C3. Composición de movimientos
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Es}{\textrm{E}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} \newcommand{\psio}{\dot{\psi_0}} \newcommand{\accrel}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{REL}} (\textbf{#1})} \newcommand{\stheta}{\text{sin}\theta} \newcommand{\ctheta}{\text{cos}\theta} }[/math]
En muchas ocasiones, el movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que parece complicado (ni circular ni rectilíneo) respecto a una referencia R se puede intuir cuando respecto a otra referencia R’ es sencillo (rectilíneo, circular o nulo) y además el de R’ respecto a R también (translación o rotación simple). Combinar el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R’ y el de R’ respecto a R para obtener el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R es hacer composición de movimientos (Figura C3-1).
En el ejemplo de la Figura C3.2, la composición de movimientos se puede utilizar para determinar el movimiento de la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al vehículo (R’) a partir del movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo (R), que es sencillo.
Tradicionalmente, las referencias R y R’ entre las que se establece la composición se denominan AB (absoluta) y REL (relativa). A partir de ahora se utilizarán estos nombres.
Las relaciones entre [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , y entre [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] que se presentan en esta unidad son siempre válidas, independientemente de que el movimiento REL (o AB) de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] y el movimiento entre AB y REL sea sencillo o no. Cuando son sencillos, la composición de movimientos es una alternativa algébrica (no implica derivadas temporales) para el cálculo de velocidades y aceleraciones (Figura C3-2). Cuando no lo son, puede ser mejor recurrir a otros métodos (como la derivación).
C3.1 Composición de velocidades
En cada instante, la ecuación que relaciona la velocidad de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dos referencies AB y REL diferentes es:
El segundo término de la derecha es la velocidad de arrastre, y corresponde a la velocidad que tendría Q en ese instante si fuera un punto fijo a REL (en la posición que tiene en ese instante) y se evaluase su velocidad desde la referencia AB:
💭 DEMOSTRACIÓN ➕
- El cálculo de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] se puede hacer por derivación de dos vectores de posición:
[math]\displaystyle{ \newcommand{\punt}[2]{\textbf{#1}_\textrm{#2}} \vel{Q}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{Q}{ }}}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{O}{REL}}}{AB} + \dert{\OQrelvec}{AB} = \vel{$\punt{O}{REL}$}{AB} +\dert{\OQrelvec}{AB} }[/math]
- El último término de la ecuación no tiene sentido físico: aunque es la derivada de un vector de posición en la referencia REL (pues el origen del vector, [math]\displaystyle{ \punt{O}{REL} }[/math] , es un punto que pertenece a REL), esta derivada no se calcula en REL sino en AB. Si se utiliza la expresión que relaciona la derivada de un mismo vector en dos referencias diferentes (sección V.4):
[math]\displaystyle{ \dert{\OQrelvec}{AB} = \dert{\OQrelvec}{REL} + \omegarelab\times\OQrelvec = \vel{Q}{REL}+\omegarelab \times \OQrelvec }[/math]
[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]
- Aunque la última ecuación es correcta (¡se ha demostrado), contiene dos términos donde aparece [math]\displaystyle{ \Orel }[/math], que es un punto que no está unívocamente definido (puede ser cualquier punto fijo a REL). Este inconveniente se puede resolver introduciendo el movimiento de arrastre: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]. Si imaginamos que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es un punto de REL, su velocidad respecto a AB es:
[math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vvec_\textrm{REL}(\Qs \in \textrm{REL}) + \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec = \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]
- Finalmente: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]
Se trata de una ecuación que implica una operación entre vectores instantánea: [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] (o [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math]) en un instante t se obtiene a partir de dos vectores, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] (o [math]\displaystyle{ \velQab }[/math]) y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} }[/math] en el mismo instante t. Se trata, pues, de una operación más sencilla que la derivación (que no es instantánea, ya que requiere conocer el vector de posición en dos instantes de tiempo para obtener la velocidad). Como se verá en el ejemplo C3-1.1, el instante t puede corresponder a una configuración particular o a una configuración genérica.
En la sección C3.3 se profundiza en las diferencias entre la composición de movimientos y la derivada temporal de vectores para el cálculo de velocidades y aceleraciones.
✏️ EJEMPLO C3-1.1: anilla giratoria
- La guía circular (REL) tiene un movimiento de rotación simple respecto al suelo (AB) , con valor [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] . La partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] se mueve dentro de la guía.
- El instante que se presenta en la figura es genérico ya que la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] no tiene un valor numérico concreto. La velocidad del punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo se puede obtener de manera inmediata por composición:
- El movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a REL es siempre circular de radio r, y la velocidad es tangente a la guía. Si imaginamos [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] fija a la guía, su movimiento respecto al suelo (movimiento de arrastre) es circular, de radio [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} \equiv \rho }[/math] y centro [math]\displaystyle{ \Os }[/math], y la velocidad es perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] y de valor [math]\displaystyle{ \rho\dot\psi }[/math] . Ya que la dirección [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (y por tanto su perpendicular) son direcciones que no tienen que ver con las que sugiere el sistema (como por ejemplo el mango de la guía, o la dirección [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math] ), es mejor describir la velocidad de arrastre como suma de dos vectores:
- El resultado obtenido para [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] es genérico, y puede reproducir este vector para cualquier valor de [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (por tanto, para cualquier instante de tiempo). Por este motivo, la aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo ([math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math]) se podría obtener a través de la derivación de [math]\displaystyle{ \velQab }[/math].
- En este sistema, la guía arrastra físicamente la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]. En la aplicación de la composición, en general, no tiene por qué ser así (ver ejemplo C3-1.3 y ejemplo C3-1.4).
✏️ Exemple C3-1.2: roda sobre suport giratori
- 250px|thumb|left|link=
- El suport (REL) té un moviment de rotació simple respecte del terra (AB) , al voltant d’un eix vertical fix i amb valor [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] . La roda està articulada al suport, i gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] respecte del suport.
- Per a l’instant que es mostra, la velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra, es pot obtenir de manera immediata per composició:
- El moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de REL és circular de radi R en tot instant. Per a l’instant representat, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] és vertical cap a baix de valor [math]\displaystyle{ \Rs\omega_0 }[/math].
- El moviment d’arrossegament, per a l’instant representat, és nul: si imaginem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] fix al suport, com que es troba just al damunt de l’eix de rotació, la seva velocitat instantània és zero [math]\displaystyle{ (\vel{Q}{ar} = \vec{0}) }[/math] . Per tant:
- Si [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es trobés a la posició diametralment oposada de la que es mostra, el moviment d’arrossegament seria circular en un pla horitzontal, amb radi 2R i centre de curvatura sobre l’eix de rotació del suport.
- La configuració que s’ha estudiat en aquest exemple no és genèrica, doncs es refereix només a l’instant en que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es troba sobre l’eix de rotació del suport. Per aquest motiu, no conté la informació estesa al llarg del temps necessària per obtenir [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] com a derivada temporal de la velocitat [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] obtinguda.
✏️ Exemple C3-1.3: vehicles
- Els punts [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] dels vehicles VP i VQ, respectivament, recorren trajectòries circulars respecte del terra (R), del mateix radi r però diferent centre de curvatura. Tots dos tenen celeritat [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math].
- Per a l’instant mostrat a la figura, la velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del vehicle VP es pot trobar fàcilment per composició:
- Si [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \Rs }[/math] i [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{VP} }[/math]
- El vehicle VP fa un moviment de rotació simple respecte del terra. Des del punt de vista cinemàtic, és totalment equivalent a una plataforma giratòria de qualsevol radi amb centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] fix a terra.
- Si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a la plataforma, el seu moviment respecte del terra és circular, amb centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i celeritat doble de la de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], ja que es troba a distància 2r de [math]\displaystyle{ \Os }[/math]: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar}=(\leftarrow 2\vs_0) }[/math].
- Finalment:
- En aquest cas, la plataforma (el vehicle VP) no arrossega físicament [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].