D2. Fuerzas de interacción entre partículas

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} }[/math]

La segunda ley de Newton se puede utilizar para predecir la aceleración de una partícula P cuando se conocen todas las fuerzas de interacción que el resto de partículas (Q) ejercen sobre ella ([math]\displaystyle{ \sum_{\mathrm{Q}} \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{P}} }[/math]), o para calcular las que hacen falta para garantizar un movimiento predeterminado ([math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\Rs\mathbf{P}}(\ts) }[/math]).

Esta sección trata de las fuerzas de interacción entre partículas, tanto formulables como no formulables. Formular una interacción es encontrar una expresión matemática que permita calcular su valor en cada instante a partir del conocimiento del estado mecánico de las partículas y de constantes asociadas al tipo de fenómeno de interacción. Cuando una fuerza no es formulable, es una incógnita del problema dinámico.

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D2.1 Dependencia cinemática de las fuerzas de interacción

De acuerdo con el Principio de la Determinación, a cada instante de tiempo t las fuerzas de interacción entre dos partículas P y Q solo pueden depender de la posición y la velocidad de las partículas en ese instante de tiempo:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{p} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{P}, \mathrm{t})=\overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}}\left(\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}(\mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{P}, \mathrm{t}), \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{Gal}(\mathbf{Q}, \mathrm{t})\right)=-\mathrm{m}_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{a}}_{\mathrm{R}}(\mathbf{Q}, \mathrm{t}) . }[/math]

El Principio de Relatividad de Galileo (equivalencia de las referencias galileanas para la formulación de la dinámica) impone restricciones al tipo de dependencia de [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] en posiciones y velocidades:

• La homogeneidad del espacio en referencias galileanas impide que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] dependa de las posiciones [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}} }[/math] por separado, pero permite la dependencia en su diferencia [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P}\Qs}(=\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{Q}}-\overline{\mathbf{O}_\mathrm{Gal} \mathbf{P}}) }[/math].

• La isotropía del espacio en referencias galileanas impide que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] dependa de las velocidades de P y Q por separado (ya que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal1 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) \neq \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal2 }}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) }[/math]), pero permite que dependa de su diferencia: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q}) \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}} }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall \mathrm{Gal}} }[/math] es el mismo independientemente de la referencia Gal (por eso se ha puesto el subíndice [math]\displaystyle{ \forall }[/math]Gal', que quiere decir “para toda referencia Gal”). En general, [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\text {Gal }} }[/math] tiene una componente paralela a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math], y una perpendicular a [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math]: [math]\displaystyle{ \Delta \overline{\mathbf{v}}_{\forall\mathrm{Gal}}=\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\| \overline{\mathbf{P Q}}}+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\perp \overline{\mathbf{P Q}}} \equiv \Delta \overline{\mathbf{v}}_\rho+\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}} }[/math]. Pero la isotropía del espacio tampoco permite que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{P}} }[/math] dependa de una dirección que no sea [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{P Q}} }[/math] (como se ha visto cuando se ha presentado la Tercera Ley de Newton). Por tanto, se acepta la dependencia en el vector pero solo en el valor de [math]\displaystyle{ \left|\Delta \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{n}}\right| }[/math] (aunque usualmente esta última dependencia no aparece).

💭 Demostración ➕

Consideremos dos referencias galileanas cualesquiera RGal1 y RGal2. La velocidad de las partículas P y Q respecto a RGal2 se puede expresar a partir de la que tienen en la referencia RGal1 mediante una composición de velocidades. Si AB=RGal2 y REL=RGal1:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right]= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q})+\left[\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 })\right] }[/math]

Al ser galileanas las dos referencias, su movimiento relativo es de translación [math]\displaystyle{ \left(\bar{\Omega}_{\mathrm{RGal1}}^{\mathrm{RGal2}}=\overline{0}\right) }[/math], y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P} \in \text { RGal1 })=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q} \in \text { RGal1 }) . }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal2 }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{P})-\overline{\mathbf{v}}_{\text {RGal1 }}(\mathbf{Q}) }[/math].

La Figura D2.1 resume todas estas restricciones.

Figura D2.1 Dependencias aceptables de las fuerzas de interacción en posiciones y velocidades

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D2.2 Clasificación de las fuerzas de interacción

Si en el universo solo hubiera partículas sin dimensiones y sin elementos de conexión entre ellas, la lista de interacciones posibles sería muy reducida: en el ámbito mecánico, solo se podría hablar de la fuerza de atracción gravitatoria, que se produce “a distancia” . Hablar de interacción de contacto entre partículas ([math]\displaystyle{ \rho = 0 }[/math]) no es posible: si P y Q “se ponen en contacto”, al estar la ubicación de cada una de ellas definida por un punto, no queda determinada la dirección de la interacción. Por otro lado, dos partículas no pueden ocupar un mismo punto del espacio.

Estrictamente hablando, pues, solo se puede hablar de interacción de contacto entre una partícula P y una partícula Q que pertenece a un sólido rígido [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math], o entre partículas P y Q si ambas pertenecen a sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{P} }[/math] y [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\mathbf{Q} }[/math]. Estas interacciones se tratan en la unidad D3.

Cuando P y Q interaccionan a distancia [math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math], se habla de interacción directa. Si no están en contacto ([math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]) pero entre ellas existe un elemento que hace de intermediario, se habla de interacción indirecta a través del elemento. En dinámica, se consideran elementos intermedios (EI) todos los que son de masa despreciable comparada con la de las partículas P y Q (si no forman parte de ningún sólido rígido) o con la de los sólidos a los que pertenecen.

Las fuerzas que se transmiten entre P y Q a través de estos elementos cumplen el Principi d’Acció-Reacció: tienen el mismo valor, la misma dirección [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{PQ}} }[/math] pero sentidos opuestos (Figura D2.2).

Figura D2.2 Fuerza que se transmite a través de un elemento intermedio entre dos partículas P y Q

Los elementos intermedios se tratan como una caja negra: las fuerzas que introducen entre sus extremos provienen de deformaciones y de fenómenos que estan fuera del alcance del modelo de sólido rígido que se considera en este curso (por ejemplo, fenómenos ligados a la dinámica de fluidos, termodinámicos o electromagnéticos), y por tanto no se estudia lo que sucede en su interior sino que se busca solo una descripción fenomenológica de sus consecuencias en las partículas entre las que actúan.

En este curso, se consideran cuatro elementos intermedios entre partículas:

• Muelles: las fuerzas que introducen entre dos partículas provienen de su deformación; estas fuerzas pueden ser de atracción o de repulsión (en este caso, pueden estar condicionadas al guiado del elemento para que no se doblen lateralmente), y permiten movimientos relativos entre P y Q de cualquier signo.

• Amortiguadores: introducen fuerzas, asociadas a menudo a la viscosidad de fluidos, que se oponen al movimiento relativo entre P y Q ; en ausencia de movimiento relativo inicial ([math]\displaystyle{ \dot{\rho}_\mathrm{inic}=0 }[/math]), estos elementos no introducen ninguna fuerza.

• Actuadores lineales: su funcionamiento se basa en fenómenos muy diversos, según si se trata de actuadores hidráulicos, neumáticos, eléctricos o magnéticos; ejercen fuerzas que pueden ser predeterminadas (es decir, que se conocen a lo largo del tiempo: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{acc.lin}(\ts) }[/math] es un dato del problema) o las adecuadas para controlar movimientos relativos predeterminados [math]\displaystyle{ \dot{\rho}(\ts) }[/math], tanto de acercamiento como de separación;

• Hilos inextensibles: impiden que las partículas se separen (impiden [math]\displaystyle{ \dot{\rho} \gt 0 }[/math]) pero no que se acerquen (permiten [math]\displaystyle{ \dot{\rho} \lt 0 }[/math]). Al tratarse de un elemento intermedio que prohíbe un movimiento, la fuerza que introduce se llama fuerza de restricción o de enlace.

La Figura D2.3 clasifica las interacciones entre partículas que se consideran en este curso, según si son directas o indirectas, formulables o no formulables.

Figura D2.3 Clasificación de interacciones entre dos partículas.

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D2.3 Atracción gravitatoria

La fuerza de interacción gravitatoria (ley de gravitación universal) fue formulada por Newton. Es una fuerza de atracción, y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las partículas (Figura D2.4). Se trata de una formulación empírica: se basa en observaciones astronómicas acumuladas durante muchos años.

Figura D2.4 Formulación de la fuerza de atracción gravitatoria.

[math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0 }[/math] es la constante gravitatoria universal, y su valor es [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_0=6,67\cdot 10^{-11} \mathrm{m}^3/(\mathrm{Kg}\cdot \mathrm{s}^2) }[/math]

La distancia entre partículas ([math]\displaystyle{ \rho }[/math]) se tiene que expresar en función de las coordenadas que se hayan escogido para describir la configuración del sistema.

✏️ EJEMPLO D2.1: atracción gravitatoria entre dos satélites

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Dos satélites P y Q, modelizados como partículas de masas [math]\displaystyle{ \ms_\Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{Q} }[/math], describen en un mismo plano órbitas circulares de radios [math]\displaystyle{ \rs_\Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \rs_\mathrm{Q} }[/math], respectivamente, alrededor de un planeta. La configuración del sistema se describe mediante los ángulos [math]\displaystyle{ \theta_\Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \theta_\mathrm{Q} }[/math].

La fuerza gravitatoria que se ejercen mutuamente es:

[math]\displaystyle{ \rho=|\overline{\mathbf{P Q}}|=|\overline{\mathbf{O Q}}-\overline{\mathbf{O P}}|=\sqrt{\left(\rs_\mathrm{Q} \sin \theta_\mathrm{Q}-\rs_\Ps \sin \theta_\Ps\right)^2+\left(\rs_\mathrm{Q} \cos \theta_\mathrm{Q}-\rs_\Ps \cos \theta_\Ps\right)^2}=\sqrt{\rs_\mathrm{Q}^2+\rs_\Ps^2-2 \rs_\mathrm{Q} \rs_\Ps \sin \left(\theta_\mathrm{Q}+\theta_\Ps\right)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\Ps \leftrightarrow \mathrm{Q}}^{\text {grav }}=\mathrm{G}_0 \frac{\ms^2}{\rs_\mathrm{Q}^2+\rs_\Ps^2-2 \rs_\mathrm{Q} \rs_\Ps \cos \left(\theta_\Ps-\theta_\mathrm{Q}\right)} }[/math]

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D2.4 Interacción a través de muelles lineales

Los muelles introducen fuerzas atractivas o repulsivas entre sus extremos en función de su deformación. A partir de su longitud natural [math]\displaystyle{ \rho_\mathrm{nat} }[/math] (para la que no es produce fuerza alguna entre los extremes del muelle), un alargamiento ([math]\displaystyle{ \rho-\rho_\mathrm{nat} \gt 0 }[/math]) provoca fuerzas atractivas mientras que un acortamiento ([math]\displaystyle{ \rho-\rho_\mathrm{nat} \lt 0 }[/math]) las provoca repulsivas.

La formulación matemática de estas fuerzas se obtiene de manera empírica a partir de ensayos que miden la fuerza en función del cambio de longitud. Habitualmente, se parte de una configuración estática en la que la longitud [math]\displaystyle{ \rho_0 }[/math] del muelle no tiene por qué coincidir con la natural. Si [math]\displaystyle{ \rho_0 \gt \rho_\mathrm{nat} }[/math], la fuerza [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] entre los extremos del muelle para esta configuración es atractiva. En caso contrario ([math]\displaystyle{ \rho_0 \lt \rho_\mathrm{nat} }[/math]), [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] es repulsiva.

Los muelles lineales que se consideran en este curso son de comportamiento lineal: la variación de fuerza [math]\displaystyle{ \Delta\mathrm{F} }[/math] a partir del valor de referencia ([math]\displaystyle{ \Delta\mathrm{F}=\mathrm{F}-\mathrm{F}_0 }[/math]) es proporcional a la variación de longitud [math]\displaystyle{ \Delta\rho=\rho-\rho_0 }[/math] a través de una constante k

Un muelle que forma parte de un sistema mecánico puede introducir fuerzas atractivas y repulsivas a lo largo de su funcionamiento. A pesar de eso, estas fuerzas se dibujan con un criterio único (atractivas o repulsivas), y se formulan de manera que su valor puede tener signo positivo o negativo. De esta manera, con un único dibujo se pueden reproducir fuerzas tanto atractivas como repulsivas (Figura D2.5).

Figura D2.5 Formulación de la fuerza de atracción (a) o repulsión (b) de una muelle lineal de comportamiento lineal.

✏️ EJEMPLO D2.2: fuerza de atracción de un muelle de comportamiento lineal

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El muelle de comportamiento lineal actúa entre las partículas P y Q que se mueven dentro de dos guías paralelas. Para [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2 }[/math], el muelle está estirado y la fuerza que ejerce entre sus extremos es [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math].

Para [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2 }[/math], la longitud del muelle es L y la fuerza [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_0 }[/math] es de atracción. Para [math]\displaystyle{ \mathrm{x}_1 \neq \mathrm{x}_2 }[/math], la longitud aumenta y la fuerza de atracción también.

La expresión de la fuerza del muelle para una configuración general como fuerza atractiva es:

[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{at}^\mathrm{muella}=\mathrm{F}_0+k\Delta\rho=\mathrm{F}_0 + k [\rho(\mathrm{x}_1 \neq \mathrm{x}_2)-\rho(\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2)]=\mathrm{F}_0 + k[\sqrt{\mathrm{L}^2+(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)^2}-\mathrm{L}] }[/math].

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D2.5 Interacción a través de amortiguadores lineales

Los amortiguadores lineales introducen fuerzas atractivas o repulsivas entre sus extremos en función de su velocidad de deformación [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math]. Cuando los extremos del amortiguador se separan, la fuerza es atractiva; cuando se acercan, es repulsiva. A diferencia de los muelles, los amortiguadores no ejercen ninguna fuerza entre sus extremos en situaciones estáticas.

La fuerza asociada a los amortiguadores lineales de comportamiento lineal es proporcional a esa velocidad [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{at}^\mathrm{amort}=c\dot{\rho} }[/math] , [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{rep}^\mathrm{amort}=-c\dot{\rho} }[/math]

En los sistemas mecánicos, los amortiguadores aparecen a menudo en paralelo con un muelle. En este caso, la fuerza se formula de acuerdo con el criterio que se ha escogido para el muelle. Cuando no forman parte de un grupo muelle-amortiguador, el criterio se fija arbitrariamente.

✏️ EJEMPLO D2.4: fuerza de repulsión de un amortiguador de comportamiento lineal

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La fuerza de repulsión del amortiguador se obtiene a partir del alargamiento calculado en el ejemplo D2.2 por derivación:

[math]\displaystyle{ \rho=\sqrt{\mathrm{L}^2+(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)^2}\equiv \sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2} \Rightarrow \dot{\rho}= \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\mathrm{z}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{z}\dot{\mathrm{z}}}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{rep}^\mathrm{amort}=-c \frac{\mathrm{z}\dot{\mathrm{z}}}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{z}^2}}=-c\frac{(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2)(\dot{\mathrm{x}}_1-\dot{\mathrm{x}}_2)}{\sqrt{\mathrm{L}^2+\mathrm{(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2})^2}} }[/math]

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D2.6 Interacción a través de actuadores lineales

Los actuadores lineales estan presentes en la gran mayoría de sistemas mecánicos, y son responsables del control de su movimiento. Al ser elementos basados en fenómenos no estrictamente mecánicos, su formulación en el contexto de la dinámica newtoniana no es posible. El tratamiento que se les da es diferente al de los otros elementos intermedios. Se consideran dos situaciones:

• La fuerza que introducen entre sus extremos es un dato del problema: esto quiere decir que es conoce su valor a lo largo del tiempo: [math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{ac.lin.}=\mathrm{F}_\mathrm{ac.lin.}(\ts) }[/math]. El movimiento que producen, en este caso, es una incógnita del problema (Figura D2.6a).

• La fuerza que introducen entre sus extremos es la necesaria para garantizar un movimiento predeterminado conocido [math]\displaystyle{ \dot{\rho}(\ts) }[/math]. En este caso, esta fuerza es una incógnita (Figura D2.6b).

Figura D2.6 Actuador lineal entre dos partículas. (a) la fuerza que introduce es un dato, y el movimiento que provoca es una incógnita; (b) el movimiento que controla es predeterminado, y la fuerza que ha de ejercer para conseguirlo es una incógnita.

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D2.7 Interacciones de enlace

Las fuerzas de enlace restringen los movimientos relativos entre las partículas, entre partículas y superficies, o entre sólidos. Estas fuerzas provienen de las pequeñas deformaciones de los elementos intermedios que conectan las partículas, de las deformaciones locales de la superficie o de la de los sólidos, respectivamente. Este curso trata de la dinámica de objetos rígidos, y por tanto estas deformaciones (y por consiguiente las fuerzas de interacción asociadas) no se pueden formular: son incógnitas del problema dinámico.

Las fuerzas de enlace se adaptan para garantizar las restricciones, pero siempre dentro de unos rangos permitidos. Más allá de estos rangos, se dice que se ha superado la condición límite, el enlace deja de actuar, y la fuerza de enlace es sustituida por una fuerza formulable o bien deja de haber interacción.

Cuando un sistema contiene enlaces, hay que caracterizarlos: ver qué dirección pueden tener las fuerzas asociadas y cuáles son las condiciones límite asociadas. Esta dirección es la de las restricciones cinemáticas que es capaz de garantizar.

Esta sección trata de la caracterización del enlace indirecto entre partículas a través de un hilo, y del enlace directo entre una partícula y un sólido. Los enlaces entre sólidos (directos e indirectos) se tratan en la unidad D3.

Enlace indirecto a través de hilos inextensibles

Los hilos inextensibles de masa despreciable son elementos intermedios que impiden que las partículas se separen pero no que se acerquen.

Consideremos dos partículas P y Q unidas mediante un hilo. Si con las manos se ejerce una fuerza sobre cada partícula en el sentido adecuado para intentar separarlas, el hilo introduce una fuerza en sentido contrario per impedirlo: es la fuerza de enlace que se transmite entre P y Q a través del hilo, y es de tracción. Si las fuerzas de las manos sobre las partículas tienen sentido contrario, el hilo se destensa y no es capaz de garantizar el enlace: a través del hilo una partícula puede estirar a la otra pero no la puede empujar. Por tanto, la fuerza de tracción no puede ser negativa: si después de resolver un problema se concluye que la fuerza necesaria para mantener el enlace a través del hilo tiene hacerse negativa ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_\mathrm{hilo}\lt 0 }[/math]), eso indica que el enlace ha dejado de actuar (el hilo ha perdido tensión y es como si no estuviese, Figura D2.7a). Se trata de un enlace unilateral.

Por otro lado, el hilo permite el movimiento de P (de Q) sobre una superficie esférica centrada en Q (en P): en las direcciones tangentes a estas superficies, el hilo no puede introducir ninguna fuerza (Figura D2.7b). En otras palabras: la fuerza de enlace es ortogonal al movimiento relativo permitido:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{P}} \cdot \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RTQ }}(\mathbf{P})=0, \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{Q}} \cdot \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RTP }}(\mathbf{Q})=0 }[/math]

Figura D2.7 Caracterización y condición límite del enlace indirecto a través de un hilo inextensible.

La condición límite en este tipo de enlace la establece el límite de ruptura del hilo: para cada tipo de material, existe una fuerza ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{ruptura}} }[/math]) a partir de la cual el hilo se rompe. Si al resolver un problema de dinámica donde interviene un hilo se detecta que la fuerza para garantizar el enlace es mayor que este valor límite ([math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mathrm{hilo}}\gt \mathrm{F}_{\mathrm{ruptura}} }[/math]), hay que rehacer el problema suprimiendo el hilo (cosa que aumenta el número de GL del sistema que se estudia).

Enllaç directe entre una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i un sòlid rígid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] llis

La presència del sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math], en contacte amb la partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], és un obstacle per a certs moviments de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]. La força d’enllaç de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] sobre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] és la descripció dinàmica d’aquest obstacle.

L’anàlisi cinemàtica de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] per caracteritzar la força l’enllaç es fa des de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math], que és l’element responsable d’aquesta força. Això permet emfatitzar les direccions dels moviments de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] per a les quals [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] constitueix un obstacle: són les direccions en les quals apareix un valor nul de velocitat.

La Figura D2.8 presenta la caracterització del contacte entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] quan el sòlid és llis. Es tracta d’un enllaç unilateral: la força d’enllaç sobre la partícula en la direcció normal a la superfície en el punt de contacte només pot ser repulsiva, doncs no és capaç de retenir la partícula cas que alguna interacció la vulgui allunyar del sòlid. Igual que en el cas d’enllaços indirectes entre partícules per mitjà de fils inextensibles, hi ha una condició d’ortogonalitat entre la força d’enllaç i la velocitat permesa de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de S. El fet que hi hagi lliscament implica que es permet el moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] en qualsevol direcció del pla tangent al sòlid en el punt de contacte: el contacte no introdueix cap component de força en aquestes direccions.

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Figura D2.8 Ortogonalitat de la força de l’enllaç i la velocitat relativa de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de la superfície llisa del sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math].

Enllaç directe entre una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i un sòlid rígid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] rugós

Quan la superfície del sòlid S és rugosa i la partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] no hi llisca (Figura D2.9), la força d’enllaç pot tenir components no nul·les en les dues direccions tangencials. A diferència de la força normal, aquestes components poden tenir qualsevol signe, però la seva resultant no pot superar un valor màxim [math]\displaystyle{ \sqrt{\Fs_1^2 + \Fs_2^2}\leq\Fs_{\text{t, màx}}^{\text{enllaç}} }[/math]. En el model de frec sec, aquest valor depèn de la rugositat: com més rugosa la superfície, més alt el valor màxim (D2.8 Fricció).

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Figura D2.9 Ortogonalitat de la força de l’enllaç i la velocitat relativa de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de la superfície rugosa del sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math].

D2.8 Fricció

Quan la partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou respecte de la superfície rugosa del sòlid S, la força tangencial no és d'enllaç sinó de fricció, i és sempre oposada a la velocitat de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte de S: [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció} = |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}|\frac{\vel{P}{S}}{|\vel{P}{S}|} }[/math].

Hi ha diversos models per formular el valor de [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció} }[/math], segons les característiques del contacte entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i S.

Model de frec sec de Coulomb

La rugositat de la superfície de S es descriu mitjançant coeficients de fricció. Quan la rugositat és isòtropa (igual en totes les direccions) es defineixen dos coeficients de fricció:

• coeficient de fricció estàtic [math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math]: defineix el valor màxim (condició límit) de la força tangencial d'enllaç: [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_\text{t, màx}^\text{enllaç} = \mu_\es\Ns }[/math]. Si per garantir que [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] no llisca sobre S cal una força superior a F, el lliscament es produeix i apareix la força de fricció [math]\displaystyle{ \vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció} }[/math] (Figura D2.10a)

• coeficient de fricció dinàmic [math]\displaystyle{ \mu_\ds }[/math]: defineix el valor de la força de fricció [math]\displaystyle{ |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}| = \mu_\ds\Ns }[/math] (Figura D2.10b)

Model de frec viscós

És un model molt adequat quan entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i S hi ha una certa lubrificació. La força de fricció es formula en funció de la velocitat relativa entre els dos. Si és un model lineal: [math]\displaystyle{ |\vec{\Fs}_{\Ss\rightarrow\Ps}^\text{fricció}| = \cs|\vel{P}{S}| }[/math]

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Figura D2.10 Valor límit de la força tangencial d’enllaç entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i la superfície rugosa de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math].

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