D3. Interacciones entre sólidos rígidos
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]
Como se ha visto en la unidad D2, las interacciones entre parejas de partículas P y Q quedan descritas por una única fuerza de dirección [math]\displaystyle{ \overline{\Ps \Qs} }[/math]. Cuando la interacción es entre parejas de sólidos rígidos (que se pueden considerar como dos conjuntos de infinitas partículas), la descripción partícula a partícula conduciría a trabajar con un sistema de infinitas fuerzas. En este caso, hay que pasar a una descripción compacta de este sistema de fuerzas que retenga, no obstante, la información necesaria para estudiar la dinámica de los sólidos rígidos: el sistema de fuerzas se sustituye por un torsor resultante.
Esta unidad introduce el concepto de torsor asociado a un sistema de fuerzas, y después lo aplica a las diversas interacciones entre sólidos (a distancia, de contacto y a través de elementos intermedios).
D3.1 Torsor asociado a un sistema de fuerzas
La reducción de un sistema de fuerzas sobre un sólido rígido a un torsor es absolutamente necesaria cuando el número de fuerzas es muy elevado (infinito). Cuando se trata de un sistema de pocas fuerzas, suele ser opcional.
Una operación matemática eficaz para reducir el número de fuerzas sobre un sólido S es la suma: por muy elevado que sea el número de fuerzas, la suma conduce a una única fuerza resultante. Sin embargo, esta reducción drástica implica una pérdida de información esencial en muchos casos. Siempre y cuando no interese estudiar la deformación de los objetos (es decir, cuando solo se estudie la dinámica de sólidos rígidos), esto se resuelve añadiendo un segundo vector a la descripción compacta del sistema: el momento (o par) resultante respecto a un punto Q. El conjunto de estos dos vectores (fuerza y momento resultantes) es el torsor del sistema de fuerzas en el punto Q (Figura D3.1).
A modo de ejemplo, consideremos el caso de una barra rígida inicialmente en reposo que se somete a un sistema de fuerzas con fuerza resultante nula. La Figura D3.2 presenta tres situaciones distintas que corresponden a esta resultante: (a) libre de fuerzas, (b) fuerzas paralelas a la barra, (c) fuerzas perpendiculares a la barra. En los dos primeros casos (a, b), el sistema de fuerzas no modifica el estado de reposo. En el tercero (c), las fuerzas provocan una rotación horaria de la barra. El torsor resultante en cualquier punto permite distinguir entre (c) y (a, b).
La fuerza resultante no depende nunca del punto donde se calcula el torsor. En cambio, el momento resultante en general sí que depende del punto (Figura D3.3).
 |
[math]\displaystyle{
\hspace{1cm}\sum \overline{\Ms}(\Os) = (\Ls\Fs_\Ps+\Ls\Fs_\Qs) \otimes
}[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{1cm}\sum \overline{\Ms}(\Ps) = 2\Ls\Fs_\Qs \otimes }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{1cm}\sum \overline{\Ms}(\Qs) = 2\Ls\Fs_\Ps \otimes }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{1cm}\sum \overline{\Ms}(\Ss) = (3\Ls\Fs_\Ps-\Ls\Fs_\Qs) \otimes }[/math] |
El torsor resultante se representa en el punto donde se ha calculado el momento resultante (Figura D3.4).
El momento resultante en un punto Q’ se puede obtener a partir del torsor en un punto Q:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs }[/math]
💭 Demostración ➕
- [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs) }[/math]
D3.2 Atracción gravitatoria
El cálculo del torsor resultante gravitatorio sobre un sólido [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{P} }[/math] a causa de un sólido [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{Q} }[/math] no es simple. La fuerza gravitatoria resultante sobre un diferencial de masa dm([math]\displaystyle{ \Ps }[/math]) de [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{P} }[/math] ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} }[/math]) proviene de las fuerzas ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps} }[/math]) que cada diferencial de masa [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{Q} }[/math] de ejerce sobre P (Figura D3.5). El torsor resultante sobre [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{P} }[/math] se obtiene a partir de todas estas fuerzas [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps} }[/math] sobre todos los diferenciales de masa de [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{P} }[/math].
Cuando se trata de la atracción gravitatoria terrestre ([math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra} }[/math]) sobre un sólido de pequeñas dimensiones comparadas con las de la Tierra y cerca de la superfície terrestre, es habitual utilitzar la aproximación de campo uniforme: las fuerzas [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} }[/math] son prácticamente paralelas entre ellas y su valor es [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps) }[/math], con g constante e igual al campo gravitatorio en la superfície terrestre: [math]\displaystyle{ \mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2} }[/math] (donde [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0 }[/math] es la constante universal de gravitación, y [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_\Ts }[/math] y [math]\displaystyle{ \Rs_\Ts }[/math] son la masa y el radio de la Tierra, respectivamente. En este caso, se puede demostrar que existe un punto de [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{P} }[/math] en el que el torsor gravitatorio se reduce a una fuerza resultante [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}} }[/math] de valor mg (donde m es la masa de [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathrm{P} }[/math]) dirigida hacia el centro de la Tierra, y un momento resultante gravitatorio nulo. Este punto se denomina centro de gravedad del sólido, y se representará con la letra G (Figura D3.6).
D3.3 Interacción a través de muelles y amortiguadores lineales y torsionales
Cuando un muelle o un amortiguador lineal conecta dos puntos P y Q de dos sólidos diferentes, hay que asegurar que la conexión se hace de manera que la fuerza que se transmite entre los puntos tiene la dirección del elemento, y que no se transmite ningún momento (o par).
En algunos casos, esto se puede conseguir insertando el elemento entre dos tramos de hilo inextensible (Figura D3.7a). En este caso, la fuerza que introduce entre los puntos P y Q solo puede ser de atracción (a causa del carácter unilateral de la actuación del hilo).
En otros casos, hay que recurrir a uniones mediante articulaciones (si se trata de un problema plano, Figura D3.7b) o rótulas esféricas (si es un problema 3D).
✏️ EJEMPLO D3.1: fuerza de repulsión de un muelle y un amortiguador lineales de comportamiento lineal
- El muelle, que es de comportamiento lineal, actua entre el soporte fijo al suelo y un eje vertical que está en contacto con la barra. Para La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math], el sistema está en equilibrio, y la fuerza que el muelle ejerce entre sus extremos es [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math].
- En ausencia de muelle, la barra, que está articulada al soporte en el punto O, tendiría a caerse (rotación horaria). Si para [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math] hay equilibrio, el muelle tiene que estar ejerciendo necesariamente una repulsión entre sus extremos en esta configuración. Por tanto, lo más lógico es calcular la expresión de la fuerza del muelle paa una configuración general como fuerza repulsiva:
[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{muelle}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)] }[/math].
El incremento [math]\displaystyle{ \Delta \rho }[/math] de longitud del muelle a partir del equilibrio es proporcional a la tangente del ángulo: [math]\displaystyle{ \mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L} }[/math]. Por tanto: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{muelle}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta }[/math].
La fuerza de repulsión del amortiguador se obtiene a partir del alargamiento anterior por derivación:
[math]\displaystyle{ \rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} }[/math]
✏️ EJEMPLO D3.2: fuerza de atracción de un muelle y un amortiguador lineales de comportamiento lineal
- El muelle, que es de comportamiento lineal, tiene un extremo fijo al chasis del vehículo, y el otro a un hilo inextensible que se enrolla sobre un rodillo de radio 2r solidario a la rueda de radio 2r, que no desliza sobre el suelo. Para [math]\displaystyle{ \xs = 0 }[/math], el muelle está estirado y ejerce una fuerza [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] entre sus extremos.
- La coordenada x describe la posición del chasis respecto al suelo, y por tanto también la del centro de la rueda de radio 2r. Al tener el muelle un extremo ligado a un hilo que se enrolla en el rodillo, el desplazamiento de este extremo respecto al suelo se puede obtener por integración de su velocidad.
- Vistas las velocidades de los dos extremos del muelle, es evidente que se encoge. La velocidad de acercamiento entre los extremos es:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_{\mathrm{acercamiento}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs} }[/math], y por tanto, la reducción de longitud del muelle a partir de la configuración [math]\displaystyle{ \xs = 0 }[/math] es:[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho) }[/math]
- La expresión de la fuerza de atracción del muelle (ya que la [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] es una atracción ya puesto que el muelle está estirado para [math]\displaystyle{ \xs = 0 }[/math]) es: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{muelle}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs }[/math].
- La fuerza de atracción del amortiguador se obtiene a partir de la velocidad de acercamiento que ya se ha calculado:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_{\mathrm{acercamiento}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs} }[/math]
Los muelles y los amortiguadores torsionales introducen momentos pero no fuerzas entre los dos sólidos que conectan. Igual que en el caso de los elementos lineales, la unión con cada uno de los sólidos tiene que garantizar que solo se transmite un momento en una dirección determinada. Igual que en los casos de los elementos lineales, hay varias maneras de conseguirlo.
Cuando los muelles y los amortiguadores torsionales son de comportamiento lineal, el incremento de momento que introducen entre los sólidos, cuando la orientación relativa entre ellos se incrementa en un ángulo [math]\displaystyle{ \Delta \theta }[/math], es proporcional a [math]\displaystyle{ \Delta \theta }[/math] y [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math], respectivamente (Figura D3.8).
D3.4 Interacciones de enlace directas
Las interacciones de enlace directas entre dos sólidos [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_1 }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_2 }[/math] se producen cuando están en contacto, y provienen de las pequeñas deformaciones locales de los sólidos en la zona de contacto. Desde el punto de vista macroscópico, esto se traduce en impenetrabilidad y rugosidad de los sólidos. Como ya se ha comentado en la sección D2.7, al tratar este curso de dinámica de objetos rígidos, las deformaciones no se formulan, y por tanto las fuerzas asociadas son incógnitas del problema dinámico.
Cuando los enlaces implican sólidos (no partículas), hay que precisar si son lisos o rugosos. Una superfície lisa no puede impedir que un elemento deslice sobre ella mientras hay contacto. En cambio, una rugosa sí que lo puede impedir. Esto tiene una consecuencia directa en la caracterización del enlace.
Como introducción a la caracterización de enlaces entre sólidos, es útil considerar el caso más sencillo del contacto puntual.
Consideremos dos sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \mathrm{S}1 }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{S}2 }[/math] que mantienen contacto puntual entre ellos. Los puntos de contacto son [math]\displaystyle{ \Ps_1 }[/math] y [math]\displaystyle{ \Ps_2 }[/math], respectivamente. La caracterización del enlace que [math]\displaystyle{ \mathrm{S}2 }[/math] hace sobre [math]\displaystyle{ \Ps_1 }[/math] (o que [math]\displaystyle{ \mathrm{S}1 }[/math] hace sobre [math]\displaystyle{ \Ps_2 }[/math]) se obtiene de manera análoga a la del 'enlace partícula-superfície(Figura D3.9).
Cuando el enlace entre [math]\displaystyle{ \mathrm{S}1 }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{S}2 }[/math] es multipuntual, la condición de ortogonalidad entre fuerza de enlace y velocidad permitida se puede aplicar a cada punto donde se produce contacto (cosa que implica aceptar que el enlace multipuntual se puede obtener como superposición de enlaces puntuales independientes). A veces, esto conduce a un número de componentes de fuerzas de enlace elevado (incluso infinito, si el contacto se produce a lo largo de un tramo lineal o superficial continuo), y hay que reducir el sistema de fuerzas a un torsor resultante de enlace. En algunos casos, esta reducción se pot obtener muy fácilmente a partir de la descripción del enlace punto a punto.
Aunque es posible calcular el torsor de un sistema de fuerzas en cualquier punto (sección D3.1), cuando se trata de torsors de enlace es conveniente que este punto pertenezca al sólido sometido al sistema de fuerzas en cuestión, porque de ello se deriva una propiedad importante.
✏️ EJEMPLO D3.3: torsor de enlace en un contacto bipuntual
- El bloque mantiene contacto bipuntual con un suelo liso, y se mueve solo en un plano.
- La descripción del enlace como superposición de dos enlaces puntuales conduce a dos fuerzas normales: si solo hubiera contacto en P, el enlace introduciría solo una fuerza en P normal al suelo ([math]\displaystyle{ \Ns_\mathrm{P} }[/math]); si el contacto fuera solo en Q, introduciría una fuerza en Q normal al bloque ([math]\displaystyle{ \Ns_\mathrm{Q} }[/math]). Los valores de [math]\displaystyle{ \Ns_\mathrm{P} }[/math] y [math]\displaystyle{ \Ns_\mathrm{Q} }[/math] son independientes (conocer [math]\displaystyle{ \Ns_\mathrm{P} }[/math] no implica conocer [math]\displaystyle{ \Ns_\mathrm{Q} }[/math]). El contacto bipuntual, pues, introduce dos incógnitas de enlace.
Al tratarse solo de dos fuerzas, la reducción a un torsor no es necesaria. Por otro lado, esta desripción es útil para estudiar las dos condiciones límite: [math]\displaystyle{ \Ns_\mathrm{P}=0 }[/math] indica pérdida de contacto en P (por tanto, vuelco en sentido horario), mientras que [math]\displaystyle{ \Ns_\mathrm{Q}=0 }[/math] indica pérdida de contacto en Q (por tanto, vuelco en sentido antihorario).
En este caso, el torsor asociado a este sistema de fuerzas no reduce el número de incógnitas, que sigue siendo 2. La fuerza resultante tiene dos componentes independientes:
[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloque }}\right\}=\left\{\begin{array}{l} \mathrm{F}_1 \\ \mathrm{F}_2 \\ 0 \end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l} \mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\ \mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta \end{array}\right. \text {. } }[/math]
El momento resultante depende del punto del bloque donde se caracteriza el torsor, y cuando no es nulo, se puede escribir en función de las componentes de fuerza.
Pasar de la descripción punto a punto al torsor no tiene ninguna ventaja en este caso: no reduce el número de incógnitas de enlace, y dificulta el estudio de las condiciones límite.
✏️ EJEMPLO D3.4: torsor de enlace en un contacto a lo largo de una línea contínua
- El rodillo mantiene contacto con deslizamiento son un suelo horizontal S. La descripción del enlace multipuntual como superposición de enlaces puntuales conduce a un conjunto de infinitas fuerzas [math]\displaystyle{ \Ns_{\rightarrow \mathrm{J}} }[/math] en los puntos de contacto J en la dirección normal al suelo (dirección 3). La fuerza resultante de enlace sobre el rodillo, por tanto, también es de dirección 3, y ha de ser estrictamente positiva ya que es un enlace unilateral:
[math]\displaystyle{ \int_{\mathrm{J} \in \text { rodillo }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}\gt 0 . }[/math]
El momento resultante de enlace depende del punto del rodillo en el que se calcule. Si se toma un punto extremo del contacto (P o Q), el momento resultante tiene signo definido:
[math]\displaystyle{ \{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{rodillo }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \mathbf{M}_2\gt 0 \\ 0 \end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{rodillo }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \mathbf{M}_2\lt 0 \\ 0 \end{array}\right\} . }[/math]
La descripción del enlace a través del torsor es muy ventajosa: reduce drásticamente el número de incógnitas de enlace (pasamos a tenir solo dos). Si el torsor se caracteriza en P o en Q, el estudio de la condición límit de vuelco es fácil: [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_2=0 }[/math]. Si se caracteriza en cualquier otro punto de la generatriz de contacto, hay que pasar a P o a Q para investigar el vuelco.
Caracterización analítica del torsor de enlace entre dos sólidos rígidos S1 y S2
La caracterización del torsor de enlace entre dos sólidos se puede hacer sin pasar por la descripción del enlace punto a punto: si el punto de caracterización pertenece a uno de los dos sólidos, basta con combinar la condición de ortogonalidad entre fuerza y velocidad en cada punto de contacto con la cinemática de sólido rígido, y sumar todas las ecuaciones que resultan de ello (Figura D3.10).
Figura D3.13 Caracterización analítica de un enlace multipuntual entre dos sólidos.
Los vectores [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S2}(\Ps) \text{ y }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S2}^\mathrm{S1} }[/math] se pueden sacar factor común. Finalmente:
[math]\displaystyle{ \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S2}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S2}^\mathrm{S1} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S2}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S2}^\mathrm{S1}=0 }[/math]
Esta ecuación es la ecuación de caracterización analítica del torsor de enlace. Expresa la ortogonalidad entre el torsor de enlace [math]\displaystyle{ \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}}(\Ps)\bigl\}^\top }[/math] y el torsor cinemático [math]\displaystyle{ \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S2}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S2}^\mathrm{S1} \bigl\}^\top }[/math] de S1 respecto a S2:
[math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S2}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S2}^\mathrm{S1}
\end{array}\right\} =0. }[/math]
Esta ortogonalidad no implica ortogonalidad entre fuerza y velocidad por un lado, y entre momento y velocidad angular por otro. En principio, [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S2}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S2}^\mathrm{S1} \neq 0 }[/math].
Cuando se utiliza la ecuación de caracterización analítica, hay que considerar inicialmente que tanto la fuerza como el momento resultantes tienen las tres componentes no nulas. En cuanto al torsor cinemático, hay que escribir sus componentes no nulas en función de los GL de S1 respecto a S2.
Por otro lado, al aparecer multiplicadas escalarmente la fuerza y la velocidad del punto por una parte, y el momento y la velocidad angular por otra, se pueden utilizar bases vectoriales distintas para cada uno de estos productos escalares, ya que el resultado no depende de la base:
[math]\displaystyle{ \bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S2}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S2}\rightarrow \mathrm{S1}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S2}^\mathrm{S1} \bigl\}_\mathrm{B'} }[/math]
✏️ EJEMPLO D3.5: caracterización analítica del torsor de enlace en un contacto a lo largo de una línea contínua
- El rodillo se mueve sin deslizar sobre el suelo horizontal S. La caracterización analítica del torsor del enlace directo del suelo sobre el rodillo, en el punto P, és:
- [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{rodillo}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0 }[/math]
Todas las componentes del torsor de enlace salvo [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_1 }[/math] pueden tener cualquier valor, ya que van multiplicadas por cero. En cambio, ya que [math]\displaystyle{ \Omega_1 }[/math] no es cero en principio, [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_1 }[/math] tiene que ser cero para que se cumpla la ecuación de ortogonalidad. Así pues, el torsor resultante de enlace es:
[math]\displaystyle{ \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . }[/math]
Como se ha comentado en el ejemplo D3.4, [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_2 }[/math] tiene que ser positivo. Un valor negativo sería indicativo de vuelco.
Las cinco componentes no nulas son independientes, y se cumple que la suma del número de componentes independientes del torsor y el de GL del rodillo respecto a S es 6.
El torsor del mismo enlace en un punto distinto se puede obtener bien aplicando de nuevo la ecuación de caracterización analítica, bien a partir del torsor en P (sección D3.1). Por ejemplo, para el punto C estos dos métodos conducen a:
- Caracteritzación analítica: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{rodillo}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c} \mathrm{F}_1\\ \mathrm{F}_2 \\ \mathrm{F}_3 \end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c} 0\\ \mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\ 0 \end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c} \mathrm{M'}_1\\ \mathrm{M'}_2 \\ \mathrm{M'}_3 \end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c} \Omega_1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c} \mathrm{F}_1\\ ...\\ \mathrm{F}_3 \end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c} ...\\ \mathrm{M'}_2 \\ \mathrm{M'}_3 \end{array}\right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 }[/math]
Finalmente: [math]\displaystyle{ \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2 }[/math]
- Obtención a partir del torsor en [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} }[/math]
- Finalmente: [math]\displaystyle{ \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{rodillo}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2 }[/math]
El número de componentes no nulas del torsor en C es 6, pero el número de componentes independientes es 5, ya que hay una relación de dependencia entre [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_1' }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_2 }[/math]. Por tanto, sigue cumpliéndose que el número de componentes independientes de torsor más el de GL es 6.
✏️ EJEMPLO D3.6: caracterización analítica del torsor de enlace en un contacto puntual sin deslizamiento
- La bola de radio r no desliza dentro de la cavidad esfèrica. La caracterización analítica del torsor del enlace directo de la cavidad sobre la bola, en su centro G, es:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c} \mathrm{F}_1\\ \mathrm{F}_2 \\ \mathrm{F}_3 \end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c} \mathrm{v}_1\\ 0\\ \mathrm{v}_3 \end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c} \mathrm{M}_1\\ \mathrm{M}_2 \\ \mathrm{M}_3 \end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c} \Omega_1\\ \Omega_2\\ \Omega_3 \end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c} ...\\ \mathrm{F}_2\\ ... \end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c} ...\\ ... \\ ... \end{array}\right\} }[/math]
Al no haber deslizamiento en el punto de contacto, las componentes de velocidad [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_1 }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_3 }[/math] son proporcionales a [math]\displaystyle{ \Omega_3 }[/math] y [math]\displaystyle{ \Omega_1 }[/math], respectivamente: [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3 }[/math] (el signo negativo de la primera igualdad indica que una [math]\displaystyle{ \Omega_3 }[/math] positiva genera una [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_1 }[/math] negativa). Sustituyendo en la ecuación de caracterización y desarrollando el producte escalar (sin incluir la component [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_2 }[/math], porque va multiplicada por cero):
[math]\displaystyle{ (-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. }[/math]
Ya que las tres rotaciones son independientes, los coeficientes que las multiplican tienen que ser cero para que la ecuación se cumpla para cualquier valor de [math]\displaystyle{ \Omega_3 }[/math] y de [math]\displaystyle{ \Omega_1 }[/math]: [math]\displaystyle{ -\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0 }[/math] ,[math]\displaystyle{ \rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_2=0 }[/math]. Finalmente:
[math]\displaystyle{ \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top }[/math], amb [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3. }[/math]
El torsor tiene cinco componentes no nulas, pero solo tres son independientes, y se cumple que la suma del número de componentes independientes del torsor y el de GL de la bola respecto a la cavidad es 6.
Este torsor también se puede obtener a partir de la caracterización en J (sección D3.1). Al tratarse de un contacto puntual sin deslizamiento, en J hay tres componentes de fuerza de enlace y ningún momento:
[math]\displaystyle{ \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} }[/math]
Como se ha visto en los ejemplos anteriores, la ecuación de caracterización analítica garantiza que la suma del número de componentes independientes del torsor de enlace entre dos sólidos y del número de GL relativos entre los sólidos es siempre 6:
Caracterización inmediata del torsor de enlace
Cuando se escoge un punto P de caracterización cuya velocidad, [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps) }[/math], es independiente de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}} }[/math], y una base vectorial tal que las componentes de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps) }[/math] son independientes entre ellas y las de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}} }[/math] también, la caracterización es inmediata: a cada componente nula del torsor cinemático le corresponde una componente no nula del torsor dinámico, y a cada componente no nula del torsor cinemático le corresponde una componente nula del torsor dinámico.
✏️ EJEMPLO D3.7: caracterización inmediata del torsor de enlace en un contacto multipuntual contínuo
La muela cónica no desliza sobre el suelo cónico (T). La caracterización del torsor del enlace directo del suelo sobre cualquiera de los puntos de contacto J de la muela con el suelo puede ser inmediata, porque [math]\displaystyle{ \vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J}) }[/math] independientemente de la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{muela}{T} }[/math].
Para que lo sea realmente, hay que escoger una base vectorial para expresar el momento de enlace tal que las componentes de [math]\displaystyle{ \velang{muela}{T} }[/math] sean independientes. Ya que la dirección de [math]\displaystyle{ \velang{muela}{T} }[/math] está unívocamente determinada (la muela tiene 1 GL respecto al suelo), cualquier base que tenga un eje paralelo al [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometría de la distribución de velocidades: Eje Instantáneo de Rotación y Deslizamiento (EIRD) |EIRL]] de la muela es adecuada:
- Finalmente: [math]\displaystyle{ \braq{\fvec{T}{muela}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{muela}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}. }[/math]
✏️ EJEMPLO D3.8: caracterización del torsor de enlace de una unión helicoidal
La caracterización del torsor del enlace directo del macho de la unión helicoidal sobre la hembra no puede ser inmediata.
En una unión helicoidal, no hay ningún punto de la hembra que tenga velocidad respecto al macho independiente de la rotación entre las dos piezas. Por tanto, la caracterización inmediata no es posible.
Si se escoge como punto de caracterización cualquier punto O del eje 3, la caracterización analítica conduce a:
[math]\displaystyle{ \fvec{macho}{hembra}\cdot \vvec_\mathrm{macho}(\mathbf{O})+ \mvec{macho}{hembra}(\mathbf{O}) \cdot \velang{hembra}{macho}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{macho}{hembra}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{macho}{hembra}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}. }[/math]
La velocidad de O a lo largo del eje es directamente proporcional a la rotación a través del paso de rosca e. Ya que [math]\displaystyle{ \Omega_3 }[/math] se mide en rad/s, [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_3 }[/math] en m/s, y e se da en mm/volta, hay que hacer una conversión de unidades:
[math]\displaystyle{ \mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ vuelta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{vuelta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} }[/math]
Finalmente: [math]\displaystyle{ \braq{\fvec{macho}{hembra}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{macho}{hembra}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 }[/math]
Torsores asociados a los enlaces directos habituales entre sólidos rígidos
Los enlaces habituales entre parejas de sólidos rígidos se han analitzado desde el punto de vista cinemático. A partir de esta descripción, se pueden caracteritzar los torsores de enlace correspondientes (Figura D3.11).
Figura D3.11 Caracterización inmediata de los enlaces directos habituales
En los sistemas multisólido formados únicamente por sólidos rígidos con masa no despreciable conectados mediante estos enlaces habituales, la descripción dinámica de los enlaces se hace considerando por separado cada pareja de sólidos conectados com si el resto de elementos del sistema no existiera.
✏️ EJEMPLO D3.9: análisis de incógnitas en un sistema multisólido
El sistema multisólido contiene 5 enlaces habituales:
Teniendo en cuenta que una articulación introduce 5 componentes independientes de torsor de enlace, un enlace cilíndrico introduce 4, y uno esférico 3, en el sistema hay un total de 22 incógnitas de enlace. |
D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)
En los sistemas multisólido, es frecuente que algunos sólidos tengan masa despreciable comparados con los otros, y que estén sometidos exclusivamente a interacciones de enlace con otros sólidos. Estos sólidos se denominan Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE), y se les puede dar un tratamiento particular cuando se trata de caracterizar enlaces.
La Figura D3.12 presenta un sólido S1 en contacto con un sólido S de masa despreciable, que sólo está somedito a interacciones de enlace, en dos situaciones diferentes: S sólo en contacto con S1 (Figura D3.12a) y S en contacto con dos sólidos S1 y S2 (Figura D3.12b).
Figura D3.12 Interacción entre sólidos rígidos S1 y S2 a través de un sólido auxiliar de enlace (SAE).
En ausencia de S2, la presencia de S (en contacto con S1) es dinámicamente irrelevante: S no representa ningún obstáculo para mover S1. En consecuencia, S no es capaz de introducir ninguna fuerza de enlace sobre S1.
Pero cuando S interconecta S1 y S2, S se convierte en un transmisor: S2 puede ser un obstáculo cuando se trata de provocar ciertos movimientos de S1, y esto se traduce en fuerzas de enlace sobre S1.
Como caso sencillo para ilustrarlo, la Figura D3.13 muestra dos ejemplos (que consideraremos planos) donde dos sólidos S1 y S2 sobre un plano liso están conectados a través de una barra de masa despreciable (comparada con la de S1 y la de S2) articulada en los dos extremos. Asumiremos que:
(a) las articulaciones son perfectas (sin fricción)
(b) una de las articulaciones tiene un muelle torsional associado
Figura D3.13 Enlace indirecto entre dos sólidos rígidos S1 y S2 a través de una barra S articulada de masa despreciable.
En el caso (a), la barra es un SAE (está sometida sólo a interacciones de enlace). Provocar velocidad del punto O de S1 en la dirección de la barra implica mover S y S2. En cambio, mover O en la dirección ortogonal a la barra provoca movimiento de S pero no de S2, mientras que hacer girar S1 alrededor de O no provoca el movimiento de ninguno de los dos (ni de S ni de S2). Por tanto, solo tiene sentido asociar una fuerza de enlace sobre S1 en la dirección de la barra. El responsable de esta fuerza no es S sino S2: cuando se trata de caracterizar el enlace sobre S1, hay que evaluar la cinemática de S1 desde S2. Se dice que entre S1 y S2 hay un enlace indirecto a través del SAE.
En el caso (b), la barra no es un SAE porque está sometida a una interacción que no es de enlace (la del muelle). Como en el caso (a), mover O en la dirección de la barra obliga a mover S2. Pero ahora, el movimiento de O en dirección perpendicular a la barra obliga a deformar el muelle, que actua sobre S2 y provoca que se mueva. El movimiento de rotación de S1 alrededor de O sigue siendo posible sin tenir que mover S2 ni deformar el muelle. En la caracterización del enlace sobre S1, hay que evaluar la cinemática de S1 de manera que O no tenga velocidad : hay que evaluarla desde S.
✏️ EJEMPLO D3.10: caracterización de un enlace indirecto
El carro tiene 2 GL libres respecto al suelo (translación longitudinal y rotación vertical). Si la masa de los tres elementos (ruedas y chasis) es comparable, la representación simplificada del sistema y el número de incógnitas de enlace que contiene es la siguiente:
En total, pues, el sistema contiene 17 incógnitas de enlace.
Este número se puede reducir si la masa de les ruedas es despreciable (comparada con la del chasis): el chasis pasa a tener tres enlaces con el suelo, uno directo y dos indirectos a través de las ruedas, que son SAE. El número de incógnitas que introduce uno de estos enlaces indirectos no es siempre evidente a priori, y es aconsejable caracterizarlo analíticamente. Pero hay que recordar que la cinemática que se describe corresponde a la que tiene el chasis respecto al suelo com si sólo actuase sobre él el enlace que se considera. En este caso, pues, en la caracterización del enlace indirecto entre suelo y chasis a través de las ruedas hay que evaluar la cinemática com si el contacto directo con el suelo (en la parte delantera del chasis) no existiera.
Caracterización del torsor del enlace indirecto entre el suelo y el chasis a través de una rueda, en el punto C y para la base (1,2,3):
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(rueda)} \rightarrow \mathrm{chasis}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(rueda)} \rightarrow \mathrm{chasis}}(\Cs) \cdot \velang{chasis}{T}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 \Rightarrow \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(rueda)} \rightarrow \mathrm{chasis}}}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{F}_3} }[/math]
La velocidad [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_1 }[/math] sólo es posible si hay rotación [math]\displaystyle{ \Omega_2: \mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 }[/math]. Si se introduce esta relación y se desarrolla el producto escalar:
[math]\displaystyle{ (\rs\mathrm{F}_1+\mathrm{M}_2)\Omega_2 + \mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+ \mathrm{M}_1 \Omega_1 +\mathrm{M}_3 \Omega_3=0 }[/math]
Ya que [math]\displaystyle{ (\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3) }[/math] son independientes, los coeficientes de cada una de las velocidades ha de ser cero. Por tanto, el enlace indirecto introduce sólo 2 incógnitas:
[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(rueda)} \rightarrow \mathrm{chasis}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(rueda)} \rightarrow \mathrm{chasis}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2}{0} }[/math], con [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_2=-\rs \mathrm{F}_1 }[/math]
✏️ EJEMPLO D3.11: caracterización de un enlace indirecto
| La placa tiene el vértice P obligado a moverse dentro de la guía, y el punto Q conectado al punto O del suelo (T) mediante una barra con articulaciones en los extremas. El sistema tiene sólo 1 GL, descrito a través de [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math]. Si se considera el problema sólo en dos dimensiones y ningún elemento tiene masa despreciable, el número total de incógnitas de enlace es 5. |
| Si la barra es de masa despreciable y se trata como SAE, la caracterización del torsor del enlace indirecto entre el suelo y la placa a través de la barra en el punto Q es:
La velocidad [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_3 }[/math] proviene de la rotación de la barra, pero no de la de la placa: al haber una articulación en Q, la placa puede hacer un movimiento de translación circular cuando la barra gira. Por tanto, se trata de una caracterización inmediata: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\} }[/math] |
✏️ EJEMPLO D3.12: caracterización de un enlace indirecto
La bola tiene 4 GL libres respecto al suelo (translaciones a lo largo del eje r-r’ y del eje 2, rotaciones alrededor del eje r-r’ y del eje 2). Si no hay ningún elemento de masa despreciable, el número total de incógnitas de enlace es 8.
Si el elemento T es de masa despreciable y se trata como SAE, la caracterización del torsor del enlace indirecto entre el suelo y la bola a través de este elemento en el punto G es:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3} }[/math]
La velocidad [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_3 }[/math] sólo es posible si el elemento T (y por tanto la bola) giran con [math]\displaystyle{ \Omega_2 }[/math]: [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2 }[/math]. Si se introduce esta relación y se desarrolla el producto escalar:
[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_2=\xs\mathrm{F}_3 }[/math]
Aunque el torsor en G tiene tres componentes no nulas, solo hay dos independientes.
Un caso paradigmático en el que la dimensión se reduce drásticamente es el del cojinete de bolas (Figura D3.14). Si se trata el problema como plano y las N bolas no se consideran SAE, el número de incógnitas de enlace del sistema es 4N (cada bola mantiene contacto puntual sin deslizar con los dos sólidos S1 y S2, y en el caso plano, el contacto puntual se reduce a dos incógnitas de enlace). Si se tratan como SAE, el enlace indirecto entre S1 y S2 a través de las bolas se reduce a dos incógnitas de enlace.
Figura D3.14 Cojinete de bolas.
✏️ EJEMPLO D3.13: análisis de enlaces en un sistema multisólido
- El sistema multisólido tiene 2 GL respecto al suelo: la translación circular de la placa respecto al eje y la rotación de todos los elementos alrededor del eje vertical (permitida por el cojinete). Si ningún elemento tiene masa despreciable, el número total de incógnitas de enlace es 25.
- Si se desprecian las masas del eje y de las dos barras, y se tratan como SAE, el sistema se reduce a un enlace indirecto:
- [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} }[/math]
- La velocidad [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_3 }[/math] proviene de la rotación del conjunto alrededor del eje vertical: [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2 }[/math]. Las velocidades [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_1 }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_2 }[/math] provienen de la translaci[math]\displaystyle{ \mathrm{v}_1 }[/math]ón circular de la placa, y por tanto no son independientes: [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta }[/math].
- Si se desarrolla el producto escalar teniendo en cuenta estas relaciones:
- [math]\displaystyle{ (-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3 }[/math]
- El número de incógnitas de enlace se ha reducido a 4.
✏️ EJEMPLO D3.14: análisis de enlaces en un sistema multisólido
- Si al sistema del ejemplo D3.13 se le añade un muelle torsional con un extremo ligado el eje, el número de GL no se modifica, pero en la descripción de los enlaces, el eje no se puede tratar como SAE aunque su masa sea despreciable. Las dos barras, sin embargo, siguen estando sometidas sólo a interacciones de enlace, y por tanto, si se desprecia su masa, son SAE:
- [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eje} \rightarrow \mathrm{(barras)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eje} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eje} \rightarrow \mathrm{(barras)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eje}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eje} \rightarrow \mathrm{(barras)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eje} \rightarrow \mathrm{(barras)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta }[/math]
- El número total de incógnitas de enlace es 10: 5 asociadas al enlace indirecto que se acaba de caracterizar, y 5 más al cojinete entre suelo y eje.
D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales
Los actuadores son elementos concebidos para controlar un grado de libertad (de translación o de rotación) entre dos sólidos y eliminar otros.
Externamente, un actuador son dos piezas (P1 y P2) que entre ellas sólo tienen el GL a controlar (en el caso de actuadores rotacionales, estas piezas se denominan estator y rotor). Cuando se insiere entre dos sólidos S1 y S2, el tipo de conexión con los sólidos determina los GL eliminados entre ellos. En este curso, la masa de los actuadores se considera despreciable siempre.
La interacción entre S1 y S2 , pues, se describe mitjançant una fuerza [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{ac} }[/math] o un par [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] (o momento), según se trate de un actuador lineal o rotacional, y un torsor de enlace.
Hay dos maneras de describir el sistema formado por S1, S2, P1 y P2:
- Opción 1: Se tratan P1 y P2 como dos sólidos más del sistema. Entre ellas, el torsor del enlace directo se caracteriza como si el actuador estuviera desactivado (permitiendo el GL que controla entre las dos piezas cuando está activado). Tanto si el actuador es lineal como si es rotacional, el torsor de enlace contiene 5 componentes independientes. Además, entre P1 y P2 hay la fuerza [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{ac} }[/math] o el par [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]. La interacción entre S1 y P1, y entre S2 y P2 se describe mediante el enlace correspondiente.
- Opción 2: Se considera el actuador desactivado, y se tratan P1 y P2 como SAE. La interacción entre S1 y S2 se explica entonces mediante el torsor del enlace indirecto asociado a esta cadena de SAE, y la fuerza [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{ac} }[/math] o el par [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math].
✏️ EJEMPLO D3.15: actuador lineal entre dos sólidos
| El actuador lineal, de masa despreciable, actua entre suelo y péndulo, y controla la velocidad del punto O en la dirección 1. Se trata de describir la interacción entre el suelo y el péndulo. |
Opción 1
Ya que la pieza 1 del actuador está enganchada al suelo, se pueden considerar como un único elemento. La pieza 2, en cambio, no está enganchada sino articulada al péndulo.
La caracterización en O de los dos enlaces es inmediata:
- Enlace prismático: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suelo}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suelo}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3} }[/math]
- Articulación: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{péndulo}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{péndulo}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} }[/math]
Opción 2
EEl torsor del enlace indirecto entre suelo y péndulo a través del actuador se puede caracterizar analíticamente:
- [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suelo} \rightarrow \mathrm{(ac)} \rightarrow \mathrm{péndulo}} \cdot \vvec_\mathrm{suelo} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{tierra} \rightarrow \mathrm{(ac)} \rightarrow \mathrm{péndulo}}(\Os) \cdot \velang{péndulo}{suelo}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suelo} \rightarrow \mathrm{(ac)} \rightarrow \mathrm{péndulo}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suelo} \rightarrow \mathrm{(ac)} \rightarrow \mathrm{péndulo}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0} }[/math]
- En este caso, la caracterización en O es inmediata.
- Las interacciones entre suelo y péndulo a causa del actuador se resumen en el diagrama siguiente:
✏️ EJEMPLO D3.16: actuador lineal entre dos sólidos
| El actuador lineal actua entre el soporte y la hélice, y controla la velocidad del punto O en la dirección2 (cosa que provoca el giro de la hélice siempre y cuando no se pase por configuraciones singulares – por ejemplo, cuando la dirección del actuador es vertical y pasa por O). <Se trata de describir la interacción entre el soporte y la hélice. |
Opción 1
Ninguna de las piezas que forman el actuador es fija al soporte ni a la hélice. Por tanto:
La caracterización de los tres enlaces es inmediata:
- Articulación: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{soporte}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{soporte}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} }[/math]
- Enlace prismático: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suelo}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suelo}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3} }[/math]
- Articulación: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{péndulo}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{péndulo}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} }[/math]
Opción 2
- El torsor del enlace indirecto entre soporte y hélice a través del actuador es nulo: al haber rótulas esféricas en los dos extremos del actuador, el punto O podría tener velocidad en todas las direcciones respecto al soporte.
- La interacción entre soporte y hélice a través del actuador se reduce a una fuerza (que es la fuerza [math]\displaystyle{ \Fs_{ac} }[/math] que hace el actuador cuando está activado):
✏️ EJEMPLO D3.17: actuador rotacional entre dos sólidos
| El motor, de masa despreciable, actua entre suelo y anilla, y controla la velocidad angular entre los dos. Se trata de describir la interacción entre el suelo y la anilla. Opción 1 En este caso, el estator (P1) es fijo al suelo, y el rotor (P2) es fijo a la anilla. Por tanto, sólo tiene sentido la opción 1. Las interacciones entre suelo y anilla a causa del actuador se resumen en el diagrama siguiente: El torsor del enlace entre suelo (+P1) y anilla (+P2) es el que corresponde a una articulación, y su caracterización es inmediata: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suelo}\rightarrow\mathrm{anilla}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suelo}\rightarrow\mathrm{anilla}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} }[/math] |
✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos
| El motor actua entre la horquilla y la rueda, y controla la velocidad angular entre las dos. Se trata de describir la interacción entre la horquilla y la rueda. |
Opción 1
Una de las piezas que forman el actuador (el rotor) es fija a la rueda. Por tanto:
La caracterización de los dos enlaces es inmediata:
- Articulación: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{horquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{horquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{0}{\Ms_3} }[/math]
- Articulación: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{rueda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{rueda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms'_2}{\Ms'_3} }[/math]
Opción 2
- La caracterización del torsor de enlace entre horquilla y rueda a través del motor es:
- [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{horq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{rueda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{horq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{rueda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{horq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{rueda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{horq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{rueda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3} }[/math]
- La interacción entre horquilla y rueda a través del motor se resume en el diagrama siguiente:
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