C3. Composición de movimientos

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Es}{\textrm{E}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} \newcommand{\psio}{\dot{\psi_0}} \newcommand{\accrel}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{REL}} (\textbf{#1})} \newcommand{\stheta}{\text{sin}\theta} \newcommand{\ctheta}{\text{cos}\theta} }[/math]

En muchas ocasiones, el movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que parece complicado (ni circular ni rectilíneo) respecto a una referencia R se puede intuir cuando respecto a otra referencia R’ es sencillo (rectilíneo, circular o nulo) y además el de R’ respecto a R también (translación o rotación simple). Combinar el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R’ y el de R’ respecto a R para obtener el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R es hacer composición de movimientos (Figura C3-1).

Figura C3.1 Combinación de dos movimientos sencillos uniformes para describir uno más complicado

En el ejemplo de la Figura C3.2, la composición de movimientos se puede utilizar para determinar el movimiento de la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al vehículo (R’) a partir del movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo (R), que es sencillo.

Figura C3.2 El movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R’ (referencia solidaria al chasis del vehículo) se puede obtener a partir del movimiento respecto a R.

Vídeo C3.1 Visualización de la trayectoria de un mismo punto en dos referencias

Tradicionalmente, las referencias R y R’ entre las que se establece la composición se denominan AB (absoluta) y REL (relativa). A partir de ahora se utilizarán estos nombres.

Las relaciones entre [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , y entre [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] que se presentan en esta unidad son siempre válidas, independientemente de que el movimiento REL (o AB) de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] y el movimiento entre AB y REL sea sencillo o no. Cuando son sencillos, la composición de movimientos es una alternativa algébrica (no implica derivadas temporales) para el cálculo de velocidades y aceleraciones (Figura C3-2). Cuando no lo son, puede ser mejor recurrir a otros métodos (como la derivación).

Figura C3.3 Formulación general de la composición de movimientos. Los nombres de las referencias son intercambiables: la referencia AB puede ser aquella en la que se ve el movimiento sencillo, y la referència REL, aquella en la que se ve complicado.

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C3.1 Composición de velocidades

En cada instante, la ecuación que relaciona la velocidad de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dos referencies AB y REL diferentes es:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

El segundo término de la derecha es la velocidad de arrastre, y corresponde a la velocidad que tendría Q en ese instante si fuera un punto fijo a REL (en la posición que tiene en ese instante) y se evaluase su velocidad desde la referencia AB:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \overline{\textbf{v}}_{\textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]

💭 DEMOSTRACIÓN ➕

El cálculo de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] se puede hacer por derivación de dos vectores de posición:

[math]\displaystyle{ \newcommand{\punt}[2]{\textbf{#1}_\textrm{#2}} \vel{Q}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{Q}{ }}}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{O}{REL}}}{AB} + \dert{\OQrelvec}{AB} = \vel{$\punt{O}{REL}$}{AB} +\dert{\OQrelvec}{AB} }[/math]

El último término de la ecuación no tiene sentido físico: aunque es la derivada de un vector de posición en la referencia REL (pues el origen del vector, [math]\displaystyle{ \punt{O}{REL} }[/math] , es un punto que pertenece a REL), esta derivada no se calcula en REL sino en AB. Si se utiliza la expresión que relaciona la derivada de un mismo vector en dos referencias diferentes (sección V.4):

[math]\displaystyle{ \dert{\OQrelvec}{AB} = \dert{\OQrelvec}{REL} + \omegarelab\times\OQrelvec = \vel{Q}{REL}+\omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

Aunque la última ecuación es correcta (¡se ha demostrado), contiene dos términos donde aparece [math]\displaystyle{ \Orel }[/math], que es un punto que no está unívocamente definido (puede ser cualquier punto fijo a REL). Este inconveniente se puede resolver introduciendo el movimiento de arrastre: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]. Si imaginamos que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es un punto de REL, su velocidad respecto a AB es:

[math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vvec_\textrm{REL}(\Qs \in \textrm{REL}) + \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec = \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

Se trata de una ecuación que implica una operación entre vectores instantánea: [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] (o [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math]) en un instante t se obtiene a partir de dos vectores, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] (o [math]\displaystyle{ \velQab }[/math]) y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} }[/math] en el mismo instante t. Se trata, pues, de una operación más sencilla que la derivación (que no es instantánea, ya que requiere conocer el vector de posición en dos instantes de tiempo para obtener la velocidad). Como se verá en el ejemplo C3-1.1, el instante t puede corresponder a una configuración particular o a una configuración genérica.

En la sección C3.3 se profundiza en las diferencias entre la composición de movimientos y la derivada temporal de vectores para el cálculo de velocidadesy aceleraciones.