D8. Conservaciones

De Mecánica
(difs.) ← Revisión anterior | Revisión actual (difs.) | Revisión siguiente → (difs.)

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\Ds}{\textrm{D}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}} \newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\diag}[3]{ \begin{bmatrix} {#1} & {0} & {0}\\ {0} & {#2} & {0}\\ {0} & {0} & {#3} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

Los teoremas vectoriales relacionan la variación de dos Magnitudes Dinámicas ([math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math]) que dependen de la geometría de masas y del movimiento del sistema (la cantidad de movimiento y el momento cinético) con la resultante de las acciones externas [math]\displaystyle{ (\sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}) }[/math] sobre el sistema ([math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}} }[/math] incluye las interacciones externas y, si se trabaja en referencia no galileana, las acciones de inercia asociadas). De manera genérica, estos teoremas se pueden escribir de la forma siguiente:

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}. }[/math]


Cuando en alguna dirección fija a la referencia R (dfR) alguna componente de las acciones externas es cero, la componente correspondiente de la magnitud dinámica se mantiene constante: se dice que esta componente se conserva: [math]\displaystyle{ \left. \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}\right]_\mathrm{dfR}=0 \Rightarrow \left. \overline{\Ms\Ds}\right]_\mathrm{dfR}=\text{constante} }[/math].

Una conservación es una propiedad interesante: permite ignorar la evolución del sistema durante un tiempo finito y mantener un conocimiento parcial (si no se conservan todas las componentes de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math]) o total (si la conservación se produce en las tres direcciones del espacio de R) del estado del sistema.

Hay dos precauciones a tener en cuenta cuando se trata de invocar conservaciones:

  • Hay que estar seguro de que la componente de las acciones externas que es nula corresponde a una dirección fija a la referencia (un valor nulo en una dirección no fija a R solo es indicativo de valor constante de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] en aquella dirección, no de dirección constante!).
  • Hay que recordar que la conservación se refiere a una magnitud dinámica y no cinemática (en principio). Cuando la [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] es la cantidad de movimiento [math]\displaystyle{ (\overline{\Ms\Ds}=\Ms\vel{G}{R}) }[/math], al ser proporcional a la velocidad del centro de masas, la componente correspondiente de [math]\displaystyle{ \vel{G}{R} }[/math] se conserva. Cuando la [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] es el momento cinético de un único sólido referido a un punto de este sólido [math]\displaystyle{ (\overline{\Ms\Ds}=\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs),\Qs \in \mathrm{S}) }[/math], ya que en general no es proporcional a la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math], no se puede asegurar que la conservación del primero implique la constancia de la segunda.

Las conservaciones suelen ser el resultado de simplificaciones en la formulación de los problemas, como por ejemplo despreciar las fricciones. En la vida real, en general no se conserva nada.

💭 Demostración ➕

Proyectemos el teorema vectorial en una base que tenga una dirección fija a la referencia (por ejemplo, la dirección3):

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R} \quad \Rightarrow \quad \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ms\Ds_1}}{\dot{\Ms\Ds_2}}{\dot{\Ms\Ds_3}}+\left\{\velang{B}{R}\right\}\times \vector{\Ms\Ds_1}{\Ms\Ds_2}{\Ms\Ds_3} }[/math]

Ya que la dirección3 es fija a R, la velocidad angular de la base no puede tener ninguna componente que no sea en dirección 3. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ms\Ds_1}}{\dot{\Ms\Ds_2}}{\dot{\Ms\Ds_3}}=\vector{0}{0}{\Omega_3}\times \vector{\Ms\Ds_1}{\Ms\Ds_2}{\Ms\Ds_3}= \vector{\dot{\Ms\Ds_1}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2}{\dot{\Ms\Ds_2}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1}{\dot{\Ms\Ds_3}} }[/math]


Si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_3=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_3=\text{CONSTANTE!}. }[/math]

En cambio, si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1 }[/math] o [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2 }[/math] son nulas, las componentes correspondientes de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] ( [math]\displaystyle{ \Ms\Ds_1 }[/math] o [math]\displaystyle{ \Ms\Ds_2 }[/math]) no son en principio constantes:

[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_1}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_1}=\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_1 \neq \text{constante}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_2}+\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_2}=-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_2 \neq \text{constante} . }[/math]

D8.1 Ejemplos

✏️ EJEMPLO D8.1: salto de una persona sobre una plataforma

ExD8-1-1-esp.png
Una persona de masa M, que se mueve con velocidad [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_0 }[/math] sobre un suelo liso [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math], salta sobre una plataforma de masa m que inicialmente está quieta respecto al suelo, y se queda en reposo respecto a ella. Se trata de investigar cómo evoluciona el movimiento de estas dos piezas.
Hay conservación de la cantidad de movimiento?.
El salto de la persona tiene lugar sobre un suelo liso que no introduce ninguna fuerza horizontal sobre ella ni sobre la plataforma. Por tanto, durante el salto y para el SISTEMA (persona + plataforma) y la referencia suelo:
[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horizontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] cantidad de movimiento horizontal respecto al suelo CONSTANTE!
Antes del salto [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}) }[/math], la cantidad de movimiento (respecto al suelo) está asociada solo a la persona: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) }[/math]. Justo después del salto [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], ya que la persona está en reposo respecto a la plataforma, las dos piezas se mueven con la misma velocidad respecto al suelo: [math]\displaystyle{ \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right]. }[/math].
ExD8-1-2-cat-esp.png
La conservación de la cantidad de movimiento horizontal entre estos dos instantes permite calcular la velocidad final del conjunto: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) = \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math].
Esta velocidad se mantiene mientras el conjunto desliza sobre el suelo liso, però en cuanto entra en la zona rugosa [math]\displaystyle{ (\mu \neq 0) }[/math], dejará de hacerlo: la fuerza de fricción del suelo sobre la plataforma, horizontal y opuesta a [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts }[/math] (plataforma), la hará disminuir. Ya no se conserva la cantidad de movimiento:
[math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_\mathrm{suelo \rightarrow sist}=(\leftarrow \Fs_\mathrm{fricción})=(\Ms+\ms)\acc{G}{T}. }[/math]
La cantidad de movimiento horizontal de la persona y la de la plataforma (por separado) no se conservan durante el salto a causa de las fuerzas de enlace horizontales que aparecen entre ellas cuando empieza el contacto persona-plataforma.
ANIMACIONES

✏️ EJEMPLO D8.2: paro de un bloque sobre un carro

ExD8-2-1-esp.png
Una persona se encuentra sobre un carro, ambos en reposo inicialmente respecto al suelo. La masa del conjunto (persona + carro) es M, y las ruedas del carro son de masa despreciable. El bloque, de masa m, tiene inicialmente una velocidad [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] respecto al suelo dirigida hacia la persona, que lo para respecto a la plataforma. Se desprecia la fricción asociada a las articulaciones entre ruedas y carro. Se trata de investigar cómo evoluciona el movimiento del sistema.
Hay conservación de la cantidad de movimiento?.
Las ruedas son Sólidos Auxiliares de Enlace (SAEs) y no pueden transmitir fuerzas horizontales (ver ejemplo D3.10). Por tanto, para el SISTEMA (persona + carro con ruedas + bloque) y la referencia suelo:
[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horizontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] cantidad de movimiento (CM) horizontal respecto al suelo es CONSTANTE!
Antes del paro, la CM respecto al suelo está asociada solo al bloque: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) }[/math]. Justo después del paro [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], ya que persona y bloque quedan en reposo respecto al carro, todo el sistema se mueve con la misma velocidad respecto al suelo: [math]\displaystyle{ \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right] }[/math]. La conservación de CM horizontal entre estos dos instantes permite calcular la velocidad final del conjunto: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0 }[/math].
ExD8-2-2-cat-esp.png
Si se considera el bloque solo, por ejemplo, su CM respecto al suelo no se mantiene constante a causa de la fuerza de fricción del carro sobre el bloque, que tiende a pararlo. Para un instante intermedio entre el inicial y el final [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}\lt \ts\lt \ts_\mathrm{final}) }[/math] en el que la velocidad del bloque respecto al suelo se ha reducido hasta [math]\displaystyle{ \vs'(\lt \vs_0) }[/math], la velocidad del conjunto (persona + carro) se puede calcular invocando la conservación de la CM horizontal para el sistema (persona + carro con ruedas + bloque):
[math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = (\leftarrow \ms\vs') + \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs'' \right] \quad \Rightarrow \quad \vs''=\frac{\ms}{\Ms+\ms}(\vs_0-\vs'). }[/math]
ExD8-2-3-cat-esp.png
ANIMACIONS

✏️ EJEMPLO D8.3: patinador sobre hielo

thumb|left|100px|link=
 Una persona hace patinaje sobre una pista de hielo. En un cierto momento, gira sobre sí misma con velocidad angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] con los brazos extendidos, de manera que el eje vertical que pasa por G es principal de inercia y el momento de inercia correspondiente es [math]\displaystyle{ \Is_0 }[/math]. Se trata de investigar cómo evoluciona la rotación cuando cambia la configuración del sus brazos suponiendo que la fricción entre hielo y patines es despreciable [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math].
ExD8-3-2-neut.png
Hay conservación del momento cinético?.
Al tener [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math] entre hielo y patines, las únicas fuerzas externas sobre el sistema (persona + patines) son verticales (peso y fuerzas normales del hielo sobre los patines). Estas fuerzas verticales no pueden generar momento vertical respecto a G. Por tanto, para el sistema (persona + patines):
[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANTE!} }[/math]
El momento cinético vertical en la configuración inicial es [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{inicial})=(\Uparrow \Is_0 \Omega_0) }[/math]. Cuando acerca o aleja los brazos del cuerpo, el momento de inercia del sistema respecto al eje vertical que pasa por G cambia. Para un valor cualquiera [math]\displaystyle{ \Is }[/math] de este momento de inercia, la conservación implica: [math]\displaystyle{ (\Uparrow \Is_0 \Omega_0)=(\Uparrow \Is \Omega) }[/math]. Si acerca los brazos al cuerpo, [math]\displaystyle{ \Is\lt \Is_0 }[/math], y por tanto [math]\displaystyle{ \Omega\gt \Omega_0 }[/math] (la velocidad angular aumenta). Para el caso concreto [math]\displaystyle{ \Is=\Is_0/2 }[/math], la velocidad angular pasa a ser el doble: [math]\displaystyle{ \Omega=2\Omega_0 }[/math].
ANIMACIONES

✏️ EJEMPLO D8.4: colisión de dos barras

ExD8-4-1-esp.png
Dos barras, que tienen la masa concentrada en un extremo, se mueven sobre un suelo horizontal perfectamente liso (entre suelo y barras el coeficiente de fricción es nulo, [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math]) una hacia la otra hasta que colisionan y quedan enganchadas. Se trata de describir el movimiento final del sistema.
Hay conservación de la cantidad de movimiento?.
Si se considera el sistema formado por las dos barras, las fuerzas externas que reciben son estrictamente verticales (perpendiculares al plano del movimiento): el peso y las fuerzas normales asociadas al contacto con el suelo. Por tanto, para este sistema:
[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horizontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] cantidad de movimiento (CM) horizontal respecto al suelo CONSTANTE!
Antes de la colisión [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{antes}) }[/math]:
[math]\displaystyle{ \left.\overline{\mathrm{CM}}\right]_\mathrm{horizontal}=\Ms \vel{G}{T}=2\ms\overline{\vs}_\Ts(\mathrm{barra P})+\ms\overline{\vs}_\Ts(\mathrm{barra Q})=(\rightarrow \ms\vs_0)+(\leftarrow \ms2\vs_0)=0 }[/math]
Después de la colisión [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{después} }[/math], [math]\displaystyle{ \left.\overline{\mathrm{CM}}\right]_\mathrm{horizontal} }[/math] del sistema ha de seguir siendo cero, y por tanto la velocidad del centro de inercia del sistema también: [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts(\Gs,\ts_\mathrm{després}) }[/math]. Esto quiere decir que, después de la colisión, el sólido único formado por las dos barras tendrá el CIR respecto al suelo colocado permanentemente en G:
ExD8-4-2-esp.png
Posición del centro de inercia G: sobre la línea PQ, a una distancia 4L por debajo de Q:
[math]\displaystyle{ \left.\QGvec\right]_{\uparrow \downarrow}=\frac{\left.\ms \QQvec \right]_{\uparrow \downarrow} +\left. 2\ms \QPvec\right]_{\uparrow \downarrow}}{\ms+2\ms} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\QGvec\right]_{\uparrow \downarrow}=\frac{2}{3}(\downarrow 6\Ls)=(\downarrow 4\Ls) }[/math]
Para cada barra por separado no hay conservación de la cantidad de movimiento: la colisión genera fuerzas muy intensas entre ellas en dirección perpendicular a las barras que provocan aceleración en los centros de inercia respectivos.
Hay conservación del momento cinético?
Por otro lado, las fuerzas verticales (perpendiculares al plano del movimiento) no pueden generar momentos verticales respecto a ningún punto. Si se considera el TMC en G para el sistema formado por las dos barras:
[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANTE!} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{antes})\right]_\mathrm{vertical}=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{después})\right]_\mathrm{vertical} }[/math]
En el instante [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{antes} }[/math], las dos barras se trasladan, y por tanto G no pertenece cinemáticamente a ninguna de ellas. Hay que calcular su momento cinético por descomposición baricéntrica . Teniendo en cuenta que el centro de inercia de la barra P es P, y el de la barra Q es Q:
[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{ante})=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{antes})\right]_\mathrm{barraP}+\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{antes})\right]_\mathrm{barraQ}= }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{2.9cm}=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps,\ts_\mathrm{antes}) \right]_\mathrm{barraP}+\GPvec\times 2\ms\vel{P}{RTG}+\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTQ}(\Qs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{barraQ}+\GQvec \times 2\ms\vel{Q}{RTG}= }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{2.9cm}=\Is_\mathrm{P}\velang{barraP}{RTG} + \GPvec \times 2\ms\vel{P}{RTG}+\Is_\mathrm{Q}\velang{barraQ}{RTG}+\GQvec\times 2\ms\vel{Q}{RTG} }[/math]
[math]\displaystyle{ \velang{barraP}{RTG}=\velang{barraQ}{RTG}=\vec{0} \quad \Rightarrow \quad \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{antes})=(\downarrow 2\Ls)\times 2\ms(\rightarrow \vs_0)+(\uparrow 4\Ls)\times \ms (\leftarrow 2\vs_0)=(\otimes 10\ms\vs_0\Ls) }[/math]
Después de la colisión, G pertenece al sólido único que se ha formado. Por tanto:
[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{después})= \Is_\mathrm{G}\velang{}{RTG}=\left[2\ms(2\Ls)^2+\ms(4\Ls)^2\right](\otimes \Omega_\mathrm{T})=(\otimes 24\ms\Ls^2\Omega_\mathrm{T}) }[/math]
Finalmente: [math]\displaystyle{ (\otimes 10\ms\Ls\vs_0)=(\otimes\ms\Ls^2\Omega_\mathrm{T})\quad \Rightarrow \quad \Omega_\mathrm{T}=\frac{5}{12}\frac{\vs_0}{\Ls} }[/math] .
Comentario importante
Aunque, para el sistema formado por las dos barras, el momento externo vertical es nulo para cualquier punto, no se conserva el momento cinético ni en P ni en Q porque los dos puntos están acelerados (cambian bruscamente de velocidad cuando se produce la colisión):
[math]\displaystyle{ \acc{P}{Gal}=\frac{\Delta \vel{P}{Gal}}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}}=\frac{\left[\rightarrow (\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} }[/math] , [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Gal}=\frac{\Delta \vel{Q}{Gal}}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}}=\frac{\left[\rightarrow (2\vs_0-4\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} }[/math] .
Por tanto:
[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical}+ \left.\PGvec \times \ms \acc{P}{Gal}\right]_\mathrm{vertical}=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical} }[/math]
[math]\displaystyle{ (\uparrow 2\Ls)\times \ms \frac{\left[\rightarrow (\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} =\left[\otimes \frac{2\ms\Ls(\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} \right]=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical}\neq \text{constante} }[/math]


[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical}+ \left.\QGvec \times \ms \acc{Q}{Gal}\right]_\mathrm{vertical}=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical} }[/math]
[math]\displaystyle{ (\downarrow 4\Ls)\times \ms \frac{\left[\leftarrow (2\vs_0-4\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} =\left[\otimes \frac{8\ms\Ls(\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} \right]=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical}\neq \text{constante} }[/math]


ANIMACIONES

✏️ EJEMPLO D8.5: colisión de una anilla y un brazo articulado

ExD8-5-1-esp.png
La anilla, de radio L y masa m, se mueve sobre un suelo horizontal liso con velocidad angular respecto al suelo [math]\displaystyle{ \Omega_0=\ns\vs_0/\Ls }[/math] (donde n es un número entero), y su centro P se acerca con velocidad al extremo Q del brazo, de longitud 2L y masa M, que está articulado al punto O fijo al suelo y se encuentra inicialmente en reposo. Después de la colisión, anilla y brazo quedan enganchados. Se desprecia la fricción asociada a la articulación en O. Se trata de investigar el movimiento del sistema después de la colisión.
Hay conservación de la cantidad de movimiento?.
Para cada elemento por separado (anilla y brazo) no hay conservación de la cantidad de movimiento: la colisión genera fuerzas muy intensas entre ellos en dirección horizontal que provocan aceleración en los centros de inercia respectivos. Además, el brazo recibe una fuerza intensa en la articulación en O.
Para el sistema (anilla + brazo) tampoco la hay: la articulación en O introduce fuerzas en el plano del movimiento que provocan aceleración en el centro de inercia conjunto G.
Hay conservación del momento cinético?
ExD8-5-2-esp.png
Para el sistema (anilla + brazo), las fuerzas asociadas a la articulación provocan momento externo vertical (ortogonal al plano del movimiento) en cualquier punto salvo en O:
[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Os)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANTE!} }[/math]
Al ser O permanentemente fijo al suelo, tiene que ser el CIR permanente respecto al suelo del sólido único formado después de la colisión. Antes de la colisión, el CIR de la anilla se encuentra a [math]\displaystyle{ \Ls/2 }[/math] por debajo del centro P:
[math]\displaystyle{ \vel{S}{T}=\vel{P}{T}+\velang{}{0}\times \PSvec = (\rightarrow \vs_0) + \left(\otimes \frac{\ns\vs_0}{\Ls}\right)\times (\downarrow \Ls)=\left[\leftarrow (\ns-1)\vs_0\right]. }[/math]
La distancia e entre P y el CIR de la anilla respecto al suelo antes de la colisión se puede hallar a partir de:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \left|\vel{P}{T}\right|=\vs_0=\es \Omega_0 \\ \left|\vel{S}{T}\right|=(\ns-1) \vs_0=(\Ls-\es) \Omega_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \es=\frac{\Ls}{\ns} . }[/math]
Un valor negativo de n querría decir que el CIR se encuentra a una distancia e por encima de P.
ExD8-5-3-cat-esp.png
Antes de la colisión [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{abans} }[/math], O no pertenece en general cinemáticamente a la anilla (no es su CIR). Hay que calcular su momento cinético por descomposició baricèntrica . El momento cinético inicial del brazo es nulo porque no se mueve:
[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os,\ts_\mathrm{antes})=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{T}(\Os,\ts_\mathrm{antes})\right]_\mathrm{anella}= \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps,\ts_\mathrm{antes})\right]_\mathrm{anilla} + \OPvec \times 2\ms\vel{P}{T}= }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{3.4cm}=\Is_\mathrm{P} \left(\otimes \frac{\ns\vs_0}{\Ls} \right) + \left(\downarrow 2\Ls \right)\times \ms\left(\rightarrow \vs_0 \right) = \left(\otimes \ms\Ls^2 \frac{\ns\vs_0}{\Ls}\right) + \left(\odot 2\ms\Ls\vs_0 \right) = \left[ \otimes (\ns-2)\ms\Ls\vs_0 \right] }[/math]
Después de la colisión:
[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os,\ts_\mathrm{después})= \Is_\mathrm{O}\overline{\Omega}_\Ts=\left( \Is_\mathrm{O}^\mathrm{anilla}+ \Is_\mathrm{O}^\mathrm{brazo} \right) \overline{\Omega}_\Ts= \left( \Is_\mathrm{G}^\mathrm{anilla}+ \Is_\mathrm{O}^{\mathrm{anilla}\otimes}+\Is_\mathrm{O}^\mathrm{brazo} \right) \overline{\Omega}_\Ts = \left[ \ms\Ls^2 + \ms(2\Ls)^2+ \frac{4}{3} \ms\Ls^2\right]\overline{\Omega}_\Ts }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \bar{\mathrm{H}}_{\text {RTO }}\left(\Os, \mathrm{t}_{\text {después }}\right)=\left(\otimes \frac{19}{3} \ms\Ls^2 \Omega_{\mathrm{T}}\right) \\ \bar{\mathrm{H}}_{\text {RTO }}\left(\Os, \mathrm{t}_{\text {antes }}\right)=\left[\otimes(\mathrm{n}-2) \mathrm{mLv}_0\right] \end{array}\right\} \Rightarrow \bar{\Omega}_{\mathrm{T}}=\left[\otimes(\mathrm{n}-2) \frac{19}{3} \frac{\mathrm{v}_0}{\mathrm{~L}}\right] }[/math]
Para , el sistema gira en sentido horario. Para valores de , el sistema gira en sentido antihorario. Para , el sistema queda en reposo.
ANIMACIONES

✏️ EJEMPLO D8.6: sólido libre en el espacio

ExD8-6-1-neut.png
El sólido está formado por dos placas homogéneas, de la misma masa y altura pero distinta anchura, enganchadas por el punto O. Se trata de investigar si alguna magnitud dinámica se conserva cuando se lanza al aire. Se desprecian las interacciones aerodinámicas.
Hay conservación de la cantidad de movimiento?.
El sólido está sometido a la atracción gravitatoria terrestre como única fuerza externa. Por tanto, la componente vertical de la cantidad de movimiento respecto al suelo no se conserva, pero las horizontales sí.
Ya que la cantidad de movimiento respecto al suelo y la velocidad del centro de inercia [math]\displaystyle{ \vel{G=O}{T} }[/math] son estrictamente proporcionales, las componentes horizontales de [math]\displaystyle{ \vel{G}{T} }[/math] se mantienen constantes.
Hay conservación del momento cinético?
El torsor gravitatorio en el centro de gravedad G (que coincide con el centro de inercia O) se reduce a una fuerza resultante y ningún momento. Por tanto:
[math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathrm{M}}_\mathrm{ext}(\Gs)=\overline{0}=\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs) \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) \mathrm{CONSTANTE!} }[/math]
Para el caso del sólido que se estudia: [math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) = \Is\Is (\Gs) \velang{}{RTG} = \Is\Is (\Gs) \velang{}{T}. }[/math]
El momento cinético y la velocidad angular no son proporcionales en general (solo lo son cuando la dirección de la velocidad angular es una dirección principal de inercia para el centro de inercia G), y la conservación del primero no implica la constancia de la segunda.
Evaluación cualitativa del tensor de inercia
Al ser las dos placas dos sólidos planos simétricos:


[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Gs)\right]=\left[\Is\Is(\Gs)\right]_\text{placa inf} + \left[\Is\Is(\Gs)\right]_\text{placa sup.} = \diag{\Is_{11}}{\Is_{11} + \Is_{33}}{\Is_{33}}+ \diag{2\Is}{\Is}{\Is} , \text{ amb} \Is_{11}\lt \Is_{33}. }[/math]
Evaluación cuantitativa del tensor de inercia
[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Gs)\right]=\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{1}{1+4}{4}+\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{2}{1}{1}=\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{3}{6}{5} \equiv \diag{\Is_\mathrm{pequeño}}{\Is_\mathrm{grande}}{\Is_\mathrm{mediano}} }[/math]
Las direcciones 1, 2 y 3 son las direcciones principales de inercia para G.
Cálculo del momento cinético
[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs)\right\}=\diag{\Is_\mathrm{pequeño}}{\Is_\mathrm{grande}}{\Is_\mathrm{mediano}} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=\vector{\Is_\mathrm{pequeño}\Omega_1}{\Is_\mathrm{grande}\Omega_2}{\Is_\mathrm{mediano}\Omega_3} }[/math], no es proporcional a [math]\displaystyle{ \velang{}{T} }[/math] en principio.
Si la velocidad angular inicial es exclusivamente en una de las tres direcciones (es decir, si su dirección es principal de inercia para G), entonces sí que hay proporcionalidad entre [math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) }[/math] y [math]\displaystyle{ \velang{}{T} }[/math], y la conservación del primero implica la de la segunda.


ANIMACIONES

✏️ EJEMPLO D8.7: giroscopio

ExD8-7-1-esp.png
El sistema consta de un disco homogéneo, de masa m y radio r, articulado a un soporte de masa despreciable, y de una horquilla que puede girar libremente alrededor del eje vertical. Entre soporte y horquilla hay un motor. El momento de inercia del soporte respecto al eje vertical que pasa por el centro del disco es [math]\displaystyle{ \Is=(\lambda/2)\ms\rs^2 }[/math]. Inicialmente [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{incial} }[/math] el disco está paralelo al suelo, y gira con velocidad angular vertical [math]\displaystyle{ \velang{disc}{T}=\psio }[/math]. Se desprecian las fricciones asociadas a todas las articulaciones. Se trata de investigar cómo se mueve el soporte cuando el motor cambia la orientación del disco respecto al suelo.
Hay conservación del momento cinético?.
Para el SISTEMA disco, el momento total respecto a su centro de inercia G es nulo en la dirección de su eje. El motor puede cambiar la orientación de este eje respecto al suelo (y respecto a cualquier referencia que se traslade respecto al suelo), y por tanto no se trata de una dirección fija al suelo (por tanto, tampoco a la RTG): no se conserva el momento cinético en esta dirección.
Para el SISTEMA (disco + soporte + horquilla), el momento total respecto al centro del disco O es nulo en la dirección vertical, que sí que es fija al suelo. Por tanto:
[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =0 \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os) \right]_\mathrm{vert} \text{ CONSTANTE!} }[/math]
Mientras el motor cambia la orientación del plano del disco [math]\displaystyle{ (\dot{\theta} \neq 0) }[/math], aparece la rotación del soporte alrededor del eje vertical [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math]. El momento cinético en O en cada instante es:
ExD8-7-2-neut.png
[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os,\ts)=\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\velang{forq}{T}(\ts)+\Is\Is^\mathrm{disc}(\Os)\velang{disc}{T}(\ts)=\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\dot{\psi}+\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\left( \overline{\dot{\psi}}+ \overline{\dot{\theta}}+ \overline{\dot{\varphi}}\right) }[/math]


[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{forq}(\Os,\ts)}{B}=\diag{\Is_{11}}{\Is_{22}}{(\lambda/2)\ms\rs^2}\vector{0}{0}{\dot{\psi}}=\vector{0}{0}{(\lambda/2)\ms\rs^2 \dot{\psi}}, }[/math]


[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{disc}(\Os,\ts)}{B'}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\diag{1}{1}{2}\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi} \sin\theta}{\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi} \sin\theta}{2(\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)} }[/math]


El momento cinético en dirección vertical proviene de la proyección de las componentes 2 y 3:
[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\Ts(\Os,\ts)\right]_\mathrm{vert} =\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{sup}(\Os,\ts)+ \left.\overline{\Hs}_\Ts^ \mathrm{disc} (\Os,\ts) \right]_{3'}\cos\theta - \left.\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{disc}(\Os,\ts)\right]_{2'} \sin\theta , }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\Ts(\Os,\ts)\right]_\mathrm{vert} = \left(\Uparrow \frac{\lambda}{2}\ms\rs^2\dot{\psi}\right)+ \left(\Uparrow \frac{1}{4}\ms\rs^2\left[2\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}(1+\cos^2\theta)\right]\right) }[/math]


Imponiendo la conservación de momento cinético vertical:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{ll} \left.\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{O}, \mathrm{t})\right]_{\text {vert }}=\left(\Uparrow \frac{1}{4} \mathrm{mr}^2\left[2 \dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}\left(1+2 \lambda+\cos ^2 \theta\right)\right]\right) \\ \left.\begin{array}{l} \dot{\psi}\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=0 \\ \dot{\varphi}\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=\dot{\varphi}_0 \\ \theta\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=0 \end{array}\right\} \left.\Rightarrow \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\left(\mathbf{O}, \mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)\right]_{\text {vert }}=\left[\Uparrow\left(\frac{1}{2} \mathrm{mr}^2 \dot{\varphi}_0\right)\right] \\ \end{array}\right\} \Rightarrow 2 \dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}\left(1+2 \lambda+\cos ^2 \theta\right)=2 \dot{\varphi}_0 }[/math]


Por otro lado, para el SISTEMA disco, el momento externo en la dirección del eje del disco (dirección 3’) es nulo.
Por tanto, [math]\displaystyle{ \left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{disc,T}(\Os)\right]_{3'}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \braq{\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{disco,T}(\Os,\ts)}{B'}=\frac{1}{4}\ms\rs^2 \vector{-\ddot{\theta}}{-\ddot{\psi} \sin\theta -\dot{\psi}\dot{\theta}\cos\theta}{2(\ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta)} + \vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi}\sin\theta}{\dot{\psi}\cos\theta}\times\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi}\sin\theta}{2(\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)}= }[/math]


[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm}= \frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\ddot{\theta}-\dot{\psi}(2\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)\sin\theta}{-\ddot{\psi}\sin\theta + 2\dot{\theta}\dot{\varphi}}{2(\ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta)} \Rightarrow \ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta=0. }[/math]


ExD8-7-3D-neut.png
La integración de esta ecuación conduce a: [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta=\dot{\varphi}_0 }[/math], donde [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}_0 }[/math] es la constante de integración, que se determina imponiendo las condiciones iniciales.
Combinando este resultado con el anterior:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} 2\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}(1+2\lambda+\cos^2\theta )=2\dot{\varphi}_0\\ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta=\dot{\varphi}_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \frac{\dot{\psi}}{\dot{\varphi}_0}=\frac{2(1-\cos\theta)}{2\lambda+\sin^2\theta} }[/math]
ExD8-7-3-2D-neut.png

✏️ EJEMPLO D8.8: barra dentro de guía lisa circular giratoria

ExD8-8-1-esp.png
La barra PQ, homogénea y de masa m, se mueve manteniendo sus dos extremos dentro de una guía lisa [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math], de radio r y masa despreciable, que puede girar libremente alrededor de la dirección vertical. El ángulo POQ es de [math]\displaystyle{ 120^o }[/math]. Se trata de determinar la ecuación del movimiento para la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Se desprecia la rotación de la barra sobre su eje (rotación propia [math]\displaystyle{ \dot{\varphi} }[/math]).
Hay conservación de la cantidad de movimiento?.
Las fuerzas externas sobre la barra no son nulas: además del peso, hay fuerzas de la guía sobre la barra en P y en Q que solo tienen componente normal (dirigida hacia O) y componente perpendicular al plano de la guía. En total, pues, la fuerza externa resultante sobre la barra tiene componentes en las tres direcciones del espacio, y la cantidad de movimiento no se conserva.
Si se analizan las fuerzas externas sobre el SISTEMA (barra + guía), la conclusión es la misma: además del peso de la barra, hay la fuerza de enlace asociada al cojinete entre suelo y guía, que tiene tres componentes no nulas en principio.
Hay conservación del momento cinético?
Para el SISTEMA (barra + guía), el momento externo sobre cualquier punto del eje de rotación de la guía (en particular, para el punto O) tiene componente vertical nula (ya que el momento de enlace del cojinete en esta dirección es nulo, y el peso no puede dar momento en dirección vertical). Por otro lado, la aceleración angular de la guía respecto al suelo [math]\displaystyle{ \left(\overline{\ddot{\psi}}\right) }[/math] tiene esta dirección. Por tanto:
[math]\displaystyle{ \boxed{\left.\text{Hoja de ruta: SISTEMA (barra+guía), TMC en }\Os\right]_\mathrm{vert}} }[/math]


[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os) \right]_\mathrm{vert}=0 \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vert} \text{ CONSTANTE!} }[/math]


El único elemento con masa es la barra, y el punto O pertenece a ella cinemáticamente :
ExD8-8-2-neut.png
[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)=\Is\Is(\Os)\velang{barra}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\bigoplus(\Os)\right]\left(\overline{\dot{\psi}}+\overline{\dot{\theta}}\right) }[/math]


[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)}{}=\left(\ms(\sqrt{3\rs})^2\diag{1}{0}{1}+\ms\left(\frac{\rs}{2}\right)^2\diag{1}{1}{0}\right)\vector{\dot{\theta}}{\dot{\psi}\sin\theta}{\dot{\psi}\cos\theta} }[/math]
[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)}{}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{14\dot{\theta}}{\dot{\psi}\sin\theta}{13\dot{\psi}\cos\theta} }[/math]


[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_3\cos\theta+ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_2\sin\theta= \frac{1}{4}\ms\rs^2\dot{\psi}(13\cos^2\theta + \sin^2\theta)= \frac{1}{4}\ms\rs^2 \dot{\psi}(1+12\cos^2\theta) }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =\text{constant } \Rightarrow \quad \frac{\ds\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert}}{\ds\ts}=0=\frac{1}{4}\ms\rs^2 \dot{\psi}(1+12\cos^2\theta)-6\ms\rs^2 \dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta\cos\theta }[/math]


[math]\displaystyle{ \boxed{\ddot{\psi}(3+7\cos^2\theta)-14\dot{\psi}\dot{\theta} \sin\theta \cos\theta =0} }[/math]


Comentario relevante
ExD8-8-3-neut.png
El momento cinético vertical no se conserva ni en Q ni en P porque los dos puntos están acelerados:
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\bar{\Ms}}_{\text {ext }}(\mathbf{Q})-\overline{\mathbf{P G}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})=\dot{\overline{\mathrm{H}}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q}), \quad \overline{\mathbf{QG}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{QG}} \times \mathrm{m}\left[\overline{\mathrm{a}}_{\text {RЕL }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathrm{a}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{Q})+\overline{\mathrm{a}}_{\text {cor }}(\mathbf{Q})\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathbf{Q G}} \times \ms \bar{\mathrm{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{Q})\right\}=\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{3\rs} \cos \theta \\ \sqrt{3\rs} \sin \theta \end{array}\right\} \times \ms\left[\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{s}} \sin \left(30^{\circ}-\theta\right)-\mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{n}} \cos \left(30^{\circ}-\theta\right) \\ \mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{s}} \cos \left(30^{\circ}-\theta\right)+\mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{n}} \sin \left(30^{\circ}-\theta\right) \end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c} \mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{s}}-\mathrm{a}_{\mathrm{Cor}} \\ -\mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{n}} \\ 0 \end{array}\right\}\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\left.\left.\overline{\mathbf{Q G}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})\right]_{\text {vert }}=\overline{\mathbf{QG}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})\right]_{3^{\prime}}=\sqrt{3} \mathrm{m}\left(\mathrm{a}_{\text {Cor }}-\mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{s}}\right) \sin \theta \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\bar{\Hs}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})\right]_{\text {vert }} \neq 0 }[/math]



© Universitat Politècnica de Catalunya. Todos los derechos reservados


<<< D7. Ejemplos de dinámica 3D

E1. Teorema de la energía: versión diferencial >>>

Obtenido de «https://mec.etseib.upc.edu/es/index.php?title=D8._Conservaciones&oldid=534»