D6. Ejemplos de dinámica 2D
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]
Esta unidad propone un método sistemático para resolver problemas de dinámica de sistemas constituidos por un número cualquiera de sólidos. Si este número es elevado, definir la estrategia para llegar a los resultados que se buscan es fundamental para evitar desarrollos excesivos.
Los ejemplos se centran en problemas de dinámica plana (2D). La unidad D7 analiza ejemplos de dinámica 3D.
D6.1 Cinemática 2D y dinámica 2D
La condición para que un sistema presente una dinámica 2D no es exclusivamente que su cinemática sea plana: es necesario, además, que el momento cinético de cada sólido [math]\displaystyle{ \Ss_\is }[/math] del sistema referido a su centro de inercia [math]\displaystyle{ \Gs_\is }[/math] sea ortogonal al plano del movimiento (sección D4.5). Esto es equivalente a decir que la dirección ortogonal al plano del movimiento sea una dirección principal de inercia (secció D5.2) para [math]\displaystyle{ \Gs_\is }[/math].
✏️ EJEMPLO D6.1: cinemática 2D y dinámica 3D
| La barra delgada y homogénea está articulada a O a un soporte que gira respecto al suelo con velocidad angular vertical [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constante. La barra se apoya sobre el suelo liso, de manera que su movimiento es plano: todos sus puntos (excepto el punto O) describen trayectorias circulares horizontales.
El hecho de que la cinemática de la barra sea plana puede hacer pensar que solo la componente vertical del TMC es necesaria para estudiar su dinámica. Pero no es así. El momento cinético de la barra en el punto O es: |
[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO=T}}(\Os)}{}= \matriz{\Is}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{\Is}\vector{\Omega_0 \sin \beta}{\Omega_0 \cos \beta}{0}= \vector{\Is\Omega_0 \sin \beta}{0}{0} . }[/math]
De este vector, solo la parte horizontal es variable (cambia de dirección a causa de [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]). La derivada geométrica conduce a:
[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\mathbf{H}}}_{\text {RTO}} (\Os)=(\Uparrow \Omega_0) \times (\Rightarrow \Is \Omega_0 \sin \beta \cos \beta)= \otimes\Is \Omega_0^2 \sin\beta \cos\beta. }[/math]
Esta derivada también se puede calcular mediante la base vectorial:
[math]\displaystyle{ \braq{\dot{\overline{\mathbf{H}}}_{\text {RTO}} (\Os)}{}= \vector{\Omega_0 \sin \beta}{\Omega_0 \cos \beta}{0} \times \vector{\Is \Omega_0 \sin \beta}{0}{0} =\vector{0}{0}{-\Is \Omega_0^2\sin\beta\cos\beta}. }[/math]
En la aplicación del TMC en O a la barra no se puede prescindir de la componente 3, que es horizontal.
D6.2 Diagrama de sólido libre (DSL) y hoja de ruta
Cuando un sistema formado solo por un único sólido tiene dinámica 2D, el número de ecuaciones para resolver el problema es 3: las dos componentes del TCM en el plano del movimiento y la componente del TMC perpendicular a este plano. Según lo que se quiera calcular (ecuación del movimiento, fuerza de enlace...), puede ser que no sea necesario aplicar los dos teoremas.
Hallar un camino rápido para llegar al resultado que se busca pide elaborar una hoja de ruta (que es una declaración de la estrategia a seguir). Explorar estrategias posibles y escoger una adecuada pide una buena comprensión de la cinemática y la dinámica del sólido. Por eso, se recomienda empezar siempre por investigar la distribución de velocidades del sólido y la descripción de las interacciones a las que está sometido. La representación de estas interacciones constituye el diagrama de sólido libre (DSL).
D6.3 Ejemplos de un único sólido
✏️ EJEMPLO D6.2: condición límite de deslizamiento
El disco homogéneo, de masa m y radio R, se encuentra sobre un suelo horizontal liso, y tiene un punto de contacto con una pared rugosa. Se trata de investigar cuál es el valor mínimo del coeficiente de fricción entre disco y pared, en función de F, para que no haya deslizamiento entre estos dos elementos.
Las descripciones cinemática y dinámica del problema son:
Las incógnitas del problema son [math]\displaystyle{ \ddot{\theta}, \Ns, \Ts }[/math]. La fuerza tangencial T es el objetivo del cálculo, ya que la condición límite de deslizamiento inminente se formula sobre esta fuerza: [math]\displaystyle{ \Ts_\mathrm{màx}=\mu_\mathrm{mín}\Ns. }[/math].
Hoja de ruta
La fuerza T aparece tanto en la componente horizontal del TCM como en la componente perpendicular al plano del TMC en G. Sin embargo, en las dos ecuaciones aparece también la incógnita [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math]. Por otro lado, hay que conocer también el valor de N para poder imponer la condición límite. Por tanto: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: TCM y TMC en } \Gs} }[/math].
[math]\displaystyle{
\left.\begin{array}{ll}
\text { TCM: } \hspace{1.2cm} \left\{\begin{array}{l}
(\rightarrow \mathrm{F} \cos \beta)+(\leftarrow \mathrm{T})=(\rightarrow \mathrm{mR} \ddot{\theta}) \\
(\downarrow \mathrm{F} \sin \beta)+(\uparrow \mathrm{N})=0
\end{array}\right. \\
\text { TMC en }\Gs: \quad (\otimes\Ts\Rs)=(\otimes \Is_\mathrm{G} \ddot{\theta})=\left(\otimes \frac{1}{2} \ms \Rs^2\ddot{\theta} \right)
\end{array}\right\}
\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\ddot{\theta}=\frac{2}{3} \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{mR}} \cos \beta \\
\mathrm{T}=\frac{1}{3} \mathrm{~F} \cos \beta \\
\mathrm{N}=\mathrm{F} \sin \beta
\end{array}\right.
}[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{T}_{\text {máx }}=\mu_{\text {mín }} \mathrm{N} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} \mathrm{F}_{\mathrm{máx} } \cos \beta=\mu_{\text {mín }} \mathrm{F}_{\mathrm{máx}} \sin \beta \quad \Rightarrow \quad \mu_{\text{mín} }=\frac{1}{3 \tan \beta} \\ }[/math]
✏️ EJEMPLO D6.3: barra con movimiento de translación
thumb|left|200px|link=
L’extrem [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] de la barra homogènia, de massa m i longitud 2L, llisca per una guia rugosa. Es tracta d’investigar per quin valor de l’angle [math]\displaystyle{ \beta }[/math] la velocitat angular de la barra respecte del terra és nul·la.
La descripció cinemàtica i dinàmica del problema és:
thumb|center|420px|link=
Full de ruta
Si la barra no gira, el seu moment cinètic en qualsevol dels seus punts és permanentment nul, i per tant la seva derivada també. Aquesta condició porta a plantejar en primer lloc el TMC.
| thumb|center|140px|link= | Si s’aplica a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math], la condició per tenir moment nul respecte d’aquest punt es tradueix en què la recta d’acció de la resultant de les dues forces sobre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] passi [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TMC a } \Gs} }[/math]
|
Ja que [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] és un punt amb acceleració respecte del terra, al TMC apareix la incògnita , i per això cal aplicar el TQM per calcular-la.
[math]\displaystyle{ \text {TQM: } \quad\left\{\begin{array}{l}
(\nearrow \mathrm{N})+(\swarrow \mathrm{mg} \cos \delta)=0 \\
(\nwarrow \mu \mathrm{N})+(\searrow \mathrm{mg} \sin \delta)=(\searrow \mathrm{m} \dot{\mathrm{v}})
\end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{v}}=\mathrm{g}(\sin \delta-\mu \cos \delta) }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{TMC a } \Ps : \quad \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps) - \PGvec \times \ms\acc{P}{Gal}=\overline{0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps)=\PGvec \times \ms\overline{\gs} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps)=\left[ (\swarrow \Ls \cos \beta )+ (\searrow \Ls \sin\beta )\right]\times\left[ (\swarrow \ms \gs \cos \delta )+(\searrow \ms\gs\sin\delta)\right] = \left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\cos\delta\sin\beta)\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \PGvec \times \ms\acc{P}{Gal}=\left[ (\swarrow \Ls \cos \beta )+ (\searrow \Ls \sin\beta )\right] \times(\searrow\ms\dot{\vs})=(\odot\ms\Ls\dot{\vs}\cos\beta)=\left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\mu\cos\delta\cos\beta)\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\cos\delta\sin\beta)\right]-\left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\mu\cos\delta\cos\beta)\right] =0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \ms\gs\Ls\cos\delta(\sin\beta-\mu\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \tan \beta =\mu }[/math]
✏️ Exemple D6.4: anell sobre terra rugós
thumb|left|200px|link=
L’anell homogeni, de massa m i radi R, té inicialment un moviment de translació respecte del terra rugós. Es tracta d’investigar quan de temps trigarà a deixar de lliscar respecte del terra.
La descripció cinemàtica de l’anell en tres instants de temps diferents (inicial, intermedi i final) i la descripció dinàmica són:
thumb|center|650px|link=
Full de ruta
Mentre llisca, l’anell té dos GL [math]\displaystyle{ (\vs,\Omega) }[/math] mentre que al final només en té un ([math]\displaystyle{ \vs_\fs }[/math]) . Ja que es tracta d’investigar com es passa de moviment de translació a rotació, el que cal determinar són les equacions del moviment [math]\displaystyle{ (\dot{\vs},\dot{\Omega}) }[/math].
El TQM proporciona dues equacions, però inclouran la N. Per tant, cal també el TMC. El problema suggereix dos punts per a l’aplicació: [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] i el punt de contacte entre anell i terra (punt [math]\displaystyle{ \Js }[/math]). Si es tria aquest últim, cal precisar si es tracta de [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{anella} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{terra} }[/math] o [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{geom} }[/math] (secció D4.5), i això és una dificultat afegida. Per aquest motiu, el full de ruta serà: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: TQM i TMC a } \Gs} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text {TQM: } \quad\left\{\begin{array}{l}
(\uparrow \mathrm{N})+(\downarrow \mathrm{mg})=0 \\
(\leftarrow \mu \mathrm{N})=(\rightarrow \mathrm{m} \dot{\mathrm{v}})
\end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{v}}=-\mu\mathrm{g} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{TMC a } \Gs : \quad \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Gs)=\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs) \quad \Rightarrow \quad (\otimes \mu\ms\gs\Rs)=(\otimes\Is_\mathrm{G}\dot{\Omega})=(\otimes \ms\Rs^2\dot{\Omega}) \quad \Rightarrow \quad \dot{\Omega}=\mu\frac{\gs}{\Rs} }[/math]
Ja que [math]\displaystyle{ \dot{\vs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot{\Omega} }[/math] són constants, el moviment de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] i el de rotació són uniformement accelerats. Per tant:
[math]\displaystyle{ \vs(\ts)=\vs_0 - \mu\gs\ts \quad,\quad \Omega(\ts)=\mu\frac{\gs}{\Rs}\ts }[/math]
[math]\displaystyle{ \text {Per a }\ts=\ts_\fs: \quad\left\{\begin{array}{l}
\vs(\ts_\fs)=\vs_0 - \mu\gs\ts_\fs \quad,\quad \Omega(\ts_\fs)=\mu\frac{\gs}{\Rs}\ts_\fs \\
\quad \\
\vs(\ts_\fs)=\Rs\Omega(\ts_\fs)
\end{array}\right\} \Rightarrow \ts_\fs=\frac{\vs_0}{2\mu\gs} }[/math]
✏️ Exemple D6.5: placa articulada
thumb|left|200px|link=
La placa homogènia, de massa m, està unida al terra per mitjà de dues barres idèntiques de massa negligible articulades en els seus dos extrems i un fil inextensible. Es tracta d’investigar l’acceleració del centre d’inèrcia de la placa just després de tallar el fil.
Per causa de les articulacions, les dues barres fan un moviment idèntic de rotació respecte del terra, i això implica que la placa faci una translació circular respecte del terra. La descripció cinemàtica (per a un valor de [math]\displaystyle{ \theta }[/math] qualsevol), tant de velocitats com d’acceleracions és:
Tot i que el sistema conté tres sòlids, es pot reduir a un únic sòlid si les barres es tracten com a SAEs. El torsor de l’enllaç indirecte en qualsevol punt de la placa és immediat a partir de la cinemàtica descrita just abans: es tracta d’una força en la direcció de les barres i un moment ortogonal al pla de la placa. La descripció dinàmica de la placa és:
| thumb|left|160px|link=
Full de ruta [math]\displaystyle{ \mathrm{TQM}]_\mathrm{tangencial} : (\searrow\ms\gs\sin\theta_0)=\ms\acc{G}{T} \quad \Rightarrow \quad \acc{G}{T}=(\searrow \gs\sin\theta_0) }[/math] |
D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)
Quan es tracta de resoldre problemes de dinàmica de sistemes multisòlid, una eina molt útil per arribar a definir un full de ruta adequat és el diagrama general d’interaccions (DGI). Es tracta d’una representació genèrica dels sòlids del sistema i de les interaccions entre ells i la referència (que molt sovint es el terra). Quan són interaccions d’enllaç, cal fer-ne una descripció breu (per exemple, articulació, enllaç cilíndric, ròtula esfèrica, contacte puntual amb lliscament”...) i indicar-ne entre parèntesi quantes incògnites introdueixen (tal com s’ha fet als exemples de la unitat D3).
La descripció de la distribució de velocitats del sistema i el DGI permeten fer un recompte fàcil del nombre d’equacions de què es disposa per resoldre el problema i del nombre d’incògnites (les associades als GL i les que provenen dels enllaços), i veure si el problema és determinat o indeterminat.
Per altra banda, el DGI és una eina àgil per visualitzar per a quins subconjunts de sòlids del sistema l’aplicació dels teoremes vectorials faria aparèixer la incògnita que es vol calcular. Un cop s’han descobert els subconjunts que introdueixen menys incògnites addicionals, és útil representar de manera precisa les interaccions externes sobre aquests subconjunts per acabar d’establir l’estratègia adequada (quin teorema aplicar, a quin punt, quina component analitzar...).
La sistemàtica que es proposa per resoldre problemes de dinàmica, doncs, es resumeix en els següents passos:
- descripció de la distribució de velocitats del sistema
- diagrama general d’interaccions
- exploració dels subsistemes de sòlids per las quals els teoremes inclouen les incògnites a calcular
- descripció precisa de les interaccions externes sobre aquests subsistemes
- elaboració d’un full de ruta
D6.5 Exemples de sistemes multisòlid
✏️ Exemple D6.6: disc en cavitat cilíndrica
| thumb|left|300px|link=
|
El disc homogeni, de massa m i radi r, es mou lliscant sobre un terra cilíndric rugós impulsat per un motor que actua entre el disc, i un braç (de massa negligible) amb un enllaç piu-guia sense frec amb el terra, que garanteix que la velocitat angular relativa entre els dos es manté constant. Es tracta de determinar l’equació del moviment per a la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] , el valor del parell motor que garanteix [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] constant i la força associada a piu-guia. |
La descripció cinemàtica del sistema és:
AB:terra,REL:braç
[math]\displaystyle{ \velang{disc}{terra}=\velang{disc}{AB}=\velang{disc}{REL}+\velang{}{ar}=(\otimes \omega_0)+(\odot\dot{\theta})=[\otimes(\omega_0-\dot{\theta})] }[/math]
Cinemàtica del sòlid rígid (sòlid:braç):
[math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=\vel{O}{T}+\OGvec\times\velang{braç}{T}=(\searrow \Rs)\times(\odot\dot{\theta})=(\nearrow\Rs\dot{\theta}) }[/math]
Cinemàtica del sòlid rígid (sòlid:disc):
[math]\displaystyle{ \vel{J}{T}=\vel{G}{T}+\GJvec \times \velang{disc}{T}=(\nearrow\Rs\dot{\theta})+(\searrow \rs)\times[\otimes(\omega_0-\dot{\theta})]=(\swarrow [\rs\omega_0-(\Rs +\rs)\dot{\theta}] }[/math]
thumb|right|350px|link=
Diagrama general d’interaccions
(c.p.a.ll.=contacte puntual amb lliscament)
És un sistema de dos GL ( [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] forçat, [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] lliure) amb 4 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 3 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:
equacions: 2 sòlids[math]\displaystyle{ \times \frac{3 \mathrm{eqs.}}{\mathrm{sòlid}}=6 }[/math]eqs.
incógnites: 2 associades als GL + 4 d'enllaç= 6 inc.
Full de ruta per a l’equació del moviment
Tant el braç com el disc tenen un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] . Els sistemes possibles en els quals apareixerà [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] quan s’apliquin els teoremes vectorials són: disc, braç, disc + braç. Aquestes tres opcions s’indiquen amb línies puntejades en els DGIs següents:
Els punts d’intersecció de les línies puntejades amb els línies contínues indiquen les interaccions externes al sistema (que són les úniques que s’han de tenir en compte en els teoremes vectorials). Les vermelles corresponen a incògnites. Per tant, el nombre d’incògnites que apareixeran als teoremes vectorials per a aquestes tres opcions són:
- sistema: disc, 3inc.enllaç[math]\displaystyle{ +\Gamma+\ddot{\theta}=5 }[/math] inc.
- sistema: braç, 3inc.enllaç[math]\displaystyle{ +\Gamma+\ddot{\theta}=5 }[/math] inc.
- sistema: disc + braç, 2inc.enllaç[math]\displaystyle{ +\ddot{\theta}=3 }[/math] inc.
Les tres equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a l’opció (disc + braç) permet calcular les tres incògnites, mentre que, en les altres dues opcions, el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Per al sistema (disc + braç), les interaccions externes són:
| thumb|left|180px|link= |
Ja que l’enllaç piu-guia permet que el braç es traslladi en direcció 2 i giri en direcció 3 de manera independent, la caracterització és immediata, i consisteix en una única component de força en direcció 1 (que és la direcció de la translació impedida per l’enllaç).
|
[math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG}(\Gs)+\OGvec \times \ms \vel{G}{RTO=T}= \left(\odot \frac{1}{2}\ms\rs^2\dot{\theta}\right) +(\searrow \Rs )\times \ms(\nearrow \Rs \dot{\theta})=\left[\odot \frac{1}{2}\ms(\rs^2 +2\Rs^2)\dot{\theta}\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\text{TQM}]_2: (\nwarrow \Ns)+(\searrow \ms\gs\cos\theta)=\ms\acc{G}{T}]_{\nwarrow\searrow}=(\nwarrow \ms\Rs\dot{\theta}^2)\\
\text{TMC a }\Os]_3: [\odot\mu\Ns(\Rs+\rs)]+(\otimes \ms\gs\Rs\sin\theta)=\left[\odot \frac{1}{2}\ms(\rs^2+2\Rs^2)\ddot{\theta}\right]
\end{array}\right\} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\Ns=\ms(\Rs\dot{\theta}^2+\gs\cos\theta)\\
(\rs^2+2\Rs^2)\ddot{\theta}-2\mu(\Rs+\rs)\Rs\dot{\theta}^2 + 2\gs\left[\Rs\sin\theta-\mu(\Rs+\rs)\cos\theta\right]=0
\end{array}\right. }[/math]
Full de ruta per al parell motor
Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: braç, disc.
La força normal associada al contacte puntual amb lliscament entre disc i terra ja no és una incògnita, i per això la intersecció amb aquesta línia està indicada amb un punt negre.
En l’opció braç, el nombre d’incògnites és 4 (3 d’enllaç més el parell motor). En l’opció disc, es poden reduir a 2: 2 inc.ellaç+[math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]=3 inc.L’opció disc, doncs, és més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre el disc és:
| thumb|left|180px|link= |
Si s’aplica el TMC al centre, les dues components de força d’enllaç de l’articulació no apareixen, i directament s’obté el parell motor: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA disc TMC a }\Gs]_3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \Gamma=\mu\Ns(\Rs+\rs)-\frac{1}{2}\ms\rs^2\ddot{\theta} }[/math]
|
Full de ruta per a la força associada al piu-guia
Els sistemes possibles en els quals apareixerà aquesta força quan s’apliquin els teoremes vectorials són: braç, disc + braç:
El nombre d’incògnites en l’opció (disc + braç) és només la de la força que es vol calcular. Aquesta força és en direcció 2 (d’acord amb el conjunt d’interaccions externes sobre aquest sistema dibuixat anteriorment).
Per tant: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA(disc+braç), TQM}]_2} }[/math].
[math]\displaystyle{ \text{TQM}]_2: (\nearrow \Fs)+(\swarrow \ms\gs\sin\theta)=\ms\acc{G}{T}]_{\swarrow \nearrow}=(\nearrow \ms\Rs\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \Fs=\ms(\Rs\ddot{\theta}+\gs\sin\theta) }[/math]
Substituïnt [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] per l’expressió que en dóna l’equació del moviment:
[math]\displaystyle{ \Fs=2\mu\ms\Rs\frac{\Rs(\Rs+\rs)}{\rs^2+2\Rs^2}\left(\Rs\dot{\theta}^2+\gs\cos\theta\right)+\ms\gs\frac{\rs^2}{\rs^2+2\Rs^2}\sin\theta }[/math].
✏️ Exemple D6.7: bot arrossegat per un vaixell
Un vaixell (representat simplement com a suport) que es mou a velocitat constant respecte de l’aigua (considerada en repòs respecte del terra) arrossega un bot de massa m I moment d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Is_\mathrm{G} }[/math] . El bot està articulat a un braç de massa negligible, que pot lliscar al llarg de la guia lisa q-q’. Entre bot I aigua hi ha frec viscós de constant c. Entre suport I braç hi ha dues molles lineals, i entre braç i bot n’hi ha una de torsional. Totes les molles són de comportament lineal. Es tracta de determinar les equacions del moviment per a les coordenades [math]\displaystyle{ \theta }[/math] i x.
thumb|center|600px|link=
La cinemàtica del sistema respecte de l’aigua (que és la mateixa que respecte del terra) és:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\text{AB: aigua }\\
\text{REL: suport}
\end{array}\right\} \vel{O}{aigua}=\vel{O}{suport}+\vel{O}{ar}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0) }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{Cinemàtica del sòlid rígid (sòlid:braç, }\velang{braç}{aigua}=\overline{0}): \vel{G}{aigua}=\vel{O}{aigua}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0) }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{Cinemàtica del sòlid rígid (sòlid:bot ,}\velang{bot}{aigua}=\otimes\dot{\theta}): \vel{C}{aigua}=\vel{G}{aigua}+ \GCvec\times\velang{bot}{aigua}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0)+(\nearrow\es\dot{\theta}) }[/math]
Diagrama general d’interaccions
El fet que el suport tingui un moviment predeterminat de translació indica que ha perdut 2 dels 3 GL del moviment pla. Això és equivalent a dir que sobre ell hi ha un enllaç que introdueix 2 incògnites i un actuador que garanteix la translació constant. Es pot considerar que aquest enllaç i aquest actuador actuen entre el vaixell I l’aigua (o el terra, ja que estan en repòs un respecte de l’altre).
| thumb|left|300px|link= |
És un sistema de tres GL ([math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math]forçat, [math]\displaystyle{ \dot{\xs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] lliures) amb 4 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 3 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 3 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:
[math]\displaystyle{ \text{incògnites: 3 associades als GL + 6 d'enllaç = 9 inc} }[/math] |
Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math]
L’únic element el moviment del qual depèn de [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] és el bot. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] quan s’apliquin els teoremes vectorials l’han d’incloure necessàriament: bot, bot + braç, bot + braç + suport.
[math]\displaystyle{ \text{2 inc. enllaç}+\ddot{\theta}+\ddot{\xs}=\text{4 inc.} \hspace{4.5cm}\text{2 inc. enllaç}+\ddot{\theta}+\ddot{\xs}=\text{4 inc.} \hspace{3.5cm} \text{2 inc. enllaç}+\Fs_\mathrm{act}+ \ddot{\theta}+\ddot{\xs}= \text{5 inc.} }[/math]
Les dues primeres opcions són les més adequades. La descripció de les interaccions externes en els dos casos és:
SISTEMA:bot
thumb|center|450px|link=
SISTEMA:bot+braç thumb|center|550px|link=
Per al sistema bot, les dues components d’enllaç es poden evitar si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]. En canvi, l’aplicació del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] en el sistema (bot + braç) només permet eliminar la força F però no el moment M.
Per tant:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA bot, TMC a }\Gs]_3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{TMC a }\Gs]_3: (\odot\ks'\dot{\theta})+(\odot\cs\dot{\xs}\es\cos\theta)+(\odot\cs\es^2\dot{\theta})+(\otimes\cs\vs_0\es\sin\theta)=(\otimes\Is_\mathrm{G}\ddot{\theta}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \Is_\mathrm{G}\ddot{\theta}+ (\ks'+ \cs\es^2)\dot{\theta}+\cs\es(\dot{\xs}\cos\theta-\vs_0\sin\theta)=0 }[/math]
Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x
Els dos elements el moviment dels quals depèn de [math]\displaystyle{ \dot{\xs} }[/math] són el bot i el braç. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà [math]\displaystyle{ \ddot{\xs} }[/math] quan s’apliquin els teoremes vectorials són: bot, bot + braç, braç + suport, bot + braç + suport.
thumb|center|650px|link=
thumb|center|650px|link=
Les dues últimes opcions inclouen una incògnita més (la força de l’actuador), així que els sistemes a analitzar es redueixen als dos primers, per als quals ja s’han representat les interaccions externes abans.
L’acceleració [math]\displaystyle{ \ddot{\xs} }[/math] és de direcció ortogonal al braç i només apareixerà al TQM. Per al sistema bot, les dues components d’enllaç associades a l’articulació entre bot i braç tenen projecció en aquesta direcció. Per al sistema (bot+braç), en canvi, en la direcció de no apareix cap incògnita d’enllaç.
Per tant:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bot+braç), TQM}]_\updownarrow} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{TQM}]_\updownarrow:\left[\uparrow(\Fs_0-\ks\xs)\right]+ \left[\downarrow(\Fs_0+\ks\xs)\right]+(\downarrow\cs\dot{\xs})+(\downarrow \cs\es\dot{\theta}\cos\theta)=\ms\acc{G}{T}]_\updownarrow=(\uparrow \ms \ddot{\xs}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \ms\ddot{\xs}+\cs\dot{\theta}+2\ks\xs+\cs\es\dot{\theta} \cos\theta=0 }[/math]
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats