D4. Teoremas vectoriales
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\ss}{\textsf{s}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}} \newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}} \newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})} }[/math]
Los Teoremas Vectoriales son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica (segunda ley de Newton) y del principio de acción y reacción (tercera ley de Newton).
En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.
Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en tres grupos:
- Evolución temporal de los grados de libertad libres (no controlados por actuadores) del sistema. Las ecuaciones que las rigen se denominan ecuaciones del movimiento. Si los GL libres se describen mediante derivadas temporales de coordenadas ([math]\displaystyle{ \dot{q}_i }[/math], con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones). Su aspecto general es:
La dependencia en las segundas derivadas temporales [math]\displaystyle{ (\ddot{q}_j) }[/math] siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades [math]\displaystyle{ (q_i,\dot{q}_j) }[/math] puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).
- Acciones de los actuadores: son las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar unas evoluciones prefijadas de los GL que controlan. Como se ha comentado en la sección D2.6, en algunos casos se puede considerar que las acciones de los actuadores son datos, y entonces las incógnitas asociadas son las evoluciones de los GL que controlan.
- Fuerzas y momentos de enlace: el número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos (enlaces directos, enlaces indirectos). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).
D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas
Consideremos un sistema de partículas de materia constante (Figura D4.1). El Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:
[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math], donde [math]\displaystyle{ \F{\rightarrow\Ps} }[/math] es la fuerza resultante de interacción sobre P.
La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): [math]\displaystyle{ \F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math]. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:
El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} }[/math]. El de la derecha se puede reescribir como [math]\displaystyle{ \Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right] }[/math], donde M es la masa total del sistema [math]\displaystyle{ \left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right) }[/math]. El término [math]\displaystyle{ \left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right] }[/math] es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado centro de masas (o centro de inercia) del sistema, y en este curso se designa con la letra G. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones (Figura D4.2):
En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:
Finalmente, el TCM se escribe como:
Esta ecuación se parece mucho a la segunda ley de Newton: el centro de masas G se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:
- la masa del sistema no está localizada en G (puede ser incluso que G esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);
- las fuerzas externas no están aplicadas a G en general.
El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del l’estado mecánico inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como [math]\displaystyle{ \sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R} }[/math]):
La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la sección D5.1. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de G se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.
En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.
D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM
✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace
 |
Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento (ejemplo D3.4). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes. |
Para que la fuerza de enlace [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: [math]\displaystyle{ (\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)] }[/math].
Esta ecuación contiene dos incógnitas: [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] y [math]\displaystyle{ \as_\Ts(\Gs_\Ss) }[/math]. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:
✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema
| Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión [math]\displaystyle{ \Fs_0=\ms\gs }[/math] y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse. |
Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: [math]\displaystyle{ \F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T} }[/math].
Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.
El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:
[math]\displaystyle{ |\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs }[/math]
[math]\displaystyle{ |\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs }[/math]
Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, [math]\displaystyle{ \as_\Ts(2\ms) = 0 }[/math]), pero no en el del bloque de masa m:
La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\ \sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs) }[/math]
Finalmente: [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs }[/math].
✏️ EJEMPLO D4.3: estudi de una condición límite
| La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo. |
Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite [math]\displaystyle{ /mu\ns }[/math] (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.
La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:
| SISTEMA: esfera + cuñas
[math]\displaystyle{ \left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs }[/math] |
SISTEMA: cuña de la izquierda
[math]\displaystyle{ \left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}} }[/math] |
SISTEMA: esfera
[math]\displaystyle{ \left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}} }[/math] |
Combinando las dos últimas ecuaciones: [math]\displaystyle{ \Ts = \Ms\gs/2 }[/math]. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: [math]\displaystyle{ \Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns }[/math]. Teniendo en cuenta que [math]\displaystyle{ N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs }[/math]:
[math]\displaystyle{ \Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu} }[/math]
D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas
La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis (Figura D4.3):
[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal} }[/math],
donde [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal} }[/math] y [math]\displaystyle{ \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} }[/math]
Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: [math]\displaystyle{ \sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal} }[/math], donde M es la masa total del sistema.
💭 Demostración ➕
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext} }[/math]
En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el centro de masas:
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el centre de masses (secció D4.2):
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} }[/math]
Así pues: [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal} }[/math]
✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio
| El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:
[math]\displaystyle{ \sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0}) }[/math] porque [math]\displaystyle{ \velang{sup}{T} = \vec{0} }[/math] |
La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a [math]\displaystyle{ N = mg }[/math]. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: [math]\displaystyle{ 0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms }[/math]. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor [math]\displaystyle{ \mu\ms\gs }[/math], opuesta a la velocidad de deslizamiento.
Entre [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] y [math]\displaystyle{ t = 0,4s }[/math], la aceleración del soporte respecto al suelo es [math]\displaystyle{ \ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2 }[/math], y por tanto la fuerza de arrastre es [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms] }[/math]. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor [math]\displaystyle{ \F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2) }[/math],, contrarrestará la[math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} }[/math] y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.
Entre [math]\displaystyle{ t=0,4s }[/math] y [math]\displaystyle{ t = 0,6s }[/math], la aceleración del soporte respecto al suelo es 2[math]\displaystyle{ \ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2} }[/math]. Por tanto, [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] }[/math]. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:
[math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right) }[/math]
En el instante [math]\displaystyle{ t = 0,6s }[/math], la velocidad del bloque respecto al soporte es
[math]\displaystyle{ \vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) }[/math].
Aunque entre en la fase en la que [math]\displaystyle{ \mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid\lt \mu\Ms\gs }[/math], la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción [math]\displaystyle{ (\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms]) }[/math] hasta conseguir parar el bloque.
La aceleración del bloque respecto al soporte es:
[math]\displaystyle{ \acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right) }[/math]
Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante [math]\displaystyle{ t_f }[/math] para el que el bloque deja de deslizar:
[math]\displaystyle{ \vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i) }[/math], [math]\displaystyle{ t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s }[/math]
En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta [math]\displaystyle{ \ts = 1,4s }[/math]. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo [math]\displaystyle{ [0,1,4s] }[/math]. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.
D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general
L’estudi de la dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt ([math]\displaystyle{ \Gs }[/math]), i no sobre la rotació.
El Teorema del Moment Cinètic (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: en una banda apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu estat mecànic.
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de torsor d’un sistema de forces, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la Referència que es Trasllada amb Q (RTQ) respecte d’una referència galileana [math]\displaystyle{ \velang{RTQ}{RGal} = \vec{0} }[/math]. Si [math]\displaystyle{ \acc{Q}{RGal}\neq\vec{0} }[/math], aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les forces d’inèrcia d’arrossegament (Figura D4.3).
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:
[math]\displaystyle{ \sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} }[/math] ,
on [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal} }[/math] , i [math]\displaystyle{ \Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0} }[/math] ja que [math]\displaystyle{ \velang{RTQ}{RGal}=\overline{0} }[/math].
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]:
[math]\displaystyle{ \sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
on [math]\displaystyle{ \Ms }[/math] és la massa total del sistema, i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ} }[/math] és el moment cinètic del sistema respecte el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right ) }[/math].
💭 Demostració ➕
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] és:
[math]\displaystyle{ \sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} }[/math]
El terme de la dreta es pot reescriure com a:
[math]\displaystyle{ \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math]
En ser [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] en aquesta referència, i per tant:
[math]\displaystyle{ \vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math] [math]\displaystyle{ =\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math]
Tenint en compte que la massa és constant:
[math]\displaystyle{ \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} }[/math]
La suma d’aquest terme per a tots els elements P condueix a:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
Si les forces d’interacció sobre cada partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}= }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , }[/math]
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:
[math]\displaystyle{ \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0} }[/math]
Agrupant tots els termes:
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.
- [math]\displaystyle{ \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). }[/math] De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per designar el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
- [math]\displaystyle{ \Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs). }[/math]Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] no té per què ser fix a una referència galileana.
Quan [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia [math]\displaystyle{ \left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right) }[/math] pot ser nul si [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a [math]\displaystyle{ \QGvec }[/math] .
| TMC a punt fix | TMA a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] | TMC a un punt mòbil [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] |
|---|---|---|
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os) }[/math] |
[math]\displaystyle{ \quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad }[/math] |
[math]\displaystyle{ \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad }[/math] |
El vector moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) }[/math] no és senzill de calcular en general, i es presenta a la unitat D5.
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is) }[/math] de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid [math]\displaystyle{ \velang{Si}{RTQ} }[/math] (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D).
En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.
TMC en un punt de contacte entre dos sòlids
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte [math]\displaystyle{ \Js }[/math] (ja que el seu moment respecte de [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és nul).
thumb|right|230px|link=
L’aplicació del TMC a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és molt delicada. Cal precisar de quin punt [math]\displaystyle{ \Js }[/math] es parla (exemple C5-1.8): si es tracta del [math]\displaystyle{ \Js }[/math] del sòlid S1 [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{S}1}) }[/math], del sòlid S2 [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{S}2}) }[/math] , o bé si és el punt geomètric de contacte [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{geom}}) }[/math] . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents [math]\displaystyle{ \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right) }[/math] , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia [math]\displaystyle{ \left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right) }[/math] és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{S}1} }[/math] pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{S}1} }[/math] i [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{geom}} }[/math] no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan [math]\displaystyle{ \Js }[/math] no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ} }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
}[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\ \dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) \end{array}\right. }[/math]
D4.6 Exemples d’aplicació del TMC
✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica
| thumb|left|180px|link= | El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{Q} }[/math] ). Es tracta de calcular el valor mínim de [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{Q} }[/math] que permet l’equilibri. És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són: thumb|center|300px|link= |
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\overline{0} }[/math] i la força externa total ha de ser zero. Per tant:
[math]\displaystyle{ \Ns_\Ps=\Ns_\Qs }[/math] , [math]\displaystyle{ \ms\gs=\Ts_\Qs }[/math]
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] ha arribat al seu valor màxim possible: [math]\displaystyle{ \Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs }[/math]. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular [math]\displaystyle{ \Ns_\Qs }[/math] , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], com a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] o a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], el moment cinètic és zero:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}. }[/math]
Per tant: [math]\displaystyle{ \Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. }[/math]
✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood
| thumb|left|230px|link= | Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són [math]\displaystyle{ (\gs \approx 10 \ms/\ss^2) }[/math] : thumb|center|140px|link= |
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] :
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) }[/math]
Per la definició de centre de masses: [math]\displaystyle{ \int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} }[/math] . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial [math]\displaystyle{ \OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc}) }[/math] només contribueix la component horitzontal de [math]\displaystyle{ \OGvec_\mathrm{bloc} }[/math] . Així doncs:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs} }[/math]
thumb|right|150px|link=
Resolució alternativa
Si s’aplica el TMC al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:
SIST: politges + cordes
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0 }[/math]
thumb|right|220px|link=
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:
SIST: bloc de 10kg
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta}) }[/math]
SIST: bloc de 5kg
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta}) }[/math]
La resolució del sistema d’equacions condueix a [math]\displaystyle{ \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs} }[/math].
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.
✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle
| thumb|center|200px|link= | El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes.
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre tot el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a: |
|
[math]\displaystyle{ \sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\ [\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts) \end{aligned}\right. }[/math]
|
thumb|center|200px|link= |
Resolent el sistema d’equacions: [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, }[/math]
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \as_\Ls }[/math]:
- Situació estàtica ([math]\displaystyle{ \as_\Ts = 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; la força normal és més gran a la roda que té l’eix més proper a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].
- Accelerant ([math]\displaystyle{ \as_\Ls \gt 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math] ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carrega la roda del darrere i es descarrega la del davant). Si l’acceleració [math]\displaystyle{ |\as_\Ts| }[/math] és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = 0 }[/math], el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] passa a tenir acceleració vertical.
- Frenant ([math]\displaystyle{ \as_\Ls \lt 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarrega la roda del darrere i es carrega la del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de [math]\displaystyle{ |\as_\Ts| }[/math] que provoca el bolcament, ara en sentit horari.
D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç
L’aplicació dels teoremes vectorials als Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}. }[/math]
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 (Figura D4.5), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0. }[/math]
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps) }[/math]).
💭 Demostració ➕
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que les torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] han de sumar zero:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right. }[/math]
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’equació de caracterització analítica:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. }[/math]
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. }[/math]
Una composició de moviments permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) }[/math]
Finalment: [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0. }[/math]
✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle
| thumb|left|220px|link= | En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força: |
thumb|center|370px|link= L’existència de d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si es plantegen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] : thumb|center|370px|link=
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. }[/math]
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} }[/math] . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):
[math]\displaystyle{ \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} }[/math].
En terrenys de baix fregament ( [math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math] de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció [math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math] : [math]\displaystyle{ \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms }[/math] . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: [math]\displaystyle{ \left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs }[/math] (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).
D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la unitat D6 es discuteix aquest criteri. En alguns casos, pot ser interessant triar un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic [math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} }[/math] al moment cinètic al centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] del sistema, [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG} }[/math]. Això es coneix amb el nom de descomposició baricèntrica del moment cinètic:
[math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ} }[/math],
on el superíndex [math]\displaystyle{ \oplus }[/math] indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] amb massa igual a la massa total del sistema (M):
[math]\displaystyle{ \H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} }[/math]
💭 Demostració ➕
- La definició de moment cinètic és: [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) }[/math]. La velocitat [math]\displaystyle{ \vel{P}{RTQ} }[/math] es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ} }[/math]
- Per tant: [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ} }[/math].
- La definició de centre de masses porta a reescriure el segon terme com a:
- [math]\displaystyle{ \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} }[/math], que coincideix amb el moment cinètic respecte de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] d’una partícula de massa M situada a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]: [math]\displaystyle{ \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ} }[/math].
- En el primer terme de l’expressió de [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} }[/math], es pot descompondre [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] en suma de dos termes:
- [math]\displaystyle{ \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG} }[/math]
- Per definició de centre de masses: [math]\displaystyle{ \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0} }[/math].
- Per tant: [math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ} }[/math].
✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica
| thumb|center|200px|link= | El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules ([math]\displaystyle{ \Ps }[/math]) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.
El seu moment cinètic a G és: [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} }[/math] La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació [math]\displaystyle{ \omega }[/math]: [math]\displaystyle{ |\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega }[/math]. Per tant: [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) }[/math] |
- El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] (fix al terra) es pot calcular a partir de [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG} }[/math] mitjançant descomposició baricèntrica:
- [math]\displaystyle{ \H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times\Ms\vel{G}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times\Ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs) }[/math]
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats