Cálculo vectorial
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} }[/math]
V.1 Representación geométrica de un vector
Los vectores se pueden representar geométricamente con un dibujo, indicando la dirección (y el sentido genérico positivo) mediante una flecha y el valor (positivo o negativo), que puede ser variable (Figura V.1).
Las operaciones habituales entre vectores (suma, resta, producto por un escalar, producto vectorial, derivación) se pueden hacer a partir de sus representaciones geométricas. La sección siguiente resume los procedimientos.
V.2 Operaciones con vectores con representación geométrica
Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial
La Figura V.2 resume los procedimientos para realizar las tres operaciones entre vectores que solo implican un único instante temporal.
Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal
Las dos operaciones vectoriales a lo largo del tiempo son la derivada y la integral temporal, y dependen de la referencia desde la que se observan los vectores. Esta última operación no es sencilla a partir de la representación geométrica, y se deja de lado.
La derivación temporal de un vector relativa a una referencia R evalúa el ritmo temporal de cambio de les características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo (dt). Simbólicamente, esta derivada se representa como [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs }[/math]. El subíndice R recuerda que esta operación depende de la referencia desde la que se observa la evolución temporal del vector.
El resultado de la derivada es distinto de cero cuando el valor, o la dirección o ambas cosas cambian.
Muchos textos utilizan el punto para indicar la derivación temporal de escalares y vectores:
- Variable escalar: [math]\displaystyle{ \frac{\ds\rho}{\ds\ts}\equiv \dot{\rho} }[/math]
- Variable vectorial: [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs\equiv \dot{\uvec}\bigr]_\Rs }[/math]
En este curso, el punto se utiliza básicamente para la derivada temporal de escalares.
Caso particular: Derivada de un vector de dirección constante
Cuando un vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] solo cambia de valor (es decir, mantiene su dirección constante respecto a la referencia), su derivada es un vector paralelo a [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] de valor igual al cambio de valor en un dt ([math]\displaystyle{ \frac{\ds\us}{\ds\ts}\equiv \dot{\us} }[/math]). Ya que el tamaño de un objeto en un cierto instante de tiempo es un invariante, este resultado no depende de la referencia (Figura V.3):
[math]\displaystyle{ \begin{equation} \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \bigg]_\Rs = \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|}\end{equation} }[/math] , dónde [math]\displaystyle{ \frac{\uvec}{|\uvec|} }[/math] es el versor de la dirección del vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math].
Caso particular: Derivada de un vector de valor constante que evoluciona sobre un plano fijo a la referencia
Considerem ara un vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] que evoluciona sobre un pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] fix a la referència R (vector amb moviment pla respecte de R). Si només canvia de direcció en R, la seva derivada és un vector ortogonal a [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] de valor igual al producte del valor del vector (u) pel ritme de canvi de l’angle d’orientació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] del vector en el pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math], [math]\displaystyle{ \us\frac{\ds\theta}{\ds\ts}=\us\dot{\theta} }[/math] (Figura V.4).
i depèn de la referència
El concepte ritme de canvi d’orientació ([math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] a les figures V.4 i V.5) demana la introducció prèvia de l’angle d’orientació ([math]\displaystyle{ \theta }[/math] a les figures V.4 i V.5), definit en un pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] a partir d’una direcció fixa al pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] i el vector que es deriva. L’orientació d’aquest pla a R i el ritme de canvi d’orientació [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] del vector es poden combinar en un únic objecte matemàtic: la velocitat angular del vector respecte de R, de valor [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] i direcció ortogonal al pla. El sentit del vector s’associa a la regla del cargol (Figura V.5). La notació genèrica que es fa servir en aquest curs per a la velocitat angular d’un objecte en una referència R és [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\textup{objecte}}_\Rs }[/math].
La derivada es pot escriure a partir d’aquest vector de velocitat angular com a [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs \times \uvec }[/math].
Cas particular: Derivada d’un vector de valor constant que evoluciona de manera general a la referència
Es pot demostrar que, quan el vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] que es deriva no evoluciona sobre un pla sinó que té una evolució 3D, el resultat de la derivada s’obté de la mateixa manera a través de la seva velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\uvec}_\Rs }[/math] [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press]. L’obtenció d’aquesta velocitat angular (unitats C1 i C2), però, és més complicada.
Cas general: Derivada d’un vector que evoluciona de manera general respecte d’una referència R
Si el vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] evoluciona de manera general en una referencia R (és a dir, canvia de valor i de direcció), la seva derivada temporal és (Figura V.6):
[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = [\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Rs = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|} + {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs\times\uvec }[/math]
Relació entre les derivades temporals d'un mateix vector en dues referències diferents
A partir de l'equació anterior, és fàcil veure que la diferència entre les derivades d’un mateix vector a dues referències diferents R1 i R2 és:
[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}-\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} = (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2})\times \uvec }[/math]
Es pot demostrar que [math]\displaystyle{ (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2}=\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}) }[/math] (la demostració general és llarga i no s’inclou aquí). Per tant, quan dues referències no giren una respecte de l’altra [math]\displaystyle{ (\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}=0) }[/math], la derivada temporal d’un vector en totes dues condueix al mateix resultat. Altrament:
[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}=\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} + \Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}\times \uvec }[/math]
V.3 Representació analítica d’un vector
Un vector també es pot representar de manera analítica mitjançant les seves components en tres direccions independents de l’espai. Els vectors unitaris (versors) d’aquestes direccions s’anomenen [math]\displaystyle{ (\evec_1, \evec_2, \evec_3) }[/math] i constitueixen una base vectorial. En aquesta base, el vector s’expressa com a combinació lineal d’aquests versors, i els coeficients són les components del vector en aquesta base:
[math]\displaystyle{ \uvec=\textrm{u}_1\evec_1+\textrm{u}_2\evec_2+\textrm{u}_3\evec_3 }[/math]
En aquest curs, ens limitem a bases ortogonals i directes (dextrògires), és a dir, on el versor de la direcció 3 és el producte vectorial dels versors de les direccions 1 i 2: [math]\displaystyle{ \evec_1\times \evec_2=\evec_3 }[/math]. A l’hora de representar una base en un dibuix, sovint es col·loquen tres eixos que interseccionen en un punt. Aquest punt d'intersecció és irrellevant, i de cap manera es pot dir que és l'"origen de la base": el concepte d’origen no és aplicable a les bases vectorials (l’únic que defineix una base son les tres direccions que la composen). Un mateix vector es pot projectar en diverses bases, però això no en modifica ni el seu valor ni la seva direcció.
La Figura V.7 mostra la projecció, en dues bases diferents, del vector [math]\displaystyle{ \overline{\textrm{r}} }[/math], associat a un radi d’una plataforma giratòria amb moviment pla respecte de R. La base [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] no canvia d’orientació respecte de R, mentre que la base [math]\displaystyle{ (1',2',3') }[/math] canvia d’orientació respecte de R però no respecte de R' (que és la plataforma).
Una notació alternativa (que és la que preferentment es farà servir en aquest curs per expressar vectors projectats en bases vectorials) és la de posar les components en columna, ordenades segons l’ordre dels eixos de la base:
[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{123}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\Bs}= \begin{Bmatrix}\textrm{r}cos\theta \\\textrm{r}sin\theta \\\textup{0} \end{Bmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{1'2'3'}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{B'}}= \begin{Bmatrix}\textrm{r} \\\textup{0} \\\textup{0} \end{Bmatrix} }[/math]
Si els versors tenen sempre la mateixa direcció respecte de la referència, es diu que es tracta d’una base fixa. En canvi, si la direcció dels versors varia al llarg del temps, es diu que és una base mòbil. Tenint en compte que els tres versors son permanentment ortogonals entre ells, es pot parlar de l’orientació de la base B, i del seu ritme de canvi d’orientació respecte d’una referència R (o velocitat angular de la base respecte de R), [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_\Rs }[/math].
A la Figura V.7, la base [math]\displaystyle{ B=(1,2,3) }[/math] no canvia d’orientació respecte de R (és una base fixa a R) però si que canvia d'orientació respecte de R' (seria una base mòbil a R'): [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_\Rs = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_{\Rs'} \not= 0 }[/math].
En canvi, la base [math]\displaystyle{ B'=(1',2',3') }[/math] canvia d’orientació respecte de R però no respecte de R' (és una base fixa a R' però mòbil a R): , [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\Bs'}_\Rs \not= 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\Bs'}_{\Rs'} = 0 }[/math].
V.4 Operacions entre vectors amb representació analítica
Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial.
Les operacions instantànies entre vectors es poden fer a través de les bases vectorials. En ser instantànies, el caràcter fix o mòbil de la base és irrellevant. El que és fonamental és que tots dos vectors estiguin projectats a la mateixa base.
[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} }[/math] , [math]\displaystyle{ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\vs_1 \\\vs_2 \\\vs_3 \end{Bmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}+ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}=
\begin{Bmatrix}\us_1+\vs_1
\\\us_2+\vs_2
\\\us_3+\vs_3
\end{Bmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}· \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \us_1\vs_1+\us_2\vs_2+\us_3\vs_3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}\times \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}\vs_1 \\\vs_2 \\\vs_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\us_2\vs_3-\us_3\vs_2 \\\us_3\vs_1-\us_1\vs_3 \\\us_1\vs_2-\us_2\vs_1 \end{Bmatrix} }[/math]
Video V.1 Algoritme per al càlcul analític del producte vectorial
Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode analític)
Aquest mètode també es coneix com derivació en base.
Projectar un vector en una base vectorial [math]\displaystyle{ (\evec_1, \evec_2, \evec_3) }[/math] és expressar-lo com a suma de tres vectors ortogonals:
Si la base és fixa respecte de la referència R on es calcula la derivada, aquests vectors no canvien d’orientació, i per tant:
[math]\displaystyle{ \frac{\ds(\us_\is\evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is }[/math] , [math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \right]_{\Rs}\right\}_\Bs=\frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs= \begin{Bmatrix}\dot{\us}_1 \\\dot{\us}_2 \\\dot{\us}_3 \end{Bmatrix} }[/math]
Si la base és mòbil respecte de R, aquests vectors canvien d’orientació amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs }[/math]:
[math]\displaystyle{ \frac{\ds(\us_\is \evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is+\left.\us_\is\frac{\ds\evec_\is}{\ds\ts}\right]_\Rs=\dot{\us}_\is\evec_\is+\us_\is(\Omegavec^\Bs_\Rs\times \evec_\is) }[/math] ,
De manera que la derivació temporal d'un vector es pot escriure analíticament de la següent manera:
[math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \right]_\Rs\right\}_\Bs = \frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs +\left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs \times \left\{\uvec\right\}_\Bs= \begin{Bmatrix}\dot{\us}_1 \\\dot{\us}_2 \\\dot{\us}_3 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix}\Omega_1 \\\Omega_2 \\\Omega_3 \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} }[/math]
© Universitat Politècnica de Catalunya. Todos los derechos reservados