C2. Movimiento de un sistema mecánico

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\boldsymbol\alpha}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{x}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\dth}{\dot\theta} \newcommand{\ddth}{\ddot\theta} \newcommand{\sth}{\sin{\theta}} \newcommand{\cth}{\cos{\theta}} \definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255} \definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9} }[/math]

C2.1 Velocidad de una partícula

La velocidad de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o de un punto que pertenece a un sólido) respecto a una referencia R, [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math], es el cambio del vector de posición a lo largo del tiempo. Matemáticamente, es la derivada temporal de un vector de posición (relativo a R). Dos vectores de posición distintos ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math]) dan lugar a la misma velocidad porque los puntos [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] y [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] son fijos entre sí y fijos a la referencia, y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs} }[/math] es constante en R:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

Es importante recordar que la derivada de un vector depende de la referencia en la que se evalúa. Por eso, en las ecuaciones anteriores se especifica la referencia en la que se deriva mediante un subíndice R.

La derivación temporal de un vector respecto a una referencia R evalúa el cambio de las características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo. Por tanto, la velocidad [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] es distinta de cero cuando el valor del vector de posición, o su dirección o ambas cosas cambian.

✏️ EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico

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La plataforma (RP) gira alrededor de un eje perpendicular al suelo (R). El movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la periferia de la plataforma es distinto según si se observa desde el suelo o desde la plataforma.

El centro de la plataforma ([math]\displaystyle{ \Os }[/math]) es fijo a ambas referencias. Por tanto, [math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] es un vector de posición para el punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tanto en la referencia R como en la referencia RP. Es evidente que [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0} }[/math], aunque el vector que se deriva es el mismo.

Ya que [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] es el radio r de la plataforma, tiene valor constante. Por tanto, la derivada de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] en cualquier referencia sólo puede estar asociada a un cambio de dirección.

Para evaluar el cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] respecto al suelo o a la plataforma, hay que definir un ángulo entre una recta fija a la referencia (recta de “salida”) y el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (recta de “llegada”). Para que quede clara la recta origen, representamos la recta de “salida” como la dirección del brazo de un observador situado en la referencia (y, por tanto, que no se mueve respecto a ella).

[math]\displaystyle{ \psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] cambia de dirección respecto a R [math]\displaystyle{ \implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}} }[/math]

De acuerdo con lo que se ha visto en la sección V.1, [math]\displaystyle{ \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)} }[/math] es perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], y su valor es el módulo de [math]\displaystyle{ \OQvec(\textrm{r}) }[/math] por la velocidad de cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] respecto a R [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}) }[/math]:

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a la plataforma (RP):

[math]\displaystyle{ \psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] no cambia de dirección respecto a RP [math]\displaystyle{ \textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}} }[/math]

EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕

Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

• Base B (1,2,3) fija respecto a R (y por tanto móvil en RP): [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= -\vec{\dot{\psi}} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fija respecto a P (y por tanto móvil en R): [math]\displaystyle{ \velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = \vec{\dot{\psi}} }[/math]

Proyección del vector de posición [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en las dos bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a RP:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0} }[/math]

✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico

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El extremo [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del péndulo de Euler describe un movimiento circular respecto al bloque. La velocidad asociada [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL} }[/math] se obtiene de manera análoga al ejemplo anterior.

El ángulo [math]\displaystyle{ \psi }[/math] orienta la barra tanto respecto al bloque como respecto al suelo, ya que su origen (recta vertical) tiene orientación constante en ambas referencias.

La velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo se puede obtener derivando el vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ}) }[/math] respecto al suelo:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] tiene dirección constante en R pero valor variable, por tanto su derivada es paralela a [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] y de valor [math]\displaystyle{ \dot x }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], en cambio, tiene valor constante pero dirección variable. Por tanto, su derivada es perpendicular a [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], y su valor es el módulo de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] por la velocidad de cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] respecto a R ([math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]):

La dirección de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no es ninguna de les direcciones asociadas al sistema (ni la vertical, ni la horizontal, ni paralela a la barra ni perpendicular a la barra). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos [math]\displaystyle{ \dot x }[/math] y [math]\displaystyle{ L\dot\psi }[/math], cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.

Es interesante ver que el primer término de la expresión [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] corresponde a la velocidad de [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] respecto al suelo [math]\displaystyle{ \left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right) }[/math], mientras que el segundo no tiene interpretación física: el punto [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] no es fijo a R, y por tanto no es un vector de posición en esta referencia.

EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕

Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

• Base B (1,2,3) fija respecto a R y BL: [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fija respecto a la barra, y por tanto móvil en R y BL: [math]\displaystyle{ \velang{P}{B'}=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]

Proyección del vector de posición [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en las dos bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B} = \vector{x+\Ls \sin{\psi}}{\Ls \cos{\psi}}{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: }[/math], [math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+x \sin{\psi}}{x\cos{\psi}}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot x+\Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot x sin\psi+\ x\dot\psi cos\psi}{\dot x cos\psi - x \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+x sin\psi}{x cos\psi}{0}=\vector{\dot x sin \psi}{\dot x cos\psi + \Ls\dot\psi}{0} }[/math]

Si se quiere calcular la velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a BL, el vector de posición a derivar es [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{-\Ls \cos{\psi}}{0}, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0} }[/math]

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C2.2 Aceleración de una partícula

La aceleración de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o de un punto que pertenece a un sólido) respecto de una referencia R, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math], es el cambio de la velocidad a lo largo del tiempo:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} = \dert{\vel{Q}{R}}{R} }[/math]

✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico

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En el movimiento circular del punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la plataforma respecto al suelo (ejemplo C2-1.1), la aceleración proviene tanto del cambio de valor como del cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]. Al ser [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] permanentemente perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], su ritmo de cambio de orientación es [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math], el mismo que el de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math]:

La dirección de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] no es ninguna de las direcciones asociadas al sistema (ni la radial, ni la perpendicular al radio). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos [math]\displaystyle{ \rs\ddot\psi }[/math] y [math]\displaystyle{ r\dot\psi^2 }[/math], cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.

EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕

Las bases B y B’ son las mismas del ejemplo C2-1.1.

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vector{-\rs \ddot\psi sin\psi - \rs \dot\psi^2cos\psi}{\rs\ddot\psi cos\psi - \rs \dot\psi^2sin\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \vel{Q}{R}}{B} = \vector{0}{\rs\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{0}{\rs\dot\psi}{0} = \vector{-\rs\dot\psi^2}{\rs\ddot\psi}{0} }[/math]

✏️ EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico

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El cálculo de la aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo (R) es laborioso porque la velocidad [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] proviene de la suma de dos términos: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} + \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math]: dirección constante (horizontal), valor [math]\displaystyle{ (\dot x) }[/math] variable. Su derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math] , pues, será horizontal y de valor [math]\displaystyle{ \ddot x }[/math].
• [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math]: dirección perpendicular a la barra y por tanto variable; valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi }[/math] variable. Su derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] , pues, tendrá una parte perpendicular a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (y por tanto paralela a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi\cdot\dot\psi }[/math] , y una parte paralela a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (y por tanto perpendicular a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\ddot\psi }[/math].

EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕

Las bases B y B’ son las mismas del ejemplo C2-1.2.

Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi +\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

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C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración

Un simple dibujo pone de manifiesto que la velocidad de un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a una referencia R es siempre tangente a la trayectoria que describe en R (Figura C2.1). Su dirección es la dirección tangencial.

Figura C2.1 El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria

En un caso general, la velocidad [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] cambia tanto de valor como de dirección. Por tanto, la aceleración [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] tiene dos componentes, una asociada al cambio de valor (paralela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) y otra asociada al cambio de dirección (ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]). Estas componentes son las componentes intrínsecas de la aceleración, y se denominan componente tangencial [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math] y componente normal [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math], respectivamente:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\accs{Q}{R}+\accn{Q}{R} }[/math]

Para el caso del movimiento circular ejemplo C2-2.1, la componente tangencial es perpendicular al radio, y la normal es paralela al radio y dirigida hacia el centro de la trayectoria (Figura C2.2):

Figura C2.2 Componentes intrínsecas de la aceleración en el movimiento circular

Este resultado se puede utilizar localmente para cualquier otro movimiento. Efectivamente, así como el cálculo de la velocidad de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a una referencia R ([math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) se basa en dos vectores de posición consecutivos (o, lo que es el mismo, en dos puntos consecutivos de la trayectoria), el de la aceleración [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] pide tres:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\dert{\vel{Q}{R}}{R}\simeq\frac{\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})-\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)}\equiv\frac{\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)} }[/math]

El cálculo del vector [math]\displaystyle{ \Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] requiere tres puntos consecutivos de la trayectoria (dos para cada velocidad, donde el último punto para calcular [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] y el primero para calcular [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt}) }[/math] son el mismo). Estos tres puntos definen un plano (plano osculador), y hay un único círculo que puede contener a los tres. En otras palabras: cualquier trayectoria se puede aproximar localmente por un círculo (círculo osculador). El centro y el radio de este círculo se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R ([math]\displaystyle{ \textrm{CC}_\textrm{R}(\textbf{Q}) }[/math] y [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math], respectivamente). Els resultats obtinguts per al movimiento circular se pueden utilizar localmente para calcular [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math] (Figura C2.3).

Figura C2.3 Geometría local de la trayectoria de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a una referencia R

Tanto el radio de curvatura como la posición del centro de curvatura cambian a lo largo de la trayectoria en general. En tramos rectilíneos, al no haber cambio de dirección de la velocidad, la componente normal de la aceleración es cero, y el radio de curvatura se hace infinito.

El versor tangencial [math]\displaystyle{ \vecbf{s} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{s}=\velo{R}/|\velo{R}|=\accso{R}/|\accso{R}| }[/math]) y el versor normal [math]\displaystyle{ \vecbf{n} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{n}=\accno{R}/|\accno{R}| }[/math]) se pueden completar con un tercer versor [math]\displaystyle{ \vecbf{b} }[/math] ortogonal a ambos (versor binormal, [math]\displaystyle{ \vecbf{b}\equiv\vecbf{s}\times\vecbf{n} }[/math]), y formar la base intrínseca o base de Frenet para el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en la referencia R.

✏️ EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler

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En el movimiento circular del extremo [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la barra respecto al bloque, las dos componentes intrínsecas de la aceleración [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] son distintas de cero. Sus valores y direcciones son las del movimiento circular:

• aceleración tangencial [math]\displaystyle{ \accs{Q}{BL} }[/math]: paralela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] y de valor L[math]\displaystyle{ \ddot\psi }[/math].
• aceleración normal [math]\displaystyle{ \accn{Q}{BL} }[/math] : perpendicular a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] y de valor L[math]\displaystyle{ \dot\psi^2 }[/math].

Aunque es evidente que el radio de curvatura de la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en la referencia bloque es L (ya que hace un movimiento circular), también se puede obtener como [math]\displaystyle{ \frac{\vecbf{v}_{\textrm{BL}}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{BL}|}=\frac{(\Ls\dot\psi)^2}{\Ls\dot\psi^2}=\Ls }[/math].

La aceleración [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] se ha descrito en el ejemplo C2-2.2 como suma de tres términos (los dos de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] más uno permanentemente horizontal de valor [math]\displaystyle{ \ddot x }[/math]). Identificar en este caso cuál es la componente tangencial (paralela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) y cuál la normal (ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) no es inmediato, pues la dirección de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no es ninguna de las direcciones singulares del problema (ejemplo C2-1.2).

Esta identificación sí que es inmediata para dos configuraciones particulares para las que la dirección de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] (que es la dirección tangencial) es horizontal:

El radio de curvatura del extremo del péndulo respecto al suelo para la configuración [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] es:

El centro de curvatura siempre se encuentra por encima de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] porque la aceleración normal apunta hacia arriba.

Casos particulares:

Las líneas circulares discontinuas indican la aproximación de la trayectoria en el entorno de la configuración [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] para estos dos casos particulares.

Aunque es laborioso, es posible calcular [math]\displaystyle{ \re{Q}{R} }[/math] para una configuración general recordando que en el producto escalar [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\cdot\acc{Q}{R} }[/math] solo participan las componentes paralelas (y por tanto la [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math]), y en el producto vectorial [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\times\acc{Q}{R} }[/math], solo las ortogonales (y por tanto la [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math]) (ejemplo C2-3.1 analítico). El resultado es:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}=\frac{\textbf{v}_{\Rs}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{R}|}=\frac{\left[\dot x^2+\left(\Ls\dot\psi\right)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right]^{3/2}}{\left|\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)\right|} }[/math]

Cuando se obtienen expresiones complicadas como la anterior, es aconsejable hacer alguna comprobación para asegurar que no hay errores evidentes evitables. Por ejemplo:

• Si [math]\displaystyle{ \dot x=0 }[/math] permanentemente (es decir, [math]\displaystyle{ \ddot x=0 }[/math]), la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R es circular de radio L:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot x=0, \ddot x=0}=\frac{\left(\Ls^2\dot\psi^2\right)^{3/2}}{\Ls\dot\psi^2\Ls\dot\psi}=\Ls }[/math]

• Si [math]\displaystyle{ \dot\psi=0 }[/math] permanentemente ([math]\displaystyle{ \ddot\psi=0 }[/math]), la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R es rectilínea, y el radio de curvatura ha de ser infinito:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot\psi=0, \ddot\psi=0}=\frac{(\dot x^2)^{3/2}}{0}\rightarrow\infty }[/math]

EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler; ➕

Las bases B y B’ son las mismas del ejemplo C2-2.1.

Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi+\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

El cálculo del radio de curvatura para la configuración general es laborioso. Como se trata de un movimiento plano, en el que la velocidad y la aceleración solo tienen dos componentes, se omitirá la tercera componente. La base utilizada es la B (pero se puede trabajar también en la base B’).

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls \dot\psi sin\psi}, \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\acc{Q}{R}\times\frac{\vel{Q}{R}}{\abs{\vel{Q}{R}}}} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\frac{1}{\sqrt{({\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)^2+(\Ls \dot\psi sin\psi)^2}}}\vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}\times\vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{ \frac { (\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi)\Ls \dot\psi sin\psi-(\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi)(\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi) } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} }} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}= \abs{ \frac { \Ls\ddot x\dot\psi sin\psi-\Ls\dot x\ddot\psi sin\psi-L^2\dot\psi^3-\Ls\dot x\dot\psi^2cos\psi } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} } }= \abs{ \frac { \Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi) } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} } } }[/math]

[math]\displaystyle{ \Re_\Rs(\Qs)=\frac{\textrm{v}^2_\Rs(\Qs)}{\abs{\accn{Q}{R}}}= \frac { \left( \dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right)^{3/2} } { \abs{ \Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi) } } }[/math]

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C2.4 Velocidad angular de un sólido rígido

De la misma manera que la configuración de un sólido rígido S respecto a una referencia R queda definida por la posición de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del sólido y por la orientación de S en R (descrita, por ejemplo, mediante ángulos de Euler), el cambio de la configuración respecto a R se puede describir mediante la velocidad [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math], y la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] (cambio de orientación a lo largo del tiempo). Cuando la orientación respecto a R se mantiene constante a lo largo del tiempo, se dice que el sólido tiene un movimiento de translación [math]\displaystyle{ \left(\velang{S}{R}=0\right) }[/math].

Rotación simple

La orientación de un sólido rígido que describe un movimiento plano respecto a una referencia R queda definida mediante un único ángulo [math]\displaystyle{ \psi }[/math] (sección C1.3). El cambio de esta orientación implica [math]\displaystyle{ \dot\psi\neq0 }[/math] .

Dar el valor de [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] [math]\displaystyle{ [rad/s] }[/math] no es suficiente para definir cómo cambia de orientación un sólido que describe un movimiento plano.

✏️ EJEMPLO C2-4.1: rueda con movimiento plano

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La rueda describe un movimiento plano respecto a R. Su centro [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math] es fijo a R, y su orientación cambia a ritmo [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] [math]\displaystyle{ [rad/s] }[/math]. Con esta información, no podemos saber qué movimiento está haciendo. Por ejemplo, la información podría corresponder a cualquiera de los dos casos siguientes:

• Caso (a): ángulo [math]\displaystyle{ \psi }[/math] definido en el plano horizontal; el plano del movimiento es horizontal.
• Caso (b): ángulo [math]\displaystyle{ \psi }[/math] definido en un plano vertical; el plano del movimiento es vertical.

Si no se dice en qué plano está definido el ángulo (y esto es equivalente a dar una dirección: la perpendicular al plano en cuestión), el movimiento no queda definido.

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El movimiento asociado al cambio de orientación, pues, queda definido por el ritmo de cambio del ángulo y por una dirección. El objeto matemático que incorpora estas dos características es un vector. Por tanto, la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] es un vector. El convenio para asociarle un sentido es la regla del tornillo (o de la mano derecha, o del sacacorchos, sección V.2)

✏️ EJEMPLO C2-4.2: rueda con movimiento plano

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La velocidad angular asociada a los movimientos (a) y (b) del ejemplo anterior es:

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Rotación en el espacio

La orientación de un sólido rígido que se mueve en el espacio respecto a una referencia R se puede definir mediante tres ángulos de Euler [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math]. A la variación de cada uno de estos ángulos se le puede asociar una velocidad angular.

✏️ EJEMPLO C2-4.3: giroscopio

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La orientación de un giroscopio respecto al suelo (R) se puede dar mediante tres ángulos de Euler. Las velocidades angulares asociadas a [math]\displaystyle{ (\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi) }[/math] tienen las interpretaciones siguientes: [math]\displaystyle{ \vecdot\psi=\velang{horquilla}{R} }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\theta=\velang{brazo}{horquilla} }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi=\velang{volante}{brazo} }[/math]. La velocidad angular del volante respecto al suelo es la superposición de las tres:

[math]\displaystyle{ \velang{volant}{R} = \velang{volant}{braç} + \velang{braç}{forquilla} + \velang{forquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi }[/math]

Estas velocidades angulares se pueden proyectar en cualquiera de las bases vectoriales que sugiere el problema:

• Base [math]\displaystyle{ \Bs_\Rs }[/math] fija a la referencia
• Base [math]\displaystyle{ \Bs }[/math] fija a la horquilla (se puede generar a partir de [math]\displaystyle{ \Bs_\Rs }[/math] mediante la rotación [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math])
• Base [math]\displaystyle{ \Bs' }[/math] fija al brazo (se puede generar a partir de B mediante la rotación [math]\displaystyle{ \dot\theta }[/math])
• Base [math]\displaystyle{ \Bs_\textrm{V} }[/math] fija al volante

Ahora bien, es aconsejable escoger una base donde el número máximo de rotaciones tengan la dirección de uno de los ejes de la base, para evitar tener que proyectar. Ya que los ejes de las tres rotaciones no forman un triedro ortogonal, siempre habrá que proyectar como mínimo una de las velocidades angulares ([math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}}, \vec{\dot{\theta}}, \vec{\dot{\varphi}} }[/math]). Si se escoge adecuadamente la base, se puede conseguir que las velocidades a proyectar esten contenidas en un plano definido por dos ejes de la base, y esto simplifica la operación. Esto lleva a escoger la base B o la B’. Las velocidades angulares que tendrán dos componentes serán [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\varphi}} }[/math], cuando se utilice la B, y [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] cuando se utilice la B’:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{forquilla}{R}}{B}=\vector{0}{0}{\dot\psi}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B}=\vector{0}{\dot{\varphi}cos\theta}{\dot{\varphi}sin\theta} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\velang{forquilla}{R}}{B'}=\vector{0}{\dot{\psi}sin\theta}{\dot{\psi}cos\theta}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B'}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B'}=\vector{0}{\dot{\varphi}}{0} }[/math]

De la mismo forma que la orientación del volante respecto al suelo pide los tres ángulos [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math], la velocidad angular de un sólido S que se orienta respecto a R mediante [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math] es la superposición de las tres velocidades angulares asociadas a estas rotaciones simples:

[math]\displaystyle{ \velang{S}{R} = \vecdot\psi + \vecdot\theta + \vecdot\varphi }[/math]

Aunque se trata de una superposición intuitiva, es necesaria una demostración rigurosa. No se incluye aquí pero se puede encontrar en [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press]. Para el caso del giroscopio:

[math]\displaystyle{ \velang{volante}{R} = \velang{volante}{brazo} + \velang{brazo}{horquilla} + \velang{horquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi }[/math]

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C2.5 Aceleración angular de un sólido rígido

La aceleración angular de un sólido rígido S respecto a una referencia R ([math]\displaystyle{ \accang{S}{R} }[/math]) es la derivada temporal de su velocidad angular respecto a R:

[math]\displaystyle{ \accang{S}{R}= \dert{\velang{S}{R}}{R} }[/math]

La descripción de la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] puede ser cualquiera (rotaciones alrededor de ejes fijos, rotaciones de Euler...). Cuando el sólido describe un movimiento plano respecto a R, la dirección de su velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] no cambia (es siempre perpendicular al plano del movimiento). Por tanto, la aceleración angular solo proviene del cambio de valor de [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math], y es paralela a [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math]. En movimientos generales en el espacio, si [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] se describe mediante rotaciones de Euler, [math]\displaystyle{ \accang{S}{R} }[/math] puede provenir del cambio de los valores de ([math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math],[math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math]) y del cambio de dirección de [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math] y [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math] es siempre de dirección constante respecto a R).

✏️ EJEMPLO C2-5.1: giroscopio; cálculo geométrico

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La horquilla de un giroscopio tiene movimiento plano respecto al suelo (R), con velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{horquilla}{R}=\vecdot\psi }[/math] vertical. Su aceleración angular es también vertical, de valor [math]\displaystyle{ \ddot{\psi}: \accang{S}{R}=\vec{\ddot{\psi}} }[/math].

La aceleración angular del volante es más complicada. Se puede obtener mediante la derivación geométrica de [math]\displaystyle{ \velang{volant}{R}=\vecdot\psi+\vecdot\theta+\vecdot\varphi }[/math]. La rotación [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math] se puede descomponer en una componente vertical de valor [math]\displaystyle{ \dot\varphi\textrm{sin}\theta }[/math], y una horizontal de valor [math]\displaystyle{ \dot\varphi\textrm{cos}\theta }[/math]. La componente vertical solo puede cambiar de valor, mientras que la horizontal cambia de valor y de dirección (a causa de [math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math]).

Derivada de las componentes verticales:

Derivada de las componentes horizontales:

CEJEMPLO C2-5.1: giroscopio; cálculo analítico ➕

El mismo resultado se obtiene si la derivada se hace de manera analítica a través de la base vectorial que gira con [math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math] respecto a R o de la que gira con [math]\displaystyle{ \vecdot\psi+\vecdot\theta }[/math] (también respecto a R):

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{volante}{R}}{B}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi \cos{\theta}}{\dot\psi+\dot\varphi \sin{\theta}}, }[/math]          [math]\displaystyle{ \braq{\accang{volante}{R}}{B}=\braq{\dert{\velang{volante}{R}}{R}}{B}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volante}{R}}{B}+\braq{\velang{B}{R}\times\velang{volante}{R}}{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{volante}{R}}{B} = \vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi \cth-\dot\varphi\dth \sth}{\ddot\psi+\ddot\varphi \sth+\dot\varphi\dth \cth}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi \cth}{\dot\psi+\dot\varphi \sth} = \vector{\ddot\theta-\dot\psi\dot\varphi \cth}{\ddot\varphi \cth-\dot\varphi\dth \sth+\dot\psi\dot\theta}{\ddot\psi+\ddot\varphi \sth+\dot\varphi\dth \cth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{volant}{R}}{B'}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi \sth}{\dot\psi \cth}, }[/math]          [math]\displaystyle{ \braq{\accang{volante}{R}}{B'}=\braq{\dert{\velang{volante}{R}}{R}}{B'}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volante}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times\velang{volante}{R}}{B'} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{volante}{R}}{B'} = \vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi+\ddot\psi \sth+\dot\psi\dot\theta \cth}{\ddot\psi \cth-\dot\psi\dot\theta \sth} + \vector{\dth}{\dot\psi\sth}{\dot\psi\cth}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi \sth}{\dot\psi \cth} = \vector{\ddth-\dot\psi\dot\varphi\cth}{\ddot\varphi+\ddot\psi \sth+\dot\psi\dth\cth}{\ddot\psi \cth-\dot\psi\dth\sth+\dot\varphi\dth} }[/math]

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C2.6 Cinemática de partícula versus cinemática de sólido rígido

Partícula (punto) y sólido rígido son dos modelos muy distintos. Desde el punto de vista de la cinemática, el segundo es mucho más rico ya que incluye el concepto de rotación (inexistente en partículas, ya que estas no se pueden orientar porque no tienen dimensiones). A causa de las rotaciones, los puntos de un mismo sólido rígido pueden describir trayectorias distintas.

Es importante tener presente esto para no utilizar erróneamente conceptos que solo se aplican a uno de los dos modelos cuando se habla del otro. Los ejemplos siguientes ilustran algunas afirmaciones erróneas y correctas.

✏️ EJEMPLO C2-6.1: partícula dentro de una guía circular

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La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] gira respecto a R: ERRÓNEO El vector [math]\displaystyle{ \vec{\textbf{OP}} }[/math] gira respecto a R: CORRECTO La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] describe una trayectoria circular respecto a R (o tiene un movimiento circular respecto a R): CORRECTO

✏️ EJEMPLO C2-6.2: partícula en un plano inclinado

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La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] se traslada respecto de R: ERRÓNEO La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] describe una trayectoria rectilínea respecto a R (o tiene un movimiento rectilíneo respecto a R): CORRECTO

✏️ EJEMPLO C2-6.3: rueda en contacto sin deslizar con el suelo y con movimiento plano

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Los puntos de la rueda giran respecto a R: ERRÓNEO

La rueda gira respecto a R: CORRECTO

El centro de la rueda se traslada respecto a R: ERRÓNEO

El centro de la rueda tiene un movimiento rectilíneo respecto a R: CORRECTO

Un sólido rígido que gira puede tener puntos que describan movimientos rectilíneos.

Vídeo C2.1 Visualización de las trayectorias de puntos

✏️ EJEMPLO C2-6.4: movimiento de una noria

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La anilla gira respecto a R: CORRECTO La cabina gira respecto a R: ERRÓNEO (si despreciamos el movimiento pendular, el suelo y el techo de la cabina siempre son paralelos al suelo, y por tanto no gira). La cabina se traslada respecto a R: CORRECTO

En este caso, todos los puntos de la cabina describen movimientos circulares del mismo radio respecto a R, pero con distintos centros de curvatura. En un caso como este, se pueden combinar un concepto de cinemática de sólido rígido (translación) con un concepto de cinemática de partícula (movimiento circular) para describir el movimiento de la cabina: La cabina tiene un movimiento de translación circular respecto a R.

Los puntos de un sólido rígido que se traslada pueden describir movimientos curvilíneos.

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C2.7 Grados de libertad

Tal como se ha visto a través de los diversos ejemplos de esta unidad, las velocidades de los puntos de un sistema mecánico dependen de un conjunto de variables escalares de dimensiones (longitud/tiempo) o (ángulo/tiempo). El conjunto mínimo de variables escalares de este tipo que son necesarias para describir el movimiento del sistema constituye el conjunto de grados de libertad (GL) del sistema.

Cuando el sistema es un único sólido rígido libre en el espacio (sin contacto con ningún objeto material), el número de GL es 6: tres asociados al movimiento de un punto (por ejemplo, [math]\displaystyle{ (\dot{\textrm{x}}, \dot{\textrm{y}}, \dot{\textrm{z}}) }[/math]) y tres al cambio de orientación del sólido (por ejemplo, [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}, \dot{\theta}, \dot{\varphi}) }[/math]).

En el contexto de la ingeniería mecánica, los sistemas mecánicos habituales son sistemas multisólido: conjuntos de sólidos rígidos mutuamente [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|enlazados]] mediante articulaciones, rótulas, juntas diversas... A causa de estos enlaces, el estado mecánico de cada sólido (es decir, su configuración en el espacio y su movimiento) está relacionado con el de los otros: en un sistema multisólido con N sólidos, el número de GL es inferior a 6N.

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C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos

Un enlaze restringe el movimiento relativo entre dos sólidos, y por tanto limita el número de grados de libertad de uno respecto del otro. La siguiente tabla recoge los enlaces más habituales.

	Con deslizamiento: Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos (alrededor de la dirección normal y de las dos tangenciales), y dos translaciones independientes (a lo largo de las dos direcciones tangenciales). Sin deslizamiento: Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos (alrededor de la dirección normal y de las dos tangenciales).
	Enlace de revolución (articulación): Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 1.
	Enlace cilíndrico: Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 1, y una translación (desplazamiento sin rotación) a lo largo del eje 1.
	Enlace prismático: Permite una translación entre los dos sólidos a lo largo del eje 1.
	Enlace esférico (rótula esférica): Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos alrededor de los ejes 1, 2, 3.
	Enlace helicoidal (unión roscada): Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 3; esta rotación provoca un desplazamiento a lo largo del eje 3. La relación entre la rotación y el desplazamiento viene dada por el paso de rosca e [mm/volta].
	Junta Cardan (junta universal): Permite dos rotaciones independientes entre los sólidos de ejes 1, 3.

Vídeo C2.2 Junta Cardan (junta universal)

✏️ EJEMPLO C2-8.1: giroscopio

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En el giroscopi, el soporte no se mueve respecto al suelo (R). Entre horquilla y soporte, entre brazo y horquilla, y entre volante y brazo hay articulaciones. Va bien representar esto en un diagrama simplificado:

La posición respecto al suelo del punto [math]\displaystyle{ \Os }[/math] no cambia. Por tanto, la configuración del giroscopio queda totalmente definida por los tres ángulos [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math]: el giroscopio tiene 3 CI respecto al suelo.

En lo que se refiere a su movimiento, ya que la variación de cualquiera de estos ángulos no implica la de los otros dos, sus evoluciones son independientes: el giroscopio tiene 3 GL respecto al suelo, que se pueden describir como [math]\displaystyle{ (\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi) }[/math].

✏️ EJEMPLO C2-8.2: triciclo

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El triciclo es un sistema de 5 sólidos: el chasis, el manillar y las tres ruedas. No hay ningún elemento fijo al suelo. Entre las ruedas traseras y el chasis, entre el manillar y el chasis, y entre la rueda delantera y el manillar hay articulaciones. Por otro lado, las ruedas tocan al suelo: esto también es una restricción. Si se mueve sobre un terreno plano sin que las ruedas patinen, este contacto se puede idealizar como contacto puntual sin deslizamiento (que haya o no deslizamiento en un contacto es una consecuencia de la dinámica del sistema; en el contexto de la cinemática, esto se formula como hipótesis).

Una manera eficaz de determinar el número de GL de un sistema respecto a una referencia es contar cuántos movimientos hay que bloquear para que el sistema quede totalmente en reposo. En el caso del triciclo, si se bloquea el movimiento del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] (que solo puede ser en la dirección longitudinal si las ruedas no patinan), el chasis aun podría pivotar alrededor de un eje vertical que pasase por [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Si se bloquea este pivotamiento [math]\displaystyle{ (\dot\psi=0) }[/math], las ruedas traseras ya no es pueden mover, pero el manillar y la rueda delantera podrían pivotar alrededor del eje vertical que pasa por el centro de la rueda [math]\displaystyle{ (\dot\psi'\neq 0) }[/math]. Si se bloquea este último movimiento, el triciclo ya no se mueve. Se han bloqueado tres movimientos, por tanto el triciclo tiene 3 GL.

✏️ EJEMPLO C2-8.3: cáscara esférica sobre una plataforma

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El sistema consta de 4 sólidos: la plataforma, el cascarón, el brazo y la horquilla. Entre la plataforma y el suelo, entre el cascarón y el brazo, entre el brazo y la horquilla, y entre la horquilla y el techo (suelo) hay articulaciones. Por otro lado, entre cascarón y plataforma hay un contacto puntual sin deslizamiento.

Para contar los GL del sistema respecto al suelo (R), procedemos a bloquear movimientos hasta que todo queda en reposo:

• bloqueamos la rotación de la plataforma respecto al suelo
• bloqueamos la rotación de la horquilla respecto al suelo

En estas condiciones, aunque la articulación entre cascarón y brazo permite una rotación, esta rotación haría patinar el cascarón sobre la plataforma, y esto va en contra de la hipótesis de que se trata de un contacto sin deslizamiento. Por tanto, el sistema está totalmente parado: tiene 2 GL respecto al suelo.

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Vídeo C2.3 Grados de Libertad de una rueda con movimiento plano y contacto con el suelo

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C2.E Exercicis resolts

🔎 EJEMPLO C2-E.1: péndulo giratorio

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La placa está articulada en el punto O a una horquilla, que gira con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \psio }[/math] respecto al suelo (T). Entre horquilla y suelo (techo), y entre placa y horquilla hay articulaciones de revolución.

1. ¿Cuántos grados de libertad (GL) tiene el sistema? Descríbelos.

La horquilla puede hacer una rotación simple respecto al suelo alrededor del eje vertical.

De manera independiente, la placa puede hacer una rotación simple alrededor del eje horizontal de la horquilla.

Una manera de ver que estos dos movimientos son independientes es comprobar que, si bloqueamos uno, el otro aún puede existir.

Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad.

2. Determina la velocidad angular y la aceleración angular de la placa respecto al suelo.

La velocidad angular de la placa es la superposición de [math]\displaystyle{ \vecdot\psi_0 }[/math] (1a rotación de Euler, eje fijo al suelo) y [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math] (2a rotación de Euler, eje afectado por la rotación [math]\displaystyle{ \vecdot\psi_0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \velang{placa}{T}=\vecdot\psi_0+\vecdot\theta }[/math]

Cálculo geométrico:

[math]\displaystyle{ \velang{placa}{T}=\vecdot\psi_0+\vecdot\theta=(\Uparrow \psio)+(\odot \dot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \accang{placa}{T}=\dert{\velang{placa}{T}}{T}=\dert{\vecdot\psi_0}{T}+\dert{\vecdot\theta}{T}=\dert{(\Uparrow \psio)}{T}+\dert{(\odot \dot{\theta})}{T} }[/math]

Ya que [math]\displaystyle{ \vecdot\psi_0 }[/math] es constante en valor y dirección, la aceleración angular provendrá solo del cambio de valor y de dirección de [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math]. Se trata de un vector de valor variable y que gira alrededor del eje vertical, afectado por la primera rotación de Euler ([math]\displaystyle{ (\Omegavec^{\vecdot\theta}_\textrm{T}=\vecdot\psi_0) }[/math]).

[math]\displaystyle{ \accang{placa}{T}=\dert{(\odot\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left[\ddot{\theta}\frac{\vecdot{\theta}}{|\vecdot{\theta}|}\right]+[\velang{$\vecdot{\theta}$}{$\Ts$}\times\vecdot{\theta}]=[\odot\ddot{\theta}]+[(\Uparrow\psio)\times(\odot\dot{\theta})]=(\odot\ddot{\theta})+(\Rightarrow\psio\dot{\theta}) }[/math]

Cálculo analítico:

La derivada de la velocidad angular se puede hacer también de manera analítica. La base vectorial en la que la proyección de [math]\displaystyle{ \velang{placa}{T} }[/math] es inmediata es la base fija a la horquilla [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vecdot{\psi}_0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{\psio} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{placa}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{placa}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{placa}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{\ddot{\theta}}{0}{0}+\vector{0}{0}{\psio}\times\vector{\dot{\theta}}{0}{\psio}=\vector{\ddot{\theta}}{\psio\dot{\theta}}{0} }[/math]

3. Determina la velocidad y la aceleración del punto G de la placa respecto al suelo.

Ya que el punt O es fijo al suelo, el vector [math]\displaystyle{ \OGvec }[/math] es un vector de posición para la referencia del suelo. Su valor L es constante, pero su dirección es variable a causa de [math]\displaystyle{ \psio }[/math] y [math]\displaystyle{ \vecdot{\theta} }[/math]: [math]\displaystyle{ \OGvec=(\searrow\Ls)^{*} }[/math].

Cálculo geométrico:

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=\dert{\OGvec}{T}=[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\velang{$\OGvec$}{T}\times\OGvec=(\vec{\dot{\psi}}_0+\vec{\dot{\theta}})\times\OGvec=\left[(\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta})\right]\times(\searrow\Ls)=(\Uparrow\psio)\times(\rightarrow\Ls\text{cos}\theta)+(\odot\dot{\theta})\times(\searrow\Ls)=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta}) }[/math]

La velocidad tiene valor y dirección variables, y por tanto la aceleración tiene tanto componente paralela como componente perpendicular a la velocidad.

[math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\dert{\vel{G}{T}}{T}=\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}+\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ (\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta) }[/math] gira respecto al suelo solo a causa de [math]\displaystyle{ \psio }[/math], mientras que el vector [math]\displaystyle{ (\nearrow\Ls\dot{\theta}) }[/math] lo hace a causa de [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts= }[/math]

[math]\displaystyle{ =[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+\left[(\Uparrow\psio)\times(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)\right]=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+\left[\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\nearrow\Ls\ddot{\theta}\right]+\left[((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})\right]=\left[\nearrow\Ls\ddot{\theta}\right]+\left[(\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)\right] }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \acc{P}{T}=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)+(\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta)+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\nearrow\Ls\ddot{\theta}) }[/math]

Cálculo analítico:

Todo el cálculo se puede hacer de manera analítica. La base vectorial en la que la proyección del vector [math]\displaystyle{ \OGvec }[/math] es inmediata es la fija a la placa (base B’). Esta base cambia de orientación cuando el valor de los dos ángulos [math]\displaystyle{ \psi }[/math] y [math]\displaystyle{ \theta }[/math] cambia. Por tanto, la velocidad angular de la base es [math]\displaystyle{ \velang{B'}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\OGvec}{B'}=\vector{0}{0}{-L} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\OGvec}{B'}=\vector{0}{0}{0}+\vector{\dot{\theta}}{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}\times\vector{0}{0}{-\Ls}=\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\vector{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}{\Ls\ddot{\theta}}{0}+\vector{\dot{\theta}}{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}\times\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0}=\vector{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}{\Ls\ddot{\theta}-\Ls\psio^2\text{sin}\theta\text{cos}\theta}{\Ls\dot{\theta}^2+\Ls\psio^2\text{sin}^2\theta} }[/math]

🔎 EJEMPLO C2-E.2: placa articulada giratoria

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La placa rectangular está unida a un soporte giratorio a través de dos barras paralelas con articulaciones en los extremos. Una tercera barra está unida a la placa a través de una rótula esférica a P y al soporte a través de un enlace cilíndrivo. El soporte gira con velocidad angular [math]\displaystyle{ \vecdot{\psi} }[/math] variable respecto al suelo (T).

Archivo:Archivo:C2-E.Ex2-2-esp.png

1. ¿Cuántos grados de libertad (GL) tiene el sistema? Descríbelos.

El soporte puede girar libremente alrededor del eje vertical fijo al suelo (rotación simple). Si el soporte se bloquea respecto al suelo, el sistema aún se puede mover.

Respecto al soporte, las barras OC pueden hacer una rotación simple alrededor del eje horizontal perpendicular a las barras y que pasa por O. Si una de estas barras se bloquea respecto al soporte, ni la placa, ni las barras OC, ni la barra en codo se pueden mover. Un análisis alternativo de este segundo grado de libertad es comprobar que si la barra en codo se bloquea (si se bloquea su translación vertical respecto al soporte), ni la placa, ni las barras OC se pueden mover respecto al soporte.

Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad.

2. Determina la velocidad angular y la aceleración angular de la placa respecto al suelo.

La velocidad angular de la placa es la superposición de [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] (1a rotación de Euler, eje fijo al suelo) y [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math] (2a rotación de Euler, eje afectado por la rotación [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math]):

Cálculo geométrico:

[math]\displaystyle{ \velang{placa}{T}=\vec{\dot{\psi}}+\vec{\dot{\theta}}=(\Uparrow\dot{\psi})+(\otimes\dot{\theta}) }[/math]

La aceleración angular proviene del cambio de valor de [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math], y del de valor y dirección de [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \accang{placa}{T}=\dert{\velang{placa}{T}}{T}=\dert{(\Uparrow\dot{\psi})}{T}=\dert{(\otimes\dot{\theta})}{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\Uparrow\dot{\psi})}{T}=[\text{canvi de valor}]=\ddot{\psi}\frac{\vec{\dot{\psi}}}{|\vec{\dot{\psi}}|}=(\Uparrow\ddot{\psi}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\otimes\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\ddot{\theta}\frac{\vec{\dot{\theta}}}{|\vec{\dot{\theta}}|}\right]+\left[\velang{$\vec{\dot{\theta}}$}{T}\times\vec{\dot{\theta}}\right]=[\otimes\ddot{\theta}]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\otimes\dot{\theta})\right] }[/math]

Por tanto, [math]\displaystyle{ \accang{placa}{T}=(\Uparrow\ddot{\psi})+(\otimes\ddot{\theta})+(\Leftarrow\dot{\psi}\dot{\theta}) }[/math]

Cálculo analítico:

La derivada de la velocidad angular se puede hacer también de manera analítica. La base vectorial B en la que la proyección de [math]\displaystyle{ \velang{placa}{T} }[/math] es inmediata es la fija al soporte [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{0}{\dot{\theta}}{\dot{\psi}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{placa}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{placa}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{placa}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{placa}{T}}{B}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\vector{0}{\ddot{\theta}}{\ddot{\psi}}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times\vector{0}{\dot{\theta}}{\dot{\psi}}=\vector{-\dot{\psi}\dot{\theta}}{\ddot{\theta}}{\ddot{\psi}} }[/math]

3. Determina la velocidad y la aceleración del punto Q de la placa respecto al suelo.

Ya que el punto O es fijo al suelo, el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] es un vector de posición para la referencia del suelo. Su valor es [math]\displaystyle{ 2\Ls\text{cos}\theta }[/math], y su dirección es siempre horizontal. La velocidad de Q proviene tanto del cambio de valor (ya que [math]\displaystyle{ \theta }[/math] es variable) como del cambio de dirección respecto al suelo (causado por la rotación [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] del soporte).

Cálculo geométrico:

[math]\displaystyle{ \OQvec=(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{T}=\dert{\OQvec}{T}=\dert{(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left[\rightarrow -2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)\right]=\left[\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]+\left[\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta\right] }[/math]

La aceleración de Q proviene tanto del cambio de valor como del cambio de dirección (asociado a [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math]) de los dos términos de la velocidad:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{T}=\dert{\vel{Q}{T}}{T}=\dert{(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)}{T}+\dert{\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta}{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]=\left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)\right]+\left[\odot 2\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta)\right]=\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]+\left[\leftarrow 2\Ls\dot{\psi}^2\text{cos}\theta\right] }[/math]

Finalmente, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{T}=(\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+(\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2)\text{cos}\theta))+(\odot 4\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)+(\otimes 2\Ls\ddot{\psi}\text{cos}\theta) }[/math]

Cálculo analítico:

La derivada también se puede hacer de manera analítica. La base vectorial B en la que la proyección del vector [math]\displaystyle{ \OPvec }[/math] es inmediata es la fija al soporte [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{2\Ls\text{cos}\theta}{0}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{T}}{B}=\braq{\dert{\OQvec}{T}}{B}=\frac{d}{dt}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\OQvec}{B}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\vector{-2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}{0}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times\vector{2\Ls\text{cos}\theta}{0}{0}=\vector{-2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{T}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\vel{Q}{T}}{B}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\text{sin}\theta-\dot{\theta}^2\text{cos}\theta}{\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times 2\Ls\vector{-\dot{\theta}\text{sin}\theta}{\dot{\psi}\text{cos}\theta}{0}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\text{sin}\theta-(\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2)\text{cos}\theta}{\ddot{\psi}\text{cos}\theta-2\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0} }[/math]

🔎 Exercici C2-E.3: pèndol giratori amb punt de suspensió mòbil

---

El pèndol en forma d’anella està articulat al suport, el qual té un enllaç prismàtic amb la guia. La guia està articulada al sostre, i la seva velocitat angular respecte d’aquest [math]\displaystyle{ (\vec{\psio}) }[/math] es manté constant. La molla entre suport i guia garanteix que el primer no caigui a terra quan el sistema està aturat. thumb|center|600px|link=

1. Quants graus de llibertat (GL) té el sistema? Descriu-los.

La guia pot girar al voltant de l’eix vertical que passa per [math]\displaystyle{ \Os ' }[/math] (rotació simple).

Independentment, el suport es pot traslladar al llarg de la guia (translació rectilínia).

Finalment, si els dos moviments anteriors s’aturen, l’anella encara pot fer una rotació simple al voltant de l’eix horitzontal que passa per [math]\displaystyle{ \Os ' }[/math], és perpendicular al pla de l’anella i és fix al suport.

Per tant, el sistema té 3 graus de llibertat.

2. Determina la velocitat angular i l’acceleració angular de l’anella respecte del terra.

Càlcul geomètric:

La velocitat angular de l’anella és la superposició de [math]\displaystyle{ (\vec{\psio}) }[/math] (1a rotació d’Euler, eix fix a terra) i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math] (2a rotació d’Euler, eix afectat de la rotació [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math]):

thumb|right|300px|link=

[math]\displaystyle{ \velang{anella}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}}=(\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \accang{anella}{T}=\dert{\velang{anella}{T}}{T}=\dert{(\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}})}{T}=\dert{\vec{\psio}}{T}+\dert{\vec{\dot{\theta}}}{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\dert{(\Uparrow\psio)}{T}+\dert{(\odot\dot{\theta})}{T} }[/math]

L’acceleració angular prové exclusivament del canvi de valor i direcció de [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math], ja que [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math] és de valor i direcció constant.

[math]\displaystyle{ \accang{anella}{T} = \dert{\velang{anella}{T}}{T} = \dert{(\odot\dot{\theta})}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left[\ddot{\theta}\frac{\vec{\dot{\theta}}}{|\vec{\dot{\theta}}|}\right]+\left[\velang{$\vec{\dot{\theta}}$}{T}\times\vec{\dot{\theta}}\right]=[\odot\ddot{\theta}]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\odot\dot{\theta})\right]=(\odot\ddot{\theta})+(\Rightarrow\psio\dot{\theta}) }[/math]

Càlcul analític:

La derivada de la velocitat angular de l’anella es pot fer també de manera analítica. La base vectorial en la qual la projecció de [math]\displaystyle{ \velang{anella}{T} }[/math] és immediata és la fixa al suport [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{anella}{T}}{B}=\vector{0}{\psio}{\dot{\theta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{anella}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{anella}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{anella}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{anella}{T}}{B}=\vector{0}{0}{\ddot{\theta}}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{0}{\psio}{\dot{\theta}}=\vector{\psio\dot{\theta}}{0}{\ddot{\theta}} }[/math]

3. Determina la velocitat i l’acceleració del punt G de l’anella respecte del terra.

Càlcul geomètric:

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Os'\Gs} }[/math] és un vector de posició de [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] a la referencia del terra, ja que [math]\displaystyle{ \Os' }[/math] és un punt fix a terra.

[math]\displaystyle{ \vec{\Os'\Gs}=\vec{\Os'\Os}+\vec{\Os\Gs}=(\downarrow \textrm{x})+(\searrow \Ls)^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=\dert{\vec{\Os'\Gs}}{T}=\dert{\vec{\Os'\Os}}{T}+\dert{\vec{\Os\Gs}}{T}=\dert{(\downarrow \textrm{x})}{T}+\dert{(\searrow \Ls)}{T} }[/math]

thumb|right|250px|link=

El terme [math]\displaystyle{ (\downarrow \text{x}) }[/math] té valor variable però orientació constant, en tant que el terme [math]\displaystyle{ (\searrow \Ls) }[/math], de valor constant, canvia d’orientació respecte del terra per causa de [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os'\Os}}{T}=\dert{(\downarrow \textrm{x})}{T}=[\text{canvi de valor}]=(\downarrow\dot{\text{x}}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os\Gs}}{T}=\dert{(\searrow \Ls)}{T}=[\text{canvi de direcció}]_\Ts=\velang{$\OGvec$}{T}\times\OGvec=((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\searrow \Ls)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(\Uparrow\psio)\times(\rightarrow\Ls\text{sin}\theta)+(\odot\dot{\theta})\times(\searrow \Ls)=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta}) }[/math]

Per tant, [math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=(\downarrow\dot{\text{x}})+(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{T}=\dert{\vel{G}{T}}{T}=\dert{(\downarrow\dot{\text{x}})}{T}+\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}+\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T} }[/math]

Tots tres termes de la velocitat són de valor variable, i només els dos últims giren (canvien de direcció) respecte del terra. El segon, que és perpendicular al pla de l’anella, només gira per causa de [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math], en tant que el tercer gira per causa de [math]\displaystyle{ \vec{\psio} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\theta}} }[/math]. La derivada de cadascun d’aquests termes és:

[math]\displaystyle{ \dert{(\downarrow\dot{\text{x}})}{T}=[\text{canvi de valor}]=(\downarrow\ddot{x}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+[(\Uparrow\psio)\times(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)]=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+[\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta] }[/math]

[math]\displaystyle{ \dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}=[\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Ts=[\nearrow\Ls\ddot{\theta}]+[((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})]=[\nearrow\Ls\ddot{\theta}]+[(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)] }[/math]

Per tant, [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=(\downarrow\ddot{x})+(\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta) }[/math]

thumb|right|300px|link=

Càlcul analític:

Tot el càlcul es pot fer de manera analítica. El vector [math]\displaystyle{ \OGvec=\vec{\Os\Os'}+\vec{\Os'\Gs} }[/math] té el primer terme vertical, i per tant la seva projecció és immediata a la base B fixa al suport [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\psio}) }[/math]; el segon terme, en canvi, es projecta immediatament a la base B’ fixa a l’anella [math]\displaystyle{ (\velang{B'}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}}) }[/math]. Qualsevol de les dues pot ser adequada.

Càlcul a la base B

[math]\displaystyle{ \braq{\OGvec}{B}=\vector{\Ls\text{sin}\theta}{-\text{x}-\Ls\text{cos}\theta}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{G}{T}}{B}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\OGvec}{B}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{\Ls\text{sin}\theta}{-x-\Ls\text{cos}\theta}{0}=\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{G}{T}}{B}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\vel{G}{T}}{B}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\text{cos}\theta-\dot{\theta}^2\text{sin}\theta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta-\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)}{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\text{cos}\theta-\dot{\theta}^2\text{sin}\theta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta} }[/math]

Càlcul a la base B'

[math]\displaystyle{ \braq{\OGvec}{B}=\vector{x\text{sin}\theta}{-x\text{cos}\theta-\Ls}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\OGvec}{B'}=\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta-x\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}\text{cos}\theta+x\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}{\dot{\theta}}\times\vector{-x\text{sin}\theta}{-x\text{cos}\theta-\Ls}{0}=\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\text{cos}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\vector{-\ddot{x}\text{sin}\theta-\dot{x}\dot{\theta}\text{cos}\theta+\Ls\ddot{\theta}}{-\ddot{x}\text{cos}\theta+\dot{x}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}+\vector{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}{\dot{\theta}}\times\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\text{cos}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta}=\vector{-\ddot{x}\text{sin}\theta+\Ls(\ddot{\theta}-\psio^2\text{sin}\theta\text{cos}\theta)}{-\ddot{x}\text{cos}\theta+\Ls(\dot{\theta}^2+\psio^2\text{sin}^2\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta} }[/math]

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*NOTA: En aquest web (i per manca de símbols de fletxa més precisos), tot i que les fletxes [math]\displaystyle{ \nearrow }[/math], [math]\displaystyle{ \swarrow }[/math], [math]\displaystyle{ \nwarrow }[/math] i [math]\displaystyle{ \searrow }[/math] semblen indicar que els vectors formen un angle de 45° amb la direcció vertical, no té per què ser així. Cal interpretar les fletxes de manera qualitativa, observant el dibuix que sempre acompanya aquest tipus de notació. Per exemple, l’apartat 3 de l’exercici C2-E.1, el vector [math]\displaystyle{ \OPvec }[/math] forma un angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] genèric amb la direcció vertical. Si el valor de l’angle [math]\displaystyle{ \theta }[/math] és menor de 90° (com a la figura), el vector [math]\displaystyle{ \OPvec }[/math] té component cap a baix i cap a la dreta.

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