D8. Conservaciones

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\Ds}{\textrm{D}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}} \newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\diag}[3]{ \begin{bmatrix} {#1} & {0} & {0}\\ {0} & {#2} & {0}\\ {0} & {0} & {#3} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

Los teoremas vectoriales relacionan la variación de dos Magnitudes Dinámicas ([math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math]) que dependen de la geometría de masas y del movimiento del sistema (la cantidad de movimiento y el momento cinético) con la resultante de las acciones externas [math]\displaystyle{ (\sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}) }[/math] sobre el sistema ([math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}} }[/math] incluye las interacciones externas y, si se trabaja en referencia no galileana, las acciones de inercia asociadas). De manera genérica, estos teoremas se pueden escribir de la forma siguiente:

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}. }[/math]

Cuando en alguna dirección fija a la referencia R (dfR) alguna componente de las acciones externas es cero, la componente correspondiente de la magnitud dinámica se mantiene constante: se dice que esta componente se conserva: [math]\displaystyle{ \left. \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}\right]_\mathrm{dfR}=0 \Rightarrow \left. \overline{\Ms\Ds}\right]_\mathrm{dfR}=\text{constante} }[/math].

Una conservación es una propiedad interesante: permite ignorar la evolución del sistema durante un tiempo finito y mantener un conocimiento parcial (si no se conservan todas las componentes de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math]) o total (si la conservación se produce en las tres direcciones del espacio de R) del estado del sistema.

Hay dos precauciones a tener en cuenta cuando se trata de invocar conservaciones:

• Hay que estar seguro de que la componente de las acciones externas que es nula corresponde a una dirección fija a la referencia (un valor nulo en una dirección no fija a R solo es indicativo de valor constante de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] en aquella dirección, no de dirección constante!).

• Hay que recordar que la conservación se refiere a una magnitud dinámica y no cinemática (en principio). Cuando la [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] es la cantidad de movimiento [math]\displaystyle{ (\overline{\Ms\Ds}=\Ms\vel{G}{R}) }[/math], al ser proporcional a la velocidad del centro de masas, la componente correspondiente de [math]\displaystyle{ \vel{G}{R} }[/math] se conserva. Cuando la [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] es el momento cinético de un único sólido referido a un punto de este sólido [math]\displaystyle{ (\overline{\Ms\Ds}=\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs),\Qs \in \mathrm{S}) }[/math], ya que en general no es proporcional a la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math], no se puede asegurar que la conservación del primero implique la constancia de la segunda.

Las conservaciones suelen ser el resultado de simplificaciones en la formulación de los problemas, como por ejemplo despreciar las fricciones. En la vida real, en general no se conserva nada.

💭 Demostración ➕

Proyectemos el teorema vectorial en una base que tenga una dirección fija a la referencia (por ejemplo, la dirección3):

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R} \quad \Rightarrow \quad \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ms\Ds_1}}{\dot{\Ms\Ds_2}}{\dot{\Ms\Ds_3}}+\left\{\velang{B}{R}\right\}\times \vector{\Ms\Ds_1}{\Ms\Ds_2}{\Ms\Ds_3} }[/math]

Ya que la dirección3 es fija a R, la velocidad angular de la base no puede tener ninguna componente que no sea en dirección 3. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ms\Ds}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ms\Ds_1}}{\dot{\Ms\Ds_2}}{\dot{\Ms\Ds_3}}=\vector{0}{0}{\Omega_3}\times \vector{\Ms\Ds_1}{\Ms\Ds_2}{\Ms\Ds_3}= \vector{\dot{\Ms\Ds_1}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2}{\dot{\Ms\Ds_2}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1}{\dot{\Ms\Ds_3}} }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_3=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_3=\text{CONSTANTE!}. }[/math]

En cambio, si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1 }[/math] o [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2 }[/math] son nulas, las componentes correspondientes de [math]\displaystyle{ \overline{\Ms\Ds} }[/math] ( [math]\displaystyle{ \Ms\Ds_1 }[/math] o [math]\displaystyle{ \Ms\Ds_2 }[/math]) no son en principio constantes:

[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_1}-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_1}=\Omega_3\cdot\Ms\Ds_2 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_1 \neq \text{constante}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_2}+\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ms\Ds_2}=-\Omega_3\cdot\Ms\Ds_1 \quad \Rightarrow \quad \Ms\Ds_2 \neq \text{constante} . }[/math]

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D8.1 Ejemplos

✏️ EJEMPLO D8.1: salto de una persona sobre una plataforma

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Una persona de masa M, que se mueve con velocidad [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_0 }[/math] sobre un suelo liso [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math], salta sobre una plataforma de masa m que inicialmente está quieta respecto al suelo, y se queda en reposo respecto a ella. Se trata de investigar cómo evoluciona el movimiento de estas dos piezas.

Hay conservación de la cantidad de movimiento?.

El salto de la persona tiene lugar sobre un suelo liso que no introduce ninguna fuerza horizontal sobre ella ni sobre la plataforma. Por tanto, durante el salto y para el SISTEMA (persona + plataforma) y la referencia suelo:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horizontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] cantidad de movimiento horizontal respecto al suelo CONSTANTE!

Antes del salto [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}) }[/math], la cantidad de movimiento (respecto al suelo) está asociada solo a la persona: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) }[/math]. Justo después del salto [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], ya que la persona está en reposo respecto a la plataforma, las dos piezas se mueven con la misma velocidad respecto al suelo: [math]\displaystyle{ \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right]. }[/math].

La conservación de la cantidad de movimiento horizontal entre estos dos instantes permite calcular la velocidad final del conjunto: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) = \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math].

Esta velocidad se mantiene mientras el conjunto desliza sobre el suelo liso, però en cuanto entra en la zona rugosa [math]\displaystyle{ (\mu \neq 0) }[/math], dejará de hacerlo: la fuerza de fricción del suelo sobre la plataforma, horizontal y opuesta a [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts }[/math] (plataforma), la hará disminuir. Ya no se conserva la cantidad de movimiento:

[math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_\mathrm{suelo \rightarrow sist}=(\leftarrow \Fs_\mathrm{fricción})=(\Ms+\ms)\acc{G}{T}. }[/math]

La cantidad de movimiento horizontal de la persona y la de la plataforma (por separado) no se conservan durante el salto a causa de las fuerzas de enlace horizontales que aparecen entre ellas cuando empieza el contacto persona-plataforma.

ANIMACIONES

✏️ EJEMPLO D8.2: paro de un bloque sobre un carro

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Una persona se encuentra sobre un carro, ambos en reposo inicialmente respecto al suelo. La masa del conjunto (persona + carro) es M, y las ruedas del carro son de masa despreciable. El bloque, de masa m, tiene inicialmente una velocidad [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] respecto al suelo dirigida hacia la persona, que lo para respecto a la plataforma. Se desprecia la fricción asociada a las articulaciones entre ruedas y carro. Se trata de investigar cómo evoluciona el movimiento del sistema.

Hay conservación de la cantidad de movimiento?.

Las ruedas son Sólidos Auxiliares de Enlace (SAEs) y no pueden transmitir fuerzas horizontales (ver ejemplo D3.10). Por tanto, para el SISTEMA (persona + carro con ruedas + bloque) y la referencia suelo:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horizontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] cantidad de movimiento (CM) horizontal respecto al suelo es CONSTANTE!

Antes del paro, la CM respecto al suelo está asociada solo al bloque: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) }[/math]. Justo después del paro [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], ya que persona y bloque quedan en reposo respecto al carro, todo el sistema se mueve con la misma velocidad respecto al suelo: [math]\displaystyle{ \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right] }[/math]. La conservación de CM horizontal entre estos dos instantes permite calcular la velocidad final del conjunto: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0 }[/math].

Si se considera el bloque solo, por ejemplo, su CM respecto al suelo no se mantiene constante a causa de la fuerza de fricción del carro sobre el bloque, que tiende a pararlo. Para un instante intermedio entre el inicial y el final [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}\lt \ts\lt \ts_\mathrm{final}) }[/math] en el que la velocidad del bloque respecto al suelo se ha reducido hasta [math]\displaystyle{ \vs'(\lt \vs_0) }[/math], la velocidad del conjunto (persona + carro) se puede calcular invocando la conservación de la CM horizontal para el sistema (persona + carro con ruedas + bloque):

[math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = (\leftarrow \ms\vs') + \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs'' \right] \quad \Rightarrow \quad \vs''=\frac{\ms}{\Ms+\ms}(\vs_0-\vs'). }[/math]

ANIMACIONS

✏️ EJEMPLO D8.3: patinador sobre hielo

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thumb|left|100px|link=

Una persona hace patinaje sobre una pista de hielo. En un cierto momento, gira sobre sí misma con velocidad angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] con los brazos extendidos, de manera que el eje vertical que pasa por G es principal de inercia y el momento de inercia correspondiente es [math]\displaystyle{ \Is_0 }[/math]. Se trata de investigar cómo evoluciona la rotación cuando cambia la configuración del sus brazos suponiendo que la fricción entre hielo y patines es despreciable [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math].

Hay conservación del momento cinético?.

Al tener [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math] entre hielo y patines, las únicas fuerzas externas sobre el sistema (persona + patines) son verticales (peso y fuerzas normales del hielo sobre los patines). Estas fuerzas verticales no pueden generar momento vertical respecto a G. Por tanto, para el sistema (persona + patines):

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANTE!} }[/math]

El momento cinético vertical en la configuración inicial es [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{inicial})=(\Uparrow \Is_0 \Omega_0) }[/math]. Cuando acerca o aleja los brazos del cuerpo, el momento de inercia del sistema respecto al eje vertical que pasa por G cambia. Para un valor cualquiera [math]\displaystyle{ \Is }[/math] de este momento de inercia, la conservación implica: [math]\displaystyle{ (\Uparrow \Is_0 \Omega_0)=(\Uparrow \Is \Omega) }[/math]. Si acerca los brazos al cuerpo, [math]\displaystyle{ \Is\lt \Is_0 }[/math], y por tanto [math]\displaystyle{ \Omega\gt \Omega_0 }[/math] (la velocidad angular aumenta). Para el caso concreto [math]\displaystyle{ \Is=\Is_0/2 }[/math], la velocidad angular pasa a ser el doble: [math]\displaystyle{ \Omega=2\Omega_0 }[/math].

ANIMACIONES

✏️ EJEMPLO D8.4: colisión de dos barras

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Dos barras, que tienen la masa concentrada en un extremo, se mueven sobre un suelo horizontal perfectamente liso (entre suelo y barras el coeficiente de fricción es nulo, [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math]) una hacia la otra hasta que colisionan y quedan enganchadas. Se trata de describir el movimiento final del sistema.

Hay conservación de la cantidad de movimiento?.

Si se considera el sistema formado por las dos barras, las fuerzas externas que reciben son estrictamente verticales (perpendiculares al plano del movimiento): el peso y las fuerzas normales asociadas al contacto con el suelo. Por tanto, para este sistema:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horizontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] cantidad de movimiento (CM) horizontal respecto al suelo CONSTANTE!

Antes de la colisión [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{antes}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\mathrm{CM}}\right]_\mathrm{horizontal}=\Ms \vel{G}{T}=2\ms\overline{\vs}_\Ts(\mathrm{barra P})+\ms\overline{\vs}_\Ts(\mathrm{barra Q})=(\rightarrow \ms\vs_0)+(\leftarrow \ms2\vs_0)=0 }[/math]

Después de la colisión [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{después} }[/math], [math]\displaystyle{ \left.\overline{\mathrm{CM}}\right]_\mathrm{horizontal} }[/math] del sistema ha de seguir siendo cero, y por tanto la velocidad del centro de inercia del sistema también: [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts(\Gs,\ts_\mathrm{després}) }[/math]. Esto quiere decir que, después de la colisión, el sólido único formado por las dos barras tendrá el CIR respecto al suelo colocado permanentemente en G:

Posición del centro de inercia G: sobre la línea PQ, a una distancia 4L por debajo de Q:

[math]\displaystyle{ \left.\QGvec\right]_{\uparrow \downarrow}=\frac{\left.\ms \QQvec \right]_{\uparrow \downarrow} +\left. 2\ms \QPvec\right]_{\uparrow \downarrow}}{\ms+2\ms} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\QGvec\right]_{\uparrow \downarrow}=\frac{2}{3}(\downarrow 6\Ls)=(\downarrow 4\Ls) }[/math]

Para cada barra por separado no hay conservación de la cantidad de movimiento: la colisión genera fuerzas muy intensas entre ellas en dirección perpendicular a las barras que provocan aceleración en los centros de inercia respectivos.

Hay conservación del momento cinético?

Por otro lado, las fuerzas verticales (perpendiculares al plano del movimiento) no pueden generar momentos verticales respecto a ningún punto. Si se considera el TMC en G para el sistema formado por las dos barras:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANTE!} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{antes})\right]_\mathrm{vertical}=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{después})\right]_\mathrm{vertical} }[/math]

En el instante [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{antes} }[/math], las dos barras se trasladan, y por tanto G no pertenece cinemáticamente a ninguna de ellas. Hay que calcular su momento cinético por descomposición baricéntrica . Teniendo en cuenta que el centro de inercia de la barra P es P, y el de la barra Q es Q:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{ante})=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{antes})\right]_\mathrm{barraP}+\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{antes})\right]_\mathrm{barraQ}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.9cm}=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps,\ts_\mathrm{antes}) \right]_\mathrm{barraP}+\GPvec\times 2\ms\vel{P}{RTG}+\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTQ}(\Qs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{barraQ}+\GQvec \times 2\ms\vel{Q}{RTG}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.9cm}=\Is_\mathrm{P}\velang{barraP}{RTG} + \GPvec \times 2\ms\vel{P}{RTG}+\Is_\mathrm{Q}\velang{barraQ}{RTG}+\GQvec\times 2\ms\vel{Q}{RTG} }[/math]

[math]\displaystyle{ \velang{barraP}{RTG}=\velang{barraQ}{RTG}=\vec{0} \quad \Rightarrow \quad \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{antes})=(\downarrow 2\Ls)\times 2\ms(\rightarrow \vs_0)+(\uparrow 4\Ls)\times \ms (\leftarrow 2\vs_0)=(\otimes 10\ms\vs_0\Ls) }[/math]

Después de la colisión, G pertenece al sólido único que se ha formado. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{después})= \Is_\mathrm{G}\velang{}{RTG}=\left[2\ms(2\Ls)^2+\ms(4\Ls)^2\right](\otimes \Omega_\mathrm{T})=(\otimes 24\ms\Ls^2\Omega_\mathrm{T}) }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ (\otimes 10\ms\Ls\vs_0)=(\otimes\ms\Ls^2\Omega_\mathrm{T})\quad \Rightarrow \quad \Omega_\mathrm{T}=\frac{5}{12}\frac{\vs_0}{\Ls} }[/math] .

Comentario importante

Aunque, para el sistema formado por las dos barras, el momento externo vertical es nulo para cualquier punto, no se conserva el momento cinético ni en P ni en Q porque los dos puntos están acelerados (cambian bruscamente de velocidad cuando se produce la colisión):

[math]\displaystyle{ \acc{P}{Gal}=\frac{\Delta \vel{P}{Gal}}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}}=\frac{\left[\rightarrow (\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} }[/math] , [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Gal}=\frac{\Delta \vel{Q}{Gal}}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}}=\frac{\left[\rightarrow (2\vs_0-4\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} }[/math] .

Por tanto:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical}+ \left.\PGvec \times \ms \acc{P}{Gal}\right]_\mathrm{vertical}=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\uparrow 2\Ls)\times \ms \frac{\left[\rightarrow (\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} =\left[\otimes \frac{2\ms\Ls(\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} \right]=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical}\neq \text{constante} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical}+ \left.\QGvec \times \ms \acc{Q}{Gal}\right]_\mathrm{vertical}=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\downarrow 4\Ls)\times \ms \frac{\left[\leftarrow (2\vs_0-4\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} =\left[\otimes \frac{8\ms\Ls(\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})}{\ts_\mathrm{después}-\ts_\mathrm{antes}} \right]=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical}\neq \text{constante} }[/math]

ANIMACIONES

✏️ EJEMPLO D8.5: colisión de una anilla y un brazo articulado

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La anilla, de radio L y masa m, se mueve sobre un suelo horizontal liso con velocidad angular respecto al suelo [math]\displaystyle{ \Omega_0=\ns\vs_0/\Ls }[/math] (donde n es un número entero), y su centro P se acerca con velocidad al extremo Q del brazo, de longitud 2L y masa M, que está articulado al punto O fijo al suelo y se encuentra inicialmente en reposo. Después de la colisión, anilla y brazo quedan enganchados. Se desprecia la fricción asociada a la articulación en O. Se trata de investigar el movimiento del sistema después de la colisión.

Hay conservación de la cantidad de movimiento?.

Para cada elemento por separado (anilla y brazo) no hay conservación de la cantidad de movimiento: la colisión genera fuerzas muy intensas entre ellos en dirección horizontal que provocan aceleración en los centros de inercia respectivos. Además, el brazo recibe una fuerza intensa en la articulación en O.

Para el sistema (anilla + brazo) tampoco la hay: la articulación en O introduce fuerzas en el plano del movimiento que provocan aceleración en el centro de inercia conjunto G.

Hay conservación del momento cinético?

Para el sistema (anilla + brazo), las fuerzas asociadas a la articulación provocan momento externo vertical (ortogonal al plano del movimiento) en cualquier punto salvo en O:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Os)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANTE!} }[/math]

Al ser O permanentemente fijo al suelo, tiene que ser el CIR permanente respecto al suelo del sólido único formado después de la colisión. Antes de la colisión, el CIR de la anilla se encuentra a [math]\displaystyle{ \Ls/2 }[/math] por debajo del centro P:

[math]\displaystyle{ \vel{S}{T}=\vel{P}{T}+\velang{}{0}\times \PSvec = (\rightarrow \vs_0) + \left(\otimes \frac{\ns\vs_0}{\Ls}\right)\times (\downarrow \Ls)=\left[\leftarrow (\ns-1)\vs_0\right]. }[/math]

La distància e entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i el CIR de l’anella respecte del terra abans de la col·lisió es pot trobar a partir de:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \left|\vel{P}{T}\right|=\vs_0=\es \Omega_0 \\ \left|\vel{S}{T}\right|=(\ns-1) \vs_0=(\Ls-\es) \Omega_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \es=\frac{\Ls}{\ns} . }[/math]

Un valor negatiu de n voldria dir que el CIR es troba a una distància e pel damunt de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].

thumb|center|500px|link=

Abans de la col·lisió [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{abans} }[/math], [math]\displaystyle{ \Os }[/math] no pertany en general cinemàticament a l’anella (no és el seu CIR). El càlcul del seu moment cinètic s’ha de fer per descomposició baricèntrica . El moment cinètic inicial del braç és nul perquè no es mou:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os,\ts_\mathrm{abans})=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{T}(\Os,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{anella}= \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{anella} + \OPvec \times 2\ms\vel{P}{T}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{3.4cm}=\Is_\mathrm{P} \left(\otimes \frac{\ns\vs_0}{\Ls} \right) + \left(\downarrow 2\Ls \right)\times \ms\left(\rightarrow \vs_0 \right) = \left(\otimes \ms\Ls^2 \frac{\ns\vs_0}{\Ls}\right) + \left(\odot 2\ms\Ls\vs_0 \right) = \left[ \otimes (\ns-2)\ms\Ls\vs_0 \right] }[/math]

Després de la col·lisió:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os,\ts_\mathrm{després})= \Is_\mathrm{O}\overline{\Omega}_\Ts=\left( \Is_\mathrm{O}^\mathrm{anella}+ \Is_\mathrm{O}^\mathrm{braç} \right) \overline{\Omega}_\Ts= \left( \Is_\mathrm{G}^\mathrm{anella}+ \Is_\mathrm{O}^{\mathrm{anella}\otimes}+\Is_\mathrm{O}^\mathrm{braç} \right) \overline{\Omega}_\Ts = \left[ \ms\Ls^2 + \ms(2\Ls)^2+ \frac{4}{3} \ms\Ls^2\right]\overline{\Omega}_\Ts }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \bar{\mathrm{H}}_{\text {RTO }}\left(\Os, \mathrm{t}_{\text {després }}\right)=\left(\otimes \frac{19}{3} \ms\Ls^2 \Omega_{\mathrm{T}}\right) \\ \bar{\mathrm{H}}_{\text {RTO }}\left(\Os, \mathrm{t}_{\text {abans }}\right)=\left[\otimes(\mathrm{n}-2) \mathrm{mLv}_0\right] \end{array}\right\} \Rightarrow \bar{\Omega}_{\mathrm{T}}=\left[\otimes(\mathrm{n}-2) \frac{19}{3} \frac{\mathrm{v}_0}{\mathrm{~L}}\right] }[/math]

Per a n>2 , el sistema gira en sentit horari. Per a valors de n<2, el sistema gira en sentit antihorari. Per a n=2 , el sistema queda en repòs.

ANIMACIONS

✏️ Exemple D8.6: sòlid lliure a l’espai

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El sòlid està format per dues plaques homogènies, de la mateixa massa i alçària però amplàries diferents, enganxades pel punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Es tracta d’investigar si alguna magnitud dinàmica es conserva quan es llança enlaire.Es negligeixen les interaccions aerodinàmiques.

Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.

El sòlid està sotmès a l’atracció gravitatòria terrestre com a única força externa. Per tant, la component vertical de la quantitat de moviment respecte del terra no es conserva, però les horitzontals sí..

Ja que la quantitat de moviment respecte del terra i la velocitat del centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \vel{G=O}{T} }[/math] són estrictament proporcionals, les components horitzontals de [math]\displaystyle{ \vel{G}{T} }[/math] es mantenen constants..

Hi ha conservació del moment cinètic?

El torsor gravitatori al centre de gravetat [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] (que coincideix amb el centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) es redueix a una força resultant i cap moment. Per tant:

[math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathrm{M}}_\mathrm{ext}(\Gs)=\overline{0}=\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs) \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) \mathrm{CONSTANT!} }[/math]

Per al cas del sòlid que s’estudia: [math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) = \Is\Is (\Gs) \velang{}{RTG} = \Is\Is (\Gs) \velang{}{T}. }[/math]

El moment cinètic i la velocitat angular no són proporcionals en general (només ho són quan la direcció de la velocitat angular és una direcció principal d’inèrcia per al centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] ), i la conservació del primer no implica la constància de la segona.

Avaluació qualitativa del tensor d’inèrcia

En tractar-se les dues plaques de sòlids plans simètrics:

[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Gs)\right]=\left[\Is\Is(\Gs)\right]_\text{placa inf} + \left[\Is\Is(\Gs)\right]_\text{placa sup.} = \diag{\Is_{11}}{\Is_{11} + \Is_{33}}{\Is_{33}}+ \diag{2\Is}{\Is}{\Is} , \text{ amb} \Is_{11}\lt \Is_{33}. }[/math]

Avaluació quantitativa del tensor d’inèrcia

[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Gs)\right]=\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{1}{1+4}{4}+\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{2}{1}{1}=\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{3}{6}{5} \equiv \diag{\Is_\mathrm{petit}}{\Is_\mathrm{gran}}{\Is_\mathrm{mitjà}} }[/math]

Les direccions 1, 2 i 3 són les direccions principals d’inèrcia per a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].

Cálcul del moment cinètic

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs)\right\}=\diag{\Is_\mathrm{petit}}{\Is_\mathrm{gran}}{\Is_\mathrm{mitjà}} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=\vector{\Is_\mathrm{petit}\Omega_1}{\Is_\mathrm{gran}\Omega_2}{\Is_\mathrm{mitjà}\Omega_3} }[/math],no és proporcional a [math]\displaystyle{ \velang{}{T} }[/math] en principi.

Si la velocitat angular inicial és exclusivament en una de les tres direccions (és a dir, si la seva direcció es principal d’inèrcia per a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]), llavors sí que hi ha proporcionalitat entre [math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) }[/math] i [math]\displaystyle{ \velang{}{T} }[/math], i la conservació del primer implica la de la segona.

ANIMACIONS

✏️ Exemple D8.7: giroscopi

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El sistema consta d’un disc homogeni, de massa m i radi r, que està articulat a un suport de massa negligible, i d’una forquilla que pot girar lliurement al voltant de l’eix vertical. Entre suport i forquilla hi ha un motor. El moment d’inèrcia del suport respecte de l’eix vertical que passa pel centre del disc és [math]\displaystyle{ \Is=(\lambda/2)\ms\rs^2 }[/math]. Inicialment [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{incial} }[/math] el disc està paral·lel a terra, i gira amb velocitat angular vertical [math]\displaystyle{ \velang{disc}{T}=\psio }[/math] . Es negligeixen les friccions associades a totes les articulacions. Es tracta d’investigar com es mou el suport quan el motor canvia l’orientació del disc respecte del terra .

Hi ha conservació del moment cinètic?.

Per al SISTEMA disc, el moment total respecte del seu centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és nul en la direcció del seu eix. El motor pot canviar l’orientació d’aquest eix respecte del terra (i respecte de qualsevol referència que es traslladi respecte del terra), i per tant no es tracta d’una direcció fixa al terra (per tant, tampoc a la RTG): no es conserva el moment cinètic en aquesta direcció.

Per al SISTEMA (disc + suport + forquilla), el moment total respecte del centre del disc [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és nul en la direcció vertical, que sí que és fixa a terra. Per tant:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =0 \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os) \right]_\mathrm{vert} \text{ CONSTANT!} }[/math]

Mentre el motor canvia l’orientació del pla del disc [math]\displaystyle{ (\dot{\theta} \neq 0) }[/math] , apareix la rotació del suport al voltant de l’eix vertical [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math] . El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] en cada instant és:

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[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os,\ts)=\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\velang{forq}{T}(\ts)+\Is\Is^\mathrm{disc}(\Os)\velang{disc}{T}(\ts)=\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\dot{\psi}+\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\left( \overline{\dot{\psi}}+ \overline{\dot{\theta}}+ \overline{\dot{\varphi}}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{forq}(\Os,\ts)}{B}=\diag{\Is_{11}}{\Is_{22}}{(\lambda/2)\ms\rs^2}\vector{0}{0}{\dot{\psi}}=\vector{0}{0}{(\lambda/2)\ms\rs^2 \dot{\psi}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{disc}(\Os,\ts)}{B'}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\diag{1}{1}{2}\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi} \sin\theta}{\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi} \sin\theta}{2(\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)} }[/math]

El moment cinètic en direcció vertical prové de la projecció de les components 2 i 3:

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\Ts(\Os,\ts)\right]_\mathrm{vert} =\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{sup}(\Os,\ts)+ \left.\overline{\Hs}_\Ts^ \mathrm{disc} (\Os,\ts) \right]_{3'}\cos\theta - \left.\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{disc}(\Os,\ts)\right]_{2'} \sin\theta , }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\Ts(\Os,\ts)\right]_\mathrm{vert} = \left(\Uparrow \frac{\lambda}{2}\ms\rs^2\dot{\psi}\right)+ \left(\Uparrow \frac{1}{4}\ms\rs^2\left[2\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}(1+\cos^2\theta)\right]\right) }[/math]

Imposant la conservació de moment cinètic vertical:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{ll} \left.\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{O}, \mathrm{t})\right]_{\text {vert }}=\left(\Uparrow \frac{1}{4} \mathrm{mr}^2\left[2 \dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}\left(1+2 \lambda+\cos ^2 \theta\right)\right]\right) \\ \left.\begin{array}{l} \dot{\psi}\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=0 \\ \dot{\varphi}\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=\dot{\varphi}_0 \\ \theta\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=0 \end{array}\right\} \left.\Rightarrow \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\left(\mathbf{O}, \mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)\right]_{\text {vert }}=\left[\Uparrow\left(\frac{1}{2} \mathrm{mr}^2 \dot{\varphi}_0\right)\right] \\ \end{array}\right\} \Rightarrow 2 \dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}\left(1+2 \lambda+\cos ^2 \theta\right)=2 \dot{\varphi}_0 }[/math]

Per altra banda, per al SISTEMA disc, el moment extern en la direcció de l’eix del disc (direcció 3’) és nul.

Per tant, [math]\displaystyle{ \left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{disc,T}(\Os)\right]_{3'}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{disc,T}(\Os,\ts)}{B'}=\frac{1}{4}\ms\rs^2 \vector{-\ddot{\theta}}{-\ddot{\psi} \sin\theta -\dot{\psi}\dot{\theta}\cos\theta}{2(\ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta)} + \vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi}\sin\theta}{\dot{\psi}\cos\theta}\times\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi}\sin\theta}{2(\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm}= \frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\ddot{\theta}-\dot{\psi}(2\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)\sin\theta}{-\ddot{\psi}\sin\theta + 2\dot{\theta}\dot{\varphi}}{2(\ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta)} \Rightarrow \ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta=0. }[/math]

thumb|right|350px|link=

La integració d’aquesta equació condueix a: [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta=\dot{\varphi}_0 }[/math] , on [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}_0 }[/math] és la constant d’integració, que es determina imposant les condicions inicials.

Combinant aquest resultat amb l’anterior:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} 2\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}(1+2\lambda+\cos^2\theta )=2\dot{\varphi}_0\\ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta=\dot{\varphi}_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \frac{\dot{\psi}}{\dot{\varphi}_0}=\frac{2(1-\cos\theta)}{2\lambda+\sin^2\theta} }[/math]

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✏️ Exemple D8.8: barra dins de guia llisa giratòria

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La barra PQ, homogènia i de massa m, es mou mantenint els seus dos extrems dins d’una guia llisa [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math] , de radi r i massa negligible, que pot girar lliurement al voltant de la direcció vertical. L’angle POQ és de [math]\displaystyle{ 120^o }[/math]. Es tracta de determinar l’equació del moviment per a la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math] . Es negligeix la rotació de la barra sobre el seu eix (rotació pròpia [math]\displaystyle{ \dot{\varphi} }[/math] ).

Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.

Les forces externes sobre la barra no són nul·les: a més del pes, hi ha forces de la guia sobre la barra a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que només tenen component normal (dirigida cap a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) i component perpendicular al pla de la guia. En total, doncs, la força externa resultant sobre la barra té components en les tres direccions de l’espai, i la quantitat de moviment no es conserva.

Si s’analitzen les forces externes sobre el SISTEMA (barra + guia), la conclusió és la mateixa: a més del pes de la barra, hi ha la força d’enllaç associada al coixinet entre terra i guia, que té tres components no nul·les en principi.

Hi ha conservació del moment cinètic?

Per al SISTEMA (barra + guia), el moment extern sobre qualsevol punt de l’eix de rotació de la guia (en particular, per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) té component vertical nul·la (doncs el moment d’enllaç del coixinet en aquesta direcció és nul, i el pes no pot donar moment en direcció vertical). Per altra banda, l’acceleració angular de la guia respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\overline{\ddot{\psi}}\right) }[/math] té aquesta direcció. Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\left.\text{Full de ruta: SISTEMA (barra+guia), TMC a }\Os\right]_\mathrm{vert}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os) \right]_\mathrm{vert}=0 \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vert} \text{ CONSTANT!} }[/math]

L’únic element amb massa és la barra, i el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] hi pertany cinemàticament :

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[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)=\Is\Is(\Os)\velang{barra}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\bigoplus(\Os)\right]\left(\overline{\dot{\psi}}+\overline{\dot{\theta}}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)}{}=\left(\ms(\sqrt{3\rs})^2\diag{1}{0}{1}+\ms\left(\frac{\rs}{2}\right)^2\diag{1}{1}{0}\right)\vector{\dot{\theta}}{\dot{\psi}\sin\theta}{\dot{\psi}\cos\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)}{}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{14\dot{\theta}}{\dot{\psi}\sin\theta}{13\dot{\psi}\cos\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_3\cos\theta+ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_2\sin\theta= \frac{1}{4}\ms\rs^2\dot{\psi}(13\cos^2\theta + \sin^2\theta)= \frac{1}{4}\ms\rs^2 \dot{\psi}(1+12\cos^2\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =\text{constant } \Rightarrow \quad \frac{\ds\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert}}{\ds\ts}=0=\frac{1}{4}\ms\rs^2 \dot{\psi}(1+12\cos^2\theta)-6\ms\rs^2 \dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta\cos\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \boxed{\ddot{\psi}(3+7\cos^2\theta)-14\dot{\psi}\dot{\theta} \sin\theta \cos\theta =0} }[/math]

Comentari rellevant

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El moment cinètic vertical no es conserva ni a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] ni a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] perquè tots dos punts estan accelerats:

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\bar{\Ms}}_{\text {ext }}(\mathbf{Q})-\overline{\mathbf{P G}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})=\dot{\overline{\mathrm{H}}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q}), \quad \overline{\mathbf{QG}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{QG}} \times \mathrm{m}\left[\overline{\mathrm{a}}_{\text {RЕL }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathrm{a}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{Q})+\overline{\mathrm{a}}_{\text {cor }}(\mathbf{Q})\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathbf{Q G}} \times \ms \bar{\mathrm{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{Q})\right\}=\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{3\rs} \cos \theta \\ \sqrt{3\rs} \sin \theta \end{array}\right\} \times \ms\left[\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{s}} \sin \left(30^{\circ}-\theta\right)-\mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{n}} \cos \left(30^{\circ}-\theta\right) \\ \mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{s}} \cos \left(30^{\circ}-\theta\right)+\mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{n}} \sin \left(30^{\circ}-\theta\right) \end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c} \mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{s}}-\mathrm{a}_{\mathrm{Cor}} \\ -\mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{n}} \\ 0 \end{array}\right\}\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\left.\left.\overline{\mathbf{Q G}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})\right]_{\text {vert }}=\overline{\mathbf{QG}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})\right]_{3^{\prime}}=\sqrt{3} \mathrm{m}\left(\mathrm{a}_{\text {Cor }}-\mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{s}}\right) \sin \theta \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\bar{\Hs}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})\right]_{\text {vert }} \neq 0 }[/math]

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