otro lado, dos partículas no pueden ocupar un mismo punto del espacio.
Estrictamente hablando, pues, solo se puede hablar de interacción de contacto entre una partícula P y una partícula Q que pertenece a un sólido rígido [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math], o entre partículas P y Q si ambas pertenecen a sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{P} }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math]. Estas interacciones se tratan en la unidad D3.
Cuando P y Q interaccionan a distancia [math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math], se habla de interacción directa. Si no están en contacto ([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]) pero entre ellas existe un elemento que hace de intermediario, se habla de interacción indirecta a través del elemento. En dinámica, se consideran elementos intermedios (EI) todos los que son de masa despreciable comparada con la de las partículas P y Q (si no forman parte de ningún sólido rígido) o con la de los sólidos a los que pertenecen.
Las fuerzas que se transmiten entre P y Q a través de estos elementos cumplen el Principi d’Acció-Reacció: tienen el mismo valor, la misma dirección [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{PQ}} }[/math] pero sentidos opuestos (Figura D2.2).
Los elementos intermedios se tratan como una caja negra: las fuerzas que introducen entre sus extremos provienen de deformaciones y de fenómenos que estan fuera del alcance del modelo de sólido rígido que se considera en este curso (por ejemplo, fenómenos ligados a la dinámica de fluidos, termodinámicos o electromagnéticos), y por tanto no se estudia lo que sucede en su interior sino que se busca solo una descripción fenomenológica de sus consecuencias en las partículas entre las que actúan.
En este curso, se consideran cuatro elementos intermedios entre partículas:
- Muelles: las fuerzas que introducen entre dos partículas provienen de su deformación; estas fuerzas pueden ser de atracción o de repulsión (en este caso, pueden estar condicionadas al guiado del elemento para que no se doblen lateralmente), y permiten movimientos relativos entre P y Q de cualquier signo.
- Amortiguadores: introducen fuerzas, asociadas a menudo a la viscosidad de fluidos, que se oponen al movimiento relativo entre P y Q ; en ausencia de movimiento relativo inicial ([math]\displaystyle{ \dot{\rho}_\mathrm{inic}=0 }[/math]), estos elementos no introducen ninguna fuerza.
- Actuadores lineales: su funcionamiento se basa en fenómenos muy diversos, según si se trata de actuadores hidráulicos, neumáticos, eléctricos o magnéticos; ejercen fuerzas que pueden ser predeterminadas (es decir, que se conocen a lo largo del tiempo: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{acc.lin}(\ts) }[/math] es un dato del problema) o las adecuadas para controlar movimientos relativos predeterminados [math]\displaystyle{ \dot{\rho}(\ts) }[/math], tanto de acercamiento como de separación;
- Hilos inextensibles: impiden que las partículas se separen (impiden [math]\displaystyle{ \dot{\rho} \gt 0 }[/math]) pero no que se acerquen (permiten [math]\displaystyle{ \dot{\rho} \lt 0 }[/math]). Al tratarse de un elemento intermedio que prohíbe un movimiento, la fuerza que introduce se llama fuerza de restricción o de enlace.
La Figura D2.3 clasifica las interacciones entre partículas que se consideran en este curso, según si son directas o indirectas, formulables o no formulables.
D2.3 Atracción gravitatoria
La fuerza de interacción gravitatoria (ley de gravitación universal) fue formulada por Newton. Es una fuerza de atracción, y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las partículas (Figura D2.4). Se trata de una formulación empírica: se basa en observaciones astronómicas acumuladas durante muchos años.
[math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0 }[/math] es la constante gravitatoria universal, y su valor es [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0=6,67\cdot 10^{-11} \mathrm{m}^3/(\mathrm{Kg}\cdot \mathrm{s}^2) }[/math]
La distancia entre partículas ([math]\displaystyle{ \rho }[/math]) se tiene que expresar en función de las coordenadas que se hayan escogido para describir la configuración del sistema.
✏️ EJEMPLO D2.1: atracción gravitatoria entre dos satélites
- Dos satélites P y Q, modelizados como partículas de masas [math]\displaystyle{ \ms_\Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{Q} }[/math], describen en un mismo plano órbitas circulares de radios [math]\displaystyle{ \rs_\Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \rs_\mathrm{Q} }[/math], respectivamente, alrededor de un planeta. La configuración del sistema se describe mediante los ángulos [math]\displaystyle{ \theta_\Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \theta_\mathrm{Q} }[/math].
- La fuerza gravitatoria que se ejercen mutuamente es:
- [math]\displaystyle{ \rho=|\overline{\mathbf{P Q}}|=|\overline{\mathbf{O Q}}-\overline{\mathbf{O P}}|=\sqrt{\left(\rs_\mathrm{Q} \sin \theta_\mathrm{Q}-\rs_\Ps \sin \theta_\Ps\right)^2+\left(\rs_\mathrm{Q} \cos \theta_\mathrm{Q}-\rs_\Ps \cos \theta_\Ps\right)^2}=\sqrt{\rs_\mathrm{Q}^2+\rs_\Ps^2-2 \rs_\mathrm{Q} \rs_\Ps \sin \left(\theta_\mathrm{Q}+\theta_\Ps\right)}
}[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\Ps \leftrightarrow \mathrm{Q}}^{\text {grav }}=\mathrm{G}_0 \frac{\ms^2}{\rs_\mathrm{Q}^2+\rs_\Ps^2-2 \rs_\mathrm{Q} \rs_\Ps \cos \left(\theta_\Ps-\theta_\mathrm{Q}\right)} }[/math]
D2.4 Interacción a través de muelles lineales
Los muelles introducen fuerzas atractivas o repulsivas entre sus extremos en función de su deformación. A partir de su longitud natural [math]\displaystyle{ \rho_\mathrm{nat} }[/math] (para la que no es produce fuerza alguna entre los extremes del muelle), un alargamiento ([math]\displaystyle{ \rho-\rho_\mathrm{nat} \gt 0 }[/math]) provoca fuerzas atractivas mientras que un acortamiento ([math]\displaystyle{ \rho-\rho_\mathrm{nat} \lt 0 }[/math]) las provoca repulsivas.
La formulación matemática de estas fuerzas se obtiene de manera empírica a partir de ensayos que miden la fuerza en función del cambio de longitud. Habitualmente, se parte de una configuración estática en la que la longitud [math]\displaystyle{ \rho_0 }[/math] del muelle no tiene por qué coincidir con la natural. Si [math]\displaystyle{ \rho_0 \gt \rho_\mathrm{nat} }[/math], la fuerza [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] entre los extremos del muelle para esta configuración es atractiva. En caso contrario ([math]\displaystyle{ \rho_0 \lt \rho_\mathrm{nat} }[/math]), [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] es repulsiva.
Los muelles lineales que se consideran en este curso son de comportamiento lineal: la variación de fuerza [math]\displaystyle{ \Delta\mathrm{F} }[/math] a partir del valor de referencia ([math]\displaystyle{ \Delta\mathrm{F}=\mathrm{F}-\mathrm{F}_0 }[/math]) es proporcional a la variación de longitud [math]\displaystyle{ \Delta\rho=\rho-\rho_0 }[/math] a través de una constante k
Un muelle que forma parte de un sistema mecánico puede introducir fuerzas atractivas y repulsivas a lo largo de su funcionamiento. A pesar de eso, estas fuerzas se dibujan con un criterio único (atractivas o repulsivas), y se formulan de manera que su valor puede tener signo positivo o negativo. De esta manera, con un único dibujo se pueden reproducir fuerzas tanto atractivas como repulsivas (Figura D2.5).
✏️ EJEMPLO D2.2: fuerza de atracción de un muelle de comportamiento lineal
- El muelle de comportamiento lineal actúa entre las partículas P y Q que se mueven dentro de dos guías paralelas. Para [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2 }[/math], el muelle está estirado y la fuerza que ejerce entre sus extremos es [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math].
- Para [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2 }[/math], la longitud del muelle es L y la fuerza [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] es de atracción. Para [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1 \neq \mathrm{x}_2 }[/math], la longitud aumenta y la fuerza de atracción también.
- La expresión de la fuerza del muelle para una configuración general como fuerza atractiva es:
[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{at}^\mathrm{muella}=\mathrm{F}_0+k\Delta\rho=\mathrm{F}_0 + k [\rho(\mathrm{x}_1 \neq \mathrm{x}_2)-\rho(\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2)]=\mathrm{F}_0 + k[\sqrt{\mathrm{L}^2+(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)^2}-\mathrm{L}] }[/math].
D2.5 Interacción a través de amortiguadores lineales
Los amortiguadores lineales introducen fuerzas atractivas o repulsivas entre sus extremos en función de su velocidad de deformación [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math]. Cuando los extremos del amortiguador se separan, la fuerza es atractiva; cuando se acercan, es repulsiva. A diferencia de los muelles, los amortiguadores no ejercen ninguna fuerza entre sus extremos en situaciones estáticas.
La fuerza asociada a los amortiguadores lineales de comportamiento lineal es proporcional a esa velocidad [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{at}^\mathrm{amort}=c\dot{\rho} }[/math] , [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{rep}^\mathrm{amort}=-c\dot{\rho} }[/math]
En los sistemas mecánicos, los amortiguadores aparecen a menudo en paralelo con un muelle. En este caso, la fuerza se formula de acuerdo con el criterio que se ha escogido para el muelle. Cuando no forman parte de un grupo muelle-amortiguador, el criterio se fija arbitrariamente.
✏️ EJEMPLO D2.4: fuerza de repulsión de un amortiguador de comportamiento lineal
- La fuerza de repulsión del amortiguador se obtiene a partir del alargamiento calculado en el ejemplo D2.2 por derivación:
- [math]\displaystyle{ \rho=\sqrt{\mathrm{L}^2+(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)^2}\equiv \sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2} \Rightarrow \dot{\rho}= \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\mathrm{z}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{z}\dot{\mathrm{z}}}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{rep}^\mathrm{amort}=-c \frac{\mathrm{z}\dot{\mathrm{z}}}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2}}=-c\frac{(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)(\dot{\mathrm{x}}_1-\dot{\mathrm{x}}_2)}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2})^2}} }[/math]
D2.6 Interacción a través de actuadores lineales
Los actuadores lineales estan presentes en la gran mayoría de sistemas mecánicos, y son responsables del control de su movimiento. Al ser elementos basados en fenómenos no estrictamente mecánicos, su formulación en el contexto de la dinámica newtoniana no es posible. El tratamiento que se les da es diferente al de los otros elementos intermedios. Se consideran dos situaciones:
- La fuerza que introducen entre sus extremos es un dato del problema: esto quiere decir que es conoce su valor a lo largo del tiempo: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{ac.lin.}=\mathrm{F}_\mathrm{ac.lin.}(\ts) }[/math]. El movimiento que producen, en este caso, es una incógnita del problema (Figura D2.6a).
- La fuerza que introducen entre sus extremos es la necesaria para garantizar un movimiento predeterminado conocido [math]\displaystyle{ \dot{\rho}(\ts) }[/math]. En este caso, esta fuerza es una incógnita (Figura D2.6b).
D2.7 Interacciones de enlace
Las fuerzas de enlace restringen los movimientos relativos entre las partículas, entre partículas y superficies, o entre sólidos. Estas fuerzas provienen de las pequeñas deformaciones de los elementos intermedios que conectan las partículas, de las deformaciones locales de la superficie o de la de los sólidos, respectivamente. Este curso trata de la dinámica de objetos rígidos, y por tanto estas deformaciones (y por consiguiente las fuerzas de interacción asociadas) no se pueden formular: son incógnitas del problema dinámico.
Las fuerzas de enlace se adaptan para garantizar las restricciones, pero siempre dentro de unos rangos permitidos. Más allá de estos rangos, se dice que se ha superado la condición límite, el enlace deja de actuar, y la fuerza de enlace es sustituida por una fuerza formulable o bien deja de haber interacción.
Cuando un sistema contiene enlaces, hay que caracterizarlos: ver qué dirección pueden tener las fuerzas asociadas y cuáles son las condiciones límite asociadas. Esta dirección es la de las restricciones cinemáticas que es capaz de garantizar.
Esta sección trata de la caracterización del enlace indirecto entre partículas a través de un hilo, y del enlace directo entre una partícula y un sólido. Los enlaces entre sólidos (directos e indirectos) se tratan en la unidad D3.
Enlace indirecto a través de hilos inextensibles
Los hilos inextensibles de masa despreciable son elementos intermedios que impiden que las partículas se separen pero no que se acerquen.
Consideremos dos partículas P y Q unidas mediante un hilo. Si con las manos se ejerce una fuerza sobre cada partícula en el sentido adecuado para intentar separarlas, el hilo introduce una fuerza en sentido contrario per impedirlo: es la fuerza de enlace que se transmite entre P y Q a través del hilo, y es de tracción. Si las fuerzas de las manos sobre las partículas tienen sentido contrario, el hilo se destensa y no es capaz de garantizar el enlace: a través del hilo una partícula puede estirar a la otra pero no la puede empujar. Por tanto, la fuerza de tracción no puede ser negativa: si después de resolver un problema se concluye que la fuerza necesaria para mantener el enlace a través del hilo tiene hacerse negativa ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{hilo}\lt 0 }[/math]), eso indica que el enlace ha dejado de actuar (el hilo ha perdido tensión y es como si no estuviese, Figura D2.7a). Se trata de un enlace unilateral.
Por otro lado, el hilo permite el movimiento de P (de Q) sobre una superficie esférica centrada en Q (en P): en las direcciones tangentes a estas superficies, el hilo no puede introducir ninguna fuerza (Figura D2.7b). En otras palabras: la fuerza de enlace es ortogonal al movimiento relativo permitido:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{P}} \cdot \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RTQ }}(\mathbf{P})=0, \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{Q}} \cdot \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RTP }}(\mathbf{Q})=0 }[/math]
La condición límite en este tipo de enlace la establece el límite de ruptura del hilo: para cada tipo de material, existe una fuerza ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{ruptura}} }[/math]) a partir de la cual el hilo se rompe. Si al resolver un problema de dinámica donde interviene un hilo se detecta que la fuerza para garantizar el enlace es mayor que este valor límite ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{hilo}}\gt \mathrm{F}_{\mathrm{ruptura}} }[/math]), hay que rehacer el problema suprimiendo el hilo (cosa que aumenta el número de GL del sistema que se estudia).
Enlace directo entre una partícula P y un sólido rígido S liso
La presencia del sólido S, en contacto con la partícula P, es un obstáculo para ciertos movimientos de P. La fuerza de enlace de S sobre P es la descripción dinámica de este obstáculo.
El análisis cinemático de P para caracterizar la fuerza de enlace se hace desde S, que es el elemento responsable de esta fuerza. Esto permite enfatizar las direcciones de los movimientos de P para las que S constituye un obstáculo: son las direcciones en las que aparece un valor nulo de velocidad.
La Figura D2.8 presenta la caracterización del contacto entre P y S cuando el sólido es liso. Se trata de un enlace unilateral: la fuerza de enlace sobre la partícula en la dirección normal a la superficie en el punto de contacto solo puede ser repulsiva, ya que no as capaz de retener la partícula en caso de que alguna interacción quiera alejarla del sólido. Igual que en el caso de enlaces indirectos entre partículas a través de hilos inextensibles, hay una condición de ortogonalidad entre la fuerza de enlace y la velocidad permitida de P respecto a S. El hecho de que haya deslizamiento implica que se permite el movimiento de P respecto a S en cualquier dirección del plano tangente al sólido en el punto de contacto: el contacto no introduce ninguna componente de fuerza en estas direcciones.
Enlace directo entre una partícula P y un sólido rígido S rugoso
Cuando la superficie del sólido S es rugosa y la partícula P no desliza sobre ella (Figura D2.9), la fuerza de enlace puede tener componentes no nulas en las dos direcciones tangenciales. A diferencia de la fuerza normal, estas componentes pueden tener cualquier signo, pero su resultante no puede superar un valor máximo [math]\displaystyle{ \sqrt{\Fs_1^2 + \Fs_2^2}\leq\Fs_{\text{t, màx}}^{\text{enllaç}} }[/math]. En el modelo de rozamiento seco, este valor depende de la rugosidad: cuanto más rugosa la superficie, más alto el valor máximo (D2.8 Fricción).
D2.8 Fricción
Cuando la partícula P se mueve respecto a la superficie rugosa del sólido S, la fuerza tangencial no es de enlace sino de fricción, y siempre se opone a la velocidad de P respecto a S: [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\mathrm{S}\rightarrow\Ps}^\text{fricción} = -|\vec{\Fs}_{\mathrm{S}\rightarrow\Ps}^\text{fricción}|\frac{\vel{P}{S}}{|\vel{P}{S}|} }[/math].
Hay diversos modelos para formular el valor de [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricción} }[/math], según las características del contacto entre P y S.
Modelo de rozamiento seco de Coulomb
La rugosidad de la superficie de S se describe mediante coeficientes de fricción. Cuando la rugosidad es isótropa (igual en todas las direcciones) se definen dos coeficientes de fricción:
- coeficiente de fricción estático [math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math]: define el valor máximo (condición límite) de la fuerza tangencial de enlace: [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_\text{t, màx}^\text{enllaç} = \mu_\es\Ns }[/math]. Si para garantizar que P no desliza sobre S se necesita una fuerza superior a [math]\displaystyle{ \mu_\es\Ns }[/math], se produce deslizamiento y aparece la fuerza de fricción [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció} }[/math] (Figura D2.10a).
- coeficiente de fricción dinámico [math]\displaystyle{ \mu_\ds }[/math]: define el valor de la fuerza de fricción: [math]\displaystyle{ |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}| = \mu_\ds\Ns }[/math] (Figura D2.10b).
coeficient de fricció dinàmic [math]\displaystyle{ \mu_\ds }[/math]: defineix el valor de la força de fricció [math]\displaystyle{ |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}| = \mu_\ds\Ns }[/math] (Figura D2.10b)
Modelo de rozamiento viscoso
Es un modelo muy adecuado cuando entre P y S hay una cierta lubrificación. La fuerza de fricción se formula en función de la velocidad relativa entre los dos. Si es un modelo lineal: [math]\displaystyle{ |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}| = \cs|\vel{P}{S}| }[/math]
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