E1. Teorema de la energía: versión diferencial

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ws}{\textrm{W}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\Ds}{\textrm{D}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}} \newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\diag}[3]{ \begin{bmatrix} {#1} & {0} & {0}\\ {0} & {#2} & {0}\\ {0} & {0} & {#3} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}} \newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}} }[/math] El Teorema de la energía tiene un papel destacado en física, ya que es el puente de unión entre todas las ramas de esta ciencia (electromagnetismo, termodinámica…): en todas ellas se habla de energía.

Hay un cierto paralelismo entre los Teoremas Vectoriales y el Teorema de la energía: todos permiten conocer la evolución de una magnitud que depende del estado mecánico del sistema. En el caso de los primeros, se trata de la evolución instantánea de magnitudes vectoriales (cantidad de movimiento, momento cinético), mientras que en el último se trata del cambio finito (en un intervalo finito de tiempo) de una magnitud escalar (energía mecánica).

Esta unidad presenta la forma diferencial de este teorema (el balance de potencias). La forma integrada (que es propiamente dicho el Teorema de la energía) se reserva para la unidad E2.

E1.1 Balance de potencias en un sistema de partículas

Figura E1.1 Fuerzas sobre una partícula de un sistema de masa constante

Consideremos un sistema de materia constante, y la segunda ley de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de masa) de este sistema en una referencia general R (que puede ser no galileana) (Figura E1.1):

[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{}{\text{ar}\rightarrow\Ps} + \Fcal{}{\text{Cor}\rightarrow\Ps} =\ms_\Ps\acc{P}{R} }[/math]

[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps} }[/math] es la fuerza resultante de interacción sobre P, y proviene de las interacciones internas (con partículas del mismo sistema) y de las externas:

[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps}=\F{\rightarrow \Ps}^\text{int}+\F{\rightarrow \Ps}^\text{ext} }[/math]

Si se multiplican los dos lados de la ecuación por [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math], las fuerzas (de interacción o de inercia) ortogonales a [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] quedan filtradas. En concreto, ya que [math]\displaystyle{ \acc{P}{R}=\accs{P}{R} + \accn{P}{R} }[/math], donde [math]\displaystyle{ \accn{P}{R} \perp \vel{P}{R} }[/math], y que la fuerza de Coriolis siempre es ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} (\Fcal{}{\text{Cor}\rightarrow\Ps} = -2\ms_\Ps \velang{R}{Gal} \times \vel{P}{R}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{R} \cdot \left( \F{\rightarrow \Ps}^\text{int}+\F{\rightarrow \Ps}^\text{ext} + \Fcal{}{\text{ar}\rightarrow\Ps} \right) = \ms_\Ps\accs{P}{R} \cdot \vel{P}{R} = \frac{\ds}{\ds \ts} \left(\frac{1}{2}\ms_\Ps \vvec_\Rs^2(\Ps) \right) \equiv \frac{\ds\Ts_\Rs(\Ps)}{\ds\ts}=\dot{\Ts}_\Rs(\Ps) }[/math]

La función escalar [math]\displaystyle{ \Ts_\Rs(\Ps) }[/math] es la energía cinética de la partícula, y es función del estado mecánico de P. El producto escalar de una fuerza por la velocidad de su punto de aplicación es la potencia de la fuerza: [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} \cdot \F{\rightarrow \Ps} \equiv \dot{\Ws}_\Rs^{\F{\rightarrow \Ps}} }[/math]. Las dos magnitudes escalares [math]\displaystyle{ (\Ts_\Rs(\Ps), \dot{\Ws}_\Rs^{\F{\rightarrow \Ps}}) }[/math] dependen de la referencia. Para un mismo conjunto de fuerzas de interacción que actúan sobre P, la referencia determina cuáles quedan filtradas y cuáles no.

La ecuación se puede reescribir como [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\text{ext}\rightarrow \Ps}+\dot{\Ws}_\Rs^{\text{int}\rightarrow \Ps}+\dot{\Ws}_\Rs^{\text{ar}\rightarrow \Ps} =\dot{\Ts}_\Rs(\Ps) }[/math], y constituye el balance de potencias para la partícula P en la referencia R. Sumando para todas las partículas del sistema:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\text{ext}}+\dot{\Ws}^{\text{int}}+\dot{\Ws}_\Rs^{\text{ar}} =\dot{\Ts}_\Rs^\text{sist} }[/math]

El cálculo de la energía cinética se trata en la unidad E2. Esta unidad se centra en el cálculo de potencias. En la sección E1-2 se demuestra que la potencia de las interacciones internas no depende de la referencia (y por eso no aparece el subíndice R en el término [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\text{int}} }[/math] de la ecuación anterior).

✏️ EJEMPLO E1-1.1: partícula libre

Una partícula P, de masa m, se desprende de la anilla de una noria cuando se encuentra en la posición más alta. Se trata de calcular la potencia, en este instante, de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula en tres referencias diferentes: el suelo, la anilla y la cabina de la noria.

Referencia suelo: Al tratarse de una referencia galileana, P sólo está sometida a fuerzas de interacción.

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\sum\dot{\Ws}_\Ts=\dot{\Ws}_\Ts^\text{peso}= \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right) \cdot \left(\downarrow \ms\gs\right)=0 }[/math]

Referencia anilla: es una referencia no galileana, y hay que tener en cuenta la fuerza de arrastre sobre P.

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math] AB:suelo, REL:anilla

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\vel{P}{REL}=\vel{P}{AB}-\vel{P}{ar}= \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)-\left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)=\overline{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math]

Al ser nula la velocidad, la potencia total es nula.

Referencia cabina: También es una referencia no galileana, y hay que tener en cuenta la fuerza de arrastre sobre P.

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math]AB:suelo, REL:cabina

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\vel{P}{REL}=\vel{P}{AB}-\vel{P}{ar}= \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)-\left(\uparrow \Rs\Omega_0\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\dot{\Ws}_\text{cabina}^\text{peso}=\left[ \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)+\left(\downarrow \Rs\Omega_0\right) \right] \cdot \left(\downarrow\ms\gs\right) =\ms\gs\Rs\Omega_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\dot{\Ws}_\text{cabina}^\text{ar}=\left[ \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)+\left(\downarrow \Rs\Omega_0\right) \right] \cdot \left(\rightarrow\ms\Rs^2\Omega_0^2\right) =-\ms\gs\Rs^2 \Omega_0^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\sum\dot{\Ws}_\text{cabina}=\ms\Rs\Omega_0(\gs-\Rs\Omega_0^2) }[/math]

✏️ EJEMPLO E1-1.2: péndulo

Una partícula P de masa m cuelga de un hilo inextensible de longitud L que está enganchado al techo. El conjunto oscila en un plano vertical fijo a suelo. Se trata de calcular la potencia de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula en dos referencias diferentes: el suelo y una plataforma que gira respecto al suelo con velocidad angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constante.

Referencia suelo: Al tratarse de una referencia galileana, P sólo está sometida a fuerzas de interacción.

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^\Ts=(\nearrow\Ls\dot{\theta})\cdot(\nwarrow\Ts)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^\text{peso}=(\nearrow\Ls\dot{\theta}\cdot(\downarrow \ms\gs)=-\ms\gs\Ls\dot{\theta}\sin\theta }[/math]

Referencia plataforma: es una referencia no galileana, y hay que tener en cuenta la fuerza de arrastre sobre P.

AB:suelo, REL:plataforma

[math]\displaystyle{ \vel{P}{REL}=\vel{P}{AB}-\vel{P}{ar}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})-(\otimes \Ls \Omega_0 \sin \theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^\Ts\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\odot\Ls\Omega_0\sin\theta)\right]\cdot(\nwarrow\Ts)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^\text{peso}\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\odot\Ls\Omega_0\sin\theta)\right]\cdot(\downarrow \ms\gs)=-\ms\gs\Ls\dot{\theta}\sin\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^\text{ar}\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\odot\Ls\Omega_0\sin\theta)\right]\cdot(\rightarrow \ms\Ls\Omega_0^2\sin\theta)=\ms\Ls^2\Omega_0^2\dot{\theta}\cos\theta }[/math]

E1.2 Potencia de una pareja de acción-reacción

La potencia total asociada a las interacciones internas en un sistema de masa constante no es cero en principio (ya que las dos fuerzas de cada pareja de acción-reacción están aplicadas a partículas que pueden tener velocidades distintas respecto a la referencia en la que se hace el cálculo), es independiente de la referencia en la que se evalúa, y sólo depende de la velocidad de separación de las dos partículas. El balance de potencias para el sistema se escribe pues de la forma: [math]\displaystyle{ \dot{\Ts}_\Rs^\text{sist}=\dot{\Ws}_\Rs^\text{ext} + \dot{\Ws}^\text{int} + \dot{\Ws}_\Rs^\text{ar} }[/math] .

💭 Demostración ➕

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac}=\overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}\cdot \vel{Q}{R} + \overline{\Fs}_{\Qs \rightarrow \Ps}\cdot \vel{P}{R}= \overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}\cdot \left[ \vel{Q}{R}-\vel{P}{R}\right] }[/math]

Por el principio de acción y reacción, [math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}=-\overline{\Fs}_{\Qs \rightarrow \Ps} }[/math]. Por tanto: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac}=\overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}\cdot \left[ \vel{Q}{R}-\vel{P}{R}\right] }[/math]

Al tener [math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs} }[/math] la dirección [math]\displaystyle{ \PQvec }[/math], sólo hay que considerar la componente de las velocidades en esta dirección:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac}=\overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}\cdot \biggl( \vel{Q}{R} \Bigr]_{||\Ps\Qs}-\ \vel{P}{R} \Bigr]_{||\Ps\Qs}\biggl) }[/math]

La diferencia [math]\displaystyle{ \biggl( \vel{Q}{R} \Bigr]_{\Ps\Qs}-\ \vel{P}{R} \Bigr]_{\Ps\Qs}\biggl) }[/math] es la velocidad de separación [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math] entre P y Q, y es independiente de referencia ya que es la derivada de un escalar (la distancia [math]\displaystyle{ \rho }[/math] entre las dos partículas). Para el dibujo anterior, [math]\displaystyle{ \dot{\rho}\gt 0 }[/math]. Al tratarse de una interacción atractiva, [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac} \lt 0 }[/math].

Con un dibujo, es inmediato ver que:

interacción atractiva y acercamiento de las partículas [math]\displaystyle{ (\dot{\rho}\lt 0) }[/math] : [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac} \gt 0 }[/math] ;
interacción repulsiva y separación de las partículas [math]\displaystyle{ (\dot{\rho}\gt 0) }[/math] : [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac} \gt 0 }[/math]
interacción repulsiva y acercamiento de las partículas [math]\displaystyle{ (\dot{\rho}\lt 0) }[/math] : [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac} \lt 0 }[/math]

Hay dos casos particulares de fuerzas de interacción cuya potencia tiene siempre el mismo signo:

pareja de acción-reacción de fricción entre P y Q: ya que la fuerza de fricción es siempre opuesta la velocidad relativa entre los dos puntos, su potencia siempre es negativa:

[math]\displaystyle{ \hspace{1cm} \dot{\Ws}^\text{fricción}=\dot{\Ws}^{\text{fric}\rightarrow\Ps}_\text{RTQ}+\dot{\Ws}^{\text{fric}\rightarrow\Qs}_\text{RTQ}=\overline{\Fs}^{\text{fric}\rightarrow\Ps} \cdot \vel{P}{RTQ} = - \abs{\overline{\Fs}^{\text{fric}\rightarrow\Ps}} \frac{\vel{P}{RTQ}}{\abs{\vel{P}{RTQ}}} \cdot \vel{P}{RTQ}\lt 0; }[/math]

pareja de acción-reacción de enlace entre P y Q: a partir de la ecuación de caracterización analítica de las fuerzas de enlace entre dos puntos P y Q que pertenecen a dos sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\Qs }[/math], es fácil ver que la potencia asociada es nula:

[math]\displaystyle{ \hspace{1cm} \dot{\Ws}^\text{enlace}=\dot{\Ws}^{\text{enlace}\rightarrow\Ps}_{\mathrm{S}_\Ps}+\dot{\Ws}^{\text{enlace}\rightarrow\Qs}_{\mathrm{S}_\Ps}=\overline{\Fs}^{\text{enlace}\rightarrow\Ps} \cdot \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S}_\Qs}(\Ps) = - 0; }[/math]

✏️ EJEMPLO E1-2.1: potencia de una pareja de acción-reacción de fricción

Una rueda homogénea, de radio r y masa m, baja por un plano inclinado sin deslizar hasta incorporarse a una cinta transportadora que se mueve con velocidad constante [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] respecto al suelo. En el momento de entrar en contacto con la cinta, el centro de la rueda tiene velocidad [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] respecto al suelo en el mismo sentido que la de la cinta. Se trata de calcular la potencia de la fricción entre cinta y rueda en este instante.

El [math]\displaystyle{ \mathbf{CIR}^\text{rueda}_\Ts }[/math] en este instante es el punto [math]\displaystyle{ \Js_\text{rueda} }[/math] que está en contacto con la cinta. Este punto patina hacia atrás respecto a la cinta, y por tanto la fuerza de fricción sobre la rueda es hacia adelante:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text { AB: suelo } \\ \text { REL: cinta } \end{array}\right\} \quad \bar{\vs}_{\text {REL }}\left(\Js_{\text {rueda }}\right)=\bar{\vs}_{\text{AB}}\left(\Js_{\text {rueda }}\right)-\bar{\vs}_{\mathrm{ar}}\left(\Js_{\text {rueda }}\right)=-\bar{\vs}_{\mathrm{ar}}\left(\Js_{\text {rueda }}\right)=-\left(\rightarrow \mathrm{v}_0\right)=\left(\leftarrow \mathrm{v}_0\right) . }[/math]

:

Cálculo de la potencia de la fricción: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{fricción}=\dot{\Ws}_\Rs^{\text{fricció}\rightarrow \text{rueda}}+ \dot{\Ws}_\Rs^{\text{fricción}\rightarrow \text{cinta}} }[/math], donde R puede ser cualquier referencia. Para calcular de manera ágil esta potencia, es recomendable escoger una referencia R donde uno de los dos puntos sometidos a la pareja de acción-reacción tenga velocidad nula, y así uno de los dos términos es directamente cero:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{fricción}=\dot{\Ws}_\text{cinta}^{\text{fric}\rightarrow \text{rueda}}+ \dot{\Ws}_\text{cinta}^{\text{fric }\rightarrow \text{cinta}}=\overline{\Fs}^{\text{fric}\rightarrow \text{rueda}} \cdot \bar{\vs}_{\text {cinta}}\left(\Js_{\text {rueda }}\right)=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot(\leftarrow \vs_0)=-\mu\ms\gs\vs_0. }[/math]

Si el cálculo se hace en cualquier otra referencia, el resultado es el mismo:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{fricción}=\dot{\Ws}_\text{T}^{\text{fric}\rightarrow \text{rueda}}+ \dot{\Ws}_\text{T}^{\text{fric} \rightarrow \text{cinta}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot 0 + (\leftarrow \mu\ms\gs)\cdot(\rightarrow \vs_0)=-\mu\ms\gs\vs_0. }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{fricción}=\dot{\Ws}_\text{vehículo}^{\text{fric}\rightarrow \text{rueda}}+ \dot{\Ws}_\text{vehículo}^{\text{fric} \rightarrow \text{cinta}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot (\rightarrow\vs_0) + (\leftarrow \mu\ms\gs) \cdot(\rightarrow 3\vs_0)=-\mu\ms\gs\vs_0. }[/math]

En cambio, si sólo se calcula la potencia de una de las dos fuerzas (por ejemplo, la fricción sobre la rueda), el resultado depende de la referencia y puede tener cualquier signo:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\text{rueda}^{\text{fric }\rightarrow \text{rueda}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot(\leftarrow \vs_0)=-\mu\ms\gs\vs_0 , }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\text{T}^{\text{fric} \rightarrow \text{rueda}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot 0 = 0 , }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\text{vehicle}^{\text{fric} \rightarrow \text{rueda}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot (\rightarrow\vs_0)=\mu\ms\gs\vs_0. }[/math]

E1.3 Potencia de un sistema de fuerzas sobre un sólido rígido

Figura E1.3: Torsor cinemático de un sólido rígido en una referenciay forces sobre los distintos puntos (dm) de este sóldio

Cuando el sistema sobre el que se calcula el balance de potencias es un sólido rígido S, no hay término asociado a interacciones internas porque todas son de enlace (fuerzas de cohesión) y, como se ha visto en la secciónE1.2, su potencia total es nula.

La potencia total de un sistema de fuerzas sobre S se puede calcular a partir del torsor del sistema en cualquier punto O del sólido [math]\displaystyle{ (\overline{\Fs},\overline{\Ms}(\Os)) }[/math]. Teniendo en cuenta la cinemática de sólido rígido (Figura E1.3):

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\rightarrow \Ss} =\sum_\Ps\overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \cdot \vel{P}{R}= \sum_\Ps \left[ \overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \cdot \vel{O}{R} + \velang{S}{R} \times \OPvec \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\rightarrow \Ss} =\left(\sum_\Ps\overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \right)\cdot \vel{O}{R} + \sum_\Ps\overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \cdot \left(\velang{S}{R} \times \OPvec \right) = \left( \sum_\Ps\overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \right) \cdot \vel{O}{R} + \left[ \sum_\Ps \left( \OPvec \times \overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \right)\right] \cdot \velang{S}{R} = \overline{\Fs}\cdot \vel{O}{R} + \overline{\Ms}(\Os)\cdot \velang{S}{R} }[/math]

Este cálculo demuestra también que la potencia de un momento (o un par [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]) sobre un sólido en una referencia R es el producto del momento por la velocidad angular del sólido: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\Gamma\rightarrow \mathrm{S}} = \overline{\Gamma} \cdot \velang{S}{R} }[/math].

El balance de potencias para un sólido rígido es: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{ \rightarrow \mathrm{S}} = \dot{\Ws}_\Rs^{ \mathrm{ext}} + \dot{\Ws}_\Rs^{ \mathrm{ar}}. }[/math]

✏️ EJEMPLO E1-3.1: rodillo deslizando sobre un plano inclinado

Un rodillo homogéneo, de masa m y radi r, baja deslizando por una pendiente. El coeficiente de fricción entre suelo y rodillo es [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. trata de calcular las potencias de todas las fuerzas que actúan sobre el rodillo en la referencia del suelo.

Se trata de un problema plano. Las descripciones cinemática y dinámica son:

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\vel{J}{T}=\vel{C}{T} + \velang{}{T} \times \CJvec= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{1.7cm}=\left( \rightarrow \vs_\Ts \right) + \left( \otimes \Omega_\Ts\right) \times \left( \downarrow \rs \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\vel{J}{T} = \left[\rightarrow (\vs_\Ts -\rs\Omega_\Ts)\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{ext}} = \dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{peso}} + \dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{fricción}} + \dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{enlace}}= \Bigr[\left(\downarrow \ms\gs\cos\beta\right)+\left(\rightarrow \ms\gs\sin\beta\right)\Bigr] \cdot (\rightarrow \vs_\Ts) + \Bigr[(\leftarrow \mu \Ns) + (\uparrow \Ns ) \Bigr] \cdot \Bigr[\rightarrow (\vs_\Ts -\rs\Omega_\Ts)\Bigr] }[/math]

Ya que el centro del rodillo no tiene movimiento perpendicular al plano, el TCM conduce a [math]\displaystyle{ \Ns =\ms\gs\cos\beta }[/math]. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{ext}} = \ms\gs\vs_\Ts \sin \beta - \ms\gs(\vs_\Ts -\rs\Omega_\Ts)\cos\beta=\ms\gs \Bigr[ \vs_\Ts (\sin\beta-\cos\beta)+\rs\Omega_\Ts \cos\beta \Bigr]. }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math]

Si en lugar de considerar la fricción en J se considera el torsor equivalente en C, hay que considerar la fuerza aplicada en C y el momento respecto a C, que no es nulo:

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \dot{\Ws}_\Ts^{ \mathrm{fricción}} = (\leftarrow \mu\Ns)\cdot(\rightarrow\vs_\Ts)+(\otimes \mu\Ns\rs)\cdot(\otimes \Omega_\Ts) =\mu\ms\gs\cos\beta(\rs\Omega_\Ts-\vs_\Ts) }[/math],

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{ext}} = \dot{\Ws}_\Ts^{ \mathrm{peso}} + \dot{\Ws}_\Ts^{ \mathrm{fricción}}+ \dot{\Ws}_\Ts^{ \mathrm{enlace}}= \ms\gs\vs_\Ts\sin\beta+\mu\ms\gs\cos\beta (\rs\Omega_\Ts-\vs_\Ts) }[/math].

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math]El resultado es el mismo.

✏️ EJEMPLO E1-3.2: bloque deslizando sobre un camión

Un camión frena con aceleración a respecto al suelo en el instante en el que su velocidad (también respecto al suelo) es v. En el mismo instante, el bloque homogéneo, de masa m, desliza con velocidad v' relativa al camión. Se trata de hacer un balance de potencias para el bloque en la referencia del suelo y en la del camión.

Referencia suelo: Se trata de un problema plano. Las descripciones cinemática y dinámica son:

El enlace entre camión y bloque permite sólo un GL de translación entre los dos. Por tanto, en la aproximación 2D, el torsor asociado tiene dos componentes independientes. Si se caracteriza en el punto medio del contacto entre los dos elementos, son una fuerza normal y un momento perpendicular al plano. El TCM aplicado al bloque conduce a [math]\displaystyle{ \Ns=\ms\gs }[/math].

Las potencias asociadas a todas las interacciones sobre el bloque en la referencia del suelo son:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^{\rightarrow \mathrm{bloque}}=\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{ext}}=\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{peso}}+\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{enlace}}= \Bigr[(\downarrow \ms\gs)+(\leftarrow \mu\ms\gs)+(\uparrow \Ns) \Bigr] \cdot \Bigr[\rightarrow(\vs+\vs')\Bigr] + (\odot \Ms_\es)\cdot 0 = -\mu\ms\gs(\vs+\vs') }[/math]

Ya que el bloque se traslada respecto al suelo, su energía cinética total es inmediata, y se puede plantear fácilmente el balance de potencias:

[math]\displaystyle{ \Ts_\Ts^\mathrm{bloque}=\frac{1}{2}\int_\mathrm{bloque}\ds\ms \vs_\Ts^2(\mathrm{bloque})=\frac{1}{2}\ms \vs_\Ts^2(\mathrm{bloque})\quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}_\Ts^\mathrm{bloque}=\ms\vs_\Ts( \mathrm{bloque})\dot{\vs}_\Ts( \mathrm{bloque}) }[/math]

Como la única fuerza horizontal sobre el bloque es la fricción:

[math]\displaystyle{ \dot{\vs}_\Ts(\mathrm{bloque})=-\mu\gs\quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}_\Ts^\mathrm{bloque}=-\mu\ms\gs(\vs+\vs'). }[/math]

El balance de potencias es consistente:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\mathrm{W}}_\Ts^{\rightarrow \text { bloque }}=\dot{\mathrm{W}}_{\mathrm{T}}^{\text {ext }}=-\mu \mathrm{mg}\left(\mathrm{v}+\mathrm{v}^{\prime}\right) \\ \dot{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}^{\text {bloque }}=-\mu \mathrm{mg}\left(\mathrm{v}+\mathrm{v}^{\prime}\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{W}}_{\mathrm{T}}^{\rightarrow \text { bloque }}=\dot{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}^{\text {bloque }} }[/math]

Referencia camión: Al estar el camión acelerado respecto al suelo, hay que tener en cuenta las fuerzas de arrastre sobre todos los diferenciales de masa (dm) del bloque:

[math]\displaystyle{ \cal{\Fs}^{\rightarrow \ds\ms}_{\mathrm{ar}}=-\ds\ms\overline{\as}_\mathrm{ar}(\ds\ms)=-\ds\ms (\leftarrow \as)=(\rightarrow \ds\ms \cdot \as) }[/math].

El torsor resultante de este sistema de fuerzas en el centro de inercia G se reduce a una fuerza horizontal.

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{bloque}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ext}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}} =\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{peso}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{fricción}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enlace}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}} , }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{bloque}}= \Bigr[(\downarrow \ms\gs)+(\leftarrow \mu\ms\gs)+(\uparrow \Ns) + (\rightarrow \ms\as)\Bigr] \cdot(\rightarrow \vs')+(\odot\Ms_\es) \cdot0=\ms(\as-\mu\gs)\vs'. }[/math]

Se puede comprobar que el balance de potencias es consistente:

[math]\displaystyle{ \Ts^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión}=\frac{1}{2}\ms\vs^2_\mathrm{camión}(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión} = \ms\vs_\mathrm{camión}(\mathrm{bloque})\dot{\vs}_\mathrm{camión}(\mathrm{bloque}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \mathrm{AB}:\mathrm{suelo} \\ \mathrm{REL}:\mathrm{camión} \end{array}\right\} \quad \dot{\vs}_\mathrm{camión}(\mathrm{bloque})= \dot{\vs}_\mathrm{T}(\mathrm{bloque})-\dot{\vs}_\mathrm{ar}(\mathrm{bloque}) = (-\mu\gs)-(-\as)=\as-\mu\gs \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión}=\ms\vs'(\as-\mu\gs) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{bloque}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ext}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}}= \ms(\as-\mu\gs)\vs'\\ \dot{\Ts}^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión}=\ms\vs'(\as-\mu\gs) \end{array}\right\} \Rightarrow\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{bloque}}= \dot{\Ts}^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión} }[/math]

✏️ EJEMPLO E1-3.3: camión frenando con carga

Un camión frena con aceleración a respecto al suelo en el instante en el que su velocidad (también respecto al suelo) es v. Los pares de frenada en el eje delantero y en el trasero son iguales y valen [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math], y las ruedas, de radio r y masa despreciable, no deslizan sobre el suelo. En el mismo instante, el bloque homogéneo, de masa m, desliz con velocidad v' relativa al camión. Se trata de hacer un balance de potencias para el sistema (bloque+camión) en la referencia del suelo y en la del camión.

Ya que la potencia de las interacciones internas no es nula en principio (no se trata de un único sólido rígido), es conveniente hacer un DGI del sistema para no olvidar ninguna:

c.p.s.d.: contacto puntual sin deslizamiento

c.m.c.d.: contacto multipuntual con deslizamiento

El sistema sobre el que se hace el balance de potencias es todo menos el suelo. Teniendo en cuenta que la potencia de los enlaces internos es siempre nula, las únicas interacciones que hay que tener en cuenta son el peso, los enlaces de las ruedas con el suelo, los pares de frenada y la fricción entre bloque y camión:

Referencia suelo:

Las fuerzas de enlace del suelo sobre las ruedas están aplicadas a puntos de velocidad cero, y por tanto no hacen potencia. El peso es una fuerza vertical, y el movimiento del camión y del bloque es horizontal, por tanto su potencia también es cero.

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^{\rightarrow \mathrm{sist}}=\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{ext}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{int}}=\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{peso}}+\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{enlace}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}^{\Gamma}=\dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}^{\Gamma}. }[/math]

Las potencias de interacciones internas se pueden calcular en cualquier referencia. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}= \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{fric}\rightarrow \mathrm{bloque}} +\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{fric}\rightarrow \mathrm{camión}} = \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{fric}\rightarrow \mathrm{bloque}}= (\leftarrow \mu\ms\gs)\cdot (\rightarrow \vs')=-\mu\ms\gs\vs' }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\Gamma}= \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\Gamma\rightarrow \mathrm{ruedas}} +\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\Gamma\rightarrow \mathrm{camión}} = \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\Gamma\rightarrow \mathrm{ruedas}}= 2 \left(\odot \Gamma \right)\cdot \left(\otimes \frac{\vs}{\rs}\right)=-2\Gamma\frac{\vs}{\rs}. }[/math]

Por otro lado: [math]\displaystyle{ \Ts_\Ts^\mathrm{sist}=\frac{1}{2}\ms\vs_\Ts^2(\mathrm{bloque})+\frac{1}{2}\ms\vs_\Ts^2(\mathrm{camión})\quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}_\Ts^\mathrm{sist}=-\ms(\vs+\vs')\mu\gs-\Ms\vs\as. }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^{\rightarrow \mathrm{sist}}=\dot{\Ts}_\Ts^\mathrm{sist} \quad \Rightarrow \quad -\mu\ms\gs\vs'-2\Gamma\frac{\vs}{\rs}=-\ms(\vs+\vs')\mu\gs-\Ms\vs\as. }[/math]

Esta ecuación permite calcular el par de frenada: [math]\displaystyle{ \Gamma=\frac{1}{2}(\mu\ms\gs+\Ms\as)\rs. }[/math]

Referencia camión:

En esta referencia hay que tener en cuenta las fuerzas de arrastre. Por otro lado, las fuerzas de enlace del suelo sobre las ruedas están aplicadas a puntos que ya no tienen velocidad cero, y por tanto hacen potencia. Como antes, la potencia del peso es cero.

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ext}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{int}}+\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enlace}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}^{\Gamma}+\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}}. }[/math]

Las fuerzas de arrastre sobre el camión no hacen potencia porque el camión está parado en esta referencia. La de las fuerzas de arrastre sobre el bloque se ha calculado en el ejemplo E1-3.2. La potencia de la fricción y de los pares de frenada es la misma de antes ya que no depende de la referencia.

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enllaç}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}^{\Gamma}+\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar} \rightarrow \mathrm{bloque}}= \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enlace}} -\mu\ms\gs\vs'-2\Gamma\frac{\vs}{\rs} +\ms\as\vs'. }[/math]

Las descripciones cinemática y dinámica de la rueda son:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enlace}}=2\Bigr[(\leftarrow \Ts)+(\uparrow \Ns)\Bigr]\cdot(\leftarrow\vs)=2\Ts\vs. }[/math]

La fuerza tangencial de enlace se puede calcular a partir del TMC aplicado al centro C de la rueda. Como no tiene masa: [math]\displaystyle{ \sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Cs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot \Gamma)+(\otimes \Ts\rs)=0\quad \Rightarrow \quad \Ts=\Gamma/\rs. }[/math]

Por tanto: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}} =2\frac{\Gamma}{\rs}\vs-\mu\ms\gs\vs'-2\Gamma\frac{\vs}{\rs}+\ms\as\vs'=\ms(\as-\mu\gs)\vs'. }[/math]

Por otro lado, como se ha visto en el ejemplo E1-3.2:

[math]\displaystyle{ \Ts_\mathrm{camión}^\mathrm{sist}= \Ts_\mathrm{camión}^\mathrm{bloque}=\frac{1}{2}\ms\vs_\mathrm{camión}^2(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}_\mathrm{camión}^\mathrm{sist}= \dot{\Ts}_\mathrm{camión}^\mathrm{bloque}=\ms\vs'(\as-\mu\gs). }[/math]

El balance de potencias es consistente:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}}= \ms(\as-\mu\gs)\vs'\\ \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\mathrm{camión}=\ms(\as-\mu\gs)\vs' \end{array}\right\} \Rightarrow\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}}= \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\mathrm{camión} }[/math]

E1.4 Balance de potencias para un sistema multisólido: cálculo directo y cálculo indirecto

El cálculo directo (a partir de su definición) de la potencia asociada a una interacción (una fuerza sobre un punto P o un momento sobre un sólido rígido S) exige el conocimiento de la interacción (fuerza o momento):

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\Fs\rightarrow \Ps}=\overline{\Fs}_{\rightarrow\Ps} \cdot \vel{P}{R} \quad , \quad \dot{\Ws}_\Rs^{\Ms\rightarrow \Ss}=\overline{\Ms}_{\rightarrow\Ss} \cdot \velang{S}{R} }[/math]

Cuando no se trata de una interacción formulable, hay que recurrir a los teoremas vectoriales para determinarla.

El cálculo indirecto es una alternativa que no necesita recurrir a estos teoremas. Se basa en la evaluación de un balance de potencias para un sistema y una referencia adecuados de manera que la potencia a determinar sea el único término desconocido de la ecuación (el único que no se puede calcular de manera directa). Cuando el balance incluye más de un término desconocido, se pueden combinar varios balances (para distintos sistemas y referencias) hasta tener un número suficiente de ecuaciones que permitan la determinación de todas las potencias desconocidas.

✏️ EJEMPLO E1-4.1: polea frenada

Un bloque de masa m cuelga de un hilo inextensible atado a un punto de la periferia de una polea de radio r. Entre soporte (fijo al suelo) y polea actúa un freno que garantiza que el bloque baja a velocidad constante respecto al suelo. Se trata de calcular la potencia del freno.

Càlculo directo: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{freno}}= \overline{\Gamma}^{\rightarrow \mathrm{polea}}\cdot\velang{polea}{T}=\left(\odot\Gamma\right)\cdot\left( \otimes \frac{\vs_0}{\rs}\right)=-\Gamma \frac{\vs_0}{\rs}. }[/math]

El par de frenada no es un dato, y hay que recurrir al TMC para calcularlo.

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: polea + bloque}\\ \text{TMC en } \Os \end{array}\right\} \sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os)=\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math]

El momento cinético proviene de las dos piezas. Ya que O no es fijo al bloque, hay que hacer descomposición baricéntrica para calcular el momento cinético del bloque:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T} (\Os) =\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{politja}(\Os) + \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{bloque}(\Os)= \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{politja}(\Os) + \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{bloque}(\Gs_\mathrm{bloque})+ \overline{\Hs}_\Ts^{\oplus\mathrm{bloque}}(\Os) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.3cm}=\Is_\mathrm{O}^\mathrm{polea} \velang{polea}{T}+\Is_{\Gs_\mathrm{bloque}}^\mathrm{bloque}+\OGvec_\mathrm{bloque}\times \ms\overline{\vs}_\Ts(\Gs_\mathrm{bloque})=\left(\otimes \Is_\mathrm{O}\frac{\vs_0}{\rs}\right)+(\otimes \ms\vs_0\rs). }[/math]

Se trata de un momento cinético constante en dirección y valor. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTO}(\Os)=0 \quad \Rightarrow \quad \sum{\overline{\Ms}}_\mathrm{ext}(\Os)=(\odot\Gamma)+(\otimes \ms\gs\rs) =0\quad \Rightarrow \quad \Gamma= \ms\gs\rs }[/math].

Finalmente: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{freno}}= -\Gamma \frac{\vs_0}{\rs} = -\ms\gs\vs_0. }[/math]

Cálculo indirecto:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: polea + soporte + bloque}\\ \text{REF: suelo(Gal)} \end{array}\right\} \quad \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\Ts=\dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\Ts+ \dot{\Ws}^\mathrm{int} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\Ts=0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\Ts=\left(\downarrow \ms\gs\right)\cdot\left(\downarrow \vs_0\right)= \ms\gs\vs_0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{int}=\dot{\Ws}^{\mathrm{freno}} \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ws}^{\mathrm{freno}} =-\ms\gs\vs_0 }[/math]

✏️ EJEMPLO E1-4.2: mono y plátanos

Unos plátanos de masa [math]\displaystyle{ (2/3)\ms }[/math] cuelgan de una cuerda inextensible que se apoya sin deslizar sobre una polea de radio r y masa despreciable, articulada respecto al suelo. En el otro extremo de la cuerda se agarra un mono de masa m. La polea gira con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecto al suelo bajo la acción de un motor. El mono se mueve respecto a la cuerda sin que sus manos se froten contra la cuerda, y de manera que la distancia de su centro de masas al suelo se mantiene constante. Se trata de calcular la potencia del motor.

Cálculo directo: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{freno}}= \overline{\Gamma}^{\rightarrow \mathrm{polea}}\cdot\velang{polea}{T}=\left(\odot\Gamma\right)\cdot\left( \odot \Omega_0\right)=\Gamma \Omega_0. }[/math]

El par motor no es un dato, y hay que recurrir al TMC para calcularlo.

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: polea + mono + plátanos}\\ \text{TMC en } \Os \end{array}\right\} \sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os)=\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math]

El momento cinético proviene del mono y de los plátanos. En primera aproximación, se puede considerar la masa del mono concentrada en su tronco y su cabeza, de manera que no gira y su velocidad respecto al suelo es nula. Teniendo en cuenta que el punto O no se mueve respecto al mono pero sí respecto a los plátanos:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T} (\Os) =\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{mono}(\Os) + \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{plátanos}(\Os)= \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{mono}(\Os) + \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{plátanos}(\Gs_\mathrm{plát})+ \OGvec_\mathrm{plát} \times \frac{2}{3} \ms \overline{\vs}_\Ts(\Gs_\mathrm{plát})= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.3cm}=\OGvec_\mathrm{plát}\times \frac{2}{3} \ms \overline{\vs}_\Ts(\Gs_\mathrm{plát}) = \Bigr[(\rightarrow \rs)+(\downarrow \xs)\Bigr] \times\frac{2}{3} \ms \left(\downarrow \rs\Omega_0\right)=\left(\otimes \frac{2}{3}\ms\rs^2\Omega_0\right). }[/math]

Se trata de un momento cinético constante en dirección y valor. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTO}(\Os)=0 \quad \Rightarrow \quad \sum{\overline{\Ms}}_\mathrm{ext}(\Os)=(\odot\Gamma)+(\otimes \ms\gs\rs) + \left(\otimes \frac{2}{3}\ms\gs\rs\right)=0\quad \Rightarrow \quad \Gamma= \frac{5}{3}\ms\gs\rs }[/math].

Finalmente: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{motor}}= \Gamma \Omega_0 = \frac{5}{3}\ms\gs\rs\Omega_0. }[/math]

Cálculo indirecto

Hay que tener presente que es un problema con dos tipos de actuadores: el motor y la musculatura del mono. Hay diversos modelos biomecánicos para formular las fuerzas de los músculos, pero quedan fuera del ámbito de este curso. Ya que el mono se mueve, sus músculos desarrollan una potencia no nula.

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: polea + mono + plátano}\\ \text{REF: suelo(Gal)} \end{array}\right\} \quad \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\Ts=\dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\Ts+ \dot{\Ws}^\mathrm{int} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\Ts=0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\Ts=\left(\downarrow \frac{2}{3}\ms\gs\right)\cdot\left(\downarrow \rs\Omega_0\right)= \frac{2}{3}\ms\gs\rs\Omega_0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{int}=\dot{\Ws}^{\mathrm{musc}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{motor}} \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ws}^{\mathrm{musc}} + \dot{\Ws}^{\mathrm{motor}}=-\frac{2}{3}\ms\gs\rs\Omega_0 }[/math]

Este balance proporciona una ecuación con dos incógnitas. Se puede plantear un segundo balance para un sistema donde una de las dos no aparezca: un sistema sin el mono o un sistema sin el motor. Si se hace un balance de potencias para el sistema (mono + trozo de cuerda), las fuerzas externas a considerar son el peso y la tensión de la cuerda. Si se sigue trabajando en la referencia del suelo, esta tensión (desconocida) hará potencia no nula ya que está aplicada a un punto de velocidad ascendente.

Para evitar que aparezca un término asociado a la tensión de la cuerda, se puede trabajar en la referencia del trozo de cuerda que se ha considerado, que al tener velocidad ascendente constante es galileana. En esta referencia, el mono baja con velocidad constante:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{REL: trozo de cuerda}\\ \text{AB: suelo} \end{array}\right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\mathrm{REL}(\mathrm{mono})=\overline{\vs}_\mathrm{ar}(\mathrm{mono})=-\overline{\vs}_\mathrm{ar}(\mathrm{mono})=(\downarrow \rs\Omega_0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: mono+ trozo de cuerda}\\ \text{REF: trozo de cuerda(Gal)} \end{array}\right\} \quad \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\mathrm{cuerda} =\dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\mathrm{cuerda}+ \dot{\Ws}^\mathrm{int} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\mathrm{cuerda}=0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\mathrm{cuerda}=\left(\downarrow \ms\gs\right)\cdot\left(\downarrow \rs\Omega_0\right)= \ms\gs\rs\Omega_0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{int}=\dot{\Ws}^{\mathrm{musc}} \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ws}^{\mathrm{musc}} =-\ms\gs\rs\Omega_0 }[/math]

Combinando este resultado con el del balance anterior:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\mathrm{motor}=-\frac{2}{3}\ms\gs\rs\Omega_0-\dot{\Ws}^\mathrm{musc}=-\frac{5}{3}\ms\gs\rs\Omega_0 }[/math]

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