D6. Ejemplos de dinámica 2D

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

Esta unidad propone un método sistemático para resolver problemas de dinámica de sistemas constituidos por un número cualquiera de sólidos. Si este número es elevado, definir la estrategia para llegar a los resultados que se buscan es fundamental para evitar desarrollos excesivos.

Los ejemplos se centran en problemas de dinámica plana (2D). La unidad D7 analiza ejemplos de dinámica 3D.

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D6.1 Cinemática 2D y dinámica 2D

La condición para que un sistema presente una dinámica 2D no es exclusivamente que su cinemática sea plana: es necesario, además, que el momento cinético de cada sólido [math]\displaystyle{ \Ss_\is }[/math] del sistema referido a su centro de inercia [math]\displaystyle{ \Gs_\is }[/math] sea ortogonal al plano del movimiento (sección D4.5). Esto es equivalente a decir que la dirección ortogonal al plano del movimiento sea una dirección principal de inercia (secció D5.2) para [math]\displaystyle{ \Gs_\is }[/math].

✏️ EJEMPLO D6.1: cinemática 2D y dinámica 3D

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La barra delgada y homogénea está articulada a O a un soporte que gira respecto al suelo con velocidad angular vertical [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constante. La barra se apoya sobre el suelo liso, de manera que su movimiento es plano: todos sus puntos (excepto el punto O) describen trayectorias circulares horizontales. El hecho de que la cinemática de la barra sea plana puede hacer pensar que solo la componente vertical del TMC es necesaria para estudiar su dinámica. Pero no es así. El momento cinético de la barra en el punto O es:

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO=T}}(\Os)}{}= \matriz{\Is}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{\Is}\vector{\Omega_0 \sin \beta}{\Omega_0 \cos \beta}{0}= \vector{\Is\Omega_0 \sin \beta}{0}{0} . }[/math]

De este vector, solo la parte horizontal es variable (cambia de dirección a causa de [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]). La derivada geométrica conduce a:

[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\mathbf{H}}}_{\text {RTO}} (\Os)=(\Uparrow \Omega_0) \times (\Rightarrow \Is \Omega_0 \sin \beta \cos \beta)= \otimes\Is \Omega_0^2 \sin\beta \cos\beta. }[/math]

Esta derivada también se puede calcular mediante la base vectorial:

[math]\displaystyle{ \braq{\dot{\overline{\mathbf{H}}}_{\text {RTO}} (\Os)}{}= \vector{\Omega_0 \sin \beta}{\Omega_0 \cos \beta}{0} \times \vector{\Is \Omega_0 \sin \beta}{0}{0} =\vector{0}{0}{-\Is \Omega_0^2\sin\beta\cos\beta}. }[/math]

En la aplicación del TMC en O a la barra no se puede prescindir de la componente 3, que es horizontal.

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D6.2 Diagrama de sólido libre (DSL) y hoja de ruta

Cuando un sistema formado solo por un único sólido tiene dinámica 2D, el número de ecuaciones para resolver el problema es 3: las dos componentes del TCM en el plano del movimiento y la componente del TMC perpendicular a este plano. Según lo que se quiera calcular (ecuación del movimiento, fuerza de enlace...), puede ser que no sea necesario aplicar los dos teoremas.

Hallar un camino rápido para llegar al resultado que se busca pide elaborar una hoja de ruta (que es una declaración de la estrategia a seguir). Explorar estrategias posibles y escoger una adecuada pide una buena comprensión de la cinemática y la dinámica del sólido. Por eso, se recomienda empezar siempre por investigar la distribución de velocidades del sólido y la descripción de las interacciones a las que está sometido. La representación de estas interacciones constituye el diagrama de sólido libre (DSL).

D6.3 Ejemplos de un único sólido

✏️ EJEMPLO D6.2: condición límite de deslizamiento

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El disco homogéneo, de masa m y radio R, se encuentra sobre un suelo horizontal liso, y tiene un punto de contacto con una pared rugosa. Se trata de investigar cuál es el valor mínimo del coeficiente de fricción entre disco y pared, en función de F, para que no haya deslizamiento entre estos dos elementos.

Las descripciones cinemática y dinámica del problema son:

Las incógnitas del problema son [math]\displaystyle{ \ddot{\theta}, \Ns, \Ts }[/math]. La fuerza tangencial T es el objetivo del cálculo, ya que la condición límite de deslizamiento inminente se formula sobre esta fuerza: [math]\displaystyle{ \Ts_\mathrm{màx}=\mu_\mathrm{mín}\Ns. }[/math].

Hoja de ruta

La fuerza T aparece tanto en la componente horizontal del TCM como en la componente perpendicular al plano del TMC en G. Sin embargo, en las dos ecuaciones aparece también la incógnita [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math]. Por otro lado, hay que conocer también el valor de N para poder imponer la condición límite. Por tanto: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: TCM y TMC en } \Gs} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{ll} \text { TCM: } \hspace{1.2cm} \left\{\begin{array}{l} (\rightarrow \mathrm{F} \cos \beta)+(\leftarrow \mathrm{T})=(\rightarrow \mathrm{mR} \ddot{\theta}) \\ (\downarrow \mathrm{F} \sin \beta)+(\uparrow \mathrm{N})=0 \end{array}\right. \\ \text { TMC en }\Gs: \quad (\otimes\Ts\Rs)=(\otimes \Is_\mathrm{G} \ddot{\theta})=\left(\otimes \frac{1}{2} \ms \Rs^2\ddot{\theta} \right) \end{array}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \ddot{\theta}=\frac{2}{3} \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{mR}} \cos \beta \\ \mathrm{T}=\frac{1}{3} \mathrm{~F} \cos \beta \\ \mathrm{N}=\mathrm{F} \sin \beta \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{T}_{\text {máx }}=\mu_{\text {mín }} \mathrm{N} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} \mathrm{F}_{\mathrm{máx} } \cos \beta=\mu_{\text {mín }} \mathrm{F}_{\mathrm{máx}} \sin \beta \quad \Rightarrow \quad \mu_{\text{mín} }=\frac{1}{3 \tan \beta} \\ }[/math]

✏️ EJEMPLO D6.3: barra con movimiento de translación

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El extremo P de la barra homogénea, de masa m y longitud 2L, desliza por una guía rugosa. Se trata de investigar para qué valor del ángulo [math]\displaystyle{ \beta }[/math] la velocidad angular de la barra respecto al suelo es nula.

La descripción cinemática y dinámica del problema es:

Hoja de ruta
Si la barra no gira, su momento cinético en cualquiera de sus puntos es permanentemente nulo, y por tanto su derivada también. Esta condición lleva a plantear en primer lugar el TMC.

Si se aplica a G, la condición para tener derivada nula del momento cinético respecto a este punto se traduce en que la recta de acción de la resultante de las dos fuerzas sobre P pase G: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: TMC en } \Gs} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\mu\Ns}{\Ns}=\tan\beta }[/math] Se puede llegar al mismo resultado con otra hoja de ruta, pero el procedimiento es mucho más largo. [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: TCM y TMC en } \Ps} }[/math]

Ya que P es un punto acelerado respecto al suelo, en el TMC aparece la incógnita v, y por eso hay que aplicar el TCM para calcularla.

[math]\displaystyle{ \text {TQM: } \quad\left\{\begin{array}{l} (\nearrow \mathrm{N})+(\swarrow \mathrm{mg} \cos \delta)=0 \\ (\nwarrow \mu \mathrm{N})+(\searrow \mathrm{mg} \sin \delta)=(\searrow \mathrm{m} \dot{\mathrm{v}}) \end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{v}}=\mathrm{g}(\sin \delta-\mu \cos \delta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{TMC a } \Ps : \quad \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps) - \PGvec \times \ms\acc{P}{Gal}=\overline{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps)=\PGvec \times \ms\overline{\gs} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Ps)=\left[ (\swarrow \Ls \cos \beta )+ (\searrow \Ls \sin\beta )\right]\times\left[ (\swarrow \ms \gs \cos \delta )+(\searrow \ms\gs\sin\delta)\right] = \left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\cos\delta\sin\beta)\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \PGvec \times \ms\acc{P}{Gal}=\left[ (\swarrow \Ls \cos \beta )+ (\searrow \Ls \sin\beta )\right] \times(\searrow\ms\dot{\vs})=(\odot\ms\Ls\dot{\vs}\cos\beta)=\left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\mu\cos\delta\cos\beta)\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\cos\delta\sin\beta)\right]-\left[ \odot \ms\gs\Ls (\sin\delta\cos\beta-\mu\cos\delta\cos\beta)\right] =0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \ms\gs\Ls\cos\delta(\sin\beta-\mu\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \tan \beta =\mu }[/math]

✏️ EJEMPLO D6.4: anilla sobre suelo rugoso

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La anilla homogénea, de masa m y radio R, tiene inicialmente un movimiento de traslación respecto al suelo. Se trata de investigar cuánto tiempo tardará en dejar de deslizar respecto al suelo.

La descripción cinemática de la anilla en tres instantes distintos (inicial, intermedio y final) y la descripción dinámica son:

Hoja de ruta
Mientras desliza, la anilla tiene dos GL [math]\displaystyle{ (\vs,\Omega) }[/math], mientras que al final solo tiene uno ([math]\displaystyle{ \vs_\fs }[/math]). Ya que se trata de investigar cómo se pasa de movimiento de traslación a rotación, lo que hay que determinar son las ecuaciones del movimiento [math]\displaystyle{ (\dot{\vs},\dot{\Omega}) }[/math].

El TCM proporciona dos ecuaciones, pero en ambas aparecerá la N. Por tanto, se necesita también el TMC. El problema sugiere dos puntos para la aplicación: G y el punto de contacto entre anilla y suelo (punto J). Si se escoge este último, hay que precisar si se trata de [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{anilla} }[/math], [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{suelo} }[/math] o [math]\displaystyle{ \Js_\mathrm{geom} }[/math] (sección D4.5), y esto es una dificultad añadida. Por este motivo, la hoja de ruta será: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: TCM y TMC en } \Gs} }[/math]

[math]\displaystyle{ \text {TCM: } \quad\left\{\begin{array}{l} (\uparrow \mathrm{N})+(\downarrow \mathrm{mg})=0 \\ (\leftarrow \mu \mathrm{N})=(\rightarrow \mathrm{m} \dot{\mathrm{v}}) \end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{v}}=-\mu\mathrm{g} }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{TMC en } \Gs : \quad \sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Gs)=\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs) \quad \Rightarrow \quad (\otimes \mu\ms\gs\Rs)=(\otimes\Is_\mathrm{G}\dot{\Omega})=(\otimes \ms\Rs^2\dot{\Omega}) \quad \Rightarrow \quad \dot{\Omega}=\mu\frac{\gs}{\Rs} }[/math]

Ya que [math]\displaystyle{ \dot{\vs} }[/math] y [math]\displaystyle{ \dot{\Omega} }[/math] son constantes, el movimiento de G y el de rotación son uniformemente acelerados. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \vs(\ts)=\vs_0 - \mu\gs\ts \quad,\quad \Omega(\ts)=\mu\frac{\gs}{\Rs}\ts }[/math]

[math]\displaystyle{ \text {Para }\ts=\ts_\fs: \quad\left\{\begin{array}{l} \vs(\ts_\fs)=\vs_0 - \mu\gs\ts_\fs \quad,\quad \Omega(\ts_\fs)=\mu\frac{\gs}{\Rs}\ts_\fs \\ \quad \\ \vs(\ts_\fs)=\Rs\Omega(\ts_\fs) \end{array}\right\} \Rightarrow \ts_\fs=\frac{\vs_0}{2\mu\gs} }[/math]

✏️ EJEMPLO D6.5: placa articulada

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La placa homogénea, de masa m, está unida al suelo mediante dos barras idénticas de masa despreciable articuladas en sus extremos y mediante un hilo inextensible. Se trata de investigar la aceleración del centro de inercia de la placa justo después de cortar el hilo.

A causa de las articulaciones, las dos barras describen un movimiento idéntico de rotación respecto al suelo, y esto implica que la placa se mueva con una traslación circular respecto al suelo. La descripción cinemática (para un valor de [math]\displaystyle{ \theta }[/math] cualquiera), tanto de velocidades como de aceleraciones, es:

Aunque el sistema contiene tres sólidos, se puede reducir a un único sólido si las barras se tratan como SAEs. El torsor del enlace indirecto en cualquier punto de la placa es inmediato a partir de la cinemática descrita justo antes: se trata de una fuerza en la dirección de las barras y un momento ortogonal al plano de la placa. La descripción dinámica de la placa es:

Hoja de ruta Ya que el sistema parte del reposo, en el instante justo después de cortar el hilo la velocidad angular de las barras es nula [math]\displaystyle{ (\dot{\theta}) }[/math]. Por tanto, la aceleración de G solo tiene componente tangencial, y se puede determinar a partir de la componente en esta dirección del TCM (que está libre de incógnitas de fuerza): [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: TQM}]_\mathrm{tangencial}} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathrm{TQM}]_\mathrm{tangencial} : (\searrow\ms\gs\sin\theta_0)=\ms\acc{G}{T} \quad \Rightarrow \quad \acc{G}{T}=(\searrow \gs\sin\theta_0) }[/math]

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D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)

Cuando se trata de resolver problemas de dinámica de sistemas multisólido, una herramienta muy útil para llegar a definir una hoja de ruta adecuada es el diagrama general de interacciones (DGI). Se trata de una representación genérica de los sólidos del sistema y de las interacciones entre ellos y la referencia (que muy a menudo es el suelo). Cuando son interacciones de enlace, hay que hacer una descripción breve (por ejemplo, “articulación”, “enlace cilíndrico”, “rótula esférica”, “contacto puntual con deslizamiento”...) e indicar entre paréntesis cuántas incógnitas introducen (tal como se ha hecho en los ejemplos de la unidad D3).

La descripción de la distribución de velocidades del sistema y el DGI permiten hacer un recuento fácil del número de ecuaciones de que se dispone para resolver el problema, y del número de incógnitas (las asociadas a los GL y las que provienen de los enlaces), y ver si el problema es determinado o indeterminado.

Por otro lado, el DGI es una herramienta ágil para visualizar los subconjuntos de sólidos del sistema para los que la aplicación de los teoremas vectoriales haría aparecer la incógnita que se quiere calcular. Una vez descubiertos los subconjuntos que introducen menos incógnitas adicionales, es útil representar de manera precisa las interacciones externas sobre estos subconjuntos para acabar de establecer la estrategia adecuada (qué teorema aplicar, en qué punto, qué componente analizar...).

La sistemática que se propone para resolver problemas de dinámica, pues, se resume en los siguientes pasos:

• descripción de la distribución de velocidades del sistema
• diagrama general de interacciones
• exploración de los subsistemas de sólidos para los que los teoremas incluyen las incógnitas a calcular
• descripción precisa de las interacciones externas sobre estos subsistemas
• elaboración de una hoja de ruta

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D6.5 Ejemplos de sistemas multisólido

✏️ EJEMPLO D6.6: disco en cavidad cilíndrica

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El disco homogéneo, de masa m y radio r, se mueve deslizándose sobre un suelo cilíndrico rugoso impulsado por un motor que actúa entre el disco y un brazo (de masa despreciable). Entre suelo y brazo hay un enlace de ranura sin fricción. El motor garantiza que la velocidad angular relativa entre disco y suelo se mantiene constante. Se trata de determinar la ecuación del movimiento para la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math], el valor del par motor que garantiza [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] constante y la fuerza asociada a la ranura.

La descripción cinemática del sistema es:

AB:suelo,REL:brazo

[math]\displaystyle{ \velang{disco}{suelo}=\velang{disco}{AB}=\velang{disco}{REL}+\velang{}{ar}=(\otimes \omega_0)+(\odot\dot{\theta})=[\otimes(\omega_0-\dot{\theta})] }[/math]

Cinemática del suelo rígido (sólido:brazo):

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T}=\vel{O}{T}+\OGvec\times\velang{brazo}{T}=(\searrow \Rs)\times(\odot\dot{\theta})=(\nearrow\Rs\dot{\theta}) }[/math]

Cinemàtica del sólido rígido (sólido:disco):

[math]\displaystyle{ \vel{J}{T}=\vel{G}{T}+\GJvec \times \velang{disco}{T}=(\nearrow\Rs\dot{\theta})+(\searrow \rs)\times[\otimes(\omega_0-\dot{\theta})]=(\swarrow [\rs\omega_0-(\Rs +\rs)\dot{\theta}] }[/math]

Diagrama general de interacciones

(c.p.c.d.=contacto puntual con deslizamiento)

Es un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] forzado, [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] libre) con 4 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 3 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

ecuaciones: 2 sólidos[math]\displaystyle{ \times \frac{3 \mathrm{ecs.}}{\mathrm{sólido}}=6 }[/math]ecs.

incógnitas: 2 asociadas a los GL + 4 de enlace= 6 inc.

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

Tanto el brazo como el disco tienen un movimiento que depende de [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math]. Los sistemas en los que aparecerá [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: disco, brazo, disco + brazo. Estas tres opciones se indican con líneas punteadas en los DGIs siguientes:

Archivo:ExD6-6-4-esp.pngthumb

Los puntos de intersección de las líneas punteadas con las líneas continuas indican las interacciones externas al sistema (que son las únicas a tener en cuenta en los teoremas vectoriales). Las rojas corresponden a incógnitas. Por tanto, el número de incógnitas que aparecerán en los teoremas vectoriales para estas tres opciones son:

• sistema: disco, 3inc. enlace [math]\displaystyle{ +\Gamma+\ddot{\theta}=5 }[/math] inc.
• sistema: brazo, 3inc. enlace [math]\displaystyle{ +\Gamma+\ddot{\theta}=5 }[/math] inc.
• sistema: disco + brazo, 2inc. enlace[math]\displaystyle{ +\ddot{\theta}=3 }[/math] inc.
  

Las tres ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la opción (disco + brazo) permiten calcular las tres incógnitas, mientras que, en las otras dos opciones, el número de incógnitas supera al número de ecuaciones que se pueden generar. Para el sistema (disco + brazo), las interacciones externas son:

Ya que la ranura permite que el brazo se traslade en dirección 2 y gire en dirección 3 de manera independiente, la caracterización es inmediata, y conduce a una única componente de fuerza en dirección 1 (que es la dirección de la traslación impedida por el enlace). La fuerza de fricción del suelo sobre el disco es opuesta a [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts(\Js_\mathrm{disc}) }[/math]. Si se aplica el TCM, las dos incógnitas de enlace (F,N) aparecen en las dos componentes. Si se aplica el TMC en O, la F no aparece pero la N (asociada a la fricción) sí. Por tanto, hay que trabajar con los dos teoremas para determinar N y [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math]: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA(disco+brazo), TQM}]_2, \text {TMC en } \Os]_3} }[/math]

Ya que O (fijo al suelo) no pertenece al disco, hay que hacer decomposición baricéntrica para calcular el momento cinético:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG}(\Gs)+\OGvec \times \ms \vel{G}{RTO=T}= \left(\odot \frac{1}{2}\ms\rs^2\dot{\theta}\right) +(\searrow \Rs )\times \ms(\nearrow \Rs \dot{\theta})=\left[\odot \frac{1}{2}\ms(\rs^2 +2\Rs^2)\dot{\theta}\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{TCM}]_2: (\nwarrow \Ns)+(\searrow \ms\gs\cos\theta)=\ms\acc{G}{T}]_{\nwarrow\searrow}=(\nwarrow \ms\Rs\dot{\theta}^2)\\ \text{TMC en }\Os]_3: [\odot\mu\Ns(\Rs+\rs)]+(\otimes \ms\gs\Rs\sin\theta)=\left[\odot \frac{1}{2}\ms(\rs^2+2\Rs^2)\ddot{\theta}\right] \end{array}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \Ns=\ms(\Rs\dot{\theta}^2+\gs\cos\theta)\\ (\rs^2+2\Rs^2)\ddot{\theta}-2\mu(\Rs+\rs)\Rs\dot{\theta}^2 + 2\gs\left[\Rs\sin\theta-\mu(\Rs+\rs)\cos\theta\right]=0 \end{array}\right. }[/math]

Hoja de ruta para el par motor

Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: brazo, disco.

La fuerza normal asociada al contacto puntual con deslizamiento entre disco y suelo ya no es una incógnita, y por eso la intersección con esta línea está indicada con un punto negro.

En la opción brazo, el número de incógnitas es 4 (3 de enlace más el par motor). En la opción disco, se pueden reducir a 2: [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]=3 inc. La opción disco, pues, es más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre el disco es:

Si se aplica el TMC al centro, las dos componentes de fuerza de enlace de la articulación no aparecen, y directamente se obtiene el par motor: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA disco, TMC en }\Gs]_3} }[/math] [math]\displaystyle{ \text{TMC en }\Gs]_3: [\odot\mu\Ns(\Rs+\rs)]+(\otimes \Gamma)=\left(\odot \frac{1}{2}\ms\rs^2\ddot{\theta}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \Gamma=\mu\Ns(\Rs+\rs)-\frac{1}{2}\ms\rs^2\ddot{\theta} }[/math] Sustituyendo N y [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] por los resultados obtenidos antes: [math]\displaystyle{ \Gamma=\mu\ms(\Rs+\rs)\frac{2\Rs^2}{\rs^2+2\Rs^2}(\Rs\dot{\theta}^2+\gs\cos\theta)+\ms\gs\frac{\Rs\rs^2}{\rs^2+2\Rs^2}\sin\theta }[/math]

Hoja de ruta para la fuerza asociada a la ranura

Los sistemas en los que aparecerá esta fuerza cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: brazo, disco + brazo:

El número de incógnitas en la opción (disco + brazo) es solo la de la fuerza que se quiere calcular. Esta fuerza es de dirección 2 (de acuerdo con el conjunto de interacciones externas sobre este sistema dibujado anteriormente). Por tanto: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA(disco+brazo), TCM}]_1} }[/math].

[math]\displaystyle{ \text{TQM}]_1: (\nearrow \Fs)+(\swarrow \ms\gs\sin\theta)=\ms\acc{G}{T}]_{\swarrow \nearrow}=(\nearrow \ms\Rs\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \Fs=\ms(\Rs\ddot{\theta}+\gs\sin\theta) }[/math]

Sustituyendo [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] por la ecuación del movimiento:

[math]\displaystyle{ \Fs=2\mu\ms\Rs\frac{\Rs(\Rs+\rs)}{\rs^2+2\Rs^2}\left(\Rs\dot{\theta}^2+\gs\cos\theta\right)+\ms\gs\frac{\rs^2}{\rs^2+2\Rs^2}\sin\theta }[/math].

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✏️ EJEMPLO D6.7: bote arrastrado por un barco

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Un barco (representado simplemente como soporte) que se mueve a velocidad constante respecto al agua (considerada en reposo respecto al suelo) arrastra un bote de masa m y momento de inercia [math]\displaystyle{ \Is_\mathrm{G} }[/math]. El bote está articulado a un brazo de masa despreciable, que puede deslizar a lo largo de la guía lisa q-q’. Entre bote y agua hay fricción viscosa de constante c. Entre soporte y brazo hay dos muelles lineales, y entre brazo y bote hay una torsional. Todos los muelles son de comportamiento lineal. Se trata de determinar las ecuaciones del movimiento para las coordenadas [math]\displaystyle{ \theta }[/math] y x.

La cinemática del sistema respecto al agua (que es la misma que respecto al suelo) es:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{AB: agua }\\ \text{REL: soporte} \end{array}\right\} \vel{O}{agua}=\vel{O}{soporte}+\vel{O}{ar}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{Cinemático del sólido rígido (sólido:brazo, }\velang{brazo}{agua}=\overline{0}): \vel{G}{aigua}=\vel{O}{agua}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{Cinemática del sólido rígido (sólido:bote ,}\velang{bote}{agua}=\otimes\dot{\theta}): \vel{C}{agua}=\vel{G}{agua}+ \GCvec\times\velang{bot}{agua}=(\uparrow \dot{\xs})+(\leftarrow\vs_0)+(\nearrow\es\dot{\theta}) }[/math]

Diagrama general de interacciones

El hecho de que el soporte tenga un movimiento predeterminado de translación indica que ha perdido 2 de los 3 GL del movimiento plano. Esto es equivalente a decir que sobre él hay un enlace que introduce 2 incógnitas y un actuador que garantiza la traslación constante. Se puede considerar que este enlace y este actuador actúan entre el barco y el agua (o el suelo, ya que están en reposo un respecto al otro).

Es un sistema de tres GL ([math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] forzado, [math]\displaystyle{ \dot{\xs} }[/math] y [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] libres) con 4 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 3 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 3 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado: [math]\displaystyle{ \text{ecuaciones: 3 sólidos}\times\frac{\text{3 ecs.}}{\text{sólidos}}=9 \text{ ecs.} }[/math] [math]\displaystyle{ \text{incógnitas: 3 asociadas a los GL + 6 de enlace = 9 inc.} }[/math]

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math]

El único elemento cuyo movimiento depende de [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] es el bote. Por tanto, los sistemas en los que aparecerá cuando se apliquen los teoremas vectoriales tienen que incluirlo necesariamente: bote, bote + brazo, bote + brazo + soporte.

[math]\displaystyle{ \text{2 inc. enlace}+\ddot{\theta}+\ddot{\xs}=\text{4 inc.} \hspace{4.5cm}\text{2 inc. enlace}+\ddot{\theta}+\ddot{\xs}=\text{4 inc.} \hspace{3.5cm} \text{2 inc. enlace}+\Fs_\mathrm{act}+ \ddot{\theta}+\ddot{\xs}= \text{5 inc.} }[/math]

Las dos primeras opciones son las más adecuadas. Las descripciones de las interacciones externas en los dos casos son:

SISTEMA:bote

SISTEMA:bote+brazo

Para el sistema bote, las dos componentes de enlace se pueden evitar si se aplica el TMC en G. En cambio, la aplicación del TMC en O al sistema (bote + brazo) solo permite eliminar la fuerza F pero no el momento M. Por tanto:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA bote, TMC en }\Gs]_3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{TMC a }\Gs]_3: (\odot\ks'\dot{\theta})+(\odot\cs\dot{\xs}\es\cos\theta)+(\odot\cs\es^2\dot{\theta})+(\otimes\cs\vs_0\es\sin\theta)=(\otimes\Is_\mathrm{G}\ddot{\theta}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \Is_\mathrm{G}\ddot{\theta}+ (\ks'+ \cs\es^2)\dot{\theta}+\cs\es(\dot{\xs}\cos\theta-\vs_0\sin\theta)=0 }[/math]

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x

Los dos elementos cuyo movimiento depende de [math]\displaystyle{ \dot{\xs} }[/math] son el bote y el brazo. Por tanto, los sistemas en los que aparecerá [math]\displaystyle{ \ddot{\xs} }[/math] cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: bote, bote + brazo, brazo + soporte, bote + brazo + soporte.

Las dos últimas opciones incluyen una incógnita más (la fuerza del actuador), así que los sistemas a analizar se reducen a los dos primeros, para los que ya se han representado las interacciones externas antes.

La aceleración [math]\displaystyle{ \ddot{\xs} }[/math] es de dirección ortogonal al brazo y solo aparecerá en el TCM. Para el sistema bote, las dos componentes de enlace asociadas a la articulación entre bote y brazo tienen proyección en esta dirección. Para el sistema (bote+brazo), en cambio, en la dirección de no aparece ninguna incógnita de enlace. Por tanto: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bote+brazo), TQM}]_\updownarrow} }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{TCM}]_\updownarrow:\left[\uparrow(\Fs_0-\ks\xs)\right]+ \left[\downarrow(\Fs_0+\ks\xs)\right]+(\downarrow\cs\dot{\xs})+(\downarrow \cs\es\dot{\theta}\cos\theta)=\ms\acc{G}{T}]_\updownarrow=(\uparrow \ms \ddot{\xs}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm} \ms\ddot{\xs}+\cs\dot{\theta}+2\ks\xs+\cs\es\dot{\theta} \cos\theta=0 }[/math]

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