D5. Tensor de inercia

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

Los Teoremas Vectoriales relacionan el torsor externo de interacción sobre un sistema [math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} }[/math] con el cambio a lo largo del tiempo de vectores que dependen de cómo está distribuida la masa en el sistema (geometría de masas) y de su movimiento. En el TQM, este vector es la cantidad de movimiento del sistema, mientras que en el TMC es el momento cinético (o momento angular) del sistema. En esta unidad se dan las herramientas necesarias para poder describir la geometría de masas de un sólido rígido y calcular estos dos vectores.

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D5.1 Centro de masas

El centro de masas de un sistema mecánico es un punto cuya cinemática es una cinemática ponderada de todos los elementos del sistema que tienen masa, y en este curso se representa con la letra G.

Figura D5.1 Centro de masas de un sistema de masa constante

Para el caso de un sólido rígido S homogéneo, la localización de G es fácil cuando el sólido tiene simetrías importantes (Figura D5.2).

Figura D5.2 Centro de masas de sólidos con simetrías importantes

Cuando no es el caso, hay que proceder a la integración para obtenerlo. Si M es la masa total del sólido: [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Gs}=\frac{1}{\mathrm{M}} \int_\mathrm{S}\mathrm{dm}(\Ps)\overline{\Os_\Rs\Ps} }[/math]

La Tabla muestra el centro de masas de las geometrías más habituales. A partir de esta información y para sólidos S formados por varios de estos elementos [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\is }[/math], la posición del centro de masas se puede hallar como media ponderada de la posición de cada [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_\is }[/math].

✏️ EJEMPLO D5.1: cáscara

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El sólido S está formado per una cáscara cilíndrica y una semicáscara esférica, ambas homogéneas y de la misma densidad superficial [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Por simetría, las coordenadas [math]\displaystyle{ (\xs,\ys) }[/math] del centro de masas G total son nulas: [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=(0,0) }[/math]. La coordenada z de la cáscara cilíndrica es [math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{Gcil}=\Rs/2 }[/math]. La de la semicáscara esférica se puede hallar a partir de la Tablaa:

[math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{Gesf}=\Rs+(\Rs/2)=3\Rs/2 }[/math].

La masa de cada elemento es el producto de la densidad superficial por la superficie del elemento:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{cil}=\sigma 2 \pi \Rs^2 }[/math] , [math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{esf}=\sigma \frac{1}{2} 4 \pi \Rs^2= \sigma 2 \pi \Rs^2 }[/math]

Por tanto: [math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{G}=\frac{\ms_\mathrm{esf}\zs_\mathrm{Gesf}+\ms_\mathrm{cil}\zs_\mathrm{Gcil}}{\ms_\mathrm{esf}+\ms_\mathrm{cil}}=\frac{2\pi\Rs^2(3/2)\Rs +2\pi\Rs^2(1/2)\Rs}{2\pi\Rs^2+2\pi\Rs^2}=\Rs }[/math]

✏️ EJEMPLO D5.2: placa doblada

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El sólido S es una placa triangular homogénea, de densidad superficial [math]\displaystyle{ \sigma }[/math], doblada. El centro de masas se puede hallar como media ponderada del centro de masas de una placa cuadrada de lado 6L y dos triangulares de catetos 6L:

[math]\displaystyle{ (\xs_1,\ys_1)=(3\Ls,3\Ls) \hspace{3cm} (\xs_2,\ys_2)=(8\Ls,2\Ls) \hspace{3cm} (\xs_3,\ys_3)=(2\Ls,4\Ls) }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{1cm} \ms_1=(6\Ls)(6\Ls)\sigma=36\Ls^2\sigma \hspace{1.5cm} \ms_2=(1/2)(6\Ls)(6\Ls)\sigma=18\Ls^2\sigma \hspace{1cm} \ms_3=(1/2)(6\Ls)(6\Ls)\sigma=18 \Ls ^2 \sigma }[/math]

Por tanto: [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=\frac{36\sigma(3,3)\Ls^3+ 18\sigma (8,2)\Ls^3 + 18\sigma (2,4)\Ls^3}{36\Ls^2\sigma+18\Ls^2\sigma+ 18 \Ls^2 \sigma}=(4,3)\Ls. }[/math]

✏️ EJEMPLO D5.3: cilindro agujereado

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El sólido es un cilindro homogéneo agujereado de densidad [math]\displaystyle{ \rho }[/math], y se puede considerar como superposición de un cilindro macizo de altura 4L y radio 2r, y un cilindro de masa negativa, de altura 2L y radio r. Por simetría, [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=(0,0) }[/math]. La coordenada z se puede hallar como promedio ponderado de la coordenada z de dos cilindros: Masa del cilindro macizo y del agujero por separado:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{macizo}=\mathrm{V}_\mathrm{macizo}\rho=\pi(2\rs)^24\Ls\rho=16\pi\Ls \rs^2\rho \quad , \quad \ms_\mathrm{agujero}=\mathrm{V}_\mathrm{agujero} \rho=\pi\rs^22 \Ls\ \rho=2\pi\Ls \rs^2\rho }[/math]

Por tanto:

[math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{G}=\frac{\ms_\mathrm{macizo}\zs_\mathrm{macizo}- \ms_ \mathrm{agujero} \zs_\mathrm{agujero}}{\ms_\mathrm{macizo} -\ms_\mathrm{agujero}}= \frac{16\pi\Ls\rs^2\rho \cdot 2\Ls - 2\pi\Ls \rs^2 \rho \cdot 3\Ls}{16\pi\Ls\rs^2\rho-2\pi\Ls\rs^2\rho}=\frac{13}{7}\Ls. }[/math]

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D5.2 Tensor de inercia

El cálculo del momento cinético de un sólido S en un punto Q de este sólido se puede hacer de manera ágil a partir de una matriz simétrica definida positiva [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math], llamada tensor de inercia de S en el punto Q, y de su velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTQ} }[/math] (que es igual a [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] ya que la referencia RTQ se traslada respecto a una galileana):

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \overline{\mathbf{Q P}} \times \mathrm{dm}(\mathbf{P}) \overline{\mathbf{v}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{P}) \equiv \mathrm{II}(\mathbf{Q}) \bar{\Omega}_{\text {RTQ }}^{\mathrm{s}}=\mathrm{II}(\mathbf{Q}) \bar{\Omega}_{\text {Gal }}^{\mathrm{s}} . }[/math]

La relación entre el momento cinético [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math] y la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] no es una simple proporcionalidad ya que [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] es una matriz. Por este motivo, estos dos vectores no son paralelos en general (Figura D5.3).

Figura D5.3 Momento cinético y velocidad angular de un sólido rígido no son paralelos en general

Los elementos de [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] en una base vectorial B de ejes 123 tienen que ver con la distribución de masa de S alrededor de unos ejes de coordenadas con origen en Q (Figura D5.4):

Figura D5.4 Tensor de inercia de un sólido

Los elementos de la diagonal ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) se denominan momentos de inercia, y no pueden ser nunca negativos. Los de fuera de la diagonal ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) son los productos de inercia, y pueden tener cualquier signo.

Si la base B es de orientación fija a S, los elementos de [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math] son constantes. En este curso, se trabaja siempre con tensores de inercia de elementos constantes.

💭 Demostración ➕

Cuando el momento cinético de un sólido S se refiere a un punto Q que pertenece a este mismo sólido, se puede aplicar la cinemática del sólido rígido para relacionar la velocidad de todos los puntos de S con la del punto Q:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \overline{\mathbf{Q P}} \times \mathrm{dm}(\mathbf{P}) \vel{P}{RTQ} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Ps, \Qs \in \mathrm{S} \quad \Rightarrow \quad \vel{P}{RTQ}=\vel{Q}{RTQ}+ \velang{S}{RTQ} \times \QPvec = \velang{S}{RTQ} \times \QPvec = -\QPvec \times \velang{S}{RTQ} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \QPvec \times (\QPvec \times \velang{S}{RTQ})\mathrm{dm}(\Ps) }[/math]

Si se expresa el vector [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] en una base B de ejes (1,2,3):

[math]\displaystyle{ \braq{\QPvec \times \velang{S}{RTQ}}{B}=\vector{\mathrm{QP}_1}{\mathrm{QP}_2}{\mathrm{QP}_3} \times \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} \equiv \vector{\xs_1}{\xs_2}{\xs_3} \times \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}= \vector{\xs_2\Omega_3-\xs_3\Omega_2}{\xs_3\Omega_1-\xs_1\Omega_3}{\xs_1\Omega_2-\xs_2\Omega_1}=\matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} , }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\QPvec \times (\QPvec \times \velang{S}{RTQ})}{B}= \matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} = - \matriz{\xs_2^2 + \xs_3^2}{-\xs_1\xs_2}{-\xs_1\xs_3}{-\xs_1\xs_2}{\xs_1^2 + \xs_3^2}{-\xs_2\xs_3}{-\xs_1\xs_3}{-\xs_2\xs_3}{\xs_1^2 + \xs_2^2} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}. }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\Qs)}{B}=\matriz{\int_{\mathrm{s}}(\xs_2^2 + \xs_3^2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_2)\mathrm{dm}(\Ps)}{\int_{\mathrm{s}}(\xs_1^2 + \xs_3^2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_2\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)} {-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)} {-\int_{\mathrm{s}}(\xs_2\xs_3\mathrm{dm}(\Ps)}{\int_{\mathrm{s}}(\xs_1^2 + \xs_2^2)\mathrm{dm}(\Ps)} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} \equiv \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math]

✏️ Ejemplo D5.4: sólido formado por de partículas

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El sólido rígido está formado por seis partículas de masa m unidas por barras rígidas de masa despreciable. Al tratarse de una distribución de masa discreta, no hay que hacer ninguna integral para calcular el tensor de inercia. Los momentos de inercia del tensor en O para la base 123 son:

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{11}=6\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 3: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 2 \cdot \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{22}=6\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2: 0\\ \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 3: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 2 \cdot \ms(\sqrt{2}\Ls)^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=4\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 3: 0 \\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 2 \cdot \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

Los productos de inercia son:

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{12}=0 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2 \text{y el eje} 3: 0 \text{ (porque } \xs_1=0)\\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 0 \text{ (porque } \xs_2=0) \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{13}=2\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2 \text{ y el eje } 3 : \xs_1=0 \Rightarrow 0 \\ \bullet \text { contribución de las partículas del cuadrante }1^+3^-: \xs_1=\Ls, \xs_3=-\Ls \Rightarrow \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas del cuadrante }1^-3^+: \xs_1=-\Ls, \xs_3=\Ls \Rightarrow \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{23}=0 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2: 0 \text{ (porque} \xs_3=0)\\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 0 \text{ (porque} \xs_2=0)\\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 0 \text{ (porque} \xs_2=0)\\ \end{array}\right. }[/math]

Finalmente:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{6}{0}{2}{0}{6}{0}{2}{0}{4} \ms \Ls^2 }[/math]

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La Tabla recoge información sobre momentos y productos de inercia de sólidos continuos (no formados por partículas, como el del EJEMPLO D5.3 ) de geometría sencilla.

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D5.3 Ejes principales de inercia

La matriz [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] cambia de aspecto cuando se cambia de base: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_{\mathrm{B}1} \neq \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_{\mathrm{B}2} }[/math]. Si se trabaja en la base propia BP de la matriz (la que tiene los ejes en la dirección de los vectores propios), [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{BP} }[/math] es diagonal:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{BP}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{33}}. }[/math]

Las direcciones de la base BP que pasan por Q se llaman direcciones principales de inercia para el punto Q (DPI para Q) o ejes principales de inercia (la palabra “eje” da a entender que es una dirección que pasa por un punto concreto), y los momentos de inercia correspondientes son los momentos principales para el punto Q. Si la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] es paralela a uno de los ejes principales, el momento cinético [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math] y la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] son paralelos (Figura D5.5).

Figura D5.5 Momento cinético cuando la dirección de la velocidad angular es la de una DPI

✏️ EJEMPLO D5.5: sólido hecho de partículas

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Consideremos una rotación general [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] del sólido discreto del EJEMPLO D5.4 . El momento cinético no resulta paralelo a la velocidad angular: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\matriz{6}{0}{2}{0}{6}{0}{2}{0}{4}\ms \Ls^2 \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}= \vector{6\Omega_1 + 2\Omega_3}{6\Omega_2}{2\Omega_1 + 4\Omega_3}\ms \Ls^2 }[/math] El aspecto del tensor [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math], sin embargo, pone de manifiesto que la dirección 2 es DPI para el punto O. Por tanto, si la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] tiene esta dirección, [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] es paralelo a [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{0}{\Omega_2}{0} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{0}{6\Omega_2}{0} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) \parallel \velang{S}{T} }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] es de dirección 1 o 3, el paralelismo entre [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] y [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] se pierde:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{\Omega_1}{0}{0} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{6\Omega_1}{0}{2\Omega_1} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] en el cuadrante [math]\displaystyle{ 1^+3^- }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{0}{0}{\Omega_3} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{2\Omega_3}{0}{4\Omega_3} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] en el cuadrante [math]\displaystyle{ 1^-3^+ }[/math]

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D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia

Cuando se trata de calcular el tensor de inercia de un sólido, es necesario hacer una evaluación cualitativa antes de recurrir a la Tabla, ya que en ésta solo se recoge una información mínima (no se da nunca la expresión de un tensor entero). En esta sección se presentan algunas propiedades generales que facilitan esta evaluación.

Quan es tracta de calcular el tensor d’inèrcia d’un sòlid, és necessari fer-ne una avaluació qualitativa abans de recórrer a la Taula, doncs en aquesta només s’hi recull una informació mínima (no es dóna mai l’expressió d’un tensor sencer). En aquesta secció es presenten algunes propietats generals que faciliten aquesta avaluació.

Propiedad 1: En un sólido plano (Figura D5.6), la dirección perpendicular al sólido (dirección k) es siempre principal de inercia ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ik}=\mathrm{I}_\mathrm{jk}=0 }[/math]) para cualquier punto Q, y el momento de inercia correspondiente es suma de los otros dos (por el teorema de Pitágoras):

Figura D5.6 Sólido plano

Propiedad 2: En un sólido plano (Figura D5.7), el signo de la contribución de cada cuadrante ij al producto de inercia [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ij}(\Qs) }[/math] es:

Figura D5.7 Sólido plano

Propiedad 3: En cualquier sólido, si hay simetría respecto al plano ij que pasa por un punto Q (Figura D4.8), la dirección k es principal de inercia para cualquier punto de este plano:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \xs_\is(\Ps)=\xs_\is (\Ps^{\prime)} \\ \xs_\js(\Ps)=\xs_\js (\Ps^{\prime}) \\ \xs_\ks(\Ps)=\xs_\ks (\Ps^{\prime}) \end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{I}_\mathrm{i k}(\Qs \in \text { plano de simetría })=-\int_{\mathrm{s}} \xs_\is(\Ps) \xs_\ks(\Ps) \mathrm{dm}(\Ps)=0 \\ \mathrm{I}_\mathrm{j k}(\Qs \in \text { plano de simetría })=-\int_{\mathrm{s}} \xs_\js(\Ps) \xs_\ks(\Ps) \mathrm{dm}(\Ps)=0 \end{array}\right. }[/math]

Figura D5.7 Sólido con plano de simetría ij

✏️ EJEMPLO D5.6: sólido plano

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El sólido plano está formado por tres barras homogéneas del mismo material unidas a un marco de masa despreciable. figura plana contenida en el plano 23: por la propiedad 1, la dirección 1 es DPI, y [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{11}=\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{\mathrm{I}_{23}}{0}{\mathrm{I}_{23}}{\mathrm{I}_{33}} }[/math] por la propiedad 3, ya que el plano 13 es de simetría, la dirección 2 es DPI: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{33}} }[/math]

Si tenemos en cuenta que la barra central no contribuye al momento de inercia [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33} }[/math] porque está sobre el eje 3 y su distancia a éste es cero, es fácil ver que [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{22}\gt \mathrm{I}_{33} }[/math].

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Propiedad 4: Cuando un sólido tiene dos momentos principales de inercia (según direcciones ortogonales) iguales para un punto O ([math]\displaystyle{ \Is_\mathrm{ii} (\Os) = \Is_\mathrm{jj}(\Os) \equiv \Is , \Is_\mathrm{ij} (\Os)= 0 }[/math]), su tensor de inercia en O es invariante bajo rotaciones alrededor de la dirección k: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math]. En efecto:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}= \matriz{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{kk}} }[/math]

Para relacionar [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk} }[/math] y [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math], solo hay que transformar el cuadrante superior izquierdo (ya que el eje k es el mismo). Si [math]\displaystyle{ [\mathrm{S}] }[/math] es la matriz de cambio de base [math]\displaystyle{ (\is,\js) \rightarrow (\is',\js'): }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\begin{array}{l} \text { cuadrante } \\ \text { superior } \\ \text { izquierdo } \end{array}\right]_{\is' \js'}=[\mathrm{S}]^{-1}\left[\begin{array}{ll} \mathrm{I} & 0 \\ 0 & \mathrm{I} \end{array}\right][\mathrm{S}]=\mathrm{I}[\mathrm{S}]^{-1}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right][\mathrm{S}]=\mathrm{I}[\mathrm{S}]^{-1}[\mathrm{S}]=\mathrm{I}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \text {. } }[/math]

El sólido es un rotor simétrico para el punto O. Si su velocidad angular está contenida en el plano ij o es de dirección k, el momento cinético en [math]\displaystyle{ \Os ( \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)) }[/math] y la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTO}(=\velang{S}{Gal}) }[/math] son paralelos.

✏️ EJEMPLO D5.7: rotor simétrico

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El sólido rígido homogéneo está formado por dos placas triangulares idénticas. figura plana contenida en el plano 12: por la propiedad 1, la dirección 3 es DPI, y [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=\mathrm{I}_{11}+ \mathrm{I}_{22} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{\mathrm{I}_{12}}{0}{\mathrm{I}_{12}}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}(\Os)=\mathrm{I}_{11}(\Os)+\mathrm{I}_{22}(\Os), \mathrm{I}_{13}(\Os)=\mathrm{I}_{23}(\Os)=0. }[/math]

En lo que se refiere a los momentos de inercia en los ejes 1 y 2, es fácil ver que son iguales: las distancias al eje 1 y al eje 2 de los dm del triángulo situado en el cuadrante derecho inferior ([math]\displaystyle{ \mathrm{dm}(\Ps) }[/math]) son iguales a las distancias al eje 2 y al eje 1, respectivamente, de los dm del triángulo situado en el cuadrante izquierdo inferior ([math]\displaystyle{ \mathrm{dm}(\Ps') }[/math]):

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps'\right) \\ \delta_2(\Ps)=\delta_1\left(\Ps'\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \Is_{11}(\Os)=\Is_{22}(\Os) \equiv \Is }[/math] Por otro lado: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \xs_1(\Ps)=-\xs_2\left(\Ps'\right) \\ \xs_2(\Ps)=\xs_1\left(\Ps'\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \Is_{12}(\Os)=0 }[/math]

Finalmente:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}}= \matriz{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}} }[/math]

Se trata de un rotor simétrico (propiedad 4). Por tanto, el tensor de inercia en O es invariante bajo rotación de la base alrededor del eje 3: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{1'2'3'}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{123} }[/math].

El aspecto cualitativo de [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math] pone de manifiesto que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] es paralelo a [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTO} }[/math] cuando ésta está contenida en el plano 12 o es de dirección 3:

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=\vector{\Is \Omega_1}{\Is \Omega_2}{0} \quad , \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} \vector{0}{0}{\Omega_3}=\vector{0}{0}{2\Is \Omega_3} }[/math].

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Propiedad 5: Cuando un sólido tiene tres o más momentos de inercia en un mismo plano ij iguales para un punto O, también es un rotor simétrico para O: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k'} }[/math]. La demostración es más larga que la de la propiedad 4, y se omite.

✏️ EJEMPLO D5.8: rotor simétrico

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El sólido está formado por tres placas hexagonales homogénea y idénticas. figura plana contenida en el plano 12: por la propiedad 1, la dirección 3 es DPI, y [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=\mathrm{I}_{11}+ \mathrm{I}_{22} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{\mathrm{I}_{12}}{0}{\mathrm{I}_{12}}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math]

• simetría respecto al plano 23: por la propiedad 3, [math]\displaystyle{ \Is_{12} = 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math]

Por otro lado, no es fácil evaluar a simple vista cuál de los dos momentos de inercia [math]\displaystyle{ \Is_{11} }[/math], [math]\displaystyle{ \Is_{22} }[/math] es mayor. Pero hay tres ejes coplanarios que generan la misma distribución de masa a lado y lado, y por tanto se puede asegurar que los momentos de inercia respecto a estos ejes son iguales.

Por la propiedad 5, se trata de un rotor simétrico. Así pues, todas las direcciones del plano 12 que pasan por G son principales con el mismo momento de inercia.

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Propiedad 6: Cuando un sólido tiene los tres momentos principales de inercia (según direcciones ortogonales) iguales para un punto O, su tensor de inercia en O es invariante bajo cambio de base: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k'} }[/math]. El sólido es un rotor esférico para el punto O, y el vector momento cinético en O y la velocidad angular siempre son paralelos: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) \parallel \velang{S}{RTO}(=\velang{S}{Gal}). }[/math].

✏️ EJEMPLO D5.9: rotor esférico

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El sólido está formado por una anilla homogénea, de masa 2m, y una partícula P de masa m. Las barras que unen estos elementos son de masa despreciable. El tensor en C es la suma de dos tensores: [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\mathbf{C})=\mathrm{II}^{\mathrm{part}}(\mathbf{C})+\mathrm{II}^{\mathrm{anilla}}(\mathbf{C}) }[/math]. El de la partícula es inmediato: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps\right), \delta_3(\Ps)=0\\ \xs_1(\Ps)=\xs_2\left(\Ps\right)=0 \end{array}\right\} \Rightarrow \Bigr[\mathrm{II}^\mathrm{part}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{0} }[/math]

Ya que la anilla es un sólido plano y simétrico respecto al eje 1 o el 2, la propiedad 1 y la propiedad 3 conducen a:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}_\mathrm{anella}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}} }[/math].

El sólido es un rotor simétrico para C ya que tiene dos momentos principales iguales:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{0} + \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p} + \mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p} + \mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}}. }[/math]

La expresión cuantitativa del tensor no requiere acudir a las tablas:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps\right)=\Rs\quad \Rightarrow \quad \mathrm{I}_\mathrm{p}=\ms\Rs^2\\ \delta_3(\mathrm{dm} \in \mathrm{anella}) \quad \Rightarrow \quad 2\mathrm{I}_\mathrm{a}=2\ms\Rs^2 \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \Bigr[\mathrm{II}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{2}{0}{0}{0}{2}{0}{0}{0}{2} \ms\Rs^2 }[/math]

Se trata de un rotor esférico, y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_ \mathrm{RTC}(\Cs) }[/math] siempre es paralelo a [math]\displaystyle{ \velang{S}{T} }[/math]: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_ \mathrm{RTC}(\Cs)=\Is\Is(\Cs) \velang{S}{T}=2\ms\Rs^2\velang{S}{T} }[/math].

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D5.5 Teorema de Steiner

El tensor d’inèrcia d’un sòlid en una base B i per a un punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] o per a un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] no té la mateixa expressió: [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps) \neq \Is\Is(\Qs) }[/math] . La relació entre els dos es pot trobar mitjançant el Teorema de Steiner, que es demostra immediatament a partir de la descomposició baricèntrica del moment cinètic:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math] ,

on [math]\displaystyle{ \Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math] és el tensor d’una partícula de massa igual a la del sòlid i situada al centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].

Si s’aplica el teorema a dos punts diferents i es combinen les equacions, s’arriba a la relació entre [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Qs) }[/math] :

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Gs) + \Is\Is^\oplus(\Qs)\\ \Is\Is(\Ps)=\Is\Is(\Gs) + \Is\Is^\oplus(\Ps) \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Ps) - \Is\Is^\oplus(\Ps) + \Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math]

✏️ Exemple D5.10: barres paral·leles

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thumb|center|250px|link=

El sòlid està format per dues barres curtes i una de llarga, homogènies, de la mateixa densitat lineal, i unides a un marc de massa negligible. Es tracta de trobar l’aspecte qualitatiu del tensor d’inèrcia al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Pel fet de ser un sòlid pla: [math]\displaystyle{ \Is_{11}=\Is_{22}+\Is_{33} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Is_{12}=\Is_{13}=0 }[/math]. En l’anàlisi del tensor d’inèrcia, és útil considerar la barra llarga com a dues de curtes. Les dues barres situades als quadrants superiors tenen el mateix moment d’inèrcia respecte de de l’eix 2 i de l’eix 3 [math]\displaystyle{ \left(\Is_{22}^{\mathrm{quad.sup.}}=\Is_{33}^{\mathrm{quad.sup.}} \right) }[/math], però les que es troben als quadrants inferiors estan més allunyades de l’eix 2 que de l’eix 3 [math]\displaystyle{ \left( \Is_{22}^{\mathrm{quad.inf.}}\gt \Is_{33}^{\mathrm{quad.inf.}} \right) }[/math]. Per tant: [math]\displaystyle{ \Is_{22}\gt \Is_{33} }[/math].

En no haver-hi simetria respecte de l’eix 3, és difícil veure el signe del producte d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Is_{23} }[/math] . Per tant:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\Is_{22}+\Is_{33}}{0}{0}{0}{\Is_{22}}{\Is_{23}}{0}{\Is_{23}}{\Is_{33}} }[/math].

El signe de [math]\displaystyle{ \Is_{23} }[/math] es pot deduir molt fàcilment si es refereix el tensor [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os) }[/math] als tensors de les quatre barres idèntiques al seu centre de masses per mitjà del teorema de Steiner:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os)=\sum_{\is=1}^{4}\Is\Is_\is(\Os)=\sum_{\is=1}^{4} \Bigr[\mathrm{II}_\is(\Gs_\is) + \Is\Is_\is^\oplus(\Os) \Bigr] }[/math]

thumb|center|470px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}_\is(\Gs_\is) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{-|\Is_{23}'|}{0}{-|\Is_{23}'|}{\Is} }[/math] ,

[math]\displaystyle{ \sum_{\is=1}^{4} \Bigr[\Is\Is_\is^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}=\Bigr[\Is\Is_\mathrm{quad.sup.}^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} + \Bigr[\Is\Is_\mathrm{quad.inf.}^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= 2\ms \left( \frac{\Ls}{2} \right)^2 \matriz{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + 2\ms \left( \frac{\Ls}{2} \right)^2 \matriz{10}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{1} = \ms\Ls^2 \matriz{6}{0}{0}{0}{5}{0}{0}{0}{1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{8\Is+6\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 5\ms\Ls^2}{-4|\Is_{23}'|}{0}{-4|\Is_{23}'|}{4\Is + \ms\Ls^2} }[/math].

✏️ Exemple D5.11: sòlid pla, tensor quantitatiu

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thumb|center|180px|link=

El sòlid està format per dues plaques quadrades homogènies idèntiques. Es tracta de trobar el tensor d’inèrcia al punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]. L’aspecte qualitatiu del tensor en el seu centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és immediat (és figura plana i tota la massa està concentrada en els quadrants que contribueixen amb signe positiu al producte d’inèrcia):

thumb|right|300px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} }[/math]

La Taula dóna informació del tensor d’una placa rectangular:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Gs)=\Is\Is_\mathrm{placa.inf.}(\Gs)+\Is\Is_\mathrm{placa.sup} (\Gs) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]= 2 \matriz{\frac{1}{3}\ms (2\Ls)^2}{\frac{1}{4}\ms (2\Ls)^2}{0}{\frac{1}{4}\ms (2\Ls)^2}{\frac{1}{3}\ms (2\Ls)^2}{0}{0}{0}{\frac{2}{3}\ms (2\Ls)^2}= \frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{4}{3}{0}{3}{4}{0}{0}{0}{8} }[/math]

Ara cal passar al punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] amb el teorema de Steiner:[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps)=\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Ps) }[/math].

thumb|left|160px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}^\oplus(\Ps) \Bigr]= \matriz{2\ms (2\Ls)^2}{-2\ms (2\Ls)(-2\Ls)}{0}{-2\ms (2\Ls)(-2\Ls)}{2\ms (2\Ls)^2}{0}{0}{0}{4\ms (2\Ls)^2}= 8 \ms\Ls^2 \matriz{1}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]=\frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{4}{3}{0}{3}{4}{0}{0}{0}{8}+ 8 \ms\Ls^2 \matriz{1}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{2}=\frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{16}{15}{0}{15}{16}{0}{0}{0}{32} }[/math]

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D5.6 Canvi de base del tensor d'inèrcia

Un tensor d’inèrcia expressat en una base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math] es pot canviar a una altra base base [math]\displaystyle{ \mathrm{B}' }[/math] mitjançant la matriu de canvi de base [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math], les columnes de la qual són els versors de la base [math]\displaystyle{ \mathrm{B}'(\overline{\mathbf{e}}_{\is'}) }[/math] projectats a la base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_{\mathrm{B}'}=\Bigr[\mathrm{S} \Bigr]^{-1} \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_\mathrm{B} \Bigr[\mathrm{S}\Bigr] \quad , \quad \Bigr[\mathrm{S} \Bigr] = \Bigr[ \braq{\overline{\mathbf{e}}_{1'}}{B} \quad \braq{\overline{\mathbf{e}}_{2'}}{B} \quad \braq{\overline{\mathbf{e}}_{3'}}{B} \Bigr] }[/math].

És fàcil veure que [math]\displaystyle{ \Is_{\is'\js'}(\Ps)=\Bigl\{ \overline{\mathbf{e}}_{\is'} \Bigl\}_{\mathrm{B}}^{\Ts} \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_{\mathrm{B}} \braq{\overline{\mathbf{e}}_{\js'}}{B} }[/math] .

✏️ Exemple D5.12: sòlid pla, canvi de base

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La placa circular és homogènia, de massa m i radi r. Es tracta de determinar el moment d’inèrcia respecte de l’eix p-p’ que passa pel seu centre i forma un angle de [math]\displaystyle{ 45^o }[/math] amb l’eix de la placa. Les taules donen informació del tensor de la placa per als eixos vertical i horitzontals. A partir d’aquest tensor, s’obté [math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os) }[/math] : thumb|center|450px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \frac{1}{4} \ms\rs^2\matriz{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{2} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os)=\Is_{1'1'}=\Bigl\{ \overline{\mathbf{e}}_{1'} \Bigl\}_{\mathrm{B}}^{\Ts} \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{\mathrm{B}} \braq{\overline{\mathbf{e}}_{1'}}{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os)=\frac{1}{\sqrt{2}} \{ 0 \quad 1 \quad 1\} \frac{1}{4} \ms \rs^2 \matriz{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \vector{0}{1}{1}=\frac{3}{8} \ms\rs^2 }[/math]

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D5.7 Taula de centres i tensors d'inèrcia de sòlids rígids homogenis

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