D7. Ejemplos de dinámica 3D

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\mat}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\dth}{\dot{\theta}} \newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}} \newcommand{\sth}{\text{sin}\theta} \newcommand{\cth}{\text{cos}\theta} \newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta} \newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta} \newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}} }[/math]

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la sección D6.4 se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is} }[/math]

Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo [math]\displaystyle{ (\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math], permanece en reposo [math]\displaystyle{ (\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math]. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \downarrow(\qs_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs_{j,eq} = \tilde{f}(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N }[/math]

[math]\displaystyle{ \downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ 0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N }[/math]

La ecuación que define las [math]\displaystyle{ \qs_{\text{j,eq}} }[/math] puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ (\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js }[/math], con [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js \lt \lt 1 }[/math], y por tanto [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js^2 \approx 0 }[/math]) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

• si aparecen polinomios de grado superior a 1:

[math]\displaystyle{ \qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3 }[/math]

• si se trata de una coordenada angular [math]\displaystyle{ (\qs_\js=\theta) }[/math] y aparecen funciones seno y coseno:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\ \cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\ \text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\ \text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\ \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq} \end{cases} }[/math]

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0 }[/math], donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0 }[/math]. La solución general es: [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math], con [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt{\Bs/\As} }[/math]. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 }[/math].

💭 Demostración ➕

La solución [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) }[/math] de la ecuación [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0 }[/math] ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

[math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math]

Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

[math]\displaystyle{ -\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}} }[/math]

El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math] cuya frecuencia angular [math]\displaystyle{ (\omega) }[/math] depende de parámetros del sistema.

Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales ([math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi) }[/math]), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

• condiciones iniciales solo de posición: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0) = 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 90\deg\\ \as = \varepsilon_0 \end{aligned}\right. }[/math]

• condiciones iniciales solo de velocidad: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0) = 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 0\deg\\ \as = \dot\varepsilon_0/\omega \end{aligned}\right. }[/math]

• condiciones iniciales de posición y velocidad: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\ \as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable. La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

[math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon }[/math]

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \gt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon\lt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. Es un comportamiento ESTABLE.

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \lt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. Es un comportamiento INESTABLE.

D7.2 Ejemplos generales

✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria

---

La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant.

Descripción cinemática:

Otra opción para calcular [math]\displaystyle{ \vel{G}{T} }[/math] es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth) }[/math]

Diagrama general de interacciones

Es un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] forzado, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

ecuaciones: 2 sólidos [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs} }[/math]

incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

5 inc. enlace + [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] = 6 inc. enlace [math]\displaystyle{ \:\:\:\:\:\:\: }[/math]5 inc. enlace + [math]\displaystyle{ \Gamma + \ddth }[/math] = 7 inc. enlace

Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto O es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

Una buena propuesta es:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}} }[/math]

TMC en [math]\displaystyle{ \Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] placa: [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth] }[/math]

Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\ \I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2 \end{aligned}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\ \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0} }[/math]

Si se substituyen [math]\displaystyle{ \I{grande + pequeño} }[/math] i [math]\displaystyle{ \I{pequeño} - \I{grande} }[/math] por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

[math]\displaystyle{ \boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0} }[/math]

Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\ \frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si [math]\displaystyle{ \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1 }[/math], y esto se cumple solo si la velocidad angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] está por encima del valor crítico [math]\displaystyle{ \Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}} }[/math].

Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

El análisis analítico para pequeñas amplitudes [math]\displaystyle{ (\varepsilon) }[/math] alrededor de una configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} }[/math] se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas (sección D7.1):

L’anàlisi analítica per a petites amplituds [math]\displaystyle{ (\varepsilon) }[/math] al voltant d’una configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} }[/math] es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques (secció D7.1):

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \varepsilon^2\approx 0 \end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]

Para las pequeñas amplitudes alrededor de [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math], la ecuación del movimiento es [math]\displaystyle{ \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0 }[/math].

Si las condiciones iniciales son [math]\displaystyle{ (\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0) }[/math], la evolución de [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] viene dada por: [math]\displaystyle{ \ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon }[/math].

• Para [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \gt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] aumenta. Es una configuración INESTABLE y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

• Para [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \lt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \lt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] disminuye. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración ESTABLE. La frecuencia angular [rad/s] es [math]\displaystyle{ \omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)} }[/math].

NOTA: si las condiciones iniciales son [math]\displaystyle{ \theta(\ts = 0) = 0 }[/math] y [math]\displaystyle{ \dot\theta(\ts = 0) = 0 }[/math], el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math].

ANIMACIO

Comentario adicional

Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

[math]\displaystyle{ (\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0 }[/math]

Si se linealiza alrededor de la configuración [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ (\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0 }[/math]

Para cualquier valor de [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], el coeficiente [math]\displaystyle{ \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right] }[/math] es positivo, y por tanto la configuración [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] es siempre ESTABLE.

ANIMACIO

Hoja de ruta para el par motor

Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}} }[/math]

El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)} }[/math]

✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias

---

El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación [math]\displaystyle{ \sth }[/math] de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] puede ser simplemente [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] y que la rotación [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] se mantenga constante).

Diagrama general de interacciones

Es un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] forzado, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

ecuaciones: 2 sólidos [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12 }[/math] ecs.

incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.

Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os} }[/math]

TMC en [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] pieza [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]

Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], es la base que gira con [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecto al suelo.

El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de Steiner para pasar a O:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2} }[/math]

Teniendo en cuenta que [math]\displaystyle{ 2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 : }[/math] [math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20} }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0} }[/math]

El vector momento cinético [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] y barre una superficie cónica. La derivada de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] proviene de este cambio de dirección:

[math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

La derivada también se puede hacer de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0} }[/math]

El único momento respecto al punto O externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

[math]\displaystyle{ \sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math].

Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

[math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️ }[/math]

Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math], que es la que genera [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0 }[/math]. Si [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] fuera estrictamente vertical (paralelo a [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math]), entonces [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0 }[/math], y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento [math]\displaystyle{ \Ms_1 = \Ms_2 = 0 }[/math]. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una dirección principal de inercia para el punto O, mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

Se puede conseguir la rotación vertical constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto O es el mismo.

Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca [math]\displaystyle{ \dth }[/math]). Por el principio de acción y reacción, la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

ALTERNATIVA

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El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math], que se puede hallar con [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth }[/math].

La ecuación del movimiento es:

[math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0 }[/math]

Las configuraciones de equilibrio [math]\displaystyle{ (\ddth_{eq} = 0) }[/math] son las soluciones de la ecuación trascendente:

[math]\displaystyle{ \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq} }[/math], y está claro que, si [math]\displaystyle{ \Omega_0\neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] no es una de ellas.

Las condiciones iniciales son: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2\gt 0 }[/math].

El hecho de que [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indica que tiene el mismo sentido que la desviación [math]\displaystyle{ \theta }[/math] que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas

---

El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] puede ser simplemente [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] y que la rotación [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] se mantenga constante.

Diagrama general de interacciones

Es un sistema del mismo tipo que el del ejemplo D7.2: tiene dos GL ([math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] forzado, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el ejemplo D7.2, una hoja de ruta adecuada es:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os} }[/math]

TMC en [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] pieza [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]

El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} }[/math]

El vector momento cinético [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] mientras barre una superficie cónica. La derivada de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] proviene de este cambio de dirección:

[math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

La derivada también se puede hacer de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2} }[/math]

El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por O, y por tanto el único momento respecto al punto O externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math]

Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

[math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

Como en el ejemplo D7.2, el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una dirección principal de inercia.

Se puede conseguir la rotación vertical constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto O es el mismo.

Mientras se introduce una de estas fuerzas, la [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el principio de acción y reacción, la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

ALTERNATIVA

El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math], que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth }[/math]

La ecuación del movimiento es:

[math]\displaystyle{ 3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0 }[/math]

Las configuraciones de equilibrio [math]\displaystyle{ (\ddth_{\es\qs} = 0) }[/math] son las soluciones de la ecuación trascendente:

[math]\displaystyle{ \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs} }[/math], y es evidente que [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math] no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

Las condiciones iniciales son: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ 3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2\gt 0 }[/math]

El hecho de que [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indica que tiene el mismo sentido que la desviación [math]\displaystyle{ \theta }[/math] que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.

✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria

---

La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo [math]\displaystyle{ (\mu_\text{rad} = 0) }[/math]. Se trata de investigar si la rotación [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

Descripción cinemática

El EIRL de la bola respecto al suelo es la recta [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math], y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

Diagrama general de interacciones

Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

(17 inc. de enlace, 1GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incógnitas

3 sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}} }[/math]= 18 ecuaciones

La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como SAE, ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes [math]\displaystyle{ (\Omega_3,\Omega_1) }[/math] respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

(11 inc. de enlace, 1GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 12 incógnitas

2 sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}} }[/math] = 12 ecuaciones

Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto

La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

Si se aplica el TMC en O, las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}} }[/math]

El momento cinético [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] se puede calcular a partir del tensor de inercia en O (ya que O es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en [math]\displaystyle{ \Gs }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs) }[/math] es paralelo a la velocidad angular de la bola:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\ &= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\ &=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) \end{aligned} }[/math]

Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical [math]\displaystyle{ \vec{\Omega_0} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls] \end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} }[/math]

La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

Alternativa:

Si el cálculo de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] se hace a partir de [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os) }[/math] y la derivada se hace de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\ &=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} \end{aligned} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\ \left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls} \end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} }[/math]

✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria

---

La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]. Inicialmente, [math]\displaystyle{ \dot\psi(t=0) = 0 }[/math]. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] constante mientras hay deslizamiento.

Descripción cinemática y diagrama general de interacciones

Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] y [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI (ejemplo D3.18) son:

En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) (secció D3.6):

En los dos casos, el problema es determinado:

Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos[math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} = }[/math] 18 ecuaciones

Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos[math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} = }[/math] 12 ecuaciones

OPCIÓN 1

En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre brazo y techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]

Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

Si se aplica el TMC en O, se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace [math]\displaystyle{ (\Ns, \Ms_1) }[/math]. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os} }[/math]

El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en O porque O es fijo a la anilla:

[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} }[/math], amb [math]\displaystyle{ 2\Is = \ms\rs^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} }[/math]

Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J y del momento [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs} }[/math]

La segunda componente conduce a [math]\displaystyle{ \Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0 }[/math], y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: [math]\displaystyle{ \boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)} }[/math].

En el instante inicial, [math]\displaystyle{ \dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}\gt 0 }[/math], y por tanto la velocidad angular [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en J.

Cuando [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] llega al valor [math]\displaystyle{ (\dot\varphi_0/2) }[/math], el deslizamiento en J desaparece:

[math]\displaystyle{ \vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0 }[/math]

A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en J aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

Hoja de ruta para el par motor

Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la [math]\displaystyle{ \psi }[/math] y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

La componente 1 del TMC en O está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1} }[/math]

El momento cinético en O es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)} }[/math]

OPCIÓN 2

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]

Solo la anilla tiene un movimiento que depende de [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

En los dos casos, si se aplica el TMC en O se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math]) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os} }[/math]

El momento cinético en O y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\: \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} }[/math]

Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento [math]\displaystyle{ \Ms_3 }[/math] a:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3} }[/math]

La segunda componente da el valor de N: [math]\displaystyle{ \Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0 }[/math]. Al ser siempre positivo, el contacto en J está asegurado.

La primera componente da el par motor: [math]\displaystyle{ \Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right) }[/math].

Pero en la tercera, la aceleración [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math] está en función de [math]\displaystyle{ \Ms_3 }[/math]. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os} }[/math]

Los momentos externos son distintos al caso anterior:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs} }[/math]

En esta opción, la aceleración [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math] está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

[math]\displaystyle{ \boxed{\begin{aligned} \text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\ \text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3 \end{aligned}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\ \:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi \end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs }[/math]

El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.

✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio

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El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math] bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

Descripción cinemática

Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular [math]\displaystyle{ \dot\theta }[/math], el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math]) y la rotación vertical forzada [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math].

El movimiento del centro de la anilla G respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{AB: guía} \\ \text{AB: soporte} \end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{AB: terra} \\ \text{AB: guía} \end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth) }[/math]

Diagrama general de interacciones

El problema es determinado:

(15 inc. de enlace, 3GL) [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incógnitas

3 sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}} }[/math] = 18 ecuaciones

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math]

El movimiento de la anilla es el único que depende de [math]\displaystyle{ \ddth }[/math]. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

Si se aplica el TMC en O a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular [math]\displaystyle{ \dth }[/math] (y, por tanto, el cambio de su valor [math]\displaystyle{ \ddth }[/math]). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1} }[/math]

Ya que el punto O se mueve respecto al suelo: [math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}} }[/math]

Por otro lado, O es un punto fijo a la anilla: [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0} }[/math], amb [math]\displaystyle{ 2\Is = \ms\Rs^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth }[/math]

[math]\displaystyle{ \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth) }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0 }[/math].

Esta ecuación del movimiento incluye también la variable [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Esto quiere decir que los grados de libertad [math]\displaystyle{ \dth }[/math] y [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] están acoplados: aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

La componente 1 del TMC en O para el sistema anilla es la única donde aparecen [math]\displaystyle{ \dth }[/math] y [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per al sistema anella és l’única on apareixen [math]\displaystyle{ \dth }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x

El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la [math]\displaystyle{ \theta }[/math], [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] ya no es una incógnita.

Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal} }[/math]

Cálculo de la aceleración de G:

Opción 1: por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

[math]\displaystyle{ \left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth},  :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth }[/math]

Opción 2: por cinemática del sólido rígido.

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \Gs\in\text{anilla} \\ \Os\in\text{anilla} \end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec }[/math]

[math]\displaystyle{ \velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth) }[/math]

La aceleración angular [math]\displaystyle{ \accang{anilla}{T} }[/math] proviene del cambio de valor y de dirección de [math]\displaystyle{ \vec{\dth} }[/math]: [math]\displaystyle{ \accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth }[/math]

Formulación de la fuerza del muelle

El GL de translación vertical del soporte [math]\displaystyle{ (\dot\xs) }[/math] está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

Si se toma [math]\displaystyle{ \xs=0 }[/math] para el equilibrio en ausencia de rotación [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math], está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza [math]\displaystyle{ \Fs_0 }[/math] de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: [math]\displaystyle{ \Fs_0 = \ms\gs }[/math]. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: [math]\displaystyle{ \Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho }[/math].

Ya que el movimiento [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de [math]\displaystyle{ \xs }[/math] implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: [math]\displaystyle{ \Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs }[/math].

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\ \left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth) \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0} }[/math]

Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

Las condiciones iniciales [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) }[/math] con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

Una condición inicial del tipo [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) = \xs_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) =0 }[/math] no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0 }[/math].

En cambio, una condición inicial del tipo [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0)=\theta_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) =\dth_0 }[/math] sí que genera movimiento vertical [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math], ya que la ecuación que gobierna la [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] para el instante inicial es:

[math]\displaystyle{ \ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0 }[/math].

Estudio de las configuraciones de equilibrio estático

Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 = 0 }[/math]) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo [math]\displaystyle{ \ddot\xs_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddth_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth_\text{eq} = 0 }[/math]:

Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio [math]\displaystyle{ (\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta) }[/math], las ecuaciones se pueden linealizar. Para la configuración [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sth\sim\varepsilon_\theta \\ \cth\sim 1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs \lt 0\\ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta \lt 0 \end{cases} }[/math]

Ya que [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \lt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \lt 0 }[/math], se trata de una configuración ESTABLE.

Para la configuración [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sth\sim -\varepsilon_\theta \\ \cth\sim -1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs \gt 0\\ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta \gt 0 \end{cases} }[/math]

Ya que [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math], se trata de una configuración INESTABLE.

Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0\gt 0 }[/math], para [math]\displaystyle{ \ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math] la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, [math]\displaystyle{ \xs_\text{eq}=0 }[/math] es estable: [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \lt 0 }[/math]), pero la de la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

[math]\displaystyle{ (\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \begin{cases} \text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\ \text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right) \end{cases} }[/math]

Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de [math]\displaystyle{ \dot\psi_0^2 }[/math] ya que la función [math]\displaystyle{ \text{cos}\theta_\text{eq} }[/math] está acotada entre -1 y +1:

[math]\displaystyle{ |\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls} }[/math]

Para la configuración [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0) }[/math], la linealización de la ecuación del movimiento para la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] conduce a:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 \lt \dot\psi_{\cs\rs} }[/math] [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \lt 0 }[/math], la configuración es ESTABLE. Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 \gt \dot\psi_{\cs\rs} }[/math] y [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math], la configuración es INESTABLE.

Para la configuración [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg) }[/math], la ecuación del movimiento linealizada para la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] linealitzada és:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math]

La configuración és INESTABLE para cualquier valor de [math]\displaystyle{ \dot\psi_0^2 }[/math].

El estudio de las configuraciones [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2) }[/math] se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.

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